Войти
В математике метод круга Харди – Литтлвуда является методом аналитической теории чисел. Он назван в честь G. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд, который разработал его в серии статей по проблеме Варинга.
Первоначальная идея обычно приписывается работе Харди с Шринивасой Рамануджаном несколькими годами ранее, в 1916 и 1917 годах, на асимптотика статистической суммы . Его подхватили многие другие исследователи, в том числе Гарольд Дэвенпорт и И. М. Виноградов, который несколько изменил формулировку (перейдя от комплексного анализа к экспоненциальным суммам ), не изменив широких линий. За этим последовали сотни статей, и по состоянию на 2013 год метод все еще дает результаты. Этот метод является предметом монографии Vaughan (1997) R. К. Воан.
Цель состоит в том, чтобы доказать асимптотическое поведение ряда: показать, что 
Метод круга предназначен для вычисления этих остатков путем разделения круга на малые дуги (основная часть круга) и большие дуги (маленькие дуги, содержащие наиболее значимые особенности), а затем ограничивая поведение на второстепенных дугах. Ключевой вывод состоит в том, что во многих интересных случаях (например, тета-функции ) сингулярности возникают в корнях из единицы, а значение сингулярностей порядка Последовательность Фарея. Таким образом, можно исследовать наиболее важные особенности и, если повезет, вычислить интегралы.
Рассматриваемая окружность изначально была единичной окружностью на комплексной плоскости. Предполагая, что проблема была сначала сформулирована в терминах, что для последовательности комплексных чисел
нам нужна некоторая асимптотическая информация типа
где у нас есть эвристическая причина угадать форму, принятую F (анзац ), мы пишем
a степенной ряд производящая функция. Интересны случаи, когда f имеет радиус сходимости, равный 1, и мы предполагаем, что поставленная задача была изменена, чтобы представить эту ситуацию.
Из этой формулировки прямо из теоремы о вычетах следует, что
для целых чисел n ≥ 0, где интеграл берется по окружности радиуса r и центрируется в 0 для любого r с
. То есть это контурный интеграл , причем контур представляет собой описанную окружность, пройденную один раз против часовой стрелки. Пока это относительно элементарно. Мы хотели бы взять r = 1 напрямую, т.е. использовать контур единичной окружности. В формулировке комплексного анализа это проблематично, поскольку значения f там вообще не определены.
Проблема, которую решает метод окружности, состоит в том, чтобы решить проблему принятия r = 1, хорошо понимая природу особенностей f на единичной окружности.. Фундаментальное понимание - это роль, которую играет последовательность Фари рациональных чисел или, что то же самое, корни из единицы
Здесь знаменатель s, предполагая, что r / s равно в самом низком выражении, оказывается, определяет относительную важность сингулярного поведения типичного f вблизи ζ.
Таким образом можно выразить круговой метод Харди – Литтлвуда для комплексно-аналитической формулировки. Вклады в оценку I n при r → 1 следует рассматривать двумя способами, традиционно называемыми большими дугами и второстепенными дугами. Мы разделим корни из единицы ζ на два класса в зависимости от того, s ≤ N или s>N, где N - функция от n, которую мы можем удобно выбрать. Интеграл I n делится на интегралы, каждый на некоторой дуге окружности, смежной с ζ, длина которой является функцией s (опять же, по нашему усмотрению). Дуги составляют весь круг; сумма интегралов по главным дугам должна составить 2πiF (n) (реально это произойдет с точностью до управляемого остаточного члена). Сумма интегралов по второстепенным дугам должна быть заменена верхней границей , меньшей по порядку, чем F (n).
Сказанное так смело, совсем не ясно, можно ли заставить это работать. Понимание этого довольно глубокое. Одним из очевидных источников является теория тета-функций.
В контексте проблемы Варинга степени тета-функций являются производящими функциями для функции суммы квадратов. Их аналитическое поведение известно гораздо точнее, чем, например, кубиков.
Типичное сингулярное поведение тета-функции Это тот случай, как показывает диаграмма в условных цветах, что для тета-функции «самая важная» точка на граничной окружности находится в точке z = 1; за которым следует z = −1, а затем два комплексных кубических корня из единицы в 7 и 11 часах. После этого корни четвертой степени из единиц i и −i имеют наибольшее значение. Хотя ничто в этом не гарантирует, что аналитический метод будет работать, он все же объясняет логику использования критерия типа ряда Фарея для корней из единицы.
В случае проблемы Варинга требуется достаточно высокая степень производящей функции, чтобы создать ситуацию, в которой преобладают сингулярности, организованные в так называемые сингулярные серии. Чем менее расточительны оценки, используемые для остальных, тем точнее результаты. Как сказал Брайан Берч, этот метод по своей сути расточителен. Это не относится к случаю статистической суммы, которая сигнализирует о возможности того, что в благоприятной ситуации можно будет контролировать потери от оценок.
Позднее И.М. Виноградов расширил эту технику, заменив формулировку экспоненциальной суммы f (z) конечным рядом Фурье, так что соответствующий интеграл I n - это коэффициент Фурье. Виноградов применил конечные суммы к проблеме Варинга в 1926 году, и общий метод тригонометрических сумм стал известен как «круговой метод Харди, Литтлвуда и Рамануджана в форме тригонометрических сумм Виноградова». По сути, все это означает отбрасывание всего «хвоста» производящей функции, позволяя напрямую установить значение r в операции ограничения 1.
Уточнения этот метод позволил доказать результаты о решениях однородных диофантовых уравнений, пока число переменных k велико относительно степени d (см., например, теорему Берча ). Оказывается, это вклад в принцип Хассе, способный давать количественную информацию. Если d фиксировано, а k мало, требуются другие методы, и действительно, принцип Хассе имеет тенденцию к провалу.
круги Форда : круг опирается на каждую дробь в самом низком смысле. Более темные круги показаны для фракций 0/1, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5 и 4 /. 5. Каждая окружность касается базовой линии и соседних с ней окружностей (см. Также Касательные линии к окружностям ). Дроби с одинаковым знаменателем имеют круги одинакового размера. В особом случае, когда метод круга применяется для нахождения коэффициентов модульной формы отрицательного веса, Ганс Радемахер нашел модификацию контур, который заставляет ряды, полученные из метода круга, сходиться к точному результату. Чтобы описать его контур, удобно заменить единичный круг на верхнюю полуплоскость, сделав замену z = exp (2πiτ), так что контурный интеграл становится интегралом от τ = i до τ = 1 + i. (Число i можно заменить любым числом в верхней полуплоскости, но i - наиболее удобный выбор.) Контур Радемахера (более или менее) задается границами всех окружностей Форда от 0 к 1, как показано на схеме. Замена линии от i до 1 + i границами этих кругов является нетривиальным ограничивающим процессом, который может быть оправдан для модульных форм с отрицательным весом, а также с большей осторожностью может быть оправдан для непостоянных членов для случая веса 0 (другими словами модульные функции ).
