Равномерный 9-многогранник

редактировать

Графы трех регулярных и связанных однородных многогранников

. 9-симплексных						. Ректифицированный 9-симплекс
.						.
.						.
.						.
.						.
. 9-ортоплекс						. 9-куб
.						.
. Ректифицированный 9-ортоплекс						. Ректифицированный 9-куб
. 9-полукуб						.

В девятимерной геометрии, девятимерный многогранник или 9-многогранник - это многогранник, содержащий фасеты 8-многогранника. Каждый 7-многогранник гребень, разделяемый ровно двумя 8-многогранниками фасетами.

A однородным 9-многогранником, является одним, который равен вершинно-транзитивный, и построенный из однородного 8-многогранника фасетов.

Содержание

1 Правильные 9-многогранники
2 Эйлерова характеристика
3 Однородный 9 -политопы по фундаментальным группам Кокстера
4 Семейство A 9
5 Семейство B 9
6 Семейство D 9
7 Правильные и однородные соты
- 7.1 Регулярные и однородные гиперболические соты
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Правильные 9-многогранники

Правильные 9-многогранники могут быть представлены как Символ Шлефли {p, q, r, s, t, u, v, w}, с w {p, q, r, s, t, u, v} 8-многогранник фасет вокруг каждого пика .

Таких выпуклых правильных 9-многогранников :

{3,3,3,3,3,3,3,3} - 9-симплекс
{4,3,3,3,3,3,3,3} - 9-куб
{3,3,3,3,3,3,3, 4} - 9-ортоплекс

Невыпуклых правильные 9-многогранники.

характеристика Эйлера

Топология любого заданного 9-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения.

значением Эйлерова характеристика, используемая для характеристики многогранников, бесполезно обобщается на более высокие измерения, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти.

Точно так же понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидального многогранники, и это привело к использованию коэффициентов кручения.

Равномерные 9-многогранники по фундаментальным группам Кокстера

Однородные 9-многогранники с отражательной симметрией могут быть сгенерированы этими тремя группами Кокстера, представленными перестановки колец диаграмм Кокстера-Дынкина :

группа Кокстера		диаграмма Кокстера-Дынкина
A9	[3]
B9	[4,3]
D9	[3]

Выбранные регулярные и однородные 9-многогранники из каждого семейства включают:

Симплексное семейство: A 9 [3] -
- 271 однородный 9-многогранник как перестановки колец в групповой диаграмме, включая один регулярный :
  1. {3} - 9-симплекс или дека-9-топ или распадающийся хлопок -
Гиперкуб / орт Семейство hoplex : B 9 [4,3] -
- 511 однородных 9-многогранников как перестановок колец на групповой диаграмме, включая два регулярных:
  1. {4, 3} - 9-куб или объединить -
  2. {3,4} - 9-ортоплекс или эннеакросс -
семейство демигиперкубов D9: [3] -
- 383 однородных 9-многогранников как перестановки колец на групповой диаграмме, включая:
  1. {3} - 9-demicube или demienneract, 161- ; также как h {4,3} .
  2. {3} - 9-ортоплекс, 611-

Семейство A 9

Семейство A 9 имеет симметрию порядка 3628800 (10 факториал).

Существует 256 + 16-1 = 271 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами. Все они перечислены ниже. Названия акронимов в стиле Bowers приведены в скобках для перекрестных ссылок.

#	График	Диаграмма Кокстера-Дынкина. Символ Шлефли. Имя	Количество элементов
#	График	Диаграмма Кокстера-Дынкина. Символ Шлефли. Имя	8-граней	7-граней	6 граней	5 граней	4 граней	ячеек	граней	кромок	Вершины
1		. t0{3,3,3,3,3,3,3,3}. 9-симплекс (день)	10	45	120	210	252	210	120	45	10
2		. t1{3,3,3,3,3,3,3,3}. Ректифицированный 9 -simplex (reday)								360	45
3		. t2{3,3,3,3,3,3,3,3}. Birectified 9-simplex (breday)								1260	120
4		. t3{3,3,3,3,3,3,3}. Trirectified 9-симплекс ( treday)								2520	210
5		. t4{3,3,3,3,3,3,3,3}. Quadrirectified 9-симплекс (icoy)								3150	252
6		. t0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3}. (сегодня)								405	90
7		. t0,2{3,3,3,3,3,3,3}.								2880	360
8		. t1,2 { 3,3,3,3,3,3,3,3}.								1620	360
9		. t0,3 {3,3,3,3,3,3,3, 3}.								8820	840
10		. t1,3 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								10080	1260
11		. t2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3}. (три дня)								3780	840
12		. t0,4{3,3,3,3,3,3,3,3}.								15120	1260
13		. t1,4{3,3,3,3,3,3,3,3}.								26460	2520
14		. t2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								20160	2520
15		. t3,4 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								5670	1260
16		. t0,5 {3,3,3,3,3,3,3,3 }.								15750	1260
17		. t1,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								37800	3150
18		. t2,5{3,3,3,3,3,3,3,3}.								44100	4200
19		. t3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								25200	3150
20		. t0,6 {3, 3,3,3,3,3,3,3}.								10080	840
21		. t1,6 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								31500	2520
22		. t2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								50400	4200
23		. t0,7{3,3,3,3,3,3,3}.								3780	360
24		. t1,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								15120	1260
25		. t0,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								720	90
26		. t0,1,2{3,3,3,3,3,3,3,3}.								3240	720
27		. t0,1,3 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								18900	2520
28		. t0,2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								12600	2520
29		. t1,2,3 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								11340	2520
30		. t0,1,4 {3,3,3,3,3,3, 3,3}.								47880	5040
31		. t0,2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								60480	7560
32		. t1,2,4{3,3,3,3,3,3,3}.								52920	7560
33		. t0,3,4{3,3,3,3,3,3,3,3}.								27720	5040
34		. t1,3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								41580	7560
35		. t2,3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								22680	5040
36		. t0,1,5 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								66150	6300
37		. t0,2,5 {3,3,3,3,3,3, 3,3}.								126000	12600
38		. t1,2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								107100	12600
39		. t0,3,5 {3,3,3,3,3,3,3}.								107100	12600
40		. t1,3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								151200	18900
41		. t2,3,5{3,3,3,3,3,3,3,3}.								81900	12600
42		. t0,4,5{3,3,3,3,3,3,3}.								37800	6300
43		. t1, 4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								81900	12600
44		. t2,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								75600	12600
45		. t3,4,5 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								28350	6300
46		. t0,1,6 {3,3,3,3,3,3,3, 3}.								52920	5040
47		. t0,2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								138600	12600
48		. t1,2,6{3,3,3,3,3,3,3,3}.								113400	12600
49		. t0,3,6{3,3,3,3,3,3,3,3}.								176400	16800
50		. t1,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								239400	25200
51		. t2,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								126000	16800
52		. t0,4,6 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								113400	12600
53		. t1,4,6 {3,3,3,3,3,3, 3,3}.								226800	25200
54		. t2,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								201600	25200
55		. t0,5,6 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								32760	5040
56		. t1,5,6 {3,3,3,3,3,3, 3,3}.								94500	12600
57		. t0,1,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								23940	2520
58		. t0,2,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								83160	7560
59		. t1,2,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								64260	7560
60		. t0,3,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								144900	12600
61		. t1,3,7 {3,3,3,3,3,3,3}.								189000	18900
62		. t0,4,7 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								138600	12600
63		. t1,4,7 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								264600	25200
64		. t0,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								71820	7560
65		. t0,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								17640	2520
66		. t0,1,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								5400	720
67		. t0,2,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								25200	2520
68		. t0,3, 8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								57960	5040
69		. t0,4,8 {3, 3,3,3,3,3,3,3}.								75600	6300
70		. t0, 1,2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								22680	5040
71		. t0,1,2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								105840	15120
72		. t0,1,3,4 {3, 3,3,3,3,3,3,3}.								75600	15120
73		. t0,2,3,4 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								75600	15120
74		. t1,2,3,4 {3,3,3,3,3,3, 3,3}.								68040	15120
75		. t0,1,2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								214200	25200
76		. t0,1,3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								283500	37800
77		. t0,2,3,5{3,3,3,3,3,3,3,3}.								264600	37800
78		. t1,2,3,5{3,3,3,3,3,3,3,3}.								245700	37800
79		. t0,1,4,5{3,3,3,3,3,3,3,3}.								138600	25200
80		. t0, 2,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								226800	37800
81		. t1,2,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								189000	37800
82		. t0,3,4,5 {3, 3,3,3,3,3,3,3}.								138600	25200
83		. t1,3,4,5 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								207900	37800
84		. t2,3,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								113400	25200
85		. t0,1,2,6 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								226800	25200
86		. t0,1,3,6 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								453600	50400
87		. t0,2,3,6 {3,3,3,3,3,3,3, 3}.								403200	50400
88		. t1,2,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								378000	50400
89		. t0,1,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								403200	50400
90		. t0,2,4,6{3,3,3,3,3,3,3,3}.								604800	75600
91		. t1,2,4,6{3,3,3,3,3,3,3,3}.								529200	75600
92		. t0,3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								352800	50400
93		. t1,3,4, 6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								529200	75600
94		. t2,3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								302400	50400
95		. t0,1,5,6 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								151200	25200
96		. t0,2,5,6 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								352800	50400
97		. t1,2,5,6 {3,3,3,3,3,3,3, 3}.								277200	50400
98		. t0,3,5,6 { 3,3,3,3,3,3,3,3}.								352800	50400
99		. t1,3,5,6 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								491400	75600
100		. t2,3,5,6 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								252000	50400
101		. t0,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3 }.								151200	25200
102		. t1,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								327600	50400
103		. t0,1,2,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								128520	15120
104		. t0,1,3,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								359100	37800
105		. t0,2,3,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								302400	37800
106		. t1, 2,3,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								283500	37800
107		. t0,1,4, 7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								478800	50400
108		. t0,2,4,7 { 3,3,3,3,3,3,3,3}.								680400	75600
109		. t1,2,4,7 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								604800	75600
110		. t0,3,4,7 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								378000	50400
111		. t1,3,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3 }.								567000	75600
112		. t0,1,5, 7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								321300	37800
113		. t0,2,5,7 { 3,3,3,3,3,3,3,3}.								680400	75600
114		. t1,2,5,7 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								567000	75600
115		. t0,3,5,7 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								642600	75600
116		. t1,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3 }.								907200	113400
117		. t0,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								264600	37800
118		. t0,1,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								98280	15120
119		. t0,2,6,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								302400	37800
120		. t1,2,6,7{3,3,3,3,3,3,3}.								226800	37800
121		. t0, 3,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								428400	50400
122		. t0,4,6, 7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								302400	37800
123		. t0,5,6,7 { 3,3,3,3,3,3,3,3}.								98280	15120
124		. t0,1,2,8 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								35280	5040
125		. t0,1,3,8 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								136080	15120
126		. t0,2,3,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								105840	15120
127		. t0,1, 4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								252000	25200
128		. t0,2,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								340200	37800
129		. t0,3,4,8 {3, 3,3,3,3,3,3,3}.								176400	25200
130		. t0,1,5,8 {3,3,3,3, 3,3,3,3}.								252000	25200
131		. t0,2,5,8 {3,3,3,3,3,3, 3,3}.								504000	50400
132		. t0,3,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								453600	50400
133		. t0,1,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								136080	15120
134		. t0,2,6,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								378000	37800
135		. t0,1,7,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								35280	5040
136		. t0,1,2,3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								136080	30240
137		. t0, 1,2,3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								491400	75600
138		. t0,1, 2,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								378000	75600
139		. t0,1,3,4, 5 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								378000	7 5600
140		. t0,2,3,4,5{3,3,3,3,3,3,3,3}.								378000	75600
141		. t1,2,3,4,5{3,3,3,3,3,3,3}.								340200	75600
142		. t0,1,2,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								756000	100800
143		. t0, 1,2,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1058400	151200
144		. t0,1, 3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								982800	151200
145		. t0,2,3,4, 6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								982800	151200
146		. t1,2,3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								907200	151200
147		. t0,1,2,5,6 { 3,3,3,3,3,3,3,3}.								554400	100800
148		. t0,1,3,5,6 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								907200	151200
149		. t0,2,3,5,6 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								831600	151200
150		. t1,2,3,5,6 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								756000	151200
151		. t0,1,4,5,6 {3,3,3,3,3,3, 3,3}.								554400	100800
152		. t0,2,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3 }.								907200	151200
153		. t1, 2,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								756000	151200
154		. t0,3,4, 5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								554400	100800
155		. t1,3,4,5, 6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								831600	151200
156		. t2,3,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								453600	100800
157		. t0,1,2,3,7 {3, 3,3,3,3,3,3,3}.								567000	75600
158		. t0,1,2,4,7 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								1209600	151200
159		. t0,1,3,4,7 {3,3,3,3, 3,3,3,3}.								1058400	151200
160		. t0,2,3,4,7 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								1058400	151200
161		. t1,2,3,4,7 {3,3,3,3,3,3,3, 3}.								982800	151200
162		. t0,1,2,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1134000	151200
163		. t0,1,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1701000	226800
164		. t0,2,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1587600	226800
165		. t1,2,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1474200	226800
166		. t0,1,4,5,7 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								982800	151200
167		. t0,2,4,5,7 {3,3,3,3, 3,3,3,3}.								1587600	226800
168		. t1,2,4,5,7 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								1360800	226800
169		. t0,3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3, 3}.								982800	151200
170		. t1,3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1474200	226800
171		. t0,1,2,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								453600	75600
172		. t0,1,3,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1058400	151200
173		. t0,2,3,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								907200	151200
174		. t1,2,3,6,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								831600	151200
175		. t0,1,4,6,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								1058400	151200
176		. t0,2,4,6,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								1587600	226800
177		. t1,2,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1360800	226800
178		. t0,3, 4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								907200	151200
179		. t0,1,5, 6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								453600	75600
180		. t0,2,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1058400	151200
181		. t0,3,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3}.								1058400	151200
182		. t0,4,5,6,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								453600	75600
183		. t0,1,2,3,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								196560	30240
184		. t0,1,2,4,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								604800	75600
185		. t0,1,3,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								491400	75600
186		. t0, 2,3,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								491400	75600
187		. t0,1, 2,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								856800	100800
188		. t0,1,3,5, 8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1209600	151200
189		. t0,2,3,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1134000	151200
190		. t0,1,4,5,8 { 3,3,3,3,3,3,3,3}.								655200	100800
191		. t0,2,4,5,8 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								1058400	151200
192		. t0,3,4,5,8 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								655200	10080 0
193		. t0,1,2,6,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								604800	75600
194		. t0,1,3,6,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								1285200	151200
195		. t0,2,3,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1134000	151200
196		. t0, 1,4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1209600	151200
197		. t0,2, 4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1814400	226800
198		. t0,1,5,6, 8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								491400	75600
199		. t0,1,2,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								196560	30240
200		. t0,1,3,7,8 { 3,3,3,3,3,3,3,3}.								604800	75600
201		. t0,1,4,7,8 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								856800	100800
202		. t0,1,2,3,4,5 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								680400	151200
203		. t0,1,2,3,4,6 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								1814400	302400
204		. t0,1,2,3,5,6 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								1512000	302400
205		. t0,1,2,4,5,6 {3,3,3,3, 3,3,3,3}.								1512000	302400
20 6		. t0,1,3,4,5,6{3,3,3,3,3,3,3,3}.								1512000	302400
207		. t0,2,3,4,5,6{3,3,3,3,3,3,3,3}.								1512000	302400
208		. t1,2,3,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1360800	302400
209		. t0,1,2,3,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1965600	302400
210		. t0,1,2,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2948400	453600
211		. t0, 1,2,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3}.								2721600	453600
212		. t0, 1,3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2721600	453600
213		. t0,2, 3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3}.								2721600	453600
214		. t1,2, 3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2494800	453600
215		. t0,1,2, 3,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1663200	302400
216		. t0,1,2, 4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2721600	453600
217		. t0,1,3,4, 6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2494800	453600
218		. t0,2,3,4, 6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2494800	4 53600
219		. t1,2,3,4,6,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								2268000	453600
220		. t0,1,2,5,6,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								1663200	302400
221		. t0,1,3,5,6,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								2721600	453600
222		. t0,2,3,5,6,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								2494800	453600
223		. t1,2,3,5,6,7{3,3,3,3,3,3,3,3}.								2268000	453600
224		. t0,1,4,5,6,7{3,3,3,3,3,3,3}.								1663200	302400
225		. t0,2,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2721600	453600
226		. t0,3,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3}.								1663200	302400
227		. t0,1,2,3,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								907200	151200
228		. t0, 1,2,3,5,8 {3,3,3,3,3,3,3}.								2116800	302400
229		. t0, 1,2,4,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1814400	302400
230		. t0,1, 3,4,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1814400	302400
231		. t0,2, 3,4,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								18144 00	302400
232		. t0,1,2,3,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2116800	302400
233		. t0,1,2,4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								3175200	453600
234		. t0,1,3,4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2948400	453600
235		. t0,2,3,4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2948400	453600
236		. t0,1,2,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								1814400	302400
237		. t0,1,3,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								2948400	453600
238		. t0,2,3,5,6,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								2721600	453600
239		. t0,1,4,5,6,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								1814400	302400
240		. t0,1,2,3,7,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								907200	151200
241		. t0,1,2,4,7,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								2116800	302400
242		. t0,1,3,4,7,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								1814400	302400
243		. t0,1,2,5,7,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								2116800	302400
244		. t0,1,3,5,7,8 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								3175200	453600
245		. t0,1,2,6,7,8 {3,3,3,3,3,3, 3,3}.								907200	151200
246		. t0,1,2,3,4,5,6 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								2721600	604800
247		. t0,1,2,3,4,5,7 {3,3,3,3,3, 3,3,3}.								4989600	907200
248		. t0,1,2,3,4,6,7 {3,3,3,3, 3,3,3,3}.								4536000	907200
249		. t0,1,2,3,5,6,7 {3,3,3,3, 3,3,3,3}.								4536000	907200
250		. t0,1,2,4,5,6,7 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								4536000	907200
251		. t0,1,3,4,5,6,7 {3,3,3, 3,3,3,3,3}.								4536000	907200
252		. t0,2,3,4,5,6,7 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								4536000	907200
253		. t1,2,3,4,5,6,7 {3,3, 3,3,3,3,3,3}.								4082400	907200
254		. t0,1,2,3,4,5,8 {3, 3,3,3,3,3,3,3}.								3326400	604800
255		. t0,1,2,3,4,6,8 {3, 3,3,3,3,3,3,3}.								5443200	907200
256		. t0,1,2,3,5,6,8 { 3,3,3,3,3,3,3,3}.								4989600	907200
2 57		. t0,1,2,4,5,6,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								4989600	907200
258		. t0,1,3,4,5,6,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								4989600	907200
259		. t0,2,3,4,5,6,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								4989600	907200
260		. t0,1,2,3,4,7,8{3,3,3,3,3,3,3,3}.								3326400	604800
261		. t0,1,2,3,5,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								5443200	907200
262		. t0,1,2,4,5,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								4989600	907200
263		. t0,1,3,4,5,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								4989600	907200
264		. t0,1,2,3,6,7,8 {3,3,3,3,3,3,3}.								3326400	604800
265		. t0,1,2,4,6,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								5443200	907200
266		. t0,1,2,3,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								8164800	1814400
267		. t0,1,2,3,4,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3 }.								9072000	1814400
268		. t0,1,2,3,4,5,7,8 {3,3,3,3,3,3, 3,3}.								9072000	1814400
269		. t0,1,2,3,4,6,7,8 { 3,3,3,3,3,3,3,3}.								9072000	1814400
270		. t0,1,2,3,5,6,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								9072000	1814400
271		. t0,1,2,3,4,5,6, 7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3}.								16329600	3628800

Семья B 9

Существует 511 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами.

Одиннадцать случаев показаны ниже: девять исправленных форм и 2 усечения. Названия акронимов в стиле Bowers приведены в скобках для перекрестных ссылок. Названия акронимов в стиле Bowers приведены в скобках для перекрестных ссылок.

#	График	Диаграмма Кокстера-Дынкина. Символ Шлефли. Имя	Количество элементов
#	График	Диаграмма Кокстера-Дынкина. Символ Шлефли. Имя	8-граней	7-граней	6 граней	5 граней	4 граней	Ячейки	Граней	Ребра	Вершины
1		. t0{4,3,3,3,3,3,3,3}. 9-куб (enne)	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512
2		. t0,1 {4, 3,3,3,3,3,3,3}. (десять)								2304	4608
3		. t1{4,3,3,3,3,3,3, 3}. Ректифицированный 9-кубический (ren)								18432	2304
4		. t2{4,3,3,3,3,3,3,3}. Биректифицированный 9-кубовый (сарай)								64512	4608
5		. t3{4,3,3,3,3,3,3,3}. Триректифицированный 9-кубовый (tarn)								96768	5376
6		. t4{4,3,3,3,3,3,3,3}. Квадриректифицированный 9-куб (nav). (четырехъядерный 9-ортоплекс)								80640	4032
7		. t3{3,3,3,3,3,3,3,4}. Триректифицированный 9-ортоплекс (tarv)								40320	2016
8		. t2{3,3,3,3,3,3,3,4}. Биректифицированный 9-ортоплекс (brav)								12096	672
9		. t1{3,3,3,3,3,3,3,4}. Ректифицированный 9-ортоплекс (riv)								2016	144
10		. t0,1 {3,3,3,3,3,3,3,4}. (tiv)								2160	288
11		. t0{3,3,3,3,3,3,4}. 9-ортоплекс (vee)	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Семейство D 9

Семейство D 9 имеет симметрию порядка 92,897,280 (9 факториал × 2).

Это семейство имеет 3 × 128−1 = 383 однородных многогранников Витоффа, сгенерированных путем маркировки одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера-Дынкина D 9. Из них 255 (2 × 128-1) повторяются из семейства B 9, а 128 являются уникальными для этого семейства, с восемью формами с 1 или 2 кольцами, перечисленными ниже. Названия акронимов в стиле Bowers приведены в скобках для перекрестных ссылок.

#	Плоскость Кокстера графики											Диаграмма Кокстера-Дынкина. символ Шлефли	Базовая точка. (с альтернативными знаками)	Количество элементов									Окружность
#	B9	D9	D8	D7	D6	D5	D4	D3	A7	A5	A3	Диаграмма Кокстера-Дынкина. символ Шлефли	Базовая точка. (с альтернативными знаками)	8	7	6	5	4	3	2	1	0	Окружность
1												. 9-demicube (henne)	(1,1,1,1,1,1,1,1,1)	274	2448	9888	23520	36288	37632	21404	4608	256	1.0606601
2												. (thenne)	(1,1,3,3,3,3,3,3,3)								69120	9216	2,8504384
3												.	(1,1,1,3,3,3,3,3,3)								225792	21504	2,6692696
4												.	(1, 1,1,1,3,3,3,3,3)								419328	32256	2.4748735
5												.	(1,1,1,1,1,3, 3,3,3)								483840	32256	2.2638462
6												.	(1,1,1,1,1,1,3,3,3)								354816	21504	2.0310094
7												.	(1,1,1,1,1,1,1,3,3)								161280	9216	1.7677668
8												.	(1,1,1,1,1,1,1,1,3)								41472	2304	1.4577379

Обычная и униформа соты

соответствие диаграмм Кокстера-Дынкина между семействами и высшая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждом ряду представляют собой одинаковые зеркала. Черные узлы не активны в корреспонденции.

Существует пять основных аффинных групп Кокстера, которые генерируют регулярные и однородные мозаики в 8-пространственном пространстве:

#	группа Кокстера		Формы
1	$A ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {8}}$ ${{\tilde {A}}}_{8}$	[3]	45
2	$C ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {8 }}$ ${{\tilde {C}}}_{8}$	[4,3,4]	271
3	$B ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {8}}$ ${{\tilde {B}}}_{8}$	h [4,3,4]. [4,3,3]	383 (128 новых)
4	$D ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {8}}$ ${{\tilde {D}}}_{8}$	q [4,3,4]. [3,3,3]	155 (15 новых)
5	$E ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$ ${\tilde {E}}_{8}$	[3]	511

Обычные и однородные мозаики включают:

A ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {8}}45 форм с уникальными кольцами
- 8-симплексные соты : {3 }
C ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {8}}271 форма с уникальными кольцами
- Regular 8-кубовые соты : {4,3,4},
B ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {8}}: 383 формы с уникальными кольцами, 255 общих символов h C ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {8}}, 128 новых
- соты с 8 полукубами : h {4,3,4} или {3,3,4}, или
$D ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {8}}$ ${{\tilde {D}}}_{8}$ , [3,3,3]: 155 уникальные перестановки колец, и 15 являются новыми, первое, , Кокстер назвал четвертью 8-кубическими сотами, представляя как q {4,3,4} или qδ 9.
E ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}511 форм
- 521соты :
- 251соты :
- 152соты :

Обычные и однородные гиперболические соты

Там не являются компактными гиперболическими группами Кокстера ранга 9, группами, которые могут порождать соты со всеми конечными гранями, и конечной фигурой вершин . Однако существует 4 некомпактных гиперболических группы Кокстера ранга 9, каждая из которых порождает однородные соты в 8-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.

P ¯ 8 {\ displaystyle {\ bar {P}} _ {8}}

{\bar {P}}_{8}

= [3,3]:.

Q ¯ 8 {\ displaystyle {\ bar {Q}} _ {8}}

{\bar {Q}}_{8}

= [3,3,3]:.

S ¯ 8 {\ displaystyle {\ bar {S}} _ {8}}

{\bar {S}}_{8}

= [4, 3,3]:.

T ¯ 8 {\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}

{\bar {T}}_{8}

= [3]:.

Ссылки

T. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений, Вестник математики, Macmillan, 1900
A. Boole Stott : геометрическое выведение полурегулярности из регулярных многогранников и заполнений пространства, Верханделинген единицы ширины Koninklijke academy van Wetenschappen Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910
H.S.M. Кокстер :
- Х.С.М. Кокстер, М. Longuet-Higgins und J.C.P. Миллер: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
- H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
Калейдоскопы: Избранные сочинения H.S.M. Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивика Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Бумага 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Документ 23) H.S.M. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Paper 24) H.S.M. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
N.W. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот, доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966
Ричард Клитцинг. "9D однородные многогранники (многогранники)".

Внешние ссылки

Имена многогранников
Многогранники различных измерений, Джонатан Бауэрс
Глоссарий многомерных измерений
Глоссарий гиперпространства, Георгий Ольшевский.

v t Фундаментальный выпуклый правильный и равномерный многогранник в размерностях 2–10
An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Треугольник	Квадрат	p- угольник	Шестиугольник	Пентагон
Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
5-элементный	16-элементный • Tesseract	Demitesseract	24-элементный	120-элементный • 600-элементный
5-симплексный	5-ортоплексный • 5-cube	5-demicube
6-simplex	6-orthoplex • 6-cube	6-demicube	122 • 221
7-simplex	7-orthoplex • 7-cube	7-demicube	132 • 231 • 321
8-simplex	8-orthoplex • 8-cube	8-demicube	142 • 241 • 421
9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9-demicube
10-simplex	10-orthoplex • 10-cube	10-demic ube
n-simplex	n-orthoplex • n-cube	n-demicube	1k2 • 2k1 • k21	n-pentagonal polytope
Topics: Polytope families • Regular polytope • List of regular polytopes and compounds

v t Fundamental convex regular and uniform honeycombs in dimensions 2-9
$A ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$ ${\tilde {A}}_{n-1}$	$C ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$ ${\tilde {C}}_{n-1}$	$B ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$ ${\tilde {B}}_{n-1}$	$D ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$ ${\tilde {D}}_{n-1}$	$G ~ 2 {\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ ${\tilde {G}}_{2}$ / $F ~ 4 {\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\tilde {F}}_{4}$ / $E ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
{3}	δ3	hδ3	qδ3	Hexagonal
{3}	δ4	hδ4	qδ4
{3}	δ5	hδ5	qδ5	24-cell honeycomb
{3}	δ6	hδ6	qδ6
{3}	δ7	hδ7	qδ7	222
{3}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
{3}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
{3}	δ10	hδ10	qδ10
{3}	δn	hδn	qδn	1k2 • 2k1 • k21