Альфапедия

Разделы математики

редактировать
Группировка по предметам математики

Математика включает в себя все большее разнообразие и глубину предметов на протяжении истории, а понимание требует системы для категоризации и систематизации многих предметов в более общие области математики . Возникло множество различных схем классификации, и, хотя они имеют некоторые общие черты, есть различия, частично обусловленные разными целями, которым они служат. Кроме того, как математика трудна для некоторых предметов, часто наиболее активных, которые колеблются между границами между различными областями.

Традиционное разделение математики на чистую математику, математику, изучаемую из-за присущего ей интереса, и прикладную математику, математику, которая может быть непосредственно применена в реальном мире. проблемы. Это разделение не всегда ясно, и многие предметы были разработаны как чистая математика, чтобы впоследствии найти неожиданные приложения. В последнее время появились широкие подразделения, такие как дискретная математика и вычислительная математика.

Идеальная система классификации позволяет добавлять новые области в организацию предыдущих знаний и вписывать в схему удивительные открытия и неожиданные взаимодействия. Например, программа Ленглендса обнаружила неожиданные связи между областями, ранее считавшимися несвязанными, по крайней мере, группами Галуа, римановыми поверхностями и теорией чисел.

Содержание
  • 1 Системы классификации
  • 2 Основные разделы математики
    • 2.1 Чистая математика
      • 2.1.1 Основы
      • 2.1.2 Теория чисел
      • 2.1.3 Алгебра
      • 2.1.4 Комбинаторика
      • 2.1.5 Геометрия
      • 2.1.6 Топология
      • 2.1.7 Математический анализ
    • 2.2 Прикладная математика
      • 2.2.1 Вероятность и статистика
      • 2.2.2 Вычислительные науки
      • 2.2. 3 Математическая физика
      • 2.2.4 Другая прикладная математика
  • 3 См. Также
  • 4 Примечания
  • 5 Внешние ссылки
Системы классификации
Основные разделы математики

Чистая математика

Основы
включая теорию множеств и математическую логику

Математики всегда работали с логикой и символы, но на протяжении веков основные законы логики считались само собой разумеющимися и никогда не выражались символически. Математическая логика, также известная как символическая логика, была разработана, когда люди наконец поняли, что инструменты математики можно использовать для изучения структуры самой логики. Области исследований в этой области быстро расширились и обычно подразделяются на несколько отдельных подполей.

Теория доказательств и конструктивная математика
Теория доказательств выросла из амбициозной программы Дэвида Гильберта по формализации всех доказательств в математике. Самый известный результат в этой области заключен в теоремах Гёделя о неполноте. Тесно связанной и теперь довольно популярной концепцией является идея машины Тьюринга. Конструктивизм является результатом неортодоксального взгляда Брауэра на природу самой логики; конструктивно говоря, математики не могут утверждать: «Либо круг круглый, либо нет», пока они не покажут круг и не измерит его округлость.
Теория моделей
Теория моделей изучает математические структуры в общие рамки. Его главный инструмент - логика первого порядка..
Теория множеств
A множество можно рассматривать как совокупность различных вещей, объединенных некоторой общей чертой. Теория множеств подразделяется на три основных направления. Наивная теория множеств - это первоначальная теория множеств, разработанная математиками в конце XIX века. Аксиоматическая теория множеств - это строгая аксиоматическая теория, разработанная в ответ на обнаружение серьезных недостатков (таких как парадокс Рассела ) в наивной теории множеств. Он рассматривает множества как «все, что удовлетворяет аксиомам», а понятие совокупностей вещей служит только мотивацией для аксиом. Теория внутренних множеств - это аксиоматическое расширение теории множеств, которое поддерживает логически непротиворечивую идентификацию неограниченных (чрезвычайно больших) и бесконечно малых (невообразимо малых) элементов в пределах действительных чисел. См. Также Список тем теории множеств.
История и биография

История математики неразрывно связана с самим предметом. Это совершенно естественно: математика имеет внутреннюю органическую структуру, которая выводит новые теоремы из уже существующих. По мере того как каждое новое поколение математиков опирается на достижения своих предков, сам предмет расширяется и вырастает новые слои, как лук.

Развлекательная математика

От магических квадратов до множества Мандельброта числа на протяжении веков были источником развлечения и удовольствия для миллионов людей. Многие важные разделы «серьезной» математики уходят корнями в то, что когда-то было простой головоломкой и / или игрой.

Теория чисел

Теория чисел - это изучение чисел и свойств операций между ними. Теория чисел традиционно занимается свойствами целых чисел, но в последнее время она стала заниматься более широкими классами проблем, которые естественным образом возникли в результате изучения целых чисел.

Арифметика
Элементарная часть теории чисел, которая в первую очередь фокусируется на изучении натуральных чисел, целых, дробей и десятичных знаков., а также свойства традиционных операций над ними: сложение, вычитание, умножение и деление. Вплоть до XIX века арифметика и теория чисел были синонимами, но развитие и рост этой области привели к тому, что арифметика относилась только к элементарной ветви теории чисел.
Элементарная теория чисел
Изучение целых чисел на более высоком уровне, чем арифметика, где термин «элементарный» здесь относится к тому факту, что не используются никакие методы из других математических областей.
Аналитическая теория чисел
Исчисление и комплексный анализ используются как инструменты для изучения целых чисел.
Теория алгебраических чисел
Для изучения целых чисел используются методы абстрактной алгебры, а также алгебраические числа, корни многочленов с целыми коэффициентами.
Другие подполя теории чисел
Геометрическая теория чисел ; комбинаторная теория чисел ; теория трансцендентных чисел ; и вычислительная теория чисел. См. Также список тем теории чисел.

Алгебра

Изучение структуры начинается с чисел, сначала знакомых натуральных чисел и целые числа и их арифметические операции, которые записаны в элементарной алгебре. Более глубокие свойства этих чисел изучаются в теории чисел. Исследование методов решения уравнений приводит к области абстрактной алгебры, которая, помимо прочего, изучает кольца и поля, структуры, обобщающие свойства, которыми обладают по бытовым номерам. Давние вопросы о конструкциях циркуля и линейки были окончательно разрешены теорией Галуа. Физически важная концепция векторов, обобщенных на векторные пространства, изучается в линейной алгебре. Общие для всех видов алгебраических структур темы изучаются в универсальной алгебре.

Теория порядка
Для любых двух различных действительных чисел одно должно быть больше другого. Теория порядка распространяет эту идею на множества в целом. Он включает такие понятия, как решетки и упорядоченные алгебраические структуры. См. Также глоссарий теории порядка и список тем порядка.
Общие алгебраические системы
Учитывая набор, различные способы объединения или связывания элементов этого набора можно определить. Если они подчиняются определенным правилам, то образуется определенная алгебраическая структура. Универсальная алгебра представляет собой более формальное исследование этих структур и систем.
Теория поля и многочлены
Теория поля изучает свойства полей. Поле - это математическая сущность, для которой сложение, вычитание, умножение и деление четко определены. Полином - это выражение, в котором константы и переменные комбинируются с использованием только сложения, вычитания и умножения.
Коммутативные кольца и алгебры
В теории колец ветвь абстрактной алгебры коммутативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения подчиняется закону коммутативности. Это означает, что если a и b - любые элементы кольца, то a × b = b × a. Коммутативная алгебра - это область изучения коммутативных колец и их идеалов, модулей и алгебр. Он является основополагающим как для алгебраической геометрии, так и для алгебраической теории чисел. Наиболее яркими примерами коммутативных колец являются кольца многочленов.

Комбинаторика

Комбинаторика - это изучение конечных или дискретных наборов объектов, удовлетворяющих заданным критериям. В частности, это касается «подсчета» объектов в этих коллекциях (перечислительная комбинаторика ) и принятия решения о том, существуют ли определенные «оптимальные» объекты (экстремальная комбинаторика ). Он включает теорию графов, используемую для описания взаимосвязанных объектов (граф в этом смысле - это сеть или совокупность связанных точек). См. Также список тем комбинаторики, список тем теории графов и глоссарий теории графов. Комбинаторный оттенок присутствует во многих частях решения проблем.

Геометрии

Геометрия имеет дело с пространственными отношениями с использованием фундаментальных качеств или аксиом. Такие аксиомы можно использовать в сочетании с математическими определениями для точек, прямых, кривых, поверхностей и твердых тел, чтобы сделать логические выводы.. См. Также Список тем по геометрии.

Выпуклая геометрия
Включает изучение таких объектов, как многогранники и многогранники. См. Также Список тем о выпуклости.
Дискретная геометрия и комбинаторная геометрия
Изучение геометрических объектов и свойств, которые являются дискретными или комбинаторными либо по своей природе, либо по их представлению. Он включает в себя изучение таких форм, как Платоновы тела и понятие тесселяции.
Дифференциальная геометрия
Изучение геометрии с помощью исчисления. Это очень тесно связано с дифференциальной топологией. Охватывает такие области, как риманова геометрия, кривизна и дифференциальная геометрия кривых. См. Также глоссарий дифференциальной геометрии и топологии.
Алгебраическая геометрия
Учитывая многочлен двух вещественных переменных, точки на плоскости, где эта функция равна нулю образует кривую. Алгебраическая кривая расширяет это понятие до полиномов над полем с заданным числом переменных. Алгебраическая геометрия может рассматриваться как изучение этих кривых. См. Также список тем по алгебраической геометрии и список алгебраических поверхностей.
Арифметическая геометрия
Изучение схем конечного типа по спектру кольца целых чисел. Альтернативно определяется как применение методов алгебраической геометрии к задачам в теории чисел.
диофантовой геометрии
Изучение точек алгебраических многообразий с координатами в полях, которые не являются алгебраически замкнутыми и встречаются в теории алгебраических чисел, например, поле рациональных чисел, числовых полей, конечные поля, функциональные поля и p-адические поля, но не включая вещественные числа.
вещественная алгебраическая геометрия
Изучение полуалгебраические множества, т.е. решения в виде вещественных чисел алгебраических неравенств с коэффициентами действительных чисел и сопоставления между ними.

Топология

Имеет дело со свойствами фигуры которые не меняются при постоянной деформации фигуры. Основными областями являются точечная топология (или общая топология ), алгебраическая топология и топология многообразий, определенная ниже.

Общая топология
Также называется топологией набора точек. Свойства топологических пространств. Включает такие понятия, как open и closed устанавливает, компактные пространства, непрерывные функции, сходимость, аксиомы разделения, метрические пространства, теория размерностей. См. Также глоссарий общей топологии и список тем общей топологии.
Алгебраическая топология
Свойства алгебраических объектов, связанных с топологическим пространством, и то, как эти алгебраические объекты отражают свойства таких пространств. (Некоторые из этих алгебраических объектов являются примерами функторов.) Содержит такие области, как теория гомологии, теория когомологий, теория гомотопии и гомологическая алгебра. Гомотопия имеет дело с гомотопическими группами (включая фундаментальную группу ), а также с симплициальными комплексами и комплексами CW (также называемыми клеточными комплексами). См. Также список тем по алгебраической топологии.
Дифференциальная топология
Поле, имеющее дело с дифференцируемыми функциями на дифференцируемых многообразиях, которые можно рассматривать как n- мерное обобщение поверхности в обычном 3-мерном евклидовом пространстве.

математический анализ

В мире математики анализ - это отрасль, которая фокусируется на изменении: скорость изменения, накопленное изменение и несколько вещей, изменяющихся относительно (или независимо) друг от друга.

Современный анализ - это обширная и быстро развивающаяся отрасль математики, которая затрагивает почти все остальные подразделения дисциплины, находя прямое и косвенное применение в таких разнообразных темах, как теория чисел, криптография и абстрактная алгебра. Это также язык самой науки и используется в химии, биологии и физике, от астрофизики до X -лучевая кристаллография.

Прикладная математика

Вероятность и статистика

Вычислительные науки

Численный анализ
Многие задачи в математике не могут быть решены точно. Численный анализ - это исследование итерационных методов и алгоритмов для приближенного решения проблем с заданной границей погрешности. Включает численное дифференцирование, численное интегрирование и численные методы ; c.f. научные вычисления. См. Также Список тем численного анализа.
Компьютерная алгебра
Эта область также называется символьными вычислениями или алгебраическими вычислениями . Он имеет дело с точными вычислениями, например, с целыми числами произвольного размера, многочленами или элементами конечных полей. Он также включает вычисления с нечисловыми математическими объектами, такими как полиномиальные идеалы или ряды.

Математическая физика

Классическая механика
Адресация и описание движения макроскопических объектов, от снарядов до частей машин, а также астрономические объекты, такие как космические корабли, планеты, звезды и галактики..
Механика конструкций
Механика конструкций - это область исследований в рамках прикладной механики, которая исследует поведение конструкций при механических нагрузках, таких как изгиб балки, продольное изгибание колонны, кручение. вала, прогиб тонкой оболочки и вибрация моста.
Механика деформируемого твердого тела
Большинство реальных объектов не являются точечными или совершенно твердыми. Что еще более важно, объекты меняют форму под действием силы. Этот предмет очень сильно перекликается с механикой сплошной среды, которая занимается сплошной материей. Он имеет дело с такими понятиями, как напряжение, деформация и эластичность.
Механика жидкости
Жидкости в этом смысле включает не только жидкости, но протекающие газы и даже твердые частицы в определенных ситуациях. (Например, сухой песок может вести себя как жидкость). Он включает такие понятия, как вязкость, турбулентный поток и ламинарный поток (его противоположность).
Механика частиц
В математике a Частица представляет собой точечный, совершенно жесткий, твердый объект. Механика элементарных частиц имеет дело с результатами воздействия на частицы сил. Он включает в себя небесную механику - изучение движения небесных объектов.

Другая прикладная математика

См. Также
Примечания
Внешние ссылки
Последняя правка сделана 2021-06-12 01:48:22
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте