В математика, алгебро-геометрический код (AG-код ), иначе известный как код Гоппа, является общим типом линейного код, построенный с использованием алгебраической кривой над конечным полем . Такие коды ввел Валерий Денисович Гоппа. В частных случаях они могут быть интересными. Их не следует путать с двоичными кодами Гоппа, которые используются, например, в криптосистеме Мак-Элиса.
Содержание
- 1 Конструкция
- 2 Функциональный код
- 3 Остаточный код
- 4 Ссылки
- 5 Внешние ссылки
Построение
Традиционно AG-код строится из несингулярной проективной кривой Xнад конечное поле с использованием ряда фиксированных различных -рациональные точки на :
Пусть будет делителем на X с опорой , состоящей только из рациональных точек. и это не пересекается с . Таким образом,
По теореме Римана – Роха существует уникальное конечномерное векторное пространство, , относительно делителя . Векторное пространство является подпространством функционального поля из X.
. Есть два основных типа AG-кодов, которые могут быть построены с использованием вышеуказанной информации.
Код функции
Код функции (или двойной код ) относительно кривой X, делитель и набор строятся следующим образом.
Пусть , будет делителем с определено, как указано выше. Обычно мы обозначаем код Гоппы C(D,G). Теперь мы знаем все, что нам нужно для определения кода Гоппы:
Для фиксированного базиса для L (G) над , соответствующий код Гоппа в растянуто на векторами
Следовательно,
- порождающая матрица для
Эквивалентно, он определяется как изображение
Ниже показано, как параметры кода соотносятся с классическими параметрами линейных систем делителей D на C (см. Riemann – Roch теорема подробнее). Обозначение ℓ (D) означает размерность L (D).
- Предложение A. Размерность кода Гоппа равна
Доказательство. Поскольку мы должны показать, что
Пусть тогда так что . Таким образом, И наоборот, предположим, что , затем с
(G не« исправляет »проблемы с , поэтому f должен сделать это вместо этого.) Отсюда следует, что
- Предложение B. Минимальное расстояние между двумя кодовыми словами равно
Доказательство. Предположим, что вес Хэмминга из - д. Это означает, что для индексы мы имеем для Тогда и
Принимая степени с обеих сторон и отмечая, что
получаем
поэтому
Код остатка
Код остатка может быть определен как двойник кода функции или как остаток некоторых функций в .
Ссылки
- Key One Chung, Goppa Codes, декабрь 2004 г., факультет математики, Университет штата Айова.
Внешние ссылки