В математике теорема Лефшеца о неподвижной точке является формулой который подсчитывает фиксированные точки непрерывного отображения из compact топологического пространства в себя посредством трасс индуцированных отображений на группах гомологии в . Он назван в честь Соломона Лефшеца, который впервые заявил об этом в 1926 году.
Подсчет зависит от вмененной кратности в фиксированной точке, называемой фиксированной точечный индекс. Слабого варианта теоремы достаточно, чтобы показать, что отображение без какой-либо неподвижной точки должно обладать довольно специальными топологическими свойствами (например, вращение окружности).
Для формального утверждения теоремы позвольте
быть непрерывным отображением из компактного триангулируемого пространства самому себе. Определите число Лефшеца из на
переменная (конечная) сумма следов матрицы линейных карт , индуцированных на , группы сингулярных гомологий для с рациональными коэффициентами.
Простая версия теоремы Лефшеца о неподвижной точке гласит: если
, то имеет хотя бы одну фиксированную точку, т. е. существует хотя бы один в такой, что . Фактически, поскольку число Лефшеца было определено на уровне гомологии, вывод может быть расширен, чтобы сказать, что любое отображение гомотопное в имеет фиксированная точка.
Однако обратите внимание, что обратное утверждение в целом неверно: может быть нулевым, даже если имеет фиксированные точки.
Во-первых, применяя теорему о симплициальном приближении, можно показать, что если не имеет фиксированных точек, то (возможно, после подразделения ) гомотопно симплициальной карте без фиксированной точки (т. е. он отправляет каждый симплекс в другой симплекс). Это означает, что диагональные значения матриц линейных отображений, индуцированные на симплициальном цепном комплексе из должны быть равны нулю. Затем следует отметить, что, в общем, число Лефшеца также может быть вычислено с использованием чередующейся суммы матричных следов вышеупомянутых линейных отображений (это верно почти по той же причине, что и эйлерова характеристика имеет определение в терминах групп гомологии ; см. ниже для связи с эйлеровой характеристикой). В частном случае симплициального отображения без неподвижных точек все диагональных значений равны нулю, и поэтому все трассы равны нулю.
Более сильная форма теоремы, также известная как теорема Лефшеца – Хопфа, гласит, что если имеет только конечное число неподвижных точек, тогда
где - это набор фиксированных точек , а обозначает индекс фиксированной точки . Из этой теоремы выводится теорема Пуанкаре – Хопфа для векторных полей.
Число Лефшеца тождественной карты на конечном CW-комплексе можно легко вычислить, поняв, что каждый можно рассматривать как единичную матрицу, и поэтому каждый член следа - это просто измерение соответствующей группы гомологий. Таким образом, число Лефшеца тождественного отображения равно альтернированной сумме чисел Бетти пространства, которая, в свою очередь, равна характеристике Эйлера . Таким образом,
Теорема Лефшеца о неподвижной точке обобщает фиксированную точку Брауэра точечная теорема, которая утверждает, что каждая непрерывная карта из -мерного замкнутого единичного диска - должны иметь хотя бы одну фиксированную точку.
Это можно увидеть следующим образом: компактно и триангулируемо, все его группы гомологий, кроме равны нулю, и каждая непрерывная карта индуцирует тождественное отображение , след которого равен единице; все это вместе означает, что не равно нулю для любой непрерывной карты .
Лефшец представил свою теорему о неподвижной точке в (Lefschetz 1926). Лефшец фокусировался не на неподвижных точках карт, а скорее на том, что сейчас называется точками совпадения карт.
Даны две карты и из ориентируемого многообразия с ориентируемым многообразием того же измерения, число совпадений Лефшеца и определяется как
где , как указано выше, - гомоморфизм, индуцированный на группах когомологий с рациональными коэффициентами, и и являются изоморфизмами двойственности Пуанкаре для и соответственно.
Лефшец доказал, что если число совпадений отлично от нуля, то и имеют точка совпадения. Он отметил в своей статье, что использование и допуск в качестве карты идентичности дает более простой результат, который мы теперь знаем как теорему о неподвижной точке.
Пусть будет разновидностью, определенной над конечным полем с элементами и пусть будет подъемной силой до алгебраического замыкания . Эндоморфизм Фробениуса из (часто геометрический Фробениус или просто Фробениус), обозначается , отображает точку с координатами в точку с координатами . Таким образом, фиксированные точки являются точками с координатами в ; набор таких точек обозначается . В этом контексте справедлива формула следа Лефшеца:
Эта формула включает след Фробениуса на этальных когомологиях с компактными носителями со значениями в поле -adic numbers, где является простым взаимно простым числом с .
Если гладкое и равноразмерное, эта формула может быть переписанный в терминах арифметики Фробениус , который действует как инверсия о когомологиях:
В этой формуле используются обычные когомологии, а не когомологии с компактными носителями.
Формула следа Лефшеца также может быть обобщена на алгебраические стеки над конечными полями.