Проблема Плато

В математике, проблема Плато, чтобы показать существование минимальной поверхности с заданной границей, проблемами, поднятых Лагранжем в 1760 году, однако, он назван в честь Джозефа нагорья, который экспериментировал с мыльными пленками. Задача считается частью вариационного исчисления. Проблемы существования и регулярности являются частью геометрической теории меры.

• 1 История
• 2 В высших измерениях
• 3 Физические приложения
• 4 См. Также
• 5 ссылки

Были решены различные специализированные формы проблемы, но только в 1930 году общие решения были найдены в контексте отображений (погружений) независимо Джесси Дуглас и Тибор Радо. Их методы были совершенно разными; Работа Радо основывалась на предыдущей работе Рене Гарнье и действовала только для спрямляемых простых замкнутых кривых, тогда как Дуглас использовал совершенно новые идеи с его результатом, справедливым для произвольной простой замкнутой кривой. Оба полагались на настройку задач минимизации; Дуглас минимизировал теперь названный интеграл Дугласа, в то время как Радо минимизировал «энергию». В 1936 году Дуглас был награжден медалью Филдса за свои усилия.

Распространение проблемы на более высокие измерения (то есть для -мерных поверхностей в -мерном пространстве) оказывается гораздо более трудным для изучения. Более того, хотя решения исходной задачи всегда регулярны, оказывается, что решения расширенной задачи могут иметь особенности, если. В случае гиперповерхности, когда особенности возникают только при. Примером такого сингулярного решения проблемы Плато является конус Саймонса, конус над в, который был впервые описан Джимом Саймонсом и был показан как минимизатор площади Бомбьери, Де Джорджи и Джусти. Для решения расширенной задачи в некоторых частных случаях были разработаны теория периметров ( Де Джорджи ) для коразмерности 1 и теория выпрямляемых токов ( Федерер и Флеминг) для более высокой коразмерности. Теория гарантирует существование решений коразмерности 1, гладких вне замкнутого множества размерности Хаусдорфа. В случае высшей коразмерности Альмгрен доказал существование решений с сингулярным множеством размерностей не выше в своей теореме о регулярности. SX Chang, ученик Альмгрена, опирался на работу Альмгрена, чтобы показать, что особенности двумерной области, минимизирующие интегральные токи (в произвольной коразмерности), образуют конечное дискретное множество. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle к \ Leq п-2}$ ${\ Displaystyle к = п-1}$${\ Displaystyle п \ geq 8}$ ${\ displaystyle S ^ {3} \ times S ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}}$ ${\ displaystyle n-8}$ ${\ displaystyle k-2}$

Аксиоматический подход Дженни Харрисон и Харрисон Пью рассматривает широкий спектр частных случаев. В частности, они решают проблему анизотропного Плато в произвольной размерности и коразмерности для любого набора спрямляемых множеств, удовлетворяющих комбинации общих гомологических, когомологических или гомотопических условий остовности. Другое доказательство результатов Харрисона-Пью было получено Камилло Де Леллисом, Франческо Гиральдином и Франческо Магги.

Физические мыльные пленки более точно моделируются минимальными наборами Фредерика Альмгрена, но отсутствие теоремы компактности затрудняет доказательство существования минимизатора площади. В этом контексте постоянно возникает открытый вопрос о существовании мыльной пленки с наименьшей площадью поверхности. Эрнст Роберт Райфенберг решил такую ​​«универсальную проблему Плато» для границ, гомеоморфных одиночным вложенным сферам. ${\ displaystyle (M, 0, \ Delta)}$

• Гипотеза о двойном пузыре
• Принцип Дирихле
• Законы Плато
• Метод растянутой сетки
• Проблема Бернштейна

• Дуглас, Джесси (1931). «Решение проблемы Плато». Пер. Амер. Математика. Soc. 33 (1): 263–321. DOI : 10.2307 / 1989472. JSTOR   1989472.
• Райфенберг, Эрнст Роберт (1960). «Решение проблемы Плато для m-мерных поверхностей переменного топологического типа». Acta Mathematica. 104 (2): 1–92. DOI : 10.1007 / bf02547186.
• Фоменко АТ (1989). Проблема плато: исторический обзор. Уиллистон, VT: Гордон и Брич. ISBN   978-2-88124-700-2.
• Морган, Фрэнк (2009). Геометрическая теория меры: руководство для начинающих. Академическая пресса. ISBN   978-0-12-374444-9.
• О'Нил, TC (2001) [1994], "Геометрическая теория меры", Энциклопедия математики, EMS Press
• Радо, Тибор (1930). «О проблеме Плато». Аня. математики. 2. 31 (3): 457–469. DOI : 10.2307 / 1968237. JSTOR   1968237.
• Струве, Майкл (1989). Проблема Плато и вариационное исчисление. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN   978-0-691-08510-4.
• Альмгрен, Фредерик (1966). Проблема Плато, приглашение к варифолдной геометрии. Нью-Йорк-Амстердам: Бенджамин. ISBN   978-0-821-82747-5.

• Харрисон, Дженни; Пью, Харрисон (2016). «Открытые задачи математики (проблема Плато)». Springer. arXiv : 1506.05408. DOI : 10.1007 / 978-3-319-32162-2. ISBN   978-3-319-32160-8. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

Эта статья включает материал из проблемы Плато о PlanetMath, которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.