Несжимаемая поверхность

редактировать

В математике и несжимаемая поверхность - это поверхность , должным образом встроенная в 3-многообразие, которое, на интуитивном уровне, является «нетривиальной» поверхностью, которую нельзя упростить защемлением трубок. Они полезны для разложения многообразий Хакена, теории нормальных поверхностей и изучения фундаментальных групп трехмерных многообразий.

Содержание

  • 1 Формальное определение
  • 2 Сжатие
  • 3 Алгебраически несжимаемые поверхности
  • 4 Поверхности Зейферта
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки

Формальное определение

Для несжимаемого На поверхности S каждый сжимающий диск D ограничивает круг D ′ в S. Вместе D и D ′ образуют 2-сферу. Эта сфера не должна ограничивать шар, если M не является неприводимой.

. Пусть S - компактная поверхность, должным образом вложенная в гладкую или PL 3- многообразие M. A сжимающий диск D - это диск, вложенный в M так, что

D ∩ S = ∂ D {\ displaystyle D \ cap S = \ partial D}{\ displaystyle D \ cap S = \ partial D }

и пересечение поперечное. Если кривая ∂D не ограничивает диск внутри S, то D называется нетривиальным сжимающим диском. Если S имеет нетривиальный сжимающий диск, то мы называем S сжимаемой поверхностью в M.

Если S не является ни 2-сферой, ни сжимаемой поверхностью, то мы называем поверхность (геометрически ) несжимаемой .

. Обратите внимание, что 2-сферы исключены, поскольку у них нет нетривиальных сжимающих дисков по теореме Джордана-Шенфлиса и 3- многообразия содержат множество вложенных 2-сфер. Иногда изменяют определение так, что несжимаемая сфера - это 2-сфера, вложенная в 3-многообразие, не ограничивающая вложенный 3-шар. Такие сферы возникают именно тогда, когда трехмерное многообразие не неприводимо. Поскольку это понятие несжимаемости для сферы сильно отличается от приведенного выше определения для поверхностей, часто несжимаемая сфера вместо этого упоминается как существенная сфера или уменьшающаяся сфера .

Сжатие

Сжатие поверхности S вдоль диска D приводит к поверхности S ', которая получается удалением границы кольца N (D) из S и добавлением двух границ диска N (D).

Дана сжимаемая поверхность S со сжимающим диском D, который, как мы можем предположить, лежит в внутренней части M и пересекает S в поперечном направлении, можно выполнить вложенную операцию 1- на S, чтобы получить поверхность, которая получается с помощью сжатие S вдоль D. Существует трубчатая окрестность точки D, замыкание которой является вложением D × [-1,1], причем D × 0 отождествляется с D и с

(D × [- 1, 1]) ∩ S = ∂ D × [- 1, 1]. {\ displaystyle (D \ times [-1,1]) \ cap S = \ partial D \ times [-1,1].}{\ displaystyle (D \ times [-1,1]) \ cap S = \ partial D \ times [-1,1].}

Тогда

(S - ∂ D × (- 1, 1)) ∪ (D × {- 1, 1}) {\ displaystyle (S- \ partial D \ times (-1,1)) \ cup (D \ times \ {- 1,1 \})}{\ displaystyle (S- \ partial D \ times (-1,1)) \ cup (D \ times \ {- 1,1 \})}

новая должным образом вложенная поверхность, полученная сжатием S вдоль D.

Мера неотрицательной сложности на компактных поверхностях без компонентов 2-сферы равна b 0 (S) - χ (S), где b 0 (S) - нулевое число Бетти (количество компонент связности), а χ (S) - характеристика Эйлера. При сжатии сжимаемой поверхности вдоль нетривиального сжимающего диска эйлерова характеристика увеличивается на два, в то время как b 0 может оставаться неизменным или увеличиваться на 1. Таким образом, каждая правильно встроенная компактная поверхность без компонентов 2-сфер связана к несжимаемой поверхности через последовательность сжатий.

Иногда мы отказываемся от условия сжимаемости S. Если бы D ограничивал диск внутри S (что всегда так, если S, например, несжимаемый), то сжатие S вдоль D привело бы к несвязному объединению сферы и поверхности, гомеоморфной S. Получившаяся поверхность с Удаленная сфера может быть, а может и не быть изотопной для S, и так будет, если S несжимаема, а M несократим.

Алгебраически несжимаемые поверхности

Существует также алгебраическая версия несжимаемости. Предположим, что ι: S → M {\ displaystyle \ iota: S \ rightarrow M}{\ displaystyle \ iota: S \ rightarrow M} - правильное вложение компактной поверхности в 3-многообразие. Тогда S является π1-инъективным (или алгебраически несжимаемым ), если индуцированное отображение

ι ⋆: π 1 (S) → π 1 (M) {\ displaystyle \ iota _ { \ star}: \ pi _ {1} (S) \ rightarrow \ pi _ {1} (M)}{\ displaystyle \ iota _ {\ star}: \ pi _ {1} (S) \ rightarrow \ pi _ {1} (M)}

на фундаментальных группах является инъективным.

В общем, каждое π 1 -инъективная поверхность несжимаема, но обратное утверждение не всегда верно. Например, пространство линзы L (4,1) содержит несжимаемую бутылку Клейна, которая не является π 1 -инъективной.

Однако, если S двусторонний, из теоремы о петле следует лемма Кнезера, что если S несжимаем, то это π 1 -инъективный.

Поверхности Зейферта

A Поверхность Зейферта S для ориентированного звена L представляет собой ориентированную поверхность, граница которой представляет собой L с той же индуцированной ориентацией. Если S не является π 1 инъективным в S - N (L), где N (L) является трубчатой ​​окрестностью L, то теорема петли дает сжимающий диск, который можно используйте для сжатия S вдоль, обеспечивая другую поверхность Зейферта меньшей сложности. Следовательно, существуют несжимаемые поверхности Зейферта.

Каждая поверхность Зейферта связи связана друг с другом посредством сжатия в том смысле, что отношение эквивалентности, генерируемое сжатием, имеет один класс эквивалентности. Обратное сжатие иногда называют операцией встроенной дуги (встроенная 0-операция).

Род зацепления - это минимальный род всех поверхностей Зейферта зацепления. Поверхность Зейферта минимального рода несжимаема. Однако, как правило, несжимаемая поверхность Зейферта имеет минимальный род, поэтому одно только π 1 не может подтвердить род связи. Габай доказал, в частности, что минимизирующая род поверхность Зейферта является слоем некоторого натянутого трансверсально ориентированного слоения узлового дополнения, которое может быть удостоверено натянутым.

Дана несжимаемая поверхность Зейферта S для узла K, тогда фундаментальная группа в S - N (K) расщепляется как расширение HNN над π 1 (S), которая является свободной группой. Две карты из π 1 (S) в π 1 (S - N (S)), заданные смещением петель с поверхности к положительной или отрицательной стороне N (S) оба инъекции.

См. Также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-23 13:06:53
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте