Проблема Бернштейна

О проблеме Бернштейна в математической генетике см. Genetic algebra. Относительно проблемы Бернштейна о степенях свободы в управлении мотором см. Проблема степеней свободы (моторный контроль). О его возможном обобщении в глобальной дифференциальной геометрии см. Сферическую проблему Бернштейна.

В дифференциальной геометрии, проблема Бернштейна заключается в следующем: если график функции на R ^{п -1} является минимальной поверхностью в R ^п, из этого следует, что функция является линейной? Это верно для размерностей n не более 8, но неверно для размерностей n не менее 9. Задача названа в честь Сергея Натановича Бернштейна, который разрешил случай  n  = 3 в 1914 году.

• 1 Заявление
• 2 История
• 3 ссылки
• 4 Внешние ссылки

Предположим, что f является функцией n  - 1 действительных переменных. График f является поверхностью в R ⁿ, и условием, что это минимальная поверхность, является то, что f удовлетворяет уравнению минимальной поверхности

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n-1} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i }}} {\ sqrt {1+ \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {j}}} \ right) ^ {2} }}} = 0}$

Задача Бернштейна спрашивает, обязательно ли целая функция (функция, определенная в R ^{n −1}), которая решает это уравнение, является многочленом степени 1.

Бернштейн (1915–1917) доказал теорему Бернштейна о том, что график вещественной функции на R ^2, которая также является минимальной поверхностью в R ^3, должен быть плоскостью.

Флеминг (1962) дал новое доказательство теоремы Бернштейна, выведя его из того факта, что в R ³ нет неплоского конуса, минимизирующего площадь.

Де Джорджи (1965) показал, что если нет плоского минимизирующего площадь конуса в R ^{n −1,} то аналог теоремы Бернштейна верен в R ⁿ, что, в частности, означает, что она верна в R ⁴.

Альмгрен (1966) показал, что в R ⁴ нет неплоских минимизирующих конусов, тем самым расширив теорему Бернштейна на R ⁵.

Саймонс (1968) показал, что в R ⁷ нет неплоских минимизирующих конусов, тем самым расширив теорему Бернштейна на R ⁸. Он также привел примеры локально стабильных конусов в R ⁸ и спросил, минимизируют ли они глобальную площадь.

Бомбьери, Де Джорджи и Джусти (1969) показали, что конусы Симонса действительно глобально минимизируют, и показали, что в R ⁿ для n ≥9 есть минимальные графы, но не гиперплоскости. В сочетании с результатом Саймонса это показывает, что аналог теоремы Бернштейна верен для измерений до 8 и ложен для более высоких измерений. Конкретный пример - поверхность. ${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {8}: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = x_ {5} ^ {2} + x_ {6} ^ {2} + x_ {7} ^ {2} + x_ {8} ^ {2} \}}$

• Almgren, FJ (1966), "Некоторые внутренние регулярности теоремы для минимальных поверхностей и обобщение теоремы Бернштейна", Annals математики, второй серии, 84: 277-292, DOI : 10,2307 / 1970520, ISSN   0003-486X, JSTOR   1970520, Руководство по ремонту   0200816
• Бернштейн, С. Н. (1915–1917), "Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique", Comm. Soc. Математика. Харьков, 15: 38–45Немецкий перевод у Бернштейна, Серж (1927), «Теорема о геометрии Über ein geometrisches und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus», Mathematische Zeitschrift (на немецком языке), Springer Berlin / Heidelberg, 26: 551–558, doi : 10.100757 /, ISSN   0025-5874
• Бомбьери, Энрико ; Де Джорджи, Эннио ; Джусти, Е. (1969), "Минимальные конусы и проблема Бернштейн", Inventiones Mathematicae, 7: 243-268, DOI : 10.1007 / BF01404309, ISSN   0020-9910, МР   0250205
• Де Джорджи, Эннио (1965), "Una estensione del teorema di Bernstein", Ann. Scuola Norm. Sup. Пиза (3), 19: 79–85, MR   0178385
• Флеминг, Венделл Х. (1962), "Об ориентированной проблеме плато", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II, 11: 69-90, DOI : 10.1007 / BF02849427, ISSN   0009-725X, МР   0157263
• Сабитов, И. Х. (2001) [1994], "Теорема Бернштейна", Энциклопедия математики, EMS Press
• Simons, Джеймс (1968), "Минимальные сорта в римановых многообразиях" (PDF), Анналы математики, второй серии, 88: 62-105, DOI : 10,2307 / 1970556, ISSN   0003-486X, JSTOR   1970556, MR   0233295
• Страуме, E. (2001) [1994], "Проблема Бернштейна в дифференциальной геометрии", Энциклопедия математики, EMS Press

• Энциклопедия математики статья о теореме Бернштейна