Метод растянутой сетки

Метод растянутой сетки ( SGM) - это численный метод поиска приближенных решений различных математических и инженерных задач, которые могут быть связаны с поведением упругой сетки. В частности, метеорологи используют метод растянутой сетки для прогнозирования погоды, а инженеры используют метод растянутой сетки для проектирования палаток и других натяжных конструкций.

• 1 Уточнение сетки МКЭ и БЭМ
• 2 Решение задачи с минимальной поверхностью
• 3 Обнаружение форм натяжных тканевых конструкций
• 4 Проблема разворачивания и создание схемы раскроя
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

В последние десятилетия методы конечных элементов и граничных элементов (МКЭ и БЭМ) стали основой промышленного инженерного проектирования и анализа. Все более крупные и сложные конструкции моделируются с помощью МКЭ или БЭМ. Однако некоторые проблемы инженерного анализа МКЭ и БЭМ все еще остаются актуальными. Первая проблема - надежность инженерного анализа, которая сильно зависит от качества исходных данных, генерируемых на этапе предварительной обработки. Известно, что методы автоматического создания сетки элементов на этом этапе стали широко используемыми инструментами для анализа сложных реальных моделей. С ростом популярности МКЭ и БЭМ появляется стимул для улучшения алгоритмов автоматического построения сетки. Однако все эти алгоритмы могут создавать искаженные и даже непригодные для использования элементы сетки. Существует несколько методов, с помощью которых можно использовать существующую сетку и улучшить ее качество. Например, сглаживание (также называемое уточнением сетки ) является одним из таких методов, который перемещает узловые местоположения, чтобы минимизировать искажение элементов. Метод растянутой сетки (SGM) позволяет очень легко и быстро получать псевдорегулярные сетки в одноэтапном решении (см. Раздел "Ресурсы").

Предположим, что существует произвольная треугольная сетка, встроенная в плоский многоугольный единый когерентный контур и созданная процедурой автоматического объединения (см. Рис. 1). Далее можно предположить, что сетка, рассматриваемая как физическая узловая система, искажена на ряд искажения. Предполагается, что полная потенциальная энергия этой системы пропорциональна длине некоторого -мерного вектора, в состав которого входят все сегменты сети. ${\ displaystyle \ n}$

Рис.1 Треугольная сетка, ограниченная плоским многоугольным однокогерентным контуром.

Таким образом, потенциальная энергия принимает следующий вид

${\ Displaystyle \ Pi = D \ сумма _ {j = 1} ^ {n} {R_ {j}} ^ {2}}$

куда

• ${\ displaystyle \ n}$ - общее количество сегментов в сети,
• ${\ displaystyle \ R_ {j}}$- длина номера сегмента,${\ displaystyle \ j}$
• ${\ Displaystyle \ D}$ - произвольная константа.

Длина номера сегмента может быть выражена двумя узловыми координатами как ${\ displaystyle \ j}$

${\ displaystyle \ R = {\ sqrt {(X_ {12} -X_ {11}) ^ {2} + (X_ {22} -X_ {21}) ^ {2}}}}$

Также можно предположить, что вектор координат всех узлов связан с неискаженной сетью, а вектор координат связан с искаженной сетью. Выражение для вектора может быть записано как ${\ Displaystyle \ {\ X \}}$${\ Displaystyle \ {\ X '\}}$${\ Displaystyle \ {\ X \}}$

${\ Displaystyle \ {\ X \} = \ {\ X '\} + \ {\ Delta \ X \}}$

Определение вектора связано с минимизацией квадратичной формы приращением вектора, т.е. ${\ Displaystyle \ {\ X \}}$${\ displaystyle \ \ Pi}$${\ Displaystyle \ {\ Delta \ X \}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Pi} {\ partial \ Delta X_ {kl}}} = 0}$

куда

• ${\ displaystyle \ l}$ - номер внутреннего узла площади,
• ${\ displaystyle \ k}$ - номер координаты

После всех преобразований мы можем записать следующие две независимые системы линейных алгебраических уравнений

${\ Displaystyle [\ A] \ {\ Delta X_ {1} \} = \ {\ B_ {1} \}}$

${\ Displaystyle [\ A] \ {\ Delta X_ {2} \} = \ {\ B_ {2} \}}$

куда

• ${\ Displaystyle [\ A]}$ - симметричная матрица в виде полос, аналогичная глобальной матрице жесткости сборки МКЭ,
• ${\ Displaystyle \ {\ Delta \ X_ {1} \}}$и - инкрементальные векторы координат всех узлов по осям 1, 2,${\ Displaystyle \ {\ Delta \ X_ {2} \}}$
• ${\ Displaystyle \ {\ B_ {1} \}}$и - векторы правой части, которые объединены координатами всех узлов в осях 1, 2.${\ Displaystyle \ {\ B_ {2} \}}$

Рис.2 Слева: искаженная 2D-сетка, справа: исправленная сетка

Решение обеих систем, сохраняя все граничные узлы консервативными, получает новые положения внутренних узлов, соответствующие неискаженной сетке с псевдорегулярными элементами. Например, на рис. 2 представлена ​​прямоугольная область, покрытая треугольной сеткой. Исходная автоматическая сетка содержит несколько дегенеративных треугольников (левая сетка). Конечная сетка (правая сетка), созданная процедурой SGM, является псевдорегулярной без каких-либо искаженных элементов.

Поскольку вышеуказанные системы являются линейными, процедура очень быстро переходит в одношаговое решение. Более того, положение каждого конечного внутреннего узла соответствует требованию среднего арифметического координат узлов, окружающих его, а также отвечает критериям Делоне. Следовательно, SGM имеет все положительные значения, свойственные лапласиану и другим видам подходов сглаживания, но намного проще и надежнее из-за целочисленного представления конечных матриц. Наконец, описанный выше SGM прекрасно применим не только к 2D-сеткам, но и к 3D-сеткам, состоящим из любых однородных ячеек, а также к смешанным или переходным сеткам.

Математически поверхность, вложенная в неплоскую замкнутую кривую, называется минимальной, если ее площадь минимальна среди всех поверхностей, проходящих через эту кривую. Самый известный образец минимальной поверхности - мыльная пленка, ограниченная проволочным каркасом. Обычно для создания минимальной поверхности используется фиктивный основной закон, который поддерживает постоянное предварительное напряжение, независимо от каких-либо изменений деформации. Альтернативный приближенный подход к решению задачи минимальной поверхности основан на SGM. Эта формулировка позволяет минимизировать поверхность, вложенную в неплоские и плоские замкнутые контуры.

Рис 3. Катеноидальная поверхность.

Идея состоит в том, чтобы аппроксимировать часть поверхности, встроенную в трехмерный неплоской контур, произвольной треугольной сеткой. Чтобы свести такую ​​треугольную сетку к сетке с минимальной площадью, необходимо решить те же две системы, описанные выше. Приращения третьих узловых координат могут быть дополнительно определены аналогичной системой на оси 3 следующим образом

${\ Displaystyle [\ A] \ {\ Delta X_ {3} \} = \ {\ B_ {3} \}}$

Решая все три системы одновременно, можно получить новую сетку, которая будет аппроксимирующей минимальной поверхностью, вложенной в неплоскую замкнутую кривую из-за минимума функции где параметр. ${\ displaystyle \ \ Pi}$${\ Displaystyle \ j = 1,2,3}$

В качестве примера поверхность катеноида, рассчитанная описанным выше подходом, представлена ​​на рис. 3. Радиусы колец и высота катеноида равны 1,0. Числовая площадь катеноидальной поверхности, определенная SGM, равна 2,9967189 (точное значение 2,992).

Рис.4 Hypar (гиперболический параболоид) Рис.5 Седловая маркиза

Для структурного анализа конфигурация конструкции обычно известна априори. Это не относится к натяжным конструкциям, таким как натяжные тканевые конструкции. Поскольку мембрана в натяжной конструкции не обладает жесткостью на изгиб, ее форма или конфигурация зависят от первоначального предварительного напряжения и нагрузок, которым она подвергается. Таким образом, несущая способность и форма мембраны не могут быть разделены и в целом не могут быть описаны только простыми геометрическими моделями. Форма мембраны, нагрузки на конструкцию и внутренние напряжения взаимодействуют нелинейным образом, чтобы удовлетворить уравнениям равновесия.

Рис.6 Модель сетки покрытия танцпола Рис.7 Визуализация покрытия танцпола Рис.8 Настоящее покрытие танцпола

Предварительное проектирование натяжных конструкций включает определение исходной конфигурации, называемой поиском формы. Помимо выполнения условий равновесия, первоначальная конфигурация должна удовлетворять как архитектурным (эстетическим), так и структурным (прочность и устойчивость) требованиям. Кроме того, должны быть соблюдены требования к пространству и зазору, основные напряжения мембраны должны быть растягивающими, чтобы избежать образования складок, а радиусы поверхности с двойной кривизной должны быть достаточно малыми, чтобы выдерживать нагрузки вне плоскости и обеспечивать стабильность конструкции ( Работа). Несколько вариантов подходов к поиску формы, основанных на МКЭ, были разработаны для помощи инженерам в проектировании натяжных тканевых конструкций. Все они основаны на том же предположении, которое использовалось для анализа поведения натяжных конструкций при различных нагрузках. Однако, как отмечают некоторые исследователи, иногда может быть предпочтительнее использовать так называемые « минимальные поверхности » при проектировании натяжных конструкций.

Физический смысл SGM заключается в сведении энергии произвольной сеточной структуры, встроенной в жесткий (или упругий) трехмерный контур, к минимуму, который эквивалентен минимальным суммарным расстояниям между произвольными парами узлов сетки. Это позволяет найти решение задачи минимальной поверхностной энергии, заменяющее нахождение минимума суммарной энергии сеточной структуры, что обеспечивает гораздо более простую конечную систему алгебраических уравнений, чем обычная формулировка МКЭ. Обобщенная формулировка SGM предполагает возможность применения набора внешних сил и жестких или упругих ограничений к узлам структуры сетки, что позволяет моделировать различные внешние эффекты. Мы можем получить следующее выражение для такой рецептуры SGM

${\ displaystyle \ Pi = \ sum _ {j = 1} ^ {n} D_ {j} R_ {j} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ left (\ sum _ { k = 1} ^ {m} C_ {ik} \ Delta X_ {ik} ^ {2} - \ sum _ {k = 1} ^ {m} P_ {ik} \ Delta X_ {ik} \ right)}$

куда

• ${\ displaystyle \ n}$ - общее количество сегментов сетки,
• ${\ displaystyle \ m}$ - общее количество узлов,
• ${\ displaystyle \ R_ {j}}$ - длина номера сегмента,${\ displaystyle \ j}$
• ${\ displaystyle \ D_ {j}}$- жесткость номера сегмента,${\ displaystyle \ j}$
• ${\ displaystyle \ \ Delta X_ {ik}}$- приращение координат узла по оси,${\ displaystyle \ k}$${\ displaystyle \ i}$
• ${\ displaystyle \ C_ {ik}}$- жесткость упругой связи в узле на оси,${\ displaystyle \ k}$${\ displaystyle \ i}$
• ${\ displaystyle \ P_ {ik}}$- внешняя сила в узле на оси.${\ displaystyle \ k}$${\ displaystyle \ i}$

После того, как удовлетворительная форма найдена, можно создать схему вырезания. Натяжные конструкции сильно различаются по размеру, кривизне и жесткости материала. Аппроксимация схемы раскроя сильно зависит от каждого из этих факторов. Для метода создания схемы раскроя важно минимизировать возможное приближение и получить надежные данные о плоской ткани.

Цель состоит в том, чтобы разработать формы, описываемые этими данными, максимально приближенные к идеальным дважды изогнутым полосам. В общем, создание схемы раскроя состоит из двух этапов. Сначала общая поверхность натяжной конструкции делится на отдельные полотна. Соответствующий шаблон раскроя на втором этапе можно найти, просто взяв каждую полоску ткани и развернув ее на плоском участке. В случае идеальной двояковыпуклой поверхности мембраны подповерхность не может быть просто развернута, и они должны быть выровнены. Например, в, SGM использовался для решения проблемы выравнивания.

Задача создания схемы раскроя фактически подразделяется на две независимые постановки. Это создание плоской формы без искажений, разворачивающей каждую полосу ткани и выравнивающих поверхности с двойной кривизной, которые нельзя просто развернуть. Внимательно изучив задачу, можно заметить, что с позиции дифференциальной геометрии обе постановки одинаковы. Мы можем рассматривать это как изометрическое отображение поверхности на плоскую область, которое будет конформным отображением и эквиареальным отображением одновременно из-за инвариантных углов между любыми кривыми и инвариантности любых частей площади. В случае одно-криволинейной поверхности, которая может быть развернута точно, равноплоскостное отображение позволяет получить раскрой структуры ткани без каких-либо искажений. Второй тип поверхностей может быть нанесен на равноплоскостное отображение только приблизительно с некоторыми искажениями линейных элементов поверхности, ограниченными свойствами ткани. Предположим, что две поверхности параметризованы так, что их первые квадратичные формы могут быть записаны следующим образом

${\ displaystyle I_ {1} = E_ {1} (u, v) \ operatorname {d} u ^ {2} + 2F_ {1} (u, v) \ operatorname {d} u \ operatorname {d} v + G_ {1} (u, v) \ OperatorName {d} v ^ {2}}$

${\ displaystyle I_ {2} = E_ {2} (u, v) \ operatorname {d} u ^ {2} + 2F_ {2} (u, v) \ operatorname {d} u \ operatorname {d} v + G_ {2} (u, v) \ OperatorName {d} v ^ {2}}$

Условие конформного отображения двух поверхностей, сформулированное в дифференциальной геометрии, требует, чтобы

${\ displaystyle {\ sqrt {I_ {2}}} = \ lambda {\ sqrt {I_ {1}}}}$

где - коэффициент искажения поверхности из-за конформного отображения. ${\ displaystyle \ \ lambda}$

Известно, что первая квадратичная форма отражает расстояние между двумя точками поверхности и. Когда -ratio близко к 1, указанное выше уравнение сходится к условию изометрического отображения и к равноплощадному отображению соответственно из-за инвариантных углов между любыми кривыми и инвариантности любых частей площади. Помня, что первый этап поиска формы основан на треугольной сетке поверхности и используя метод взвешенных невязок для описания изометрического и равноплощадного отображения минимальной поверхности на плоскую область, мы можем написать следующую функцию, которая определяется суммой интегралов по отрезкам криволинейных треугольников ${\ Displaystyle \ (и, v)}$${\ Displaystyle \ (и + \ OperatorName {d} u, v + \ OperatorName {d} v)}$${\ displaystyle \ \ lambda}$

${\ displaystyle \ Pi = D \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ oint _ {S_ {j}} w_ {j} \ left (\ lambda {\ sqrt {I_ {1}}} - {\ sqrt {I_ {2}}} \ right) ^ {2} \ operatorname {d} s}$

куда

• ${\ displaystyle \ n}$ - общее количество ячеек сетки,
• ${\ displaystyle \ w_ {j}}$ - весовые коэффициенты,
• ${\ displaystyle \ \ Pi}$ - общий остаток отображения,
• ${\ Displaystyle \ D}$ - константа, которая не влияет на конечный результат и может использоваться как коэффициент масштабирования.

Рассматривая дальнейшие весовые коэффициенты, мы можем преобразовать уравнение. в приближенную конечную сумму, которая представляет собой комбинацию линейных расстояний между узлами поверхностной сетки, и запишите основное условие равноплощадного отображения поверхности как минимум следующей нелинейной функции ${\ displaystyle \ w_ {j} = 1}$

${\ displaystyle \ Pi = D \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ oint _ {S_ {j}} w_ {j} \ left (\ lambda R_ {j} -L_ {j} \ right) ^ {2} \ operatorname {d} s}$

куда

• ${\ displaystyle \ R_ {j}}$- начальная длина номера линейного отрезка,${\ displaystyle \ j}$
• ${\ displaystyle \ L_ {j}}$- окончательная длина номера сегмента,${\ displaystyle \ j}$
• ${\ displaystyle \ \ lambda}$ - коэффициент искажения близок к 1 и может быть разным для каждого сегмента.

Начальная и конечная длины номера сегмента могут быть выражены, как обычно, двумя узловыми координатами как ${\ displaystyle \ j}$

${\ displaystyle R = {\ sqrt {(X_ {12} -X_ {11}) ^ {2} + (X_ {22} -X_ {21}) ^ {2} + (X_ {32} -X_ {31 }) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle L = {\ sqrt {(x_ {12} -x_ {11}) ^ {2} + (x_ {22} -x_ {21}) ^ {2}}}}$

куда

• ${\ displaystyle \ X_ {ik}}$ - координаты узлов начального участка,
• ${\ displaystyle \ x_ {ik}}$ - координаты узлов конечного участка.

Согласно исходному предположению, мы можем писать для отображения плоской поверхности. Выражение для векторов и с использованием термина приращения координат может быть записано как ${\ Displaystyle \ x_ {32} = x_ {31} = 0}$${\ Displaystyle \ {\ х \}}$${\ Displaystyle \ {\ X \}}$

${\ Displaystyle \ {\ х \} = \ {\ X \} + \ {\ Delta \ X \}}$

Рис.9 Вырез тента из твин-пика Рис.10 Исходный вид нашивки Рис.11 Плоский патч

Определение вектора выполняется, как и ранее. ${\ Displaystyle \ {\ Delta \ X \}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Pi} {\ partial \ Delta X_ {kl}}} = 0}$

После преобразований мы можем записать следующие две независимые системы нелинейных алгебраических уравнений

${\ Displaystyle [\ A] \ {\ Delta X_ {1} \} = \ {\ B_ {1} \} + \ {\ Delta P_ {1} \}}$

${\ Displaystyle [\ A] \ {\ Delta X_ {2} \} = \ {\ B_ {2} \} + \ {\ Delta P_ {2} \}}$

где все части системы могут быть выражены как ранее, и и являются векторы псевдо-напряжений на осях 1, 2, что имеет следующий вид ${\ Displaystyle \ {\ \ Delta P_ {1} \}}$${\ Displaystyle \ {\ \ Delta P_ {2} \}}$

${\ displaystyle \ {\ Delta P_ {lt} \} = - \ left \ {\ sum _ {j = 1} ^ {N} \ lambda {\ frac {R_ {m}} {L_ {m}}} ( x_ {lm} -x_ {lt}) \ right \}}$

куда

• ${\ Displaystyle \ N}$- общее количество узлов, окружающих номер узла,${\ displaystyle \ t}$
• ${\ displaystyle \ l}$ - количество глобальных осей.

Вышеупомянутый подход является другой формой SGM и позволяет получить две независимые системы нелинейных алгебраических уравнений, которые могут быть решены с помощью любой стандартной итерационной процедуры. Чем меньше гауссова кривизна поверхности, тем выше точность отображения плоскости. Как правило, отображение плоскости позволяет получить узор с линейными размерами на 1-2% меньше соответствующих пространственных линий конечной поверхности. Поэтому при нанесении рисунка необходимо обеспечить соответствующие поля.

Типичный образец выреза, также называемый вырезом, выступом (сегментом) или заплатой, представлен на рис. 9, 10, 11.

• Генерация сетки
• Виды сетки

• К3-Тент система для наложения форм и раскроя натяжных тканевых конструкций.
• Кубантент корп