Теория Неванлинны

В математическом поле комплексного анализа, Теория Неванлинны является частью теории мероморфных функций. Он был изобретен в 1925 году Рольфом Неванлинной. Герман Вейль назвал это «одним из немногих великих математических событий (двадцатого) века». Теория описывает асимптотическое распределение решений уравнения f (z) = a при изменении a. Фундаментальным инструментом является характеристика Неванлинны T (r, f), которая измеряет скорость роста мероморфной функции.

Другими основными участниками в первой половине 20 века были Ларс Альфорс, Андре Блох, Анри Картан, Эдвард Коллингвуд, Отто Фростман, Фритиоф Неванлинна, Хенрик Сельберг, Тацудзиро Симидзу, Освальд Тейхмюллер и Жорж Валирон. В своей первоначальной форме теория Неванлинны имеет дело с мероморфными функциями одной комплексной переменной, определенной в круге | z | ≤ R или во всей комплексной плоскости (R = ∞). Последующие обобщения распространили теорию Неванлинны на функции алгеброидов, голоморфные кривые, голоморфные отображения между комплексными многообразиями произвольной размерности, квазирегулярными отображениями и минимальными поверхностями.

В этой статье описывается в основном классический вариант для мероморфных функций одной переменной, с акцентом на функции, мероморфные в комплексной плоскости. Общие ссылки на эту теорию: Goldberg Ostrovskii, Hayman and Lang (1987).

Содержание

• 1 Характеристика Неванлинны
  • 1.1 Исходное определение Неванлинны
  • 1.2 Версия Альфорса – Симидзу
  • 1.3 Свойства
• 2 Первая фундаментальная теорема
• 3 Вторая основная теорема
• 4 Связь с дефектами
• 5 Приложения
• 6 Дальнейшее развитие
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература
• 10 Внешние ссылки

Характеристика Неванлинны

Исходное определение Неванлинны

Пусть f - мероморфная функция. Для каждого r ≥ 0 пусть n (r, f) будет числом полюсов с учетом кратности мероморфной функции f в круге | z | ≤ r. Затем определите счетную функцию Неванлинны как

$N\; (r,\; f)\; =\; \int \; 0\; r\; (n\; (t,\; f)\; -\; n\; (0,\; f))\; dtt\; +\; n\; (0,\; f)\; log\; \; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (r,\; f)\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{0\}\; ^\; \{r\}\; \backslash \; left\; (n\; (t,\; f)\; -n\; (0,\; f)\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; dfrac\; \{dt\}\; \{t\}\; \}\; +\; n\; (0,\; f)\; \backslash \; log\; r.\; \backslash ,\}$

Эта величина измеряет рост числа полюсов в дисках | z | ≤ r, когда r увеличивается. В явном виде, пусть a 1, a 2,..., a n будут полюсами ƒ в проколотом диске 0 < |z| ≤ r repeated according to multiplicity. Then n = n(r,f) - n(0,f), and

$N\; (r,\; е)\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; n\; журнал\; \; (г\; |\; ак\; |)\; +\; n\; (0,\; е)\; журнал\; \; г.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (r,\; f)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{|\; a\_\; \{k\}\; |\}\}\; \backslash \; right)\; +\; n\; (0,\; f)\; \backslash \; log\; r.\; \backslash ,\}$

Пусть logx = max (log x, 0). Тогда функция близости определяется как

$m\; (r,\; f)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; 0\; 2\; \pi \; log\; +\; \; |\; f\; (r\; e\; i\; \theta )\; |\; d\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (r,\; f)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; log\; ^\; \{+\}\; \backslash \; left\; |\; f\; (re\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\})\; \backslash \; right\; |\; d\; \backslash \; theta.\; \backslash ,\}$

Наконец, определим характеристику Неванлинны с помощью (см. формулу Йенсена для мероморфных функций)

$T\; (r,\; f)\; =\; m\; (r,\; f)\; +\; N\; (r,\; f).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (r,\; f)\; =\; m\; (r,\; f)\; +\; N\; (r,\; f).\; \backslash ,\}$

Версия Альфорса – Симидзу

Второй метод определения характеристики Неванлинны основан на по формуле

$\int \; 0\; rdtt\; (1\; \pi \; \int \; |\; z\; |\; \le \; t\; |\; f\; \text{'}|\; 2\; (1\; +\; |\; f\; |\; 2)\; 2\; dm)\; =\; T\; (r,\; f)\; +\; O\; (1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{r\}\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{t\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{|\; z\; |\; \backslash \; leq\; t\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; f\; \text{'}|\; ^\; \{2\}\}\; \{(1+\; |\; f\; |\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\}\; dm\; \backslash \; right)\; =\; T\; (r,\; f)\; +\; O\; (1),\; \backslash ,\}$

где dm - элемент площади на плоскости. Выражение в левой части называется характеристикой Альфорса – Симидзу. Ограниченный член O (1) не важен в большинстве вопросов.

Геометрический смысл характеристики Альфорс-Симидзу заключается в следующем. Внутренний интеграл dm - это сферическая область изображения диска | z | ≤ t, с учетом кратности (то есть части сферы Римана , покрытые k раз, считаются k раз). Эта площадь делится на π, которое является площадью всей сферы Римана. Результат можно интерпретировать как среднее количество листов в покрытии сферы Римана диском | z | ≤ т. Затем это среднее число покрытия интегрируется по t с весом 1 / t.

Свойства

Роль характеристической функции в теории мероморфных функций на плоскости аналогична роли

$log\; \; M\; (r,\; f)\; =\; log\; \; max\; |\; z\; |\; \le \; r\; |\; f\; (z)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; M\; (r,\; f)\; =\; \backslash \; log\; \backslash \; max\; \_\; \{|\; z\; |\; \backslash \; leq\; r\}\; |\; f\; (z)\; |\; \backslash ,\}$

в теории целых функций. Фактически, можно напрямую сравнить T (r, f) и M (r, f) для всей функции:

$T\; (r,\; f)\; \le \; log\; +\; \; M\; (r,\; f)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (r,\; f)\; \backslash \; leq\; \backslash \; log\; ^\; \{+\}\; M\; (r,\; f)\; \backslash ,\}$

и

$log\; \; M\; (r,\; f)\; \le \; (R\; +\; r\; R\; -\; r)\; T\; (R,\; е),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; M\; (r,\; f)\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dfrac\; \{R\; +\; r\}\; \{Rr\}\}\; \backslash \; right)\; T\; (R,\; f),\; \backslash ,\}$

для любого R>р.

Если f является рациональной функцией степени d, то T (r, f) ~ d log r; на самом деле T (r, f) = O (log r) тогда и только тогда, когда f - рациональная функция.

порядок мероморфной функции определяется как

$\rho \; (f)\; =\; lim\; sup\; r\; \to \; \infty \; log\; +\; \; T\; (r,\; f)\; log\; \; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (f)\; =\; \backslash \; limsup\; \_\; \{r\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; log\; ^\; \{+\}\; T\; (r,\; f)\}\; \{\backslash \; log\; r\}\}.\}$

Функции конечных Порядок составляют важный подкласс, который был много изучен.

Когда радиус R диска | z | ≤ R, в котором определена мероморфная функция, конечно, характеристика Неванлинны может быть ограниченной. Функции в круге с ограниченной характеристикой, также известные как функции ограниченного типа, - это в точности те функции, которые являются отношениями ограниченных аналитических функций. Функции ограниченного типа также могут быть определены таким образом для другой области, такой как верхняя полуплоскость.

Первая основная теорема

Пусть a ∈ C, и определим

$N\; (r,\; a,\; f)\; =\; N\; (r,\; 1\; f\; -\; a),\; m\; (r,\; a,\; f)\; =\; m\; (r,\; 1\; f\; -\; a).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; N\; (r,\; a,\; f)\; =\; N\; \backslash \; left\; (r,\; \{\backslash \; dfrac\; \{1\}\; \{fa\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; m\; (r,\; a,\; f)\; =\; m\; \backslash \; left\; (r,\; \{\backslash \; dfrac\; \{1\}\; \{fa\}\}\; \backslash \; right).\; \backslash ,\}$

Для a = ∞ положим N (r, ∞, f) = N (r, f), m (r, ∞, е) = m (r, f).

Первая фундаментальная теорема теории Неванлинны утверждает, что для каждого a в сфере Римана,

$T\; (r,\; f)\; =\; N\; (r,\; a,\; f)\; +\; м\; (р,\; а,\; е)\; +\; О\; (1),\; \{\backslash \; Displaystyle\; Т\; (г,\; е)\; =\; N\; (г,\; а,\; е)\; +\; м\; (г,\; а,\; е)\; +\; О\; (1),\; \backslash ,\}$

где ограниченный член O (1) может зависеть от f и a. Для непостоянных мероморфных функций на плоскости T (r, f) стремится к бесконечности, когда r стремится к бесконечности, поэтому Первая основная теорема утверждает, что сумма N (r, a, f) + m (r, a, f), стремится к бесконечности со скоростью, не зависящей от a. Первая основная теорема является простым следствием формулы Йенсена.

Характеристическая функция имеет следующие свойства степени:

$T\; (r,\; fg)\; \le \; T\; (r,\; f)\; +\; T\; (r,\; g)\; +\; O\; (1),\; T\; (r,\; f\; +\; g)\; \le \; T\; (r,\; f)\; +\; T\; (r,\; g)\; +\; O\; (1),\; T\; (r,\; 1\; /\; f)\; =\; T\; (r,\; f).\; +\; О\; (1),\; Т\; (г,\; фм)\; знак\; равно\; м\; T\; (г,\; е)\; +\; О\; (1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{lcl\}\; T\; (r,\; fg)\; \backslash \; leq\; T\; (r,\; f)\; +\; T\; (r,\; g)\; +\; O\; (1),\; \backslash \backslash \; T\; (r,\; f\; +\; g)\; \backslash \; leq\; T\; (r,\; f)\; +\; T\; (r,\; g)\; +\; O\; (1),\; \backslash \backslash \; T\; (r,\; 1\; /\; f)\; =\; T\; (r,\; f)\; +\; O\; (1),\; \backslash \backslash \; T\; (r,\; f\; ^\; \{m\})\; =\; mT\; (r,\; f)\; +\; O\; (1),\; \backslash ,\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

где m - натуральное число. Ограниченным членом O (1) можно пренебречь, когда T (r, f) стремится к бесконечности. Эти алгебраические свойства легко получаются из определения Неванлинны и формулы Йенсена.

Вторая фундаментальная теорема

Мы определяем N (r, f) так же, как N (r, f), но без учета множественности (т.е. мы подсчитываем только количество различных полюсов). Тогда N 1 (r, f) определяется как функция счета Неванлинны критических точек f, то есть

$N\; 1\; (r,\; f)\; =\; 2\; N\; (r,\; f)\; -\; N\; (\; r,\; f\; \prime )\; +\; N\; (r,\; 1\; f\; \prime )\; =\; N\; (r,\; f)\; +\; N\; ¯\; (r,\; f)\; +\; N\; (r,\; 1\; f\; \prime ).\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{1\}\; (r,\; f)\; =\; 2N\; (r,\; f)\; -N\; (r,\; f\; \text{'})\; +\; N\; \backslash \; left\; (r,\; \{\backslash \; dfrac\; \{1\}\; \{f\text{'}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; N\; (r,\; f)\; +\; \{\backslash \; overline\; \{N\}\}\; (r,\; f)\; +\; N\; \backslash \; left\; (r,\; \{\backslash \; dfrac\; \{1\}\; \{f\; \text{'}\}\}\; \backslash \; right).\; \backslash ,\}$

Вторая основная теорема говорит, что для любых k различных значений a j на сфере Римана имеем

$\sum \; j\; =\; 1\; km\; (r,\; aj,\; f)\; \le \; 2\; T\; (r,\; f)\; -\; N\; 1\; (r,\; f)\; +\; S\; (r,\; f).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; m\; (r,\; a\_\; \{j\},\; f)\; \backslash \; leq\; 2T\; (r,\; f)\; -N\_\; \{1\}\; (r,\; f)\; +\; S\; (r,\; f).\; \backslash ,\}$

Отсюда следует

$(k\; -\; 2)\; T\; (r,\; f)\; \le \; \sum \; j\; =\; 1\; k\; N\; ¯\; (r,\; aj,\; f)\; +\; S\; (r,\; f),\; \{\backslash \; displaystyle\; (k-2)\; T\; (r,\; f)\; \backslash \; leq\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; overline\; \{N\}\}\; (r,\; a\_\; \{j\},\; f)\; +\; S\; (r,\; f),\; \backslash ,\}$

где S (r, f) - "член с малой ошибкой".

Для функций, мероморфных в плоскости, S (r, f) = o (T (r, f)), вне набора конечной длины, т.е. член ошибки мал по сравнению с характеристикой для "наиболее "значения r. Известны гораздо более точные оценки члена ошибки, но Андре Блох предположил, а Хейман доказал, что нельзя избавиться от исключительного множества.

Вторая основная теорема позволяет дать оценку сверху характеристической функции через N (r, a). Например, если f - трансцендентная целая функция, используя вторую основную теорему с k = 3 и 3 = ∞, мы получаем, что f принимает каждое значение бесконечно часто, за не более чем двумя исключениями, доказывая Теорема Пикара.

Первоначальное доказательство Второй фундаментальной теоремы Неванлинной было основано на так называемой лемме о логарифмической производной, которая гласит, что m (r, f '/ f) = S (r, е). Аналогичное доказательство применимо и ко многим многомерным обобщениям. Существуют также дифференциально-геометрические доказательства, которые связывают его с теоремой Гаусса – Бонне. Вторая основная теорема также может быть выведена из метрико-топологической теории Альфорса, которую можно рассматривать как расширение формулы Римана – Гурвица на покрытия бесконечной степени.

Доказательства Неванлинны и Альфорса показывают, что константа 2 во Второй фундаментальной теореме связана с характеристикой Эйлера сферы Римана. Однако есть совсем другие объяснения этого 2, основанные на глубокой аналогии с теорией чисел, открытой Чарльзом Осгудом и Полом Войтой. Согласно этой аналогии, 2 является показателем степени в теореме Туэ – Зигеля – Рота. По этой аналогии с теорией чисел мы ссылаемся на обзор Lang (1987) и книгу Ru (2001).

Отношение дефектов

Отношение дефектов является одним из основные следствия из Второй основной теоремы. Дефект мероморфной функции в точке a определяется формулой

$\delta \; (a,\; f)\; =\; lim\; inf\; r\; \to \; \infty \; m\; (r,\; a,\; f)\; T\; (r,\; f)\; =\; 1\; -\; lim\; sup\; r\; \to \; \infty \; N\; (r,\; a,\; f)\; T\; (r,\; f).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (a,\; f)\; =\; \backslash \; liminf\; \_\; \{r\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{m\; (r,\; a,\; f)\}\; \{T\; (r,\; f)\}\}\; =\; 1-\; \backslash \; limsup\; \_\; \{\; r\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{N\; (r,\; a,\; f)\}\; \{T\; (r,\; f)\}\}.\; \backslash ,\}$

По Первой основной теореме 0 ≤ δ (a, f) ≤ 1, если T (r, f) стремится к бесконечности (что всегда имеет место для непостоянных функций, мероморфных на плоскости). Точки a, для которых δ (a, f)>0, называются недостаточными значениями . Из второй фундаментальной теоремы следует, что набор дефектных значений функции, мероморфной на плоскости, не превосходит счетного и выполняется следующее соотношение:

$\sum \; a\; \delta \; (a,\; f)\; \le \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{a\}\; \backslash \; delta\; (a,\; f)\; \backslash \; leq\; 2,\; \backslash ,\}$

, где суммирование производится по всем недостающим значениям. Это можно рассматривать как обобщение теоремы Пикара. Многие другие теоремы типа Пикара могут быть выведены из Второй фундаментальной теоремы.

В качестве еще одного следствия из Второй фундаментальной теоремы можно получить, что

$T\; (r,\; f\; \prime )\; \le \; 2\; T\; (r,\; f)\; +\; S\; (r,\; f),\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (\; r,\; f\; \text{'})\; \backslash \; leq\; 2T\; (r,\; f)\; +\; S\; (r,\; f),\; \backslash ,\}$

что обобщает тот факт, что рациональная функция степени d имеет 2d - 2 < 2d critical points.

Приложения

Теория Неванлинны полезна во всех вопросах, связанных с возникновением трансцендентных мероморфных функций, таких как аналитическая теория дифференциальных и функциональных уравнений голоморфной динамики, минимальные поверхности и сложная гиперболическая геометрия, которая имеет дело с обобщениями теоремы Пикара на более высокие измерения.

Дальнейшее развитие

Существенная часть исследований функций одной комплексной переменной в 20 век был сосредоточен на теории Неванлинны. Одним из направлений этого исследования было выяснить, являются ли основные выводы теории Неванлинны наилучшими из возможных. Например, обратная задача теории Неванлинны состоит в построении мероморфных функций с заранее заданными недостатками в заданных точках. Это было решено Дэвидом Драсином в 1976 году. Другое направление было сосредоточено на изучении различных подклассов класса всех мероморфных функций на плоскости. Самый важный подкласс состоит из функций конечного порядка. Оказывается, для этого класса недостатки подчиняются нескольким ограничениям, помимо отношения дефектов (Норайр Аракелян, Давид Драсин, Альберт Эдрей, Александр Еременко, Вольфганг Фукс, Анатолий Голдберг, Уолтер Хейман, Джозеф Майлз, Дэниел Ши, Освальд Тейхмюллер, Алан Вайцман и другие).

Анри Картан, Иоахим и Герман Вейль и Ларс Альфорс распространили теорию Неванлинны на голоморфные кривые. Это расширение является основным инструментом сложной гиперболической геометрии. Хенрик Сельберг и расширил теорию Неванлинны на функции алгеброидов. Интенсивные исследования в области классической одномерной теории все еще продолжаются.

См. Также

• Гипотеза Войты

Ссылки

• Ланг, Серж (1987). Введение в сложные гиперболические пространства. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-96447-8. Zbl 0628.32001. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Лэнг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии. Springer-Verlag. Pp. 192–204. ISBN 978-3-540-61223-0. Zbl 0869.11051.
• Неванлинна, Рольф (1925), «Zur Theorie der Meromorphen Funktionen», Acta Mathematica, 46(1-2): 1–99, doi : 10.1007 / BF02543858, ISSN 0001-5962
• Неванлинна, Рольф (1970) [1936], Аналитические функции, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 162, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR 0279280
• Ru, Min (2001). Теория Неванлинны и ее связь с диофантовым приближением. World Scientific Publishing. ISBN 978- 981-02-4402-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Дополнительная литература

• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). "13. Теория Неванлинны ". Высоты в диофантовой геометрии. Новые математические монографии. 4. Cambridge University Press. Pp. 444–478. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1115.11034.
• Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения ценностей. Конспект лекций по математике. 1239 . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-17551-3. Zbl 0609.14011.
• Войта, Пол (2011). «Диофантовы приближения и теория Неванлинны». В Корвахе, Пьетро; Гасбарри, Карло (ред.). Арифметическая геометрия. Лекции, прочитанные в летней школе C.I.M.E, Четраро, Италия, 10–15 сентября 2007 г. Конспект лекций по математике. 2009 год . Берлин: Springer-Verlag. С. 111–224. ISBN 978-3-642-15944-2. Zbl 1258.11076.

Внешние ссылки

• Петренко В.П. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
• Петренко, В.П. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press