Комплекс CW

редактировать

A Комплекс CW - это своего рода топологическое пространство, которое особенно важно в алгебраической топология. Он был введен Дж. Х. К. Уайтхед для удовлетворения потребностей теории гомотопии. Этот класс пространств шире и имеет некоторые лучшие категориальные свойства, чем симплициальные комплексы, но все же сохраняет комбинаторный характер, который позволяет выполнять вычисления (часто с гораздо меньшими комплексами). C означает «конечное замыкание», а W - «слабая» топология.

CW-комплекс может быть определен индуктивно.

0-мерный CW-комплекс - это просто набор из нуля или более дискретные точки (с дискретной топологией ).
1-мерный комплекс CW строится путем взятия несвязного объединения 0-мерного комплекса CW с одной или несколькими копиями блока интервал. Для каждой копии существует карта, которая "приклеивает " ее границу (две конечные точки) к элементам 0-мерного комплекса (точкам). Топология комплекса CW является фактор-пространство, определенное этими склеивающими отображениями.
В общем, n-мерный CW-комплекс строится путем взятия дизъюнктного объединения k-мерного CW-комплекса (для некоторого k n-мерного шара. Для каждой копии существует карта, которая «приклеивает » свою границу (n-1-мерную сферу ) к элементов (n-1) -мерного комплекса. Топология CW-комплекса - это частное Ent-пространство, определенное этими склеивающими картами.
Бесконечномерный комплекс CW можно построить, повторяя вышеуказанный процесс счетное число раз.

В n-мерном комплексе CW для любого k ≤ n, k-ячейка - это внутренность k-мерного шара, добавленного на k-м шаге. K-скелет комплекса - это объединение всех его k-клеток.

Содержание

1 Примеры
- 1.1 Одномерные CW-комплексы
- 1.2 Многомерные CW-комплексы
- 1.3 Не CW-комплексы
2 Состав
- 2.1 Регулярные CW-комплексы
- 2.2 Относительные комплексы CW
3 Индуктивное построение комплексов CW
4 Гомология и когомология комплексов CW
5 Модификация структур CW
6 'Гомотопическая категория
7 Свойства
8 См. Также
9 Ссылки
- 9.1 Примечания
- 9.2 Общие ссылки

Примеры

Как упоминалось выше, каждый набор дискретных точек представляет собой комплекс CW (размерности 0).

1-мерные CW-комплексы

Некоторые примеры одномерных CW-комплексов:

Интервал . Его можно построить из двух точек (x и y) и одномерного шара B (промежутка), так что одна конечная точка B приклеена к x, а другая к y. Две точки x и y являются 0-ячейками; внутренность B является 1-ячейкой. Как вариант, он может быть построен только из одного интервала без 0-ячеек.
Круг . Его можно построить из единственной точки x и одномерного шара B, так что оба конца B приклеены к x. В качестве альтернативы его можно построить из двух точек x и y и двух одномерных шаров A и B, так что концы A приклеены к x и y, а концы B приклеены к x и y.
A граф. Это одномерный комплекс CW, в котором 0-клетки являются вершинами, а 1-клетки - ребрами. Концы каждого ребра отождествляются со смежными с ним вершинами.
- 3-регулярные графы можно рассматривать как общие одномерные CW-комплексы. В частности, если X является одномерным комплексом CW, присоединяющая карта для 1-ячейки - это карта из двухточечного пространства в X, $f: {0, 1} → X {\ displaystyle f: \ {0,1 \} \ к X}$ $f: \ {0,1 \} \ to X$ . Эту карту можно изменить так, чтобы она не пересекалась с 0-скелетом X тогда и только тогда, когда $f (0) {\ displaystyle f (0)}$ $f (0)$ и $f (1) {\ displaystyle f (1)}$ $f(1)$ не являются вершинами с нулевой валентностью X.
Стандартная структура CW на вещественных числах имеет в качестве 0-скелета целые числа $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z }}$ $\ mathbb {Z}$ и как 1-ячейки интервалы ${[n, n + 1]: n ∈ Z} {\ displaystyle \ {[n, n + 1]: n \ in \ mathbb { Z} \}}$ $\ {[n, n + 1]: n \ in \ mathbb {Z} \}$ . Точно так же стандартная структура CW на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ имеет кубические ячейки, которые являются произведением ячеек 0 и 1 из $R { \ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Это стандартная структура ячеек кубической решетки на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Многомерные CW-комплексы

Некоторые примеры многомерных комплексов CW являются:

n-мерная сфера. Он допускает структуру CW с двумя ячейками, одной 0-ячейкой и одной n-ячейкой. Здесь n-ячейка $D n {\ displaystyle D ^ {n}}$ ${\ displaystyle D ^ {n}}$ прикреплена с помощью постоянного отображения от ее границы $S n - 1 {\ displaystyle S ^ {n-1 }}$ $S ^ {{n-1}}$ в единственную нулевую ячейку. Альтернативная клеточная декомпозиция имеет одну (n-1) -мерную сферу («экватор ») и две n-клетки, которые прикреплены к ней («верхняя полусфера» и «нижняя полусфера». сфера »). Индуктивно это дает $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ CW-разложение с двумя ячейками в каждом измерении k, такое что $0 ≤ k ≤ n {\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$ $0 \ leq k \ leq n$ .
n-мерное действительное проективное пространство. Оно допускает структуру CW с одной ячейкой в каждом измерении.

Терминология для общего 2-мерного комплекса CW теневой .
A многогранник естественно является CW-комплексом.
Грассмановы многообразия допускают CW-структуру, называемую клетками Шуберта .
Дифференцируемые многообразия, алгебраические и проективные разновидностей имеют комплексы CW гомотопического типа.
одноточечная компактификация каспированного гиперболического многообразия имеет каноническое CW-разложение только одна 0-ячейка (точка компактификации), называемая разложением Эпштейна-Пеннера . Такие клеточные разложения часто называют идеальными полиэдральными разложениями и используются в популярном компьютерном программном обеспечении, таком как SnapPea.

Non CW-комплексы

Бесконечномерное гильбертово пространство не является комплексом CW: это пространство Бэра и поэтому не может быть записано как счетное объединение n-скелетов, каждый из которых является замкнутым множеством с пустым внутренним пространством. Этот аргумент распространяется на многие другие бесконечномерные пространства.
Пространство ${re 2 π i θ: 0 ≤ r ≤ 1, θ ∈ Q} ⊂ C {\ displaystyle \ {re ^ {2 \ pi i \ theta}: 0 \ leq r \ leq 1, \ theta \ in \ mathbb {Q} \} \ subset \ mathbb {C}}$ $\ {re ^ { 2 \ pi i \ theta}: 0 \ leq r \ leq 1, \ theta \ in \ mathbb {Q} \} \ subset \ mathbb {C}$ имеет гомотопический тип комплекса CW ( оно стягиваемо), но оно не допускает CW-разложения, поскольку не локально стягиваемое.
Гавайская серьга является примером топологического пространства, которое не имеет гомотопического типа комплекс CW.

Состав

Грубо говоря, комплекс CW состоит из основных строительных блоков, называемых клетками. Точное определение предписывает, как клетки могут быть склеены вместе топологически.

n-мерная замкнутая ячейка - это изображение n-мерного замкнутого шара под присоединенной картой. Например, симплекс является замкнутой ячейкой, а в более общем плане выпуклый многогранник является замкнутой ячейкой. N-мерная открытая клетка - это топологическое пространство, гомеоморфное n-мерному открытому шару. 0-мерная открытая (и закрытая) ячейка - это одноэлементное пространство . Конечное замыкание означает, что каждая закрытая ячейка покрыта конечным объединением открытых ячеек (или встречается только с конечным числом других ячеек).

CW-комплекс - это хаусдорфово пространство X вместе с разбиением X на открытые ячейки (возможно, различной размерности), которое удовлетворяет двум дополнительным свойствам:

Для каждой n-мерной открытой клетки C в разбиении X существует непрерывное отображение f из n-мерного замкнутого шара в X такое, что
- ограничение f на внутреннюю часть замкнутого шара является гомеоморфизмом на ячейку C, а
- образ границы замкнутого шара содержится в объединении конечного числа элементы раздела, каждый из которых имеет размер ячейки меньше n.
Подмножество X является закрытым тогда и только тогда, когда оно встречает замыкание каждой ячейки в замкнутом множестве.

Регулярные комплексы CW

CW-комплекс называется регулярным, если для каждой n-мерной открытой клетки C в разбиении X непрерывное отображение f из n-мерного замкнутого шара в X является гомеоморфизм на замыкание ячейки C.

Re родственные комплексы CW

Грубо говоря, относительный комплекс CW отличается от комплекса CW тем, что мы позволяем ему иметь один дополнительный строительный блок, который не обязательно имеет ячеистую структуру. Этот дополнительный блок можно рассматривать как (-1) -мерную ячейку в предыдущем определении.

Индуктивное построение комплексов CW

Если наибольшее измерение любой из ячеек равно n, тогда говорят, что комплекс CW имеет размерность n. Если размер ячейки не привязан, то она называется бесконечномерной. n-скелет комплекса CW - это объединение ячеек, размерность которых не превышает n. Если объединение набора клеток замкнуто, то это объединение само является комплексом CW, называемым подкомплексом. Таким образом, n-скелет - это самый большой подкомплекс размерности n или меньше.

Комплекс CW часто конструируется индуктивным определением его скелета путем «присоединения» клеток возрастающей размерности. Под «присоединением» n-ячейки к топологическому пространству X одно означает смежное пространство $B ∪ f X {\ displaystyle B \ cup _ {f} X }$ ${\ displaystyle B \ cup _ {f} X}$ где f - непрерывное отображение из границы замкнутого n-мерного шара $B ⊂ R n {\ displaystyle B \ subset R ^ {n}}$ ${\ displaystyle B \ subset R ^ {n}}$ в X. Чтобы построить комплекс CW, начните с 0-мерного комплекса CW, то есть дискретного пространства $X 0 {\ displaystyle X_ {0}}$ ${\ displaystyle X_ {0}}$ . Прикрепите 1-ячейки к $X 0 {\ displaystyle X_ {0}}$ $X_{0}$ , чтобы получить одномерный комплекс CW $X 1 {\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ . Присоедините 2 ячейки к $X 1 {\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ , чтобы получить двумерный комплекс CW $X 2 {\ displaystyle X_ {2}}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ . Продолжая таким образом, мы получаем вложенную последовательность комплексов CW $X 0 ⊂ X 1 ⊂ ⋯ X n ⊂ ⋯ {\ displaystyle X_ {0} \ subset X_ {1} \ subset \ cdots X_ {n} \ subset \ cdots}$ ${\ displaystyle X_ {0} \ subset X_ {1} \ subset \ cdots X_ {n} \ subset \ cdots}$ увеличивающейся размерности, так что если $i ≤ j {\ displaystyle i \ leq j}$ ${\ displaystyle i \ leq j }$ , то $X i {\ displaystyle X_ {i}}$ $X_ {i}$ является i-скелетом $X j {\ displaystyle X_ {j}}$ $X_ {j}$ .

С точностью до изоморфизма каждый n-мерный комплекс CW может быть получен из его (n - 1) -скелета путем присоединения n-клеток, и, следовательно, любой конечномерный комплекс CW может быть построен описанным выше процессом. Это верно даже для бесконечномерных комплексов, с пониманием того, что результатом бесконечного процесса является прямой предел скелета: множество замкнуто в X тогда и только тогда, когда оно встречается с каждым скелетом в закрытый комплект.

Гомологии и когомологии комплексов CW

Сингулярные гомологии и когомологии комплексов CW легко вычислить с помощью клеточной гомологии. Более того, в категории комплексов CW и клеточных карт клеточная гомология может быть интерпретирована как теория гомологии. Для вычисления теории экстраординарной (со) гомологии для комплекса CW, спектральная последовательность Атья-Хирцебруха является аналогом клеточной гомологии.

. Некоторые примеры:

Для сферы $S n, {\ displaystyle S ^ {n},}$ ${\ displaystyle S ^ {n},}$ возьмем разложение ячеек на две ячейки: одну 0-ячейку и одну N-ячейку. Клеточная гомология цепной комплекс $C ∗ {\ displaystyle C _ {*}}$ $C _ {*}$ и гомология задаются формулой

C k = {Z k ∈ {0, n } 0 К ∉ {0, n} ЧАС К знак равно {Z k ∈ {0, n} 0 К ∉ {0, n} {\ displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} k \ в \ {0, n \} \\ 0 k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}} \ quad H_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} k \ in \ {0, n \} \\ 0 k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}}}

{\ displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} k \ in \ {0, n \} \\ 0 k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}} \ quad H_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} k \ in \ {0, n \} \\ 0 k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}}}

, поскольку все дифференциалы равны нулю.

В качестве альтернативы, если мы используем экваториальное разложение с двумя ячейками в каждом измерении

C k = {Z 2 0 ⩽ k ⩽ n 0 в противном случае {\ displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} ^ {2} 0 \ leqslant k \ leqslant n \\ 0 { \ text {else}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} ^ {2} 0 \ leqslant k \ leqslant n \\ 0 {\ text {else}} \ end {cases}}}

, а дифференциалы - это матрицы вида

(1 - 1 1 - 1). {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 -1 \\ 1 -1 \ end {smallmatrix}} \ right).}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 -1 \\ 1 -1 \ end {smallmatrix}} \ right).}

Это дает то же вычисление гомологии, что и выше, поскольку цепной комплекс точно во всех условиях, кроме

C 0 {\ displaystyle C_ {0}}

C_ {0}

C n. {\ displaystyle C_ {n}.}

C_ {n}.

Для $P n (C) {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ ma thbb {P} ^ {n} (\ mathbb {C})}$ получаем аналогично

ЧАС К (P n (C)) = {Z 0 ⩽ k ⩽ 2 n, даже 0 в противном случае {\ displaystyle H ^ {k} \ left (\ mathbb {P} ^ {n} (\ mathbb {C }) \ right) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} 0 \ leqslant k \ leqslant 2n, {\ text {even}} \\ 0 {\ text {else}} \ end {ases}}}

{\ displaystyle H ^ {k} \ left (\ mathbb {P} ^ {n} (\ mathbb {C}) \ right) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} 0 \ leqslant k \ leqslant 2n, {\ text {even}} \\ 0 {\ text {else}} \ end {cases}}}

Оба приведенных выше примера особенно просты, потому что гомология определяется количеством ячеек, то есть: карты прикрепления ячеек не играют никакой роли в этих вычислениях. Это очень особенное явление, не имеющее отношения к общему случаю.

Модификация структур CW

Существует методика, разработанная Уайтхедом, для замены комплекса CW гомотопически-эквивалентным комплексом CW, который имеет более простое разложение CW.

Рассмотрим, например, произвольный комплекс CW. Его 1-скелет может быть довольно сложным, так как он представляет собой произвольный граф . Теперь рассмотрим максимальный лес F в этом графе. Поскольку это набор деревьев, а деревья стягиваемы, рассмотрим пространство $X / ∼ {\ displaystyle X / \ sim}$ $X / \ sim$ , где отношение эквивалентности порождается $x ∼ y { \ displaystyle x \ sim y}$ $x \ sim y$ , если они содержатся в общем дереве в максимальном лесу F. Факторное отображение $X → X / ∼ {\ displaystyle X \ to X / \ sim}$ $X \ to X / \ sim$ - гомотопическая эквивалентность. Кроме того, $X / ∼ {\ displaystyle X / \ sim}$ $X / \ sim$ естественным образом наследует структуру CW с ячейками, соответствующими ячейкам $X {\ displaystyle X}$ $X$ которые не содержатся в F. В частности, 1-скелет $X / ∼ {\ displaystyle X / \ sim}$ $X / \ sim$ представляет собой несвязное объединение клиньев окружностей.

Другим способом заявить вышесказанное является то, что связанный комплекс CW может быть заменен гомотопически эквивалентным комплексом CW, 0-скелет которого состоит из одной точки.

Рассмотрите возможность подъема по лестнице связности - предположим, что X - односвязный комплекс CW, 0-скелет которого состоит из точки. Можем ли мы с помощью подходящих модификаций заменить X гомотопически эквивалентным комплексом CW, где $X 1 {\ displaystyle X ^ {1}}$ $Икс ^ {1}$ состоит из одной точки? Ответ положительный. Первый шаг - заметить, что $X 1 {\ displaystyle X ^ {1}}$ $Икс ^ {1}$ и прикрепляемые карты для построения $X 2 {\ displaystyle X ^ {2}}$ $X ^ {2}$ из $X 1 {\ displaystyle X ^ {1}}$ $Икс ^ {1}$ образуют групповую презентацию. Теорема Титце для групповых представлений утверждает, что существует последовательность движений, которые мы можем выполнить, чтобы свести это групповое представление к тривиальному представлению тривиальной группы. Есть два приема Титце:

1) Добавление / удаление генератора. Добавление генератора с точки зрения разложения CW состоит из добавления 1-ячейки и 2-ячейки, присоединяемая карта которых состоит из новой 1-ячейки, а оставшаяся часть присоединяемой карты находится в

X 1 {\ displaystyle X ^ {1}}

Икс ^ {1}

. Если мы позволим

X ~ {\ displaystyle {\ tilde {X}}}

{\ tilde {X}}

быть соответствующим комплексом CW,

X ~ = X ∪ e 1 ∪ e 2 {\ displaystyle {\ tilde { X}} = X \ cup e ^ {1} \ cup e ^ {2}}

{\ tilde { X}} = Икс \ чашка е ^ {1} \ чашка е ^ {2}

, тогда есть гомотопическая эквивалентность

X ~ → X {\ displaystyle {\ tilde {X}} \ to X}

{\ тильда {X}} \ к X

, заданный сдвигом новой 2-ячейки в X.

2) Добавление / удаление отношения. Акт добавления отношения аналогичен, только одно заменяет X на

X ~ = X ∪ e 2 ∪ e 3 {\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup e ^ {2} \ cup e ^ {3}}

{\ tilde {X}} = X \ cup e ^ {2} \ cup e ^ {3}

где новая 3-ячейка имеет присоединяющуюся карту, которая состоит из новой 2-ячейки и отображения остатка в

X 2 {\ displaystyle X ^ {2}}

X ^ {2}

. Аналогичный слайд дает гомотопическую эквивалентность

X ~ → X {\ displaystyle {\ tilde {X}} \ to X}

{\ тильда {X}} \ к X

Если CW комплекс X n-связен, можно найти гомотопически эквивалентный комплекс CW $X ~ {\ displaystyle {\ tilde {X}}}$ ${\ tilde {X}}$ чей n-скелет $X n {\ displaystyle X ^ {n}}$ $X ^ {n}$ состоит из одной точки. Аргумент для $n ≥ 2 {\ displaystyle n \ geq 2}$ $n \ geq 2$ аналогичен случаю $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , только один заменяет шаги Титце для представления фундаментальной группы элементарными матричными операциями для матриц представления для $H n (X; Z) {\ displaystyle H_ {n} (X; \ mathbb {Z})}$ $H_ {n} (X; \ mathbb {Z })$ (используя матрицы представления, происходящие из клеточной гомологии. то есть: аналогично можно реализовать элементарные матричные операции последовательностью добавления / удаления ячеек или подходящих гомотопий присоединяемых карт.

' 'гомотопическая категория

гомотопическая категория комплексов CW, по мнению некоторых экспертов, является лучшим, если не единственным кандидатом в гомотопическую категорию (по техническим причинам версия для заостренные пространства ). Вспомогательные конструкции, которые дают пространства, не являющиеся комплексами CW, должны использоваться при случае. Один из основных результатов состоит в том, что представимые функторы на гомотопической категории y имеют простую характеристику (теорема Брауна о представимости).

Свойства

CW-комплексы локально стягиваемы.
CW-комплексы удовлетворяют теореме Уайтхеда : отображение между CW-комплексами является гомотопически эквивалентным тогда и только тогда, когда оно индуцирует изоморфизм на всех гомотопических группах.
Произведение двух комплексов CW может быть превращено в комплекс CW. В частности, если X и Y являются комплексами CW, то можно сформировать комплекс CW X × Y, в котором каждая ячейка является произведением ячейки в X и ячейки в Y, наделенной слабой топологией. Тогда базовый набор X × Y является декартовым произведением X и Y, как и ожидалось. Кроме того, слабая топология на этом множестве часто согласуется с более известной топологией продукта на X × Y, например, если X или Y конечны. Однако слабая топология может быть более тонкой, чем топология продукта, например, если ни X, ни Y не являются локально компактными. В этом неблагоприятном случае произведение X × Y в топологии продукта не является комплексом CW. С другой стороны, произведение X и Y в категории компактно порожденных пространств согласуется со слабой топологией и, следовательно, определяет CW-комплекс.
Пусть X и Y - CW-комплексы. Тогда функциональные пространства Hom (X, Y) (с компактно-открытой топологией ), вообще говоря, не являются CW-комплексами. Если X конечно, то Hom (X, Y) гомотопически эквивалентен комплексу CW по теореме Джона Милнора (1959). Обратите внимание, что X и Y являются компактно порожденными хаусдорфовыми пространствами, поэтому Hom (X, Y) часто берется с компактно порожденным вариантом компактно-открытой топологии; вышеприведенные утверждения остаются верными.
A покрывающее пространство комплекса CW также является комплексом CW.
Комплексы CW являются паракомпактными. Конечные комплексы CW компактны. Компактное подпространство CW-комплекса всегда содержится в конечном подкомплексе.

См. Также

Абстрактный клеточный комплекс
Понятие CW-комплекса адаптировано к гладким многообразиям и называется обрабатывать декомпозицию, которая тесно связана с теорией хирургии.

Ссылки