Войти
В математике гипотеза p-кривизны Гротендика – Каца является локально-глобальным принципом для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных к дифференциальной теории Галуа и в широком смысле аналогичен результату в теореме плотности Чеботарева, рассматриваемой как полиномиальный случай. Это предположение Александра Гротендика из конца 1960-х годов и, по-видимому, не опубликовано им ни в какой форме.
Общий случай остается нерешенным, несмотря на недавний прогресс; он был связан с геометрическими исследованиями с участием алгебраических слоений.
В простейшем из возможных утверждений гипотеза может быть сформулирована в ее основных положениях для векторной системы, записанной как
для вектора v размера n и матрицы A размера n × n алгебраических функций с коэффициентами алгебраического числа. Вопрос состоит в том, чтобы дать критерий того, когда существует полный набор решений алгебраических функций, то есть фундаментальная матрица (т.е. n векторных решений, помещенных в блочную матрицу ). Например, для гипергеометрического уравнения был классический вопрос: когда у него есть пара алгебраических решений в терминах его параметров? Ответ классически известен как список Шварца. В терминах монодромии вопрос состоит в выявлении случаев конечной группы монодромии.
При переформулировке и переходе к более крупной системе существенным случаем являются рациональные функции от A и коэффициенты рациональных чисел. Тогда необходимое условие состоит в том, что для почти всех простых чисел p система, определяемая редукцией по модулю p, также должна иметь полный набор алгебраических решений над конечным полем с p элементами.
Гипотеза Гротендика состоит в том, что этих необходимых условий почти для всех p должно быть достаточно. Связь с p-кривизной состоит в том, что указанное условие mod p такое же, как и утверждение, что p-кривизна, образованная операцией рекурсии на A, равна нулю; так что по-другому можно сказать, что p-кривизна 0 для почти всех p влечет достаточно алгебраических решений исходного уравнения.
Николас Кац применил методы категории Таннаки, чтобы показать, что эта гипотеза по существу аналогична утверждению, что дифференциальная группа Галуа G (или, строго говоря, алгебра Ли gалгебраической группы G, которая в данном случае является замыканием Зарисского группы монодромии) может быть определяется информацией по модулю p для некоторого широкого класса дифференциальных уравнений.
Большой класс случаев был доказан Бенсоном Фарбом и Марком Кисин ; эти уравнения находятся на локально симметричном многообразии X с некоторыми теоретико-групповыми условиями. Эта работа основана на предыдущих результатах Каца для уравнений Пикара-Фукса (в современном смысле связи Гаусса-Манина ), усиленных в таннакианском направлении Андре. Также применяется версия сверхжесткости, характерная для арифметических групп. Другим прогрессом стали арифметические методы.
Николас Кац связал некоторые случаи с теорией деформации в 1972 году в статье, в которой была опубликована эта гипотеза. С тех пор были опубликованы переформулировки. q-аналог для разностных уравнений был предложен.
Отвечая на доклад Кисина об этой работе на коллоке Гротендик 2009 года, Кац дал краткий отчет из личного опыта. знание происхождения гипотезы. Весной 1969 года Гротендик представил его на публичном обсуждении, но ничего не написал по этой теме. К этой идее он пришел благодаря основополагающей интуиции в области кристаллической когомологии, которую в то время развивал его ученик Пьер Бертло. В некотором роде, желая приравнять понятие «нильпотентности» в теории связей с техникой структуры разделенной власти, которая стала стандартом в кристаллической теории, Гротендик выдвинул гипотезу как побочный продукт.
