Поле алгебраической функции

редактировать

Конечно сгенерированное поле расширения с положительной степенью трансцендентности

В математике, поле алгебраических функций (часто сокращенно функциональное поле ) из n переменных над полем k представляет собой конечно сгенерированное расширение поля K / k, которое имеет степень превосходства n над k. Эквивалентно, поле алгебраических функций n переменных над k может быть определено как расширение конечного поля поля K = k (x 1,..., x n) рациональных функций от n переменных над k.

Содержание

1 Пример
2 Структура категорий
3 Функциональные поля, возникающие из разновидностей, кривых и римановых поверхностей
4 Числовые поля и конечные поля
5 Поле констант
6 Оценки и помещает
7 См. также
8 Ссылки

Пример

В качестве примера в кольце многочленов k [X, Y] рассмотрим идеал, порожденный неприводимым многочленом Y - X, и образуют поле дробей кольца частных k [X, Y] / (Y - X). Это функциональное поле одной переменной над k; его также можно записать как $k (X) (X 3) {\ displaystyle k (X) ({\ sqrt {X ^ {3}}})}$ $k (X) ({\ sqrt {X ^ {3}}})$ (со степенью 2 больше $К (Икс) {\ displaystyle k (X)}$ $k (X)$ ) или как $k (Y) (Y 2 3) {\ displaystyle k (Y) ({\ sqrt [{3} ] {Y ^ {2}}})}$ $k (Y) ({\ sqrt [{3} ] {Y ^ {2}}})$ (со степенью 3 больше $k (Y) {\ displaystyle k (Y)}$ $k (Y)$ ). Мы видим, что степень поля алгебраических функций не является четко определенным понятием.

Структура категории

Поля алгебраических функций над k образуют категорию ; морфизмы из функционального поля K в L - это кольцевые гомоморфизмы f: K → L с f (a) = a для всех a в k. Все эти морфизмы инъективны. Если K - функциональное поле над k от n переменных, а L - функциональное поле от m переменных и n>m, то не существует морфизмов из K в L.

Функциональные поля, возникающие из многообразий, кривых и римановы поверхности

Функциональное поле алгебраического многообразия размерности n над k является полем алгебраических функций от n переменных над k. Две разновидности бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны. (Но обратите внимание, что не- изоморфные многообразия могут иметь одно и то же функциональное поле!) Присвоение каждому многообразию его функционального поля дает двойственность (контравариантную эквивалентность) между категорией многообразий над k ( с доминирующими рациональными отображениями как морфизмами) и категорией полей алгебраических функций над k. (Рассматриваемые здесь разновидности следует понимать в смысле схемы ; они не обязательно должны иметь какие-либо k-рациональные точки, как кривая X + Y + 1 = 0, определенная над вещественными числами, то есть с k = R .)

Случай n = 1 (неприводимые алгебраические кривые в смысле схемы ) особенно важен, поскольку каждое функциональное поле одна переменная над k возникает как функциональное поле однозначно определенной регулярной (т. е. неособой) проективной неприводимой алгебраической кривой над k. Фактически, функциональное поле порождает двойственность между категорией регулярных проективных неприводимых алгебраических кривых (с доминирующими регулярными отображениями как морфизмами) и категорией функциональных полей одной переменной над k.

Поле M (X) мероморфных функций, определенных на связанной римановой поверхности X, является функциональным полем одной переменной над комплексными числами C. Фактически, M порождает двойственность (контравариантную эквивалентность) между категорией компактных связных римановых поверхностей (с непостоянными голоморфными отображениями как морфизмами) и функциональными полями одной переменной над C . Аналогичное соответствие существует между компактно связанными поверхностями Клейна и функциональными полями в одной переменной над R.

числовыми полями и конечными полями

Аналогия с функциональным полем утверждает, что почти все теоремы о числовых полях имеют аналог для функциональных полей одной переменной над конечным полем, и эти аналоги часто легче доказать. (Например, см. Аналог для неприводимых многочленов над конечным полем.) В контексте этой аналогии как числовые поля, так и функциональные поля над конечными полями обычно называются «глобальными полями ».

Изучение функциональных полей над конечным полем имеет приложения в криптографии и кодах исправления ошибок. Например, функциональное поле эллиптической кривой над конечным полем (важный математический инструмент для криптографии с открытым ключом ) является алгебраическим функциональным полем.

Функциональные поля над полем рациональных чисел также играют важную роль при решении обратных задач Галуа.

Поле констант

Для любого поля алгебраических функций K над k, мы можем рассмотреть множество элементов K, которые являются алгебраическими над k. Эти элементы образуют поле, известное как поле констант поля алгебраических функций.

Например, C (x) - это функциональное поле одной переменной над R ; его поле констант - C.

Оценки и места

Ключевыми инструментами для изучения полей алгебраических функций являются абсолютные значения, оценки, места и их дополнения.

Учитывая поле алгебраических функций K / k одной переменной, мы определяем понятие оценочного кольца K / k: это подкольцо O кольца K, которое содержит k и отличается из k и K, и такое, что для любого x в K выполняется x ∈ O или x ∈ O. Каждое такое кольцо нормирования является кольцом дискретного нормирования, а его максимальный идеал называется местом K / k.

Дискретная оценка K / k - это сюръективная функция v: K → Z ∪ {∞} такая, что v (x) = ∞, если x = 0, v (xy) = v (x) + v (y) и v (x + y) ≥ min (v (x), v (y)) для всех x, y ∈ K и v (a) = 0 для всех a ∈ k \ {0}.

Существуют естественные взаимно однозначные соответствия между множеством оценочных колец K / k, множеством мест K / k и множеством дискретных оценок K / k. Этим множествам может быть дана естественная топологическая структура: пространство Зарисского – Римана группы K / k. В случае, когда k алгебраически замкнуто, пространство Зарисского-Римана для K / k является гладкой кривой над k, а K является полем функций этой кривой.