Теорема Лефшеца о фиксированной точке

редактировать
Подсчитывает неподвижные точки непрерывного отображения из компактного топологического пространства в себя

В математике теорема Лефшеца о неподвижной точке является формулой который подсчитывает фиксированные точки непрерывного отображения из compact топологического пространства X {\ displaystyle X}X в себя посредством трасс индуцированных отображений на группах гомологии в X {\ displaystyle X}X . Он назван в честь Соломона Лефшеца, который впервые заявил об этом в 1926 году.

Подсчет зависит от вмененной кратности в фиксированной точке, называемой фиксированной точечный индекс. Слабого варианта теоремы достаточно, чтобы показать, что отображение без какой-либо неподвижной точки должно обладать довольно специальными топологическими свойствами (например, вращение окружности).

Содержание

  • 1 Формальное утверждение
  • 2 Набросок доказательства
  • 3 Теорема Лефшеца – Хопфа
  • 4 Связь с характеристикой Эйлера
  • 5 Связь с теоремой Брауэра о неподвижной точке
  • 6 Исторический контекст
  • 7 Фробениус
  • 8 См. Также
  • 9 Примечания
  • 10 Ссылки
  • 11 Внешние ссылки

Формальное утверждение

Для формального утверждения теоремы позвольте

f: X → X {\ displaystyle f \ двоеточие X \ rightarrow X \,}{\ displaystyle f \ двоеточие X \ rightarrow X \,}

быть непрерывным отображением из компактного триангулируемого пространства X {\ displaystyle X}X самому себе. Определите число Лефшеца Λ f {\ displaystyle \ Lambda _ {f}}{\ displaystyle \ Lambda _ {f}} из f {\ displaystyle f}f на

Λ е: знак равно ∑ К ≥ 0 (- 1) ktr (е * | ЧАС К (X, Q)), {\ displaystyle \ Lambda _ {f}: = \ sum _ {k \ geq 0} (- 1) ^ {k} \ mathrm {tr} (f _ {*} | H_ {k} (X, \ mathbb {Q})),}{\ displaystyle \ Лямбда _ {f}: = \ sum _ {k \ geq 0} (- 1) ^ {k} \ mathrm {tr} (f _ {*} | H_ {k} (X, \ mathbb {Q})), }

переменная (конечная) сумма следов матрицы линейных карт , индуцированных f {\ displaystyle f}f на H k (X, Q) {\ displaystyle H_ {k} (X, \ mathbb {Q})}{\ displaystyle H_ {k} (Икс, \ mathbb {Q})} , группы сингулярных гомологий для X {\ displaystyle X}X с рациональными коэффициентами.

Простая версия теоремы Лефшеца о неподвижной точке гласит: если

Λ f ≠ 0 {\ displaystyle \ Lambda _ {f} \ neq 0 \,}\ Lambda_f \ neq 0 \,

, то f { \ displaystyle f}f имеет хотя бы одну фиксированную точку, т. е. существует хотя бы один x {\ displaystyle x}x в X {\ displaystyle X}X такой, что f (x) = x {\ displaystyle f (x) = x}f (x) = x . Фактически, поскольку число Лефшеца было определено на уровне гомологии, вывод может быть расширен, чтобы сказать, что любое отображение гомотопное в f {\ displaystyle f}f имеет фиксированная точка.

Однако обратите внимание, что обратное утверждение в целом неверно: Λ f {\ displaystyle \ Lambda _ {f}}{\ displaystyle \ Lambda _ {f}} может быть нулевым, даже если f {\ displaystyle f}f имеет фиксированные точки.

Набросок доказательства

Во-первых, применяя теорему о симплициальном приближении, можно показать, что если f {\ displaystyle f}f не имеет фиксированных точек, то (возможно, после подразделения X {\ displaystyle X}X ) f {\ displaystyle f}f гомотопно симплициальной карте без фиксированной точки (т. е. он отправляет каждый симплекс в другой симплекс). Это означает, что диагональные значения матриц линейных отображений, индуцированные на симплициальном цепном комплексе из X {\ displaystyle X}X должны быть равны нулю. Затем следует отметить, что, в общем, число Лефшеца также может быть вычислено с использованием чередующейся суммы матричных следов вышеупомянутых линейных отображений (это верно почти по той же причине, что и эйлерова характеристика имеет определение в терминах групп гомологии ; см. ниже для связи с эйлеровой характеристикой). В частном случае симплициального отображения без неподвижных точек все диагональных значений равны нулю, и поэтому все трассы равны нулю.

Теорема Лефшеца – Хопфа

Более сильная форма теоремы, также известная как теорема Лефшеца – Хопфа, гласит, что если f {\ displaystyle f }f имеет только конечное число неподвижных точек, тогда

∑ x ∈ F ix (f) i (f, x) = Λ f, {\ displaystyle \ sum _ {x \ in \ mathrm {Fix } (f)} я (f, x) = \ Lambda _ {f},}\ sum_ {x \ in \ mathrm {Fix} (f)} i (f, x) = \ Lambda_f,

где F ix (f) {\ displaystyle \ mathrm {Fix} (f)}{\ displaystyle \ mathrm {Fix} (f)} - это набор фиксированных точек f {\ displaystyle f}f , а i (f, x) {\ displaystyle i (f, x)}{\ displaystyle i (f, x)} обозначает индекс фиксированной точки x {\ displaystyle x}x . Из этой теоремы выводится теорема Пуанкаре – Хопфа для векторных полей.

Связь с характеристикой Эйлера

Число Лефшеца тождественной карты на конечном CW-комплексе можно легко вычислить, поняв, что каждый f ∗ {\ displaystyle f _ {\ ast}}f_ \ ast можно рассматривать как единичную матрицу, и поэтому каждый член следа - это просто измерение соответствующей группы гомологий. Таким образом, число Лефшеца тождественного отображения равно альтернированной сумме чисел Бетти пространства, которая, в свою очередь, равна характеристике Эйлера χ (X) {\ Displaystyle \ чи (X)}\ chi (X) . Таким образом,

Λ i d = χ (X). {\ displaystyle \ Lambda _ {\ mathrm {id}} = \ chi (X). \}\ Lambda _ {\ mathrm {id}} = \ chi (X). \

Связь с теоремой Брауэра о неподвижной точке

Теорема Лефшеца о неподвижной точке обобщает фиксированную точку Брауэра точечная теорема, которая утверждает, что каждая непрерывная карта из n {\ displaystyle n}n -мерного замкнутого единичного диска D n {\ displaystyle D ^ {n}}D ^ {n} - D n {\ displaystyle D ^ {n}}D ^ {n} должны иметь хотя бы одну фиксированную точку.

Это можно увидеть следующим образом: D n {\ displaystyle D ^ {n}}D ^ {n} компактно и триангулируемо, все его группы гомологий, кроме H 0 {\ displaystyle H_ {0}}H_ {0} равны нулю, и каждая непрерывная карта f: D n → D n {\ displaystyle f \ двоеточие D ^ {n} \ to D ^ {n}}f \ двоеточие D ^ {n} \ to D ^ {n} индуцирует тождественное отображение f ∗: H 0 (D n, Q) → H 0 (D n, Q) {\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие H_ {0} (D ^ {n}, \ mathbb {Q}) \ to H_ {0} (D ^ {n}, \ mathbb {Q})}{\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие H_ {0} (D ^ {n}, \ mathbb {Q}) \ to H_ {0 } (D ^ {n}, \ mathbb {Q})} , след которого равен единице; все это вместе означает, что Λ f {\ displaystyle \ Lambda _ {f}}{\ displaystyle \ Lambda _ {f}} не равно нулю для любой непрерывной карты f: D n → D n {\ displaystyle f \ двоеточие D ^ {n} \ to D ^ {n}}f \ двоеточие D ^ {n} \ to D ^ {n} .

Исторический контекст

Лефшец представил свою теорему о неподвижной точке в (Lefschetz 1926). Лефшец фокусировался не на неподвижных точках карт, а скорее на том, что сейчас называется точками совпадения карт.

Даны две карты f {\ displaystyle f}f и g {\ displaystyle g}gиз ориентируемого многообразия X {\ displaystyle X}X с ориентируемым многообразием Y {\ displaystyle Y}Y того же измерения, число совпадений Лефшеца f {\ displaystyle f}f и g {\ displaystyle g}gопределяется как

Λ f, g = ∑ (- 1) ktr (DX ∘ g ∗ ∘ DY - 1 ∘ е *), {\ displaystyle \ Lambda _ {f, g} = \ sum (-1) ^ {k} \ mathrm {tr} (D_ {X} \ circ g ^ {*} \ circ D_ {Y } ^ {- 1} \ circ f _ {*}),}{\ displaystyle \ Lambda _ {f, g} = \ sum (-1) ^ {k} \ mathrm {tr} (D_ {X} \ circ g ^ {*} \ circ D_ {Y} ^ {- 1} \ circ f _ {*}),}

где f ∗ {\ displaystyle f _ {*}}f _ {*} , как указано выше, g ∗ {\ displaystyle g _ {*}}{\ displaystyle g _ {*}} - гомоморфизм, индуцированный g {\ displaystyle g}gна группах когомологий с рациональными коэффициентами, и DX {\ displaystyle D_ {X}}D_ {X} и DX {\ displaystyle D_ {X}}D_ {X} являются изоморфизмами двойственности Пуанкаре для X { \ displaystyle X}X и Y {\ displaystyle Y}Y соответственно.

Лефшец доказал, что если число совпадений отлично от нуля, то f {\ displaystyle f}f и g {\ displaystyle g}gимеют точка совпадения. Он отметил в своей статье, что использование X = Y {\ displaystyle X = Y}{\ displaystyle X = Y} и допуск g {\ displaystyle g}gв качестве карты идентичности дает более простой результат, который мы теперь знаем как теорему о неподвижной точке.

Фробениус

Пусть X {\ displaystyle X}X будет разновидностью, определенной над конечным полем k {\ displaystyle k}kс элементами q {\ displaystyle q}q и пусть X ¯ {\ displaystyle {\ bar {X}}}{\ bar {X}} будет подъемной силой X {\ displaystyle X}X до алгебраического замыкания k {\ displaystyle k}k. Эндоморфизм Фробениуса из X ¯ {\ displaystyle {\ bar {X}}}{\ bar {X}} (часто геометрический Фробениус или просто Фробениус), обозначается F q {\ displaystyle F_ {q}}F_q , отображает точку с координатами x 1,…, xn {\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n }}x_ {1}, \ ldots, x_ {n} в точку с координатами x 1 q,…, xnq {\ displaystyle x_ {1} ^ {q}, \ ldots, x_ {n} ^ {q}}x_1 ^ q, \ ldots, x_n ^ q . Таким образом, фиксированные точки F q {\ displaystyle F_ {q}}F_q являются точками X {\ displaystyle X}X с координатами в к {\ displaystyle k}k; набор таких точек обозначается X (k) {\ displaystyle X (k)}X (k) . В этом контексте справедлива формула следа Лефшеца:

# X (k) = ∑ i (- 1) i t r (F q | H c i (X ¯, Q ℓ)). {\ displaystyle \ #X (k) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} \ mathrm {tr} (F_ {q} | H_ {c} ^ {i} ({\ bar {X}) }, \ mathbb {Q} _ {\ ell})).}{\ displaystyle \ # X (k) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} \ mathrm {tr} (F_ {q} | H_ {c} ^ {i} ({\ bar {X}}, \ mathbb { Q} _ {\ ell})).}

Эта формула включает след Фробениуса на этальных когомологиях с компактными носителями X ¯ {\ displaystyle {\ bar {X }}}{\ bar {X}} со значениями в поле ℓ {\ displaystyle \ ell}\ ell -adic numbers, где ℓ {\ displaystyle \ ell}\ ell является простым взаимно простым числом с q {\ displaystyle q}q .

Если X {\ displaystyle X}X гладкое и равноразмерное, эта формула может быть переписанный в терминах арифметики Фробениус Φ q {\ displaystyle \ Phi _ {q}}\ Phi_q , который действует как инверсия F q {\ displaystyle F_ {q}}F_q о когомологиях:

# X (k) = q dim ⁡ X ∑ i (- 1) itr (Φ q - 1 | H i (X ¯, Q ℓ)). {\ displaystyle \ #X (k) = q ^ {\ dim X} \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} \ mathrm {tr} (\ Phi _ {q} ^ {- 1} | H ^ {i} ({\ bar {X}}, \ mathbb {Q} _ {\ ell})).}{\ displaystyle \ #X (k) = q ^ {\ dim X} \ sum _ {i} (- 1) ^ {i } \ mathrm {tr} (\ Phi _ {q} ^ {- 1} | H ^ {i} ({\ bar {X}}, \ mathb b {Q} _ {\ ell})).}

В этой формуле используются обычные когомологии, а не когомологии с компактными носителями.

Формула следа Лефшеца также может быть обобщена на алгебраические стеки над конечными полями.

См. Также

Примечания

  1. ^Дольд, Альбрехт (1980). Лекции по алгебраической топологии. 200 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10369-1. MR 0606196., Предложение VII.6.6.

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-26 05:10:07
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте