Глоссарий по арифметике и диофантовой геометрии

редактировать

Глоссарий Википедии

Это глоссарий арифметики и диофантовой геометрии в математике, областях, выросших из традиционного изучения диофантовых уравнений, чтобы охватить большие части теории чисел и алгебраической геометрии. Большая часть теории представлена в форме предложенных гипотез, которые могут быть связаны на различных уровнях общности.

Диофантова геометрия в целом - это изучение алгебраических многообразий V над полями K, которые конечно порождены над своими простыми полями, включая, в качестве особого интереса, число поля и конечные поля - и более локальных полей. Из них только комплексные числа являются алгебраически замкнутыми ; по сравнению с любым другим K существование точек V с координатами в K - это то, что нужно доказать и изучить как дополнительную тему, даже зная геометрию V.

Арифметическая геометрия в более общем смысле может быть определена как изучение схемы конечного типа по спектру кольца целых чисел. Арифметическая геометрия также определяется как применение методов алгебраической геометрии к задачам теории чисел.

Содержание:

Наверх
0–9
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z

abc гипотеза

Гипотеза abc из Массера и Эстерле пытается заявить как можно больше о повторяющихся простых множителях в уравнении a + b = c. Например, 3 + 125 = 128, но степени простых чисел здесь исключительные.

Группа классов Аракелова

Группа классов Аракелова является аналогом группы идеальных классов или группы классов делителей для делителей Аракелова.

делителей Аракелова

Дивизор Аракелова (или полный делитель) на глобальном поле является расширением концепции делителя или дробного идеала. Это формальная линейная комбинация разрядов поля с конечными местами, имеющими целочисленные коэффициенты, и бесконечными позициями, имеющими действительные коэффициенты.

Высота Аракелова

Высота Аракелова на проективном пространстве над полем алгебраических чисел - это глобальная функция высоты с локальными вкладами, поступающими от Fubini – Study metrics на Архимедовы поля и обычная метрика неархимедовых полей.

теория Аракелова

теория Аракелова - это подход к арифметической геометрии, который явно включает «бесконечные простые числа».

Арифметика абелевых многообразий

См. Основную статью арифметика абелевых многообразий

L-функции Артина

L-функции Артина определены для весьма общих представлений Галуа. Введение этальных когомологий в 1960-х годах означало, что L-функции Хассе – Вейля можно рассматривать как L-функции Артина для представлений Галуа на l-адических когомологиях группы.

Плохая редукция: См. хорошая редукция.
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера: Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера на эллиптических кривых постулирует связь между рангом эллиптической кривой и порядком полюса ее L-функции Хассе – Вейля. Это было важной вехой в диофантовой геометрии с середины 1960-х годов с такими результатами, как теорема Коутса – Уайлса, теорема Гросса – Загье и.

каноническая высота

Каноническая высота на абелевом многообразии является функцией высоты, которая представляет собой выделенную квадратичную форму. См. Высота Нерона – Тейта.

Метод Шаботи

Метод Шаботи, основанный на p-адических аналитических функциях, является специальным приложением, но способным доказывать случаи гипотезы Морделла для кривые, ранг якобиана которых меньше его размерности. Он развил идеи из метода Торальфа Сколема для алгебраического тора. (Другие старые методы решения диофантовых проблем включают.)

Теорема Коутса-Уайлса

Теорема Коутса-Уайлса утверждает, что эллиптическая кривая с комплексным умножением на Мнимое квадратичное поле из класса 1 и положительного ранга имеет L-функцию с нулем при s = 1. Это частный случай гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера.

Кристаллические когомологии

Кристаллические когомологии - это теория p-адических когомологий в характеристике p, введенная Александр Гротендик, чтобы заполнить пробел, оставленный этальной когомологией, которая в данном случае не позволяет использовать коэффициенты mod p. Это одна из ряда теорий, в некотором роде унаследованных от метода Дворка, и имеет приложения вне чисто арифметических вопросов.

Диагональные формы

Диагональные формы - одни из самых простых проективные многообразия для изучения с арифметической точки зрения (включая многообразия Ферма ). Их локальные дзета-функции вычисляются в терминах сумм Якоби. Проблема Варинга - наиболее классический случай.

Диофантова размерность

Диофантова размерность поля - это наименьшее натуральное число k, если оно существует, такое, что поле имеет класс C k : то есть такой, что любой однородный многочлен степени d от N переменных имеет нетривиальный нуль всякий раз, когда N>d. Алгебраически замкнутые поля имеют диофантову размерность 0; квазиалгебраически замкнутые поля размерности 1.

Дискриминант точки

Дискриминант точки относится к двум связанным понятиям относительно точки P на алгебраическом многообразии V, заданном над числовым полем K: геометрический (логарифмический) дискриминант d (P) и арифметический дискриминант, определенные Войтой. Разницу между ними можно сравнить с различием между арифметическим родом особой кривой и геометрическим родом десингуляризацией. Арифметический род больше, чем геометрический род, и высота точки может быть ограничена в терминах арифметического рода. Получение аналогичных оценок с участием геометрического рода имело бы важные последствия.

Метод Дворка

Бернард Дворк использовал отличительные методы p-адического анализа, p-адического алгебраических дифференциальных уравнений, комплексы Кошуля и другие методы, которые не все были включены в общие теории, такие как кристаллическая когомология. Он первым доказал рациональность локальных дзета-функций, начальное продвижение в направлении гипотез Вейля.

Этальные когомологии

Поиск когомологий Вейля (qv) был по крайней мере частично выполняется в теории этальных когомологий Александра Гротендика и Майкла Артина. Он предоставил доказательство функционального уравнения для локальных дзета-функций и был основным в формулировке гипотезы Тейта (qv) и многих других теорий.

Высота Фальтингса

Высота Фальтингса эллиптической кривой или абелевого многообразия, определенного над числовым полем, является мерой их сложности, введенной Фалтингсом в его доказательстве гипотезы Морделла.

Последняя теорема Ферма

Последняя теорема Ферма, самая известная гипотеза диофантовой геометрии, была доказана Эндрю Уайлсом и Ричардом Тейлором.

Плоскими когомологиями

Плоскими когомологиями для школы Гротендика является конечной точкой развития. Его недостаток состоит в том, что его довольно сложно вычислить. Причина, по которой плоская топология считалась «правильной» основополагающей топологией для теории схем, восходит к факту абсолютно плоского спуска, открытие Гротендика, что представимые функторы являются пучками для него (т. Е. Выполняется очень общая аксиома склеивания ).

Аналогия функционального поля

Это было реализовано в девятнадцатого века, что кольцо целых чисел числового поля имеет аналогии с аффинным координатным кольцом алгебраической кривой или компактной римановой поверхности, с удаленной точкой или более, соответствующими ' бесконечные места »числового поля. Эта идея более точно закодирована в теории, согласно которой все глобальные поля должны обрабатываться на одной основе. Идея идет дальше. Таким образом, эллиптические поверхности над комплексными числами также имеют некоторые довольно строгие аналогии с эллиптическими кривыми над числовыми полями.

Геометрическая теория полей классов

Расширение Теория поля классов результаты в стиле абелевых покрытий для разновидностей размерности не менее двух часто называют геометрической теорией поля классов.

Хорошая редукция

Фундаментальная для локального анализа в арифметических задачах заключается в сокращении по модулю всех простых чисел p или, в более общем смысле, простых идеалов. В типичной ситуации это представляет небольшие трудности для почти для всех p; например, знаменатели дробей сложны, поскольку сокращение по модулю простого числа в знаменателе выглядит как деление на ноль, но это исключает только конечное число p на дробь. С небольшой дополнительной сложностью, однородные координаты позволяют очистить знаменатели путем умножения на общий скаляр. Для данной единственной точки это можно сделать, не оставляя общего множителя p. Однако теория сингулярностей входит: неособая точка может стать особой точкой при редукции по модулю p, потому что касательное пространство Зарисского может становятся больше, когда линейные члены уменьшаются до 0 (геометрическая формулировка показывает, что это не ошибка единственного набора координат). Хорошая редукция относится к сокращенной разновидности, имеющей те же свойства, что и исходная, например, алгебраическая кривая, имеющая тот же род, или гладкая разновидность, остающаяся гладкой. В общем, будет конечное множество S простых чисел для данного многообразия V, предполагаемого гладким, так что в противном случае существует гладкое редуцированное V p над Z/pZ. Для абелевых разновидностей хорошая редукция связана с разветвлением в области точек деления по критерию Нерона – Огга – Шафаревича. Теория тонкая в том смысле, что свобода изменять переменные, чтобы попытаться улучшить ситуацию, довольно неочевидна: см. модель Нерона, потенциально хорошее снижение, кривая Тейта, полустабильное абелево многообразие, полустабильная эллиптическая кривая, теорема Серра – Тейта.

гипотеза Гротендика – Каца

гипотеза Гротендика – Каца о p-кривизне применяет редукцию по модулю простых чисел к алгебраическим дифференциальным уравнениям для получения информации о решениях алгебраических функций. По состоянию на 2016 год это открытая проблема. Первым результатом этого типа была теорема Эйзенштейна.

принцип Хассе

принцип Хассе утверждает, что разрешимость для глобального поля такая же, как растворимость во всех соответствующих локальных полях. Одна из основных целей диофантовой геометрии - классифицировать случаи, когда выполняется принцип Хассе. Обычно это касается большого количества переменных, когда степень уравнения остается фиксированной. Принцип Хассе часто ассоциируется с успехом кругового метода Харди – Литтлвуда. Когда круговой метод работает, он может предоставить дополнительную количественную информацию, такую как асимптотическое число решений. Уменьшение количества переменных усложняет метод круга; поэтому неудачи принципа Хассе, например, для кубических форм при небольшом количестве переменных (и, в частности, для эллиптических кривых как кубических кривых ) в целом уровень, связанный с ограничениями аналитического подхода.

L-функция Хассе – Вейля

A L-функция Хассе – Вейля, иногда называемая глобальной L-функцией, является произведением Эйлера формируется из локальных дзета-функций. Свойства таких L-функций остаются в основном в области гипотез, и доказательство гипотезы Таниямы – Шимуры является прорывом. Философия Ленглендса в значительной степени дополняет теорию глобальных L-функций.

Функция высоты

A функция высоты в диофантовой геометрии количественно определяет размер решений диофантовых уравнений.

Гильбертиан. fields

A Гильбертово поле K - это поле, для которого проективные пространства над K не являются тонкими множествами в смысле Жан-Пьера Серра. Это геометрический подход к теореме Гильберта о неприводимости, которая показывает, что рациональные числа являются гильбертовскими. Результаты применяются к обратной задаче Галуа. Тонкие множества (французское слово mince) в некотором смысле аналогичны скудным множествам (французское maigre) из теоремы Бэра о категориях.

дзета-функции Игуса

An Дзета-функция Игуса, названная в честь Дзюн-ичи Игуса, является производящей функцией, подсчитывающей количество точек на алгебраическом многообразии по модулю высоких степеней p фиксированного простого числа p. Общие теоремы рациональности теперь известны, опираясь на методы математической логики.

Бесконечный спуск

Бесконечный спуск был классическим методом Пьера де Ферма для Диофантовы уравнения. Это стало одной из половин стандартного доказательства теоремы Морделла – Вейля, а вторая - аргументом с функциями высоты (см.). Спуск - это что-то вроде деления на два в группе главных однородных пространств (часто называемых «спусками», когда записывается уравнениями); выражаясь более современными терминами, в группе когомологий Галуа, конечность которой необходимо доказать. См. группа Сельмера.

теория Ивасавы

теория Ивасавы строится на аналитической теории чисел и теореме Стикельбергера как теории идеального класса. группирует как модули Галуа и p-адические L-функции (с корнями в конгруэнции Куммера на числах Бернулли ). На заре своего существования в конце 1960-х он назывался аналогом Ивасавы якобиана. Аналогия была с якобиевым многообразием J кривой C над конечным полем F (как многообразие Пикара), где конечное поле имеет корни из единицы, добавленные для создания конечных расширений поля F ′ Локальная дзета-функция (qv) группы C может быть восстановлена из точек J (F ′) как модуль Галуа. Таким же образом Ивасава добавил p-степенные корни из единицы для фиксированного p и n → ∞, для своего аналога, к числовому полю K и рассмотрел обратный предел групп классов, найдя p -адическая L-функция, ранее введенная Куботой и Леопольдтом.

K-теория

Алгебраическая K-теория, с одной стороны, является довольно общей теорией с оттенком абстрактной алгебры, и, с другой стороны, замешаны в некоторых формулировках арифметических домыслов. См., Например, гипотезу Берча – Тейта, гипотезу Лихтенбаума.

гипотезу Ланга

Энрико Бомбьери (размерность 2), Серж Ланг и Пол Войта (случай целых точек) и Петр Бласс предположили, что алгебраические многообразия общего типа не имеют плотных по Зарискому подмножеств K-рациональных точек, для K конечно порожденное поле. Этот круг идей включает понимание аналитической гиперболичности и гипотез Лэнга по этому поводу, а также гипотез Войты. Аналитически гиперболическое алгебраическое многообразие V над комплексными числами - это такое, что не существует голоморфного отображения всей комплексной плоскости на него, которое не является постоянным. Примеры включают компактные римановы поверхности рода g>1. Лэнг предположил, что V аналитически гиперболично тогда и только тогда, когда все подмногообразия имеют общий тип.

Линейный тор

Линейный тор - это геометрически неприводимая замкнутая по Зарискому подгруппа аффинного тора (произведения мультипликативных групп).

Локальная дзета-функция

A локальная дзета-функция - это производящая функция для числа точек на алгебраическом многообразии V над конечным полем F, над конечным расширения поля функции F. Согласно гипотезам Вейля (qv) эти функции для неособых разновидностей обладают свойствами, близкими к свойствам дзета-функции Римана, включая гипотезу Римана.

Гипотезу Манина-Мамфорда

Гипотеза Манина-Мамфорда, теперь доказанная Мишелем Рейно, утверждает, что кривая C в ее Якобиево многообразие J может содержать только конечное число точек конечного порядка в J, если только C = J.

Гипотеза Морделла

Гипотеза Морделла теперь теорема Фалтингса, и утверждает, что кривая рода не менее двух имеет только конечное число рациональных точек. Гипотеза о равномерности гласит, что должна быть равномерная граница количества таких точек, зависящая только от рода и области определения.

Гипотеза Морделла – Лэнга

Гипотеза Морделла – Лэнга, доказанный Гердом Фалтингсом, представляет собой набор гипотез Сержа Ланга, объединяющий гипотезу Морделла и гипотезу Манина – Мамфорда в абелевом многообразии или полуабелево многообразие.

Теорема Морделла – Вейля

Теорема Морделла – Вейля является основополагающим результатом, утверждающим, что для абелевого многообразия A над числовым полем K группа A (K) является конечно порожденная абелева группа. Первоначально это было доказано для числовых полей K, но распространяется на все конечно порожденные поля.

Морделлическое многообразие

A Морделлическое многообразие - это алгебраическое многообразие, которое имеет только конечное число точек в любом конечно порожденном поле.

Наивная высота

наивная высота или классическая высота вектора рациональных чисел - это максимальное абсолютное значение вектора взаимно простых целых чисел, полученное путем умножения на наименьший общий знаменатель. Это может использоваться для определения высоты точки в проективном пространстве над Q или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, исходя из высоты его минимального многочлена.

Символ Нерона

Символ Нерона представляет собой бимультипликативную пару между делителями и алгебраическими циклами на абелевом многообразии, используемом в формулировке Нероном высоты Нерона – Тейта в виде суммы местных взносов. Глобальный символ Нерона, который представляет собой сумму локальных символов, является просто отрицательным значением пары высот.

Высота Нерона – Тейта

Высота Нерона – Тейта (также часто называемая каноническая высота ) на абелевом многообразии A является функцией высоты (qv), которая по существу является внутренней, и точной квадратичной формой, а не приблизительно квадратичной с относительно добавления на A, как это предусмотрено общей теорией высот. Его можно определить с общей высоты ограничивающим процессом; есть также формулы в том смысле, что это сумма локальных вкладов.

Инвариант Неванлинны

Инвариант Неванлинны обильного делителя D на нормальное проективное многообразие X - действительное число, которое описывает скорость роста количества рациональных точек на многообразии по сравнению с вложением, определяемым делителем. Оно имеет формальные свойства, аналогичные абсциссе сходимости дзета-функции высоты , и предполагается, что они по существу одинаковы.

Обычная редукция

Абелево многообразие A размерности d имеет обычную редукцию в простом p, если оно имеет хорошее сокращение в p и, кроме того, p-кручение имеет ранг d.

Квазиалгебраическое замыкание

Тема квазиалгебраического замыкания, т. е. разрешимость, гарантируемая множеством переменных, полиномиальных от степени уравнения, выросла из исследований группы Брауэра и теоремы Шевалле – Уорнера. Это застопорилось перед лицом контрпримеров ; но см. теорему Акс-Кохена из математической логики.

Приведение по модулю простого числа или идеала

См. хорошее сокращение.

Полный идеал

Полный идеал в числовом поле K является формальным произведением дробного идеала матрицы K и вектора положительных действительных чисел с компонентами, индексированными бесконечными позициями K. Полный делитель - это делитель Аракелова.

Сато – Тейт Гипотеза

Гипотеза Сато – Тейта описывает распределение элементов Фробениуса в модулях Тейта эллиптических кривых на конечные поля, полученные при приведении заданной эллиптической кривой к рациональным числам. Микио Сато и, независимо, Джон Тейт предложили это примерно в 1960 году. Это прототип для представлений Галуа в целом.

Метод Сколема

См. Метод Чаботи.

Особый набор

Особый набор в алгебраическом многообразии - это подмножество, в котором можно ожидать найти много рациональных точек. Точное определение зависит от контекста. Одним из определений является замыкание Зарисского объединения образов алгебраических групп при нетривиальных рациональных отображениях; в качестве альтернативы можно делать изображения абелевых разновидностей; другое определение - это объединение всех подмногообразий не общего типа. Для абелевых многообразий определение было бы объединением всех транслятов собственных абелевых подмногообразий. Для комплексного многообразия голоморфное специальное множество - это замыкание Зарисского образов всех непостоянных голоморфных отображений из C . Лэнг предположил, что аналитические и алгебраические специальные множества равны.

Теорема о подпространстве

Теорема Шмидта о подпространстве показывает, что точки малой высоты в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскости. Количественная форма теоремы, в которой количество подпространств, содержащих все решения, была также получена Шмидтом, а теорема была обобщена Шликвеем (1977), чтобы позволить более общие абсолютные значения на числе. поля. Теорема может быть использована для получения результатов по диофантовым уравнениям, таким как теорема Зигеля о целых точках и решение уравнения S-единицы.

числа Тамагавы

прямое определение числа Тамагавы работает только для линейных алгебраических групп. Там гипотеза Вейля о числах Тамагавы в конце концов была доказана. Для абелевых многообразий и, в частности, гипотезы Берча – Суиннертона-Дайера (q.v.), числовой подход Тамагавы к локально-глобальному принципу не работает при прямой попытке, хотя на протяжении многих лет он имел эвристическую ценность. Теперь сложная гипотеза эквивариантного числа Тамагавы представляет собой серьезную исследовательскую проблему.

Гипотеза Тейта

Гипотеза Тейта (Джон Тейт, 1963) предоставила аналог гипотезы Ходжа, также на алгебраических циклах, но вполне в рамках арифметической геометрии. Он также дал для эллиптических поверхностей аналог гипотезы Берча – Суиннертона-Дайера (qv), что быстро привело к прояснению последней и признанию ее важности.

Кривая Тейта

Кривая Тейта - это особая эллиптическая кривая над p-адическими числами, введенными Джоном Тейтом для изучения плохой редукции (см. Хорошую редукцию).

Рейтинг Цена

Цен ранг поля, названного в честь C. К. Цен, который представил свое исследование в 1936 году, является наименьшим натуральным числом i, если оно существует, таким, что поле имеет класс T i : то есть такое, что любая система многочленов с ни один постоянный член степени d j в n переменных не имеет нетривиального нуля, когда n>∑ d j. Алгебраически замкнутые поля имеют нулевой ценовой ранг. Ранг Tsen больше или равен диофантова размерность, но не известно, равны ли они, за исключением случая нулевого ранга.

Гипотеза однородности

Гипотеза однородности утверждает, что для любого числа поля K и g>2 существует равномерная оценка B (g, K) числа K-рациональных точек на любой кривой рода g. Гипотеза вытекает из гипотезы Бомбьери – Ланга.

Маловероятное пересечение

Маловероятное пересечение - это алгебраическая подгруппа, пересекающая подмногообразие тора или абелевого многообразия в множестве необычно большой размерности, например Гипотеза Морделла – Лэнга.

Гипотеза Войты

Гипотеза Войты представляет собой комплекс гипотез Пола Войта, проводящих аналогии между Диофантовым приближением и теория Неванлинны.

веса

Это формулировка Александром Гротендиком аналогий между теорией Ходжа и l-адическими когомологиями.

Вейля. когомологии

Первоначальная идея, позже несколько измененная, для доказательства гипотез Вейля (qv), заключалась в построении теории когомологий, применяемой к алгебраическим многообразиям над конечными полями, которые обе были бы так же хороши, как сингулярная гомология при обнаружении топологической структуры, и имеют отображения Фробениуса, действующие таким образом, что t теорема Лефшеца о фиксированной точке может быть применена к подсчету в локальных дзета-функциях. Для более поздней истории см. мотив (алгебраическая геометрия), мотивационная когомология.

Гипотезы Вейля

Гипотезы Вейля были тремя очень влиятельными гипотезами Андре Вейля, обнародованная примерно в 1949 г., о местных дзета-функциях. Доказательство было завершено в 1973 году. Те, что были доказаны, остаются расширениями теоремы Шевалле – Уорнера сравнения, которая исходит из элементарного метода, и, например, более точные оценки кривых числа точек, чем исходят из основной теоремы Вейля 1940 года. Последняя оказалась интересной для кодов Гоппы.

распределений Вейля на алгебраических многообразиях

Андре Вейль предложил теорию в 1920-е и 1930-е годы о разложении на простой идеал алгебраических чисел в координатах точек на алгебраических многообразиях. Она оставалась несколько недостаточно развитой.

Функция Вейля

Функция Вейля на алгебраическом многообразии - это функция с действительными значениями, определенная с помощью некоторого дивизора Картье, который обобщает концепцию функции Грина в теории Аракелова. Они используются при построении локальных компонентов высоты Нерона – Тейта.

машины высоты Вейля

Машина высоты Вейля является эффективной процедурой для присвоения функции высоты любому делителю на гладком проективном многообразии над числовое поле (или до делителей Картье на негладких разновидностях).

Содержание:

Верх
0–9
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z

См. также

Ссылки

Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии. Новые математические монографии. 4. Издательство Кембриджского университета. doi : 10.2277 / 0521846153. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034.
Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: Введение. Тексты для выпускников по математике. 201 . ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023.
Лэнг, Серж (1988). Введение в теорию Аракелова. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96793-1. MR 0969124. Zbl 0667.14001.
Лэнг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии. Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-65399-8. Zbl 0956.11021.

Дополнительная литература

Дино Лоренцини (1996), Приглашение к арифметической геометрии, книжный магазин AMS, ISBN 978-0-8218-0267-0