Транспортная теорема Рейнольдса

В дифференциальном исчислении, то транспортная теорема Рейнольдс (также известная как теорема транспорта Лейбниц-Reynolds), или просто теорема Рейнольдс, названная в честь Осборна Рейнольдса (1842-1912), является трехмерный обобщением интегрального Лейбница. Он используется для преобразования производных по времени от интегральных величин и полезен при формулировке основных уравнений механики сплошных сред.

Рассмотрим интегрирование f = f ( x, t) по зависящей от времени области Ω ( t), имеющей границу ∂Ω ( t), а затем взяв производную по времени:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} \, dV.}$

Если мы хотим переместить производную внутри интеграла, возникают две проблемы: зависимость f от времени и введение и удаление пространства из Ω из-за его динамической границы. Транспортная теорема Рейнольдса обеспечивает необходимую основу.

• 1 Общий вид
• 2 Форма для материального элемента
• 3 Особый случай
  • 3.1 Интерпретация и сокращение до одного измерения
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Теорема переноса Рейнольдса может быть выражена следующим образом:

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {dt}} \ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} \, dV = \ int _ {\ Omega (t)} {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial t}} \, dV + \ int _ {\ partial \ Omega (t)} \ left (\ mathbf {v} ^ {b} \ cdot \ mathbf {n} \ right) \ mathbf { f} \, dA}$

в котором n ( x, t) - единичный вектор нормали, направленный наружу, x - точка в области и переменная интегрирования, dV и dA - объемные и поверхностные элементы в x, а v ^b ( x, t) - скорость элемента площади ( не скорость потока). Функция f может быть тензорной, векторной или скалярной. Обратите внимание, что интеграл в левой части является функцией исключительно времени, поэтому была использована полная производная.

В механике сплошных сред эта теорема часто используется для материальных элементов. Это пакеты жидкостей или твердых тел, в которые не входит и не выходит ни один материал. Если Ω ( t) - материальный элемент, то существует функция скорости v = v ( x, t), а граничные элементы подчиняются

${\ displaystyle \ mathbf {v} ^ {b} \ cdot \ mathbf {n} = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}.}$

Это условие можно заменить, чтобы получить:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} \, dV \ right) = \ int _ {\ Omega (t)} {\ гидроразрыв {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial t}} \, dV + \ int _ {\ partial \ Omega (t)} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {f} \, dA.}$

Доказательство материального элемента

Пусть Ω 0 - эталонная конфигурация области Ω ( t). Пусть движение и градиент деформации задаются формулами ${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ boldsymbol {\ varphi}} (\ mathbf {X}, t),}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} (\ mathbf {X}, t) = {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {\ varphi}}.}$ Пусть J ( X, t) = det F ( X, t). Определять ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X}, t) = \ mathbf {f} ({\ boldsymbol {\ varphi}} (\ mathbf {X}, t), t).}$ Тогда интегралы в текущей и эталонной конфигурациях связаны соотношением ${\ Displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) \, dV amp; = \ int _ {\ Omega _ {0}} \ mathbf {f} ({\ boldsymbol {\ varphi}} (\ mathbf {X}, t), t) \, J (\ mathbf {X}, t) \, dV_ {0} \\ amp; = \ int _ { \ Omega _ {0}} {\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X}, t) \, J (\ mathbf {X}, t) \, dV_ {0}. \ End {выровнено }}}$ То, что этот вывод относится к материальному элементу, подразумевается постоянством времени эталонной конфигурации: он постоянен в координатах материала. Производная интеграла по объему по времени определяется как ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) \, dV \ right) = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac {1} {\ Delta t}} \ left (\ int _ {\ Omega (t + \ Delta t)} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t + \ Дельта t) \, dV- \ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) \, dV \ right).}$ Преобразуя в интегралы по эталонной конфигурации, получаем ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) \, dV \ right) = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac {1} {\ Delta t}} \ left (\ int _ {\ Omega _ {0}} {\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X }, t + \ Delta t) \, J (\ mathbf {X}, t + \ Delta t) \, dV_ {0} - \ int _ {\ Omega _ {0}} {\ hat {\ mathbf {f}} } (\ mathbf {X}, t) \, J (\ mathbf {X}, t) \, dV_ {0} \ right).}$ Поскольку Ω 0 не зависит от времени, имеем ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) \, dV \ right) amp; = \ int _ {\ Omega _ {0}} \ left (\ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac {{\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X}, t + \ Delta t) \, J (\ mathbf {X}, t + \ Delta t) - {\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X}, t) \, J (\ mathbf {X }, t)} {\ Delta t}} \ right) \, dV_ {0} \\ amp; = \ int _ {\ Omega _ {0}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X}, t) \, J (\ mathbf {X}, t) \ right) \, dV_ {0} \\ amp; = \ int _ { \ Omega _ {0}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ big (} {\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X}, t) {\ большой)} \, J (\ mathbf {X}, t) + {\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X}, t) \, {\ frac {\ partial} {\ partial t} } {\ big (} J (\ mathbf {X}, t) {\ big)} \ right) \, dV_ {0}. \ end {align}}}$ Производная от J по времени определяется выражением: ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial J (\ mathbf {X}, t)} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ det { \ boldsymbol {F}}) amp; = (\ det {\ boldsymbol {F}}) ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) \\ amp; = J (\ mathbf {X}, t) \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} {\ big (} {\ boldsymbol {\ varphi}} (\ mathbf {X}, t), t {\ big)} \\ amp; = J (\ mathbf {X}, t) \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t). \ End {align}}}$ Следовательно, ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) \, dV \ right) amp; = \ int _ {\ Omega _ {0}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X }, t) \ right) \, J (\ mathbf {X}, t) + {\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X}, t) \, J (\ mathbf {X}, t) \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t) \ right) \, dV_ {0} \\ amp; = \ int _ {\ Omega _ {0 }} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X}, t) \ right) + {\ hat {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {X}, t) \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t) \ right) \, J (\ mathbf {X}, t) \, dV_ {0} \\ amp; = \ int _ {\ Omega (t)} \ left ({\ dot {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {x}, t) + \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t) \ right) \, dV. \ end { выровнено}}}$ где - материальная производная от f по времени. Материальная производная дается выражением ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {f}}}}$ ${\ Displaystyle {\ точка {\ mathbf {f}}} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ partial \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t)} {\ partial t} } + {\ big (} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) {\ big)} \ cdot \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t).}$ Следовательно, ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) \, dV \ right) = \ int _ {\ Omega (t)} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t)} {\ partial t}} + {\ big (} {\ boldsymbol {\ nabla} } \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) {\ big)} \ cdot \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t) + \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, t) \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t) \ right) \, dV,}$ или, ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} \, dV \ right) = \ int _ {\ Omega (t)} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {f} \, {\ полужирный символ {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \, dV.}$ Использование идентичности ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}) = \ mathbf {v} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {w}) + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w},}$ тогда у нас есть ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} \, dV \ right) = \ int _ {\ Omega (t)} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ mathbf {f} \ otimes \ mathbf {v}) \ right) \, dV.}$ Используя теорему о расходимости и тождество ( a ⊗ b) n = ( b n) a, имеем ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega (t)} \ mathbf {f} \, dV \ right) amp; = \ int _ {\ Omega (t)} {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial t}} \, dV + \ int _ {\ partial \ Omega (t)} (\ mathbf {f} \ otimes \ mathbf {v }) \ cdot \ mathbf {n} \, dA \\ amp; = \ int _ {\ Omega (t)} {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial t}} \, dV + \ int _ {\ partial \ Omega (t)} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {f} \, dA. \ qquad \ square \ end {выровнено}}}$

Если взять Ω за постоянное по времени, то v b = 0 и тождество сводится к

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega} f \, dV = \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \, dV. }$

как и ожидалось. (Это упрощение невозможно, если скорость потока неправильно используется вместо скорости элемента площади.)

Интерпретация и сокращение до одного измерения

Теорема представляет собой многомерное расширение дифференцирования под знаком интеграла и в некоторых случаях сводится к этому выражению. Предположим, что f не зависит от y и z, и что Ω ( t) является единичным квадратом на плоскости yz и имеет пределы x a ( t) и b ( t). Тогда транспортная теорема Рейнольдса сводится к

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {dt}} \ int _ {a (t)} ^ {b (t)} f (x, t) \, dx = \ int _ {a (t)} ^ { b (t)} {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \, dx + {\ frac {\ partial b (t)} {\ partial t}} f {\ big (} b (t), t {\ big)} - {\ frac {\ partial a (t)} {\ partial t}} f {\ big (} a (t), t {\ big)} \,,}$

которое с точностью до замены x и t является стандартным выражением дифференцирования под знаком интеграла.

• Интегральное правило Лейбница

• Леал, LG (2007). Продвинутые явления переноса: механика жидкости и конвективные процессы переноса. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-84910-4.
• Марсден, Дж. Э. ; Тромба, А. (2003). Векторное исчисление (5-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN   978-0-7167-4992-9.
• Рейнольдс, О. (1903). Статьи по механическим и физическим предметам. Vol. 3, Субмеханика Вселенной. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. |volume=имеет дополнительный текст ( справка )

• Осборн Рейнольдс, Сборник статей по механическим и физическим предметам, в трех томах, опубликованных около 1903 года, теперь полностью и бесплатно доступен в цифровом формате: Том 1, Том 2, Том 3,
• «Модуль 6 - Транспортная теорема Рейнольдса». ME6601: Введение в механику жидкости. Технологический институт Джорджии. Архивировано из оригинального 27 марта 2008 года.
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem