Войти
| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп | ||||
|---|---|---|---|---|
 | ||||
Основные понятия
| ||||
Конечные группы
| ||||
Модульные группы
| ||||
Топологические группы и группы Ли
| ||||
| Алгебраические группы | ||||
|
Диаграмма, показывающая, как будет выглядеть граф Кэли для свободной группы на двух образующих. Каждая вершина представляет собой элемент свободной группы, а каждое ребро представляет собой умножение на a или b. В математике, то свободная группа F S на заданном множестве S состоит из всех слов, которые могут быть построены из членов S, учитывая два слова по - другому, если их равенство не следует из аксиом группы (например, ст = Суу -1т, но s ≠ t −1 для s, t, u ∈ S). Члены S называются генераторами из F S, а число генераторов является рангом свободной группы. Произвольная группа G называется свободным, если оно изоморфно к F S для некоторого подмножества S из G, то есть, если существует подмножество S из G, таких, что каждый элемент из G может быть записана точно одним способом как произведение конечного многие элементы S и их обратные (не считая тривиальных вариаций, таких как st = suu −1t).
Родственное, но другое понятие - свободная абелева группа ; как понятия конкретные экземпляры свободного объекта от универсальной алгебры. Таким образом, свободные группы определяются своим универсальным свойством.
Свободные группы впервые возникли при изучении гиперболической геометрии как примеры фуксовых групп (дискретных групп, действующих изометриями на гиперболической плоскости ). В статье 1882 года Вальтер фон Дейк указал, что эти группы имеют простейшие возможные представления. Алгебраическое изучение свободных групп было начато Якобом Нильсеном в 1924 году, который дал им название и установил многие из их основных свойств. Макс Ден осознал связь с топологией и получил первое доказательство полной теоремы Нильсена – Шрайера. Отто Шрайер опубликовал алгебраическое доказательство этого результата в 1927 году, а Курт Райдемейстер включил всестороннее рассмотрение свободных групп в свою книгу 1932 года по комбинаторной топологии. Позднее, в 1930-х годах, Вильгельм Магнус обнаружил связь между нижним центральным рядом свободных групп и свободными алгебрами Ли.
Группа ( Z, +) целых чисел не имеет ранга 1; генераторная установка S = {1}. Целые числа также являются свободной абелевой группой, хотя все свободные группы ранга неабелевы. Свободная группа на двухэлементном множестве S встречается в доказательстве парадокса Банаха – Тарского и описывается там.
С другой стороны, любая нетривиальная конечная группа не может быть свободной, поскольку элементы свободной образующей свободной группы имеют бесконечный порядок.
В алгебраической топологии, то фундаментальная группа из букета K окружностей (набор K петель, имеющих только одну общую точку) является свободной группой на множестве K элементов.
Свободная группа Р S с множеством свободного образующих S может быть построена следующим образом. S - это набор символов, и мы предполагаем, что для каждого s в S существует соответствующий «обратный» символ, s −1, в наборе S −1. Пусть T = S ∪ S -1, и определит слово в S, чтобы быть любым письменным произведением элементов Т. То есть, слово в S является элементом моноида, порожденным Т. Пустое слово - это слово без символов. Например, если S = { a, b, c }, то T = { a, a −1, b, b −1, c, c −1 } и
это слово в S.
Если элемент S лежит непосредственно рядом со своим обратным, слово можно упростить, опуская пару c, c −1:
Слово, которое не может быть далее упрощено, называется сокращенным.
Свободная группа F S определяется как группа всех сокращенных слов в S с конкатенацией слов (с последующим сокращением, если необходимо) в качестве групповой операции. Идентичность - пустое слово.
Слово называется циклически редуцированным, если его первая и последняя буква не обратны друг другу. Каждое слово сопряжено с циклически сокращенным словом, а циклически сокращенное сопряжение циклически сокращенного слова - это циклическая перестановка букв в слове. Например, b −1abcb не сокращается циклически, но сопряжено с abc, которое циклически сокращается. Единственными циклически восстанавливаемыми конъюгатами abc являются abc, bca и cab.
Свободная группа F S является универсальной группы, порожденной множеством S. Это можно формализовать следующим универсальным свойством : для любой функции f из S в группу G существует единственный гомоморфизм φ: F S → G, который коммутирует следующую диаграмму (где безымянное отображение обозначает включение из S в F S):
То есть, гомоморфизмы F S → G находится во взаимно однозначное соответствие с функциями S → G. Для несвободной группы наличие отношений ограничило бы возможные образы образующих при гомоморфизме.
Чтобы увидеть, как это соотносится с конструктивным определением, представьте, что отображение S на F S отправляется каждому символу в слово, состоящее из этого символа. Для построения φ для данного е, сначала заметим, что φ посылает пустое слово к личности G, и он должен согласиться с F на элементах S. Для остальных слов (состоящих из более чем одного символа) φ можно однозначно расширить, поскольку это гомоморфизм, т. Е. Φ ( ab) = φ ( a) φ ( b).
Вышеупомянутое свойство характеризует свободные группы с точностью до изоморфизма и иногда используется как альтернативное определение. Он известен как универсальное свойство свободных групп, а также множество производящей S называется базисом для F S. Основа для свободной группы не определяется однозначно.
Универсальность - это стандартная черта свободных объектов в универсальной алгебре. На языке теории категорий построение свободной группы (аналогично большинству конструкций свободных объектов) представляет собой функтор из категории множеств в категорию групп. Этот функтор остается сопряженным с забывчивым функтором от групп к множествам.
Некоторые свойства свободных групп легко следуют из определения:
Еще несколько связанных результатов:
Свободная абелева группа на множестве S определяется через ее универсальное свойство аналогичным образом с очевидными модификациями: рассмотрим пару ( F, φ), где F - абелева группа, а φ: S → F - функция. F называется свободной абелевой группой на S относительно φ, если для любой абелевой группы G и любой функции ψ: S → G существует единственный гомоморфизм f: F → G такой, что
Свободную абелеву группу на S можно явно идентифицировать как свободную группу F ( S) по модулю подгруппы, порожденной ее коммутаторами, [F ( S), F ( S)], то есть ее абелианизацией. Другими словами, свободная абелева группа на S - это множество слов, которые различаются только с точностью до букв. Следовательно, ранг свободной группы также можно определить как ранг ее абелианизации как свободной абелевой группы.
Примерно в 1945 году Альфред Тарский спросил, имеют ли свободные группы на двух или более образующих одну и ту же теорию первого порядка и разрешима ли эта теория. Села (2006) ответил на первый вопрос, показав, что любые две неабелевы свободные группы имеют одну и ту же теорию первого порядка, а Харлампович и Мясников (2006) ответили на оба вопроса, показав, что эта теория разрешима.
Аналогичный нерешенный (по состоянию на 2011 год) вопрос в свободной теории вероятностей спрашивает, изоморфны ли групповые алгебры фон Неймана любых двух неабелевых конечно порожденных свободных групп.
