Группа Ли SO (3) с трехмерным реальным проективным пространством. (3) диффеоморфна реальному проективному пространству $P\; 3\; (R).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{3\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}).\}$

Рассмотрим твердый шар в $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$радиуса π (то есть все точки $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$на рас стоянии π или меньше от начала координат). Учитывая вышеизложенное, для e В самой точке этого шара есть вращение, ось которого проходит через точку и начало координат, а угол поворота расстояния между точкой и началом координат. Тождественное вращение соответствует точке в центре мяча. Поворот на углы между 0 и -π соответствует точке на той же оси и расстоянию от начала координат, но на противоположной стороне от начала координат. Единственная оставшаяся проблема заключается в том, что два поворота на π и через −π одинаковы. Таким образом, мы идентифицируем (или «склеиваем») противоположные точки на поверхности мяча. После этого отождествления мы приходим к топологическому пространству , гомеоморфному группе вращений.

Действительно, шар с идентифицированными точками антиподальной поверхности является гладким множеством, и это многообразие диффеоморфно группе вращений. Оно также диффеоморфно трехмерному проективному пространству $P\; 3\; (R),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{3\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}),\}$, поэтому последний также может служить топологической моделью для группы вращения.

Эти идентифицируют, что SO (3) связан, но не односвязен. Что касается последнего, то в шаре с идентифицированными точками противоположной поверхности рассмотрим путь, идущий от «северного полюса» прямо через внутреннюю часть к южному полюсу. Это замкнутая петля, поскольку идентифицируются северный полюс и южный полюс. Этот цикл не может быть сокращен до точки, поскольку независимо от того, как вы деформируете цикл, начальная и конечная точки должны противоположными, иначе цикл «разомкнется». С точки зрения поворотов, этот цикл представляет собой непрерывную последовательность поворотов вокруг оси z, начинающуюся и заканчивающуюся единичным вращением (то есть серию поворотов на угол φ, где φ проходит от 0 до 2π ).

Удивительно, но если вы пробежите по тропе дважды, то есть пробежите от северного полюса вниз к южному полюсу, перепрыгните обратно на северный полюс (используя тот факт, что северный и южный полюса идентифицированы), а снова бежите от северного полюса вниз к южному полюсу, так что φ изменяется от 0 до 4π, вы получаете замкнутый контур, который можно сократить до одной точки: сначала непрерывно перемещайте пути к поверхности шара, по-прежнему соединяя северный полюс с южным полюсом дважды. Затем вторую половину пути можно отразить на противоположной стороне, вообще не меняя путь. Теперь у нас есть обычная замкнутая петля на поверхности, соединяющая северный полюс с самим собой по большому кругу. Этот круг без проблем можно сжать до северного полюса. Трюк с тарелкой и аналогичные трюки демонстрируют это практически.

То же самое рассуждение может быть выполнено в общем, и оно показывает, что фундаментальная группа SO (3) является циклической группой порядка 2. В физике нетривиальность фундаментальной группы допускает существование объектов, известных как спиноры, является важным инструментом в развитии теоремы спиновой статистики.

Универсальное покрытие SO (3) - это группа Ли, называемая Spin (3). Группа Spin (3) изоморфна специальной унитарной группе SU (2); он также диффеоморфен единице 3-сфера S и может понимать как группа версоров (кватернионов с абсолютным размером 1). Связь между кватернионами и поворотами, обычно используемая в компьютерной графике, объясняется в кватернионах и пространственных поворотах. Отображение S на SO (3), которое идентифицирует антиподальные точки S, является сюръективным гомоморфизмом групп Ли с ядром {± 1}. Топологически эта карта является покрывающей картой два к одному. (См. Трюк с пластиной .)

В этом разделе мы даем две разные конструкции двух-к -one и сюръективный гомоморфизм SU (2) на SO (3).

Использование кватернионов единичной нормы

Группа SU (2) изоморфна кватернионам единичной нормы через карту, задаваемую

$q\; =\; a\; 1\; +\; bi\; +\; cj\; +\; dk\; =\; \alpha \; +\; j\; \beta \; \leftrightarrow \; [\alpha \; -\; \beta \; ¯\; \beta \; \alpha \; ¯]\; =\; U,\; q\; \in \; H,\; a,\; b,\; c,\; d\; \in \; R,\; \alpha ,\; \beta \; \in \; C,\; U\; \in \; SU\; \; (2).\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; a\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\; +\; b\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; c\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; d\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; =\; \backslash \; alpha\; +\; j\; \backslash \; beta\; \backslash \; leftrightarrow\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; alpha\; -\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; beta\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; U,\; \backslash \; quad\; q\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{H\},\; \backslash \; quad\; a,\; b,\; c,\; d\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\; \backslash \; quad\; U\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{SU\}\; (2).\}$

Теперь определим $R\; 3\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$с диапазоном $i,\; j,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{i\},\; \backslash \; mathbf\; \{j\},\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$. Затем можно проверить, что если $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$находится в $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$и $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$- кватернион единицы, тогда

$qvq\; -\; 1\; \in \; R\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; qvq\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}.\}$

Кроме того, карта $v\; \mapsto \; qvq\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash \; mapsto\; qvq\; ^\; \{-\; 1\}\}$- это поворот $R\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\; ^\; \{3\}.\}$Кроме того, $(-\; q)\; v\; (-\; q)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (-q)\; v\; (-q)\; ^\; \{-1\}\}$совпадает с $qvq\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; qvq\; ^\; \{-\; 1\}\}$. Это означает, что существует гомоморфизм 2: 1 от кватернионов единичной нормы в SO (3).

Этот гомоморфизм можно проработать явно: единичный кватернион q с

$q\; =\; w\; +\; ix\; +\; jy\; +\; kz,\; 1\; =\; w\; 2\; +\; x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; align\}\; q\; =\; w\; +\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; x\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; y\; +\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; z,\; \backslash \backslash \; 1\; =\; w\; ^\; \{2\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

отображается в матрицу вращения

$Q\; =\; [1\; -\; 2\; y\; 2\; -\; 2\; z\; 2\; 2\; xy\; -\; 2\; zw\; 2\; xz\; +\; 2\; yw\; 2\; xy\; +\; 2\; zw\; 1\; -\; 2\; x\; 2\; -\; 2\; z\; 2\; 2\; yz\; -\; 2\; xw\; 2\; xz\; -\; 2\; yw\; 2\; yz\; +\; 2\; xw\; 1\; -\; 2\; x\; 2\; -\; 2\; y\; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1-2y\; ^\; \{2\}\; -2z\; ^\; \{2\}\; 2xy-2zw\; 2xz\; +\; 2yw\; \backslash \backslash \; 2xy\; +\; 2zw\; 1-2x\; ^\; \{2\}\; -2z\; ^\; \{2\; \}\; 2yz-2xw\; \backslash \; \backslash \; 2xz-2yw\; 2yz\; +\; 2xw\; 1-2x\; ^\; \{2\}\; -2y\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Это поворот вокруг вектора (x, y, z) на угол 2θ, где cos θ = w и | грех θ | = || (х, у, г) ||. Правильный знак для sin θ подразумевается, если фиксированы знаки компонента оси. Природа 2: 1 очевидна, и поскольку q, и −q 1 в одну и ту же Q.

Использование преобразователей Мёбиуса

Стереографическая проекция из сферы радиуса 1/2 от северного полюса (x, y, z) = (0, 0, 1/2) на плоскость M, заданную как z = −1/2, с координатами (ξ, η), здесь показано в поперечном сечении.

Общая ссылка на этот раздел: Гельфанд, Минлос и Шапиро (1963). Точки P на сфере

$S\; =\; \{(x,\; y,\; z)\; \in \; R\; 3:\; x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; =\; 1\; 4\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x,\; y,\; z)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}:\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

можно, за исключением северного полюса N, поставить во взаимно однозначную биекцию с точками S (P) = P´ на плоскости M, тип как z = −1/2, см. Рисунок. Карта S называется стереографической проекцией.

. Пусть координаты на M равны (ξ, η). Линия L, проходящая через N и P, может быть параметризована как

$L\; (t)\; =\; N\; +\; t\; (N\; -\; P)\; =\; (0,\; 0,\; 1\; 2)\; +\; t\; ((0,\; 0,\; 1\; 2)\; -\; (Икс,\; Y,\; Z)),\; T\; \in \; R.\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; (T)\; =\; N\; +\; T\; (NP)\; =\; \backslash \; left\; (0,0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; t\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (0,0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; -\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}.\}$

Требуя, чтобы координата z элемента $L\; (t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (t\_\; \{0\})\}$равно −1/2, получается

$t\; 0\; =\; 1\; z\; -\; 1\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}.\}$

Мы имеем $L\; (t\; 0)\; =\; (\xi ,\; \eta ,\; -\; 1/2).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (t\_\; \{0\})\; =\; (\backslash \; xi,\; \backslash \; eta,\; -1\; /\; 2).\}$, следовательно, карта

$\{S:\; S\; \to \; MP\; =\; (x,\; y,\; z)\; ⟼\; п\; \text{'}знак\; равно\; (\xi ,\; \eta )\; знак\; равно\; (Икс\; 1\; 2\; -\; Z,\; Y\; 1\; 2\; -\; Z)\; \equiv \; \zeta \; =\; \xi \; +\; я\; \eta \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; S:\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; в\; M\; \backslash \backslash \; P\; =\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; longmapsto\; P\; \text{'}=\; (\backslash \; xi,\; \backslash \; eta)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; z\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; zeta\; =\; \backslash \; xi\; +\; i\; \backslash \; eta\; \backslash \; end\; \{ases\}\}$

где для удобства в дальнейшем плоскость M отождествляется с комплексной плоскостью $C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$

Для обратного запишите L как

$L\; =\; N\; +\; s\; (P\; \prime \; -\; N)\; =\; (0,\; 0,\; 1\; 2)\; +\; s\; ((\xi ,\; \eta ,\; -\; 1\; 2)\; -\; (0,\; 0,\; 1\; 2)),\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; N\; +\; s\; (P\text{'}-N)\; =\; \backslash \; left\; (0,0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; s\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (\backslash \; xi,\; \backslash \; eta,\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; left\; (0,0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right),\}$

и потребуем x + y + z = 1/4, чтобы найти s = 1/1 + ξ + η и, таким образом,

$\{S\; -\; 1:\; M\; \to \; SP\; \prime \; =\; (\xi ,\; \eta )\; ⟼\; P\; =\; (x,\; y,\; z)\; =\; (\xi \; 1\; +\; \xi \; 2\; +\; \eta \; 2,\; \eta \; 1\; +\; \xi \; 2\; +\; \eta \; 2,\; -\; 1\; +\; \xi \; 2\; +\; \eta \; 2\; 2\; +\; 2\; \xi \; 2\; +\; 2\; \eta \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; S\; ^\; \{-\; 1\}:\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \backslash \; P\; \text{'}=\; (\backslash \; xi,\; \backslash \; eta)\; \backslash \; longmapsto\; P\; =\; (x,\; y,\; z)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\}\; \{1+\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; eta\}\; \{1+\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; \}\},\; \{\backslash \; frac\; \{-1+\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{\; case\}\}\}$

g ∈ SO (3) - Если его стандартным вращением точки s <325 будет переводить на S в точки на S .>(g) на пространство вложения $R\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}.\}$Комбинируя это действие с S, получаем преобразование S ∘ Π s (g) ∘ S из M,

$\zeta \; =\; P\; \prime \; ⟼\; P\; ⟼\; \Pi \; s\; (g)\; P\; =\; g\; P\; ⟼\; S\; (g\; P)\; \equiv \; \Pi \; u\; (g)\; \zeta \; =\; \zeta \; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; =\; P\; \text{'}\backslash \; longmapsto\; P\; \backslash \; longmapsto\; \backslash \; Pi\; \_\; \{s\}\; (g)\; P\; =\; gP\; \backslash \; longmapsto\; S\; (gP)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; Pi\; \_\; \{u\}\; (g)\; \backslash \; zeta\; =\; \backslash \; zeta\text{'}.\}$

Таким образом, Π u (g) - это преобразование $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, связанное с преобразованием Π s (g) из $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$.

Оказывается, что g ∈ SO (3), представленный таким образом как Π u (g) может быть выражено как матрица Π u (g) ∈ SU (2) (где нотация переработана, чтобы использовать то же имя для матрицы, что и для преобразования $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\; \}\}$он представляет). Чтобы вокруг идентифицировать эту матрицу, сначала рассмотрим поворот g φ оси z на угол φ,

$x\; \prime \; =\; x\; cos\; \; \varphi \; -\; y\; sin\; \; \varphi ,\; y\; \prime \; =\; x\; sin\; \; \varphi \; +\; y\; cos\; \; \varphi ,\; z\; \prime \; =\; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; \text{'}=\; x\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; -y\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi,\; \backslash \backslash \; y\text{'}\; =\; x\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; +\; y\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi,\; \backslash \backslash \; z\; \text{'}=\; z.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно,

$\zeta \; \prime \; =\; x\; \prime \; +\; iy\; \prime \; 1\; 2\; -\; z\; \prime \; =\; ei\; \varphi \; (x\; +\; iy)\; 1\; 2\; -\; z\; =\; ei\; \varphi \; \zeta \; =\; ei\; \varphi \; 2\; \zeta \; +\; 0\; 0\; \zeta \; +\; е\; -\; я\; \varphi \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{x\text{'}\; +\; iy\; \text{'}\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; z\text{'}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{i\; \backslash \; phi\}\; (x\; +\; iy)\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; z\}\}\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; phi\}\; \backslash \; zeta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; phi)\}\; \{2\}\}\; \backslash \; zeta\; +0\}\; \{0\; \backslash \; zeta\; +\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; phi\}\; \{2\}\}\}\}\},\}$

что неудивительно, это вращение в комплексной плоскости. Аналогичным образом, если g θ - это поворот вокруг оси x на угол θ, то

$w\; \prime \; =\; ei\; \theta \; w,\; w\; =\; y\; +\; iz\; 1\; 2\; -\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \text{'}=\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; w,\; \backslash \; quad\; w\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\; +\; iz\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; x\}\},\}$

который через некоторое время алгебра, становится

$\zeta \; \prime \; знак\; равно\; соз\; \; \theta \; 2\; \zeta \; +\; i\; грех\; \; \theta \; 2\; я\; грех\; \; \theta \; 2\; \zeta \; +\; cos\; \; \theta \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; zeta\; +\; i\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}\; \{i\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; zeta\; +\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}\; \}.\}$

Эти два поворота, $g\; \varphi ,\; g\; \theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; phi\},\; g\; \_\; \{\backslash \; theta\},\}$, таким образом, соответствуют билинейным преобразованием ≃ ℂ ≃ M, и именно они являются примерами преобразований Мёбиуса.

Общие преобразования Мёбиуса преобразование задаетсялой

$\zeta \; \prime \; =\; \alpha \; \zeta \; +\; \beta \; \gamma \; \zeta \; +\; \delta ,\; \alpha \; \delta \; -\; \beta \; \gamma \; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; zeta\; +\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; дзета\; +\; \backslash \; дельта\}\},\; \backslash \; квад\; \backslash \; альфа\; \backslash \; дельта\; -\; \backslash \; бета\; \backslash \; гамма\; \backslash \; neq\; 0.\}$

вращения, $g\; \varphi ,\; g\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; phi\},\; g\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$генерировать все SO (3), а правила композиции преобразований Мёбиуса показывают, что композиция $g\; \varphi ,\; g\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; phi\},\; g\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$переводится в соответствующую композицию преобразований Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса могут быть представлены матрицами

$(\alpha \; \beta \; \gamma \; \delta ),\; \alpha \; \delta \; -\; \beta \; \gamma \; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; \backslash \; delta\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\; \},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; alpha\; \backslash \; delta\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\; =\; 1,\}$

, поскольку общий множитель α, β, γ, δ отменяется.

По той же причине матрица не определена однозначно, поскольку умножение на −I не влияет ни на определитель, ни на преобразование Мёбиуса. Закон композиции преобразований Мёбиуса следует закону композиции соответствующий матриц. Отсюда вывод, что каждому преобразованию Мёбиуса соответствуют две матрицы g, −g ∈ SL (2, ℂ).

Используя это соответствие, можно записать

$\Pi \; u\; (g\; \varphi )\; =\; \Pi \; u\; [(cos\; \; \varphi \; -\; sin\; \; \varphi \; 0\; sin\; \; \varphi \; cos\; \; \varphi \; 0\; 0\; 0\; 1)]\; =\; \pm \; (ei\; \varphi \; 2\; 0\; 0\; e\; -\; i\; \varphi \; 2),\; \Pi \; u\; (g\; \theta )\; =\; \Pi \; u\; [(1\; 0\; 0\; 0\; cos\; \; \theta \; -\; sin\; \; \theta \; 0\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \theta )]\; =\; \pm \; (cos\; \; \theta \; 2\; i\; \; \theta \; 2\; я\; грех\; \; \theta \; 2\; соз\; \; \theta \; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Pi\; \_\; \{u\}\; (g\; \_\; \{\backslash \; phi\})\; =\; \backslash \; Pi\; \_\; \{u\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \}\; \{2\}\}\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; e\; ^\; \{-\; i\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \backslash \backslash \; Pi\; \_\; \{u\}\; (g\; \_\; \{\backslash \; theta\; \})\; =\; \backslash \; Pi\; \_\; \{u\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; i\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; i\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; и\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эти матрицы унитарны и, следовательно, Π u (SO (3)) ⊂ SU (2) ⊂ SL (2, ℂ). В терминах углов Эйлера для вращения общего

$g (ϕ, θ, ψ) = g ϕ g θ g ψ = (cos ⁡ ϕ - sin ⁡ ϕ 0 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 0 0 0 1) (1 0 0 0 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ) (cos ⁡ ψ - sin ⁡ ψ 0 sin ⁡ ψ cos ⁡ ψ 0 0 0 1) = (cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ - cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ - cos ⁡ ϕ sin ⁡ ψ - cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ + cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ грех ⁡ ψ - ⁡ ϕ sin ⁡ грех ψ + cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ - cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ sin ⁡ θ cos ⁡ θ), {\ displaystyle {\ begin {выровнено} g (\ phi, \ theta, \ psi) = g _ {\ phi} g _ {\ theta} g _ {\ psi} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ phi - \ sin \ phi 0 \ \\ sin \ phi \ cos \ phi 0 \\ 0 0 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 \ cos \ theta - \ sin \ theta \\ 0 \ sin \ theta \ cos \ theta \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ cos \ psi - \ sin \ psi 0 \\\ sin \ psi \ cos \ psi 0 \\ 0 0 1 \ end {pmatrix}} \\ = {\ begin {pmatrix} \ cos \ phi \ cos \ psi - \ cos \ theta \ sin \ phi \ sin \ psi - \ cos \ phi \ sin \ psi - \ cos \ theta \ sin \ phi \ cos \ psi \ грех \ фи \ грех \ й eta \\\ sin \ phi \ cos \ psi + \ cos \ theta \ cos \ phi \ sin \ psi - \ sin \ phi \ sin \ psi + \ cos \ theta \ cos \ phi \ cos \ psi - \ cos \ phi \ sin \ theta \\\ sin \ psi \ sin \ theta \ cos \ psi \ sin \ theta \ cos \ theta \ end {pmatrix}}, \ end {align}}}$

(1)

имеем

$Π u (g (ϕ, θ, ψ)) = ± (ei ϕ 2 0 0 e - i ϕ 2) (cos ⁡ θ 2 i sin ⁡ θ 2 i sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2) (ei ψ 2 0 0 e - i ψ 2) = ± (cos ⁡ θ 2 ei ϕ + ψ 2 i sin ⁡ θ 2 ei ϕ - ψ 2 i sin ⁡ θ 2 e - i ϕ - ψ 2 cos ⁡ θ 2 e - i ϕ + ψ 2). {\ displaystyle {\ begin {align} \ Pi _ {u} (g (\ phi, \ theta, \ psi)) = \ pm {\ begin {pmatrix} e ^ {i {\ frac {\ phi} { 2}}} 0 \\ 0 e ^ {- i {\ frac {\ phi} {2}}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2 }} i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end { pmatrix}} {\ begin {pmatrix} e ^ {i {\ frac {\ psi} {2}}} 0 \\ 0 e ^ {- i {\ frac {\ psi} {2}}} \ end {pmatrix}} \\ = \ pm {\ begin {pmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} e ^ {i {\ frac {\ phi + \ psi} {2}}} я \ sin {\ frac {\ theta} {2}} e ^ {i {\ frac {\ phi - \ psi} {2}}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} e ^ {- i {\ frac {\ phi - \ psi} {2}}} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} e ^ {- i {\ frac {\ phi + \ psi} {2} }} \ end {pmatrix}}. \ end {align}}}$

(2)

Для обратного рассмотрим общую матрицу

$\pm \; \Pi \; u\; (g\; \alpha ,\; \beta )\; =\; \pm \; (\alpha \; \beta \; -\; \beta \; ¯\; \alpha \; ¯)\; \in \; SU\; \; (2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; \backslash \; Pi\; \_\; \{u\}\; (g\; \_\; \{\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\})\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{SU\}\; (2).\}$

Сделайте замены

$cos\; \; \theta \; 2\; =\; |\; \alpha \; |,\; sin\; \; \theta \; 2\; =\; |\; \beta \; |,\; (0\; \le \; \theta \; \le \; \pi ),\; \varphi \; +\; \psi \; 2\; =\; arg\; \; \alpha ,\; \psi \; -\; \varphi \; 2\; =\; arg\; \; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; =\; |\; \backslash \; alpha\; |,\; \backslash \; quad\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; =\; |\; \backslash \; beta\; |,\; \backslash \; quad\; (0\; \backslash \; leq\; \backslash \; theta\; \backslash \; leq\; \backslash \; pi),\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; +\; \backslash \; psi\}\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; arg\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; psi\; -\; \backslash \; phi\}\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; arg\; \backslash \; beta.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

С заменами Π (g α, β) принимает форму правой части (RHS ) из (2), что соответствует под Π u матрице в форме правой части (1) с такими же φ, θ, ψ. В терминах комплексных параметров α, β,

$g α, β = (1 2 (α 2 - β 2 + α 2 ¯ - β 2 ¯) i 2 (- α 2 - β 2 + α 2 ¯ + β 2 ¯) - α β - α ¯ β ¯ i 2 (α 2 - β 2 - α 2 ¯ + β 2 ¯) 1 2 (α 2 + β 2 + α 2 ¯ + β 2 ¯) - i (+ α β - α ¯ β ¯) α β ¯ + α ¯ β i (- α β ¯ + α ¯ β) α α ¯ - β β ¯). {\ displaystyle g _ {\ alpha, \ beta} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {2}} (\ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2} + {\ overline {\ alpha ^ {2}}} - {\ overline {\ beta ^ {2}}}) {\ frac {i} {2}} (- \ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2} + {\ overline {\ alpha ^ {2}}} + {\ overline {\ beta ^ {2}}}) - \ alpha \ beta - {\ overline {\ alpha}} {\ overline {\ beta}} \\ {\ frac {i} {2}} (\ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2} - {\ overline {\ alpha ^ {2}}} + {\ overline {\ beta ^ {2}}}) {\ frac {1} {2}} (\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} + {\ overline {\ alpha ^ {2}}} + {\ overline {\ beta ^ {2}}}) -i (+ \ alpha \ beta - {\ overline {\ alpha}} {\ overline {\ beta}}) \\\ alpha {\ overline {\ beta}} + {\ overline {\ alpha}} \ бета я (- \ alpha {\ overline {\ beta}} + {\ overline {\ alpha}} \ beta) \ alpha {\ overline {\ alpha}} - \ beta {\ overline {\ beta}} \ end {pmatrix}}.}$

Чтобы проверить это, подставьте вместо α. β элементы матрицы на правой стороне (2). После некоторых манипуляций матрица принимает форму правой части (1) .

. Из явной формы в терминах углов Эйлера ясно, что отображение

$\{p:\; SU\; \; (2)\; \to \; SO\; \; (3)\; \Pi \; U\; (\pm \; g\; \alpha \; \beta )\; \mapsto \; g\; \alpha \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; p\; :\; \backslash \; operatorname\; \{SU\}\; (2)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; (3)\; \backslash \backslash \; \backslash \; Pi\; \_\; \{u\}\; (\backslash \; pm\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\})\; \backslash \; mapsto\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

только что описанный гладкий, 2: 1 и сюръективный групповой гомоморфизм. Следовательно, это явное описание универсального накрывающего отображения SO (3) из универсальной накрывающей группы SU (2).

С каждой группой Ли связана ее алгебра Ли, линейное пространство той же размерности, что и группа Ли, замкнутое относительно билинейного знакопеременного произведения, называемого Скобка Лжи. Алгебра Ли SO (3) обозначается $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$и состоит из всех кососимметричных 3 × 3 матриц. В этом можно убедиться, что условие ортогональности, AA = I, A ∈ SO (3). Скобка Ли двух элементов $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$, как и для алгебры Ли любой группы матриц, задается матрицей коммутатор, [A 1, A 2 ] = A 1A2- A 2A1, который снова является кососимметричной матрицей. Скобка алгебры Ли отражает сущность произведения группы Ли в смысле, уточненном формулой Бейкера - Кэмпбелла - Хаусдорфа.

Элементы $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$являются «бесконечно малыми генераторами» вращений, т.е. они являются элементами касательного пространства многообразия SO (3) в единичном элементе. Если $R\; (\varphi ,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (\backslash \; phi,\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{n\}\})\}$означает вращение против часовой стрелки на угол φ вокруг оси, заданной единичным вектором $n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{n\}\},\}$, тогда

$\forall \; u\; \in \; R\; 3:\; dd\; \; \varphi \; |\; \varphi \; =\; 0\; R\; (\varphi ,\; n)\; u\; =\; n\; \times \; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}:\; \backslash \; qquad\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\backslash \; phi\; =\; 0\}\; R\; (\backslash \; phi,\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{n\}\})\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{n\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}.\}$

Это можно использовать, чтобы показать, что алгебра Ли $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$(с коммутатором) изоморфна алгебре Ли $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$(с перекрестным произведением ). При этом изоморфизме вектор Эйлера $\omega \; \in \; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$соответствует к линейной карта $\omega \; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widetilde\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\}\}$, определенная как $\omega \; ~\; (u)\; =\; \omega \; \times \; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widetilde\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\})\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}.\}$

Подробнее, наиболее часто подходящей для $так,\; что\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$в качестве трехмерного взаимодействия пространства

$L\; x\; =\; [0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 1\; 0],\; L\; y\; =\; [0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0],\; L\; z\; =\; [0\; -\; 1\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

коммутационные этих базовых элементов:

$[L\; x,\; L\; y]\; =\; L\; z,\; [L\; z,\; L\; x]\; =\; L\; y,\; [L\; y,\; L\; z]\; =\; L\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{x\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{y\}]\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{z\},\; \backslash \; quad\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{z\},\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{x\}]\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{y\},\; \backslash \; quad\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{y\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{z\}\; ]\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{x\}\}$

, которые согласуются с отношениями трех стандартных единичных векторов из $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \}$под перекрестным произведением.

Как было объявлено выше, можно отождествить любую матрицу в этой алгебре Ли с вектором Эйлера $\omega \; =\; (x,\; y,\; z)\; \in \; R\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; =\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\},\}$

$\omega \; ^\; =\; \omega \; \cdot \; L\; =\; x\; L\; x\; +\; y\; L\; y\; +\; z\; L\; z\; =\; [0\; -\; zyz\; 0\; -\; x\; -\; yx\; 0]\; \in \; so\; (3).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; =\; x\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{x\}\; +\; y\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{y\}\; +\; z\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -z\; y\; \backslash \backslash \; z\; 0\; -x\; \backslash \backslash \; -\; y\; x\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; in\; \{\; \backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3).\}$

Эту идентификацию иногда называют шляпной картой . Под этим идентификатором скобка $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$соответствует в $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{\; 3\}\}$в перекрестное произведение ,

$[u\; ^,\; v\; ^]\; =\; u\; \times \; v\; ^.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}\},\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{\{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; v\}\}\}\}.\}$

Матрица, идентифицированная вектором $u\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}\}$, имеет свойство

$u\; ^\; v\; =\; u\; \times \; v,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\},\}$

где слева сторона у нас обычное матричное умножение. Это означает, что $u\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}\}$находится в нулевом пространстве асимметричной матрицы, с которой он идентифицирован, потому что $и\; \times \; и\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{u\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{0\}\}.\}$

Примечание по алгебре Ли

В представлениях алгебры Ли, группа SO (3) компактна и проста ранга 1, и поэтому она имеет единственный независимый элемент Казимира, квадратичную инвариантную функцию трех образующих, которая коммутирует со всеми из них. Форма Киллинга для группы вращения - это просто дельта Кронекера, и поэтому этот инвариант Казимира представляет собой просто сумму квадратов образующих, $J\; x,\; J\; y,\; J\; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{x\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{y\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{z\},\}$алгебры

$[\; J\; x,\; J\; y]\; =\; J\; z,\; [J\; z,\; J\; x]\; =\; J\; y,\; [J\; y,\; J\; z]\; =\; J\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{x\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{y\}]\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{z\},\; \backslash \; quad\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\; \}\; \_\; \{z\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{x\}]\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{y\},\; \backslash \; quad\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{y\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; J\}\}\; \_\; \{z\}]\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{x\}.\}$

То есть инвариант Казимира задан по

$J\; 2\; \equiv \; J\; \cdot \; J\; =\; J\; x\; 2\; +\; J\; y\; 2\; +\; J\; z\; 2\; \propto \; I.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{\; x\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}.\}$

Для унитарной неприводимой представлений D, собственные значения этого инварианта являются действующими и дискретными и характеризуют новое представительное представление $2\; j\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2j\; +\; 1\}$. То есть собственные значения этого оператора Казимира равны

$J\; 2\; =\; -\; j\; (j\; +\; 1)\; I\; 2\; j\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; j\; (j\; +\; 1)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; \_\; \{2j\; +\; 1\}\}$

где $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$является целым или полуцелым числом и называется spin или угловой момент.

Итак, отображенные генераторы 3 × 3, L, представленные триплета (спин 1), в то время как генераторы 2 × 2, t, действуют на представление дублета (spin-½ ). Принимая произведения Кронекера множество D с несколько раз, можно построить все высшие неприводимые представления D. То есть, результирующие генераторы для высших спиновых систем в трех пространственных измерениях для произвольно больших j могут быть вычислены с использованием этих спиновые операторы и лестничные операторы.

Для каждого унитарного неприводимого представления D существует эквивалентное D. Все бесконечномерные неприводимые представления быть неунитарными, поскольку группа компактна.

В квантовой механике инвариант Казимира - это оператор «квадрата углового момента»; целочисленные значения спина j характеризуют бозонные представления, а полуцелые значения фермионные представления. Матрицы антиэрмитовы, использованные выше, используются как операторы вращения после их умножения на i, так что теперь они являются эрмитовыми (как матрицы Паули). Таким образом, на этом языке

$[J\; x,\; J\; y]\; =\; i\; J\; z,\; [J\; z,\; J\; x]\; =\; i\; J\; y,\; [J\; y,\; J\; z]\; =\; i\; J\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{x\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{y\}]\; =\; i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{z\},\; \backslash \; quad\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{J\; \}\}\; \_\; \{z\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{x\}]\; =\; i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{y\},\; \backslash \; quad\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{y\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{z\}]\; =\; i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{x\}.\}$

и, следовательно,

$J\; 2\; =\; j\; (j\; +\; 1)\; I\; 2\; j\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; j\; (j\; +\; 1)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; \_\; \{2j\; +\; 1\}.\}$

Явные выражения для этих D:

$(J\; z\; (j))\; ba\; =\; (j\; +\; 1\; -\; a)\; \delta \; b,\; a\; (J\; x\; (j))\; ba\; =\; 1\; 2\; (\delta \; b,\; a\; +\; 1\; +\; \delta \; b\; +\; 1,\; a)\; (j\; +\; 1)\; (\; a\; +\; b\; -\; 1)\; -\; ab\; (J\; y\; (j))\; ba\; =\; 1\; 2\; i\; (\delta \; b,\; a\; +\; 1\; -\; \delta \; b\; +\; 1,\; a)\; (j\; +\; 1)\; (a\; +\; b\; -\; 1)\; -\; ab\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{z\}\; ^\; \{(j)\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{ba\}\; =\; (j\; +\; 1-a)\; \backslash \; delta\; \_\; \{b,\; a\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{x\}\; ^\; \{(j)\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{ba\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \_\; \{\; b,\; a\; +\; 1\}\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{b\; +\; 1,\; a\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{(j\; +\; 1)\; (a\; +\; b-1)\; -ab\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{J\; \}\}\; \_\; \{y\}\; ^\; \{(j)\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{ba\}\; =\; \{\backslash \; f\; rac\; \{1\}\; \{2i\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \_\; \{b,\; a\; +\; 1\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{b\; +\; 1,\; a\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{(j\; +\; 1)\; (a\; +\; b-\; 1)\; -ab\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$произвольно и $1\; \le \; a,\; b\; \le \; 2\; j\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; a,\; b\; \backslash \; leq\; 2j\; +\; 1.\}$

, например, результирующие матрицы спинов для спина 1 ($j\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; =\; 1\}$):

$J\; x\; =\; 1\; 2\; (0\; 1\; 0\; 1\; 0\; 1\; 0\; 1\; 0)\; J\; y\; =\; 1\; 2\; (0\; -\; 0\; 0\; -\; 0\; 0)\; J\; z\; знак\; равно\; (1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\; \}\; 0\; -i\; 0\; \backslash \backslash \; i\; 0\; -i\; \backslash \backslash \; 0\; i\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратите внимание, однако, что они находятся в эквивалентном, но базисе, сферический базисе, чем у казанное выше $i\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\}$в декартовой системе координат.

Для спина 3/2 ($j\; =\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\}\; \{2\}\}\}$):

$J\; x\; =\; 1\; 2\; (0\; 3\; 0\; 0\; 3\; 0\; 2\; 0\; 0\; 2\; 0\; 3\; 0\; 0\; 3\; 0)\; J\; y\; =\; 1\; 2\; (0\; -\; i\; 3\; 0\; 0\; i\; 3\; 0\; -\; 2\; i\; 0\; 0\; 2\; i\; 0\; -\; i\; 3\; 0\; 0\; i\; 3\; 0)\; J\; z\; =\; 1\; 2\; (3\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; 0\; 2\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 2\; 0\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\; \}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; -i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; 0\; -2i\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 2i\; 0\; -i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; boldsymbol\; \{J\}\}\; \_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 3\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; -3\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Для вращения 5/2 ($j\; =\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{5\}\; \{2\}\}\}$):

$J x = 1 2 (0 5 0 0 0 0 5 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 3 0 0 0 0 3 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 5 0 0 0 0 5 0) J y = 1 2 (0 - i 5 0 0 0 0 i 5 0 - 2 i 2 0 0 0 0 2 i 2 0 - 3 i 0 0 0 0 3 i 0 - 2 i 2 0 0 0 0 2 i 2 0 - i 5 0 0 0 0 i 5 0) J z = 1 2 (5 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 0 0 - 5). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {J}} _ {x} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 {\ sqrt {5}} 0 0 0 0 \\ {\ sqrt {5}} 0 2 {\ sqrt {2}} 0 0 0 \\ 0 2 {\ sqrt {2}} 0 3 0 0 \\ 0 0 3 0 2 {\ sqrt {2}} 0 \\ 0 0 0 2 {\ sqrt {2}} 0 {\ sqrt {5}} \\ 0 0 0 0 {\ sqrt {5}} 0 \ end {pmatrix}} \\ {\ boldsymbol {J}} _ {y} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 -i {\ sqrt {5}} 0 0 0 0 \\ i {\ sqrt {5}} 0 -2i {\ sqrt {2}} 0 0 0 \\ 0 2i {\ sqrt {2}} 0 -3i 0 0 \\ 0 0 3i 0 -2i {\ sqrt {2}} 0 \\ 0 0 0 2i {\ sqrt {2}} 0 -i {\ sqrt {5}} \\ 0 0 0 0 i {\ sqrt {5}} 0 \ end {pmatrix}} \\ {\ boldsymbol {J}} _ {z} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 5 0 0 0 0 0 \\ 0 3 0 0 0 0 \\ 0 0 1 0 0 0 \\ 0 0 0 -1 0 0 \\ 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 5 \ end {pmatrix}}. \ End {align}}}$

Изоморфизм с 𝖘𝖚 (2)

Алгебры Ли $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$и $су\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{su\}\}\; (2)\}$изоморфны. Одна основа для $su\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{su\}\}\; (2)\}$дается как

$t\; 1\; =\; 1\; 2\; [0\; -\; i\; -\; i\; 0],\; t\; 2\; =\; 1\; 2\; [0\; -\; 1\; 1\; 0],\; t\; 3\; =\; 1\; 2\; [-\; i\; 0\; 0\; i].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{t\}\}\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -i\; \backslash \backslash \; -\; i\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{t\}\}\; \_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; t\}\}\; \_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -i\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; i\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Они связаны с матрицами Паули на

$ti\; ⟷\; 1\; 2\; я\; \sigma \; я.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{t\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; longleftrightarrow\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2i\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\}.\}$

Матрицы Паули подчиняются соглашению физиков для алгебр Ли. В этом соглашении элементы алгебры Ли умножаются на i, экспоненциальное отображение (ниже) определяется с дополнительным множителем i в экспоненте, а структурные константы остаются прежними, но их определение приобретает фактор i. Точно так же коммутационные отношения приобретают коэффициент i. Коммутационные соотношения для $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{t\}\}\; \_\; \{i\}\}$следующие:

$[ti,\; tj]\; =\; \epsilon \; ijktk,\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{\; t\}\}\; \_\; \{i\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{t\}\}\; \_\; \{j\}]\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{t\}\}\; \_\; \{k\},\}$

где ε ijk - полностью антисимметричный символ с ε 123 = 1. Изоморфизм между $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$и $su\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{su\}\}\; (2)\}$можно использовать контейнеры. Для дальнейшего удобства $так\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$и $su\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{su\}\}\; (2)\}$идентифицируются отображающимся

$L\; x\; ⟷\; t\; 1,\; L\; y\; ⟷\; t\; 2,\; L\; z\; ⟷\; t\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{x\}\; \backslash \; longleftrightarrow\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{t\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{y\}\; \backslash \; longleftrightarrow\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{t\}\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{L\}\}\; \_\; \{z\}\; \backslash \; longleftrightarrow\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{t\}\}\; \_\; \{3\},\}$

и продолжается по линейности.

Экспоненциальная карта для SO (3), поскольку SO (3) является матричной группой Ли, стандартной с использованием матричной экспоненциальной серии,

$\{\; ехр:\; поэтому\; (3)\; \to \; SO\; \; (3)\; A\; \mapsto \; e\; A\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; k!\; А\; к\; знак\; равно\; I\; +\; А\; +\; 1\; 2\; А\; 2\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; exp:\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; (3)\; \backslash \backslash \; A\; \backslash \; mapsto\; e\; ^\; \{A\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k!\}\}\; A\; ^\; \{k\}\; =\; I\; +\; A\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; A\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots.\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$

Для любой кососимметричной матрицы A ∈ 𝖘𝖔 (3), e всегда находится в SO (3). Доказательство использует элементарные свойства матрицы экспоненты

$(e\; A)\; T\; e\; A\; =\; e\; AT\; e\; A\; =\; e\; AT\; +\; A\; =\; e\; -\; A\; +\; A\; =\; e\; A\; -\; A\; =\; e\; A\; (e\; A)\; T\; =\; е\; 0\; =\; I.\; \{\backslash \; displaystyle\; (e\; ^\; \{A\})\; ^\; \{T\}\; e\; ^\; \{A\}\; =\; e\; ^\; \{A\; ^\; \{T\}\}\; e\; ^\; \{A\}\; =\; e\; ^\; \{A\; ^\; \{T\}\; +\; A\}\; =\; e\; ^\; \{-A\; +\; A\}\; =\; e\; ^\; \{AA\}\; =\; e\; ^\; \{A\}\; (e\; ^\; \{A\})\; ^\; \{T\}\; =\; e\; ^\; \{0\}\; =\; I.\}$

, поскольку матрицы A и A коммутируют, это легко доказывается с помощью условий кососимметричной матрицы. Этого недостаточно, чтобы показать, что 𝖘𝖔 (3) представляет собой алгеброй Ли для SO (3), и ее нужно доказать отдельно.

Уровень сложности зависит от того, как определена матричная групповая алгебра Ли. Холл (2003) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFHall2003 (help ) Определить алгебру Ли как набор матриц

$\{A\; \in \; M\; \; (n,\; R)\; |\; et\; A\; \in \; SO\; \; (3)\; \forall \; t\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{A\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{M\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; \backslash \; left\; |\; e\; ^\; \{tA\}\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; (3)\; \backslash \; forall\; t\; \backslash \; right.\; \backslash \; Right\; \backslash \},\}$

в этом случае это тривиально. Россманн (2002) использует для определения производных сегментов гладкой кривой в SO (3) через тождество, взятое в тстве, и в этом случае это сложнее.

Для фиксированного A ≠ 0, e, −∞ < t < ∞ is a однопараметрическая подгруппа вдоль геодезической в SO (3). То, что это дает однопараметрическую подгруппу, непосредственно из условий экспоненциального отображения.

Экспоненциальное отображение обеспечивает диффеоморфизм между местностью начала в 𝖘𝖔 (3) и местностью тождества в СО (3). Для доказательства см. Теорема о замкнутой подгруппе.

Экспоненциальное отображение сюръективно. Это следует из того факта, что каждый R ∈ SO (3), поскольку каждое вращение оставляет ось неподвижной (теорема Эйлера о вращении ), и сопряжено с блочно-диагональной матрицей вида

$D\; знак\; равно\; (соз\; \; \theta \; -\; грех\; \; \theta \; 0\; грех\; \; \theta \; соз\; \; \theta \; 0\; 0\; 0\; 1)\; =\; е\; \theta \; L\; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; L\_\; \{z\}\},\}$

такой, что A = BDB, и что

$В\; е\; \theta \; LZ\; В\; -\; 1\; знак\; равно\; е\; В\; \theta \; LZ\; В\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; Be\; ^\; \{\backslash \; theta\; L\_\; \{z\}\}\; B\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; e\; ^\; \{B\; \backslash \; theta\; L\_\; \{z\}\; B\; ^\; \{-\; 1\}\},\}$

вместе с тем, что 𝖘𝖔 (3) замкнуто присоединенного действия SO (3), что означает, что BθL z B ∈ 𝖘𝖔 (3).

Таким образом, например, легко проверить популярное тождество

$e\; -\; \pi \; L\; x\; /\; 2\; e\; \theta \; L\; z\; e\; \pi \; L\; x\; /\; 2\; =\; e\; \theta \; L\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; pi\; L\_\; \{x\}\; /\; 2\}\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; L\_\; \{z\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; L\_\; \{x\}\; /\; 2\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; L\_\; \{y\}\}.\; \}$

Как показано выше, каждый элемент A ∈ 𝖘𝖔 (3) связан с вектором ω = θ u, где u = (x, y, z) - вектор единичной величины. Время u находится в нулевом пространстве A, если теперь один вращается на новом базисе через некоторую другую ортогональную матрицу O, с u в качестве оси z, последний столбец и последовательность вращения в новом базисе будет равна нулю.

Таким образом, мы знаем заранее из формулы для экспонентов, что exp (OAO) должно оставить u фиксированным. Математически невозможно предоставить прямую формулу для такого рода функций от u, поскольку его существование нарушило бы теорему о волосах шарике ; но прямое возведение в степень возможно, и дает

$exp\; \; (\omega \; ~)\; =\; exp\; \; (\theta \; (u\; \cdot \; L))\; =\; exp\; \; (\theta \; [0\; -\; zyz\; 0\; -\; x\; -\; yx\; 0])\; =\; I\; +\; 2\; cs\; (u\; \cdot \; L)\; +\; 2\; s\; 2\; (u\; \cdot \; L)\; 2\; =\; [2\; (x\; 2\; -\; 1)\; s\; 2\; +\; 1\; 2\; xys\; 2\; -\; 2\; zcs\; 2\; xzs\; 2\; +\; 2\; ycs\; 2\; xys\; 2\; +\; 2\; zcs\; 2\; (y\; 2\; -\; 1)\; s\; 2\; +\; 1\; 2\; yzs\; 2\; -\; 2\; xcs\; 2\; xzs\; 2\; -\; 2\; ycs\; 2\; yzs\; 2\; +\; 2\; xcs\; 2\; (z\; 2\; -\; 1)\; s\; 2\; +\; 1],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\; \}\; \backslash \; exp\; (\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\})\; =\; \backslash \; exp\; (\backslash \; theta\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{u\; \backslash \; cdot\; L\}\}))\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; theta\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\; \}\; 0\; -z\; y\; \backslash \backslash \; z\; 0\; -x\; \backslash \backslash \; -\; y\; x\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; +\; 2cs\; (\{\; \backslash \; boldsymbol\; \{u\; \backslash \; cdot\; L\}\})\; +\; 2s\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{u\; \backslash \; cdot\; L\}\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 2\; (x\; ^\; \{\; 2\}\; -1)\; s\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; 2xys\; ^\; \{2\}\; -2zcs\; 2xzs\; ^\; \{2\}\; +\; 2ycs\; \backslash \backslash \; 2xys\; ^\; \{2\}\; +\; 2zcs\; 2\; (y\; ^\; \{2\}\; -1)\; s\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; 2yzs\; ^\; \{2\}\; -2xcs\; \backslash \backslash \; 2xzs\; ^\; \{2\}\; -2ycs\; 2yzs\; ^\; \{2\}\; +\; 2xcs\; 2\; (z\; ^\; \{2\}\; -1)\; s\; ^\; \{2\}\; +1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $c\; =\; cos\; \; \theta \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; с\; =\; \backslash \; соз\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}$и $s\; =\; грех\; \; \theta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}$. Это распознается как матрица для вращения вокруг оси u на угол θ: см. Формула вращения Родригеса.

Для R ∈ SO (3) пусть $A\; =\; 1\; 2\; (R\; -\; RT)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; (RR\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\})\}$обозначает антисимметричную часть, и пусть $\Vert \; A\; \Vert \; =\; -\; 1\; 2\; Tr\; \; (A\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; А\; \backslash \; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (A\; ^\; \{2\})\}\}.\}$Затем логарифм матрицы A задается как

$log\; \; R\; знак\; равно\; грех\; -\; 1\; \; \Vert \; A\; \Vert \; \Vert \; A\; \Vert \; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; |\; A\; \backslash \; |\}\; \{\backslash \; |\; A\; \backslash \; |\}\}\; A.\}$

Это проявляется при рассмотрении формы смешанной симметрии Родригеса формула,

$е\; Икс\; =\; I\; +\; грех\; \; \theta \; \theta \; Икс\; +\; 2\; грех\; 2\; \; \theta \; 2\; \theta \; 2\; Икс\; 2,\; \theta \; =\; \Vert \; Икс\; \Vert ,\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{X\}\; =\; I\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; theta\}\}\; X\; +\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\; \}\}\}\; \{\backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\}\; X\; ^\; \{2\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; |\; X\; \backslash \; |,\}$

где первый и последний член правой части симметричны.

Предположим, что X и Y в алгебре Ли заданы. Их экспоненты, exp (X) и exp (Y), заменяют собой матрицы вращения, которые можно умножать. Экспоненциальное отображение является сюръекцией, для некоторого Z в алгебре Ли exp (Z) = exp (X) exp (Y), и можно предварительно записать

$Z\; =\; C\; (X,\; Y),\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; C\; (X,\; Y),\}$

для C некоторое выражение в X и Y. Когда exp (X) и exp (Y) коммутируют, тогда Z = X + Y, имитируя поведение комплексного возведения в степень.

Общий случай представлен вложенной сложной формулой BCH, расширением ряда ряда используемых скобок Ли. Для матриц скобка Ли - это та же операция, что и коммутатор , который отслеживает отсутствие коммутативности при умножении. Это общее разложение разворачивается следующим образом:

$Z\; =\; C\; (X,\; Y)\; =\; X\; +\; Y\; +\; 1\; 2\; [X,\; Y]\; +\; 1\; 12\; [X,\; [X,\; Y]]\; -\; 1\; 12\; [Y,\; [X,\; Y]]\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; =\; С\; (X,\; Y)\; =\; X\; +\; Y\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; [X,\; Y]\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{12\}\}\; [X,\; [X,\; Y]\; ]\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{12\}\}\; [Y,\; [X,\; Y]]\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Бесконечное разложение в формуле BCH для SO (3) сводится к компактному виду,

$Z\; =\; \alpha \; X\; +\; \beta \; Y\; +\; \gamma \; [X,\; Y],\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \backslash \; alpha\; X\; +\; \backslash \; beta\; Y\; +\; \backslash \; gamma\; [X,\; Y],\}$

для подходящих коэффициентов тригонометрической функции (α, β, γ).

Тригонометрические коэффициенты

(α, β, γ) определяют как

$\alpha \; =\; \varphi \; cot\; \; (\varphi \; /\; 2)\; \gamma ,\; \beta \; =\; \theta \; cot\; \; (\theta \; /\; 2)\; \gamma ,\; \gamma \; =\; sin\; -\; 1\; \; ddc\; \theta \; \varphi ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; альфа\; =\; \backslash \; phi\; \backslash \; cot\; (\backslash \; phi\; /\; 2)\; \backslash \; gamma,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; theta\; \backslash \; cot\; (\backslash \; theta\; /\; 2)\; \backslash \; gamma,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; sin\; ^\; \{-\; 1\}\; d\}\; \{d\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{\backslash \; theta\; \backslash \; phi\}\},\}$

где

$c\; =\; 1\; 2\; sin\; \; \theta \; sin\; \; \varphi \; -\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; 2\; sin\; 2\; \; \varphi \; 2\; cos\; \; (\angle \; (u,\; v)),\; a\; =\; детская\; кроватка\; \; (\varphi \; /\; 2),\; b\; =\; детская\; кроватка\; \; (\theta \; /\; 2),\; d\; =\; a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; 2\; ab\; соз\; \; (\angle \; (u,\; v))\; +\; c\; 2\; грех\; 2\; \; (\angle \; (u,\; v)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; c\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; -2\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; angle\; (u,\; v)),\; \backslash \; quad\; a\; =\; c\; \backslash \; cot\; (\backslash \; phi\; /\; 2),\; \backslash \; quad\; b\; =\; c\; \backslash \; cot\; (\backslash \; theta\; /\; 2),\; \backslash \backslash \; d\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\; \}\; +\; 2ab\; \backslash \; cos\; (\backslash \; angle\; (u,\; v))\; +\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; angle\; (u,\; v))\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

для

$\theta \; =\; 1\; 2\; X\; \Vert ,\; \varphi \; =\; 1\; 2\; \Vert \; Y\; \Vert ,\; \angle \; (u,\; v)\; =\; cos\; -\; 1\; \; ⟨X,\; Y⟩\; \Vert \; X\; \Vert \; \Vert \; Y\; \Vert .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; |\; X\; \backslash \; |,\; \backslash \; quad\; \backslash \; phi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; |\; Y\; \backslash \; |,\; \backslash \; quad\; \backslash \; angle\; (u,\; v)\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; langle\; X,\; Y\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; |\; X\; \backslash \; |\; \backslash \; |\; Y\; \backslash \; |\}\}.\}$

Внутренний произведение - это скалярное произведение Гильберта - Шмидта, а норма - это связанная норма. Под шляпным изоморфизмом

$⟨u,\; v⟩\; =\; 1\; 2\; Tr\; \; XTY,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; u,\; v\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; X\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; T\}\}\; Y,\}$

который объясняет множители для θ и φ. Это выпадает в выражении для угла.

Имеет смысл записать этот составной генератор вращения как

$\alpha \; X\; +\; \beta \; Y\; +\; \gamma \; [X,\; Y]\; =\; so\; (3)\; X\; +\; Y\; +\; 1\; 2\; [X,\; Y]\; +\; 1\; 12\; [X,\; [X,\; Y]]\; -\; 1\; 12\; [Y,\; [X,\; Y]]\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; X\; +\; \backslash \; beta\; Y\; +\; \backslash \; gamma\; [X,\; Y]\; \{\backslash \; underset\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}\; \{=\}\}\; X\; +\; Y\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; [X,\; Y]\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{12\}\}\; [X,\; [X,\; Y]]\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\}\; \{12\}\}\; [Y,\; [X,\; Y]]\; +\; \backslash \; cdots,\}$

, чтобы подчеркнуть, что это тождество алгебры Ли.

Вышеупомянутое тождество верно для всех точных представлений из (3). ядро ​​ гомоморфизма алгебры является идеалом, но 𝖘𝖔 (3), будучи общим, не имеет нетривиальных идеалов, и, следовательно, все нетривиальные представления точны. В частности, это имеет место в дублетном или спинорном представлении. Таким образом, та же явная формула более простым способом следует через матрицы Паули, ср. 2 × 2 вывода для SU (2).

Случай SU (2)

подобная версия Паули той же формулы BCH является несколькими более простым законом группового состава SU (2),

$eia\; \prime \; (u\; ^\; \cdot \; \sigma \; \to )\; eib\; \prime \; (v\; ^\; \cdot \; \sigma \; \to )\; =\; exp\; \; (c\; \prime \; sin\; \; c\; \prime \; sin\; \; a\; \prime \; sin\; \; b\; \prime \; ((i\; cot\; \; b\; \prime \; u\; ^\; +\; я\; детская\; кроватка\; \; a\; \text{'}v\; ^)\; \cdot \; \sigma \; \to \; +\; 1\; 2\; [iu\; ^\; \cdot \; \sigma \; \to ,\; iv\; ^\; \cdot \; \sigma \; \to ])),\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{ia\text{'}\; (\{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{\; \backslash \; sigma\}\})\}\; e\; ^\; \{ib\; \text{'}(\{\backslash \; hat\; \{v\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\})\}\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{c\text{'}\}\; \{\backslash \; sin\; c\; \text{'}\}\; \}\; \backslash \; sin\; a\; \text{'}\backslash \; sin\; b\text{'}\; \backslash \; left\; ((i\; \backslash \; cot\; b\; \text{'}\{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; +\; i\; \backslash \; cot\; a\text{'}\; \{\backslash \; hat\; \{v\}\})\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; [i\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\},\; i\; \{\backslash \; hat\; \{v\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\}]\; \backslash \; right)\; \backslash \; right),\}$

где

$cos\; \; c\; \prime \; =\; cos\; \; a\; \prime \; cos\; \; b\; \prime \; -\; u\; ^\; \cdot \; v\; ^\; sin\; \; a\; \prime \; sin\; \; b\; \prime ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; c\; \text{'}=\; \backslash \; cos\; a\; \text{'}\backslash \; cos\; b\text{'}\; -\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; hat\; \{v\}\}\; \backslash \; sin\; a\; \text{'}\backslash \; sin\; b\text{'},\}$

сферический закон косинусов. (Обратите внимание, что a ', b', c '- это углы, а не a, b, c выше.)

Это явно тот же формат, что и выше,

$Z\; =\; \alpha \; \prime \; X\; +\; \beta \; \prime \; Y\; +\; \gamma \; \prime \; [X,\; Y],\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \backslash \; alpha\; \text{'}X\; +\; \backslash \; beta\text{'}\; Y\; +\; \backslash \; gamma\; \text{'}[X,\; Y],\}$

с

$X\; =\; ia\; \prime \; u\; ^\; \cdot \; \sigma ,\; знак\; Y\; равно\; ib\; \prime \; v\; ^\; \cdot \; \sigma \; \in \; su\; (2),\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; ia\; \text{'}\{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\},\; \backslash \; quad\; Y\; =\; ib\text{'}\; \{\; \backslash \; hat\; \{v\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{su\}\}\; (2),\}$

так, чтобы

$\alpha \; \prime \; =\; c\; \prime \; sin\; \; c\; \prime \; sin\; \; a\; \prime \; a\; \prime \; cos\; \; b\; \prime \; \beta \; \prime \; =\; c\; \prime \; sin\; \; c\; \prime \; sin\; \; b\; \prime \; b\; \prime \; cos\; \; a\; \prime \; \gamma \; \prime \; =\; 1\; 2\; c\; \prime \; sin\; \; c\; \prime \; sin\; \; a\; \prime \; a\; \prime \; sin\; \; b\; \prime \; b\; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; alpha\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{c\text{'}\}\; \{\backslash \; sin\; c\; \text{'}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; a\text{'}\}\; \{a\; \text{'}\}\}\; \backslash \; cos\; b\text{'}\; \backslash \backslash \backslash \; beta\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{c\text{'}\}\; \{\backslash \; sin\; c\; \text{'}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; b\text{'}\}\; \{b\; \text{'}\}\}\; \backslash \; cos\; a\text{'}\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; \{\backslash \; frac\; \{c\; \text{'}\}\; \{\backslash \; sin\; c\text{'}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; a\; \text{'}\}\; \{a\text{'}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; b\; \text{'}\}\; \{b\text{'}\}\}.\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}$

Для равномерной нормализации образующих рассматриваемой алгебре Ли выразите матрицы Паули через t-матрицы, σ → 2i t, так что

$a\; \prime \; \mapsto \; -\; \theta \; 2,\; b\; \prime \; \mapsto \; -\; \varphi \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \text{'}\backslash \; mapsto\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\},\; \backslash \; quad\; b\text{'}\; \backslash \; mapsto\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\}.\}$

Чтобы убедиться, что это одно и то же коэффициенты, как указано выше, вычислить отношения коэффициентов,

$\alpha \; \prime \; \gamma \; \prime \; =\; \theta \; cot\; \; \theta \; 2\; =\; \alpha \; \gamma \; \beta \; \prime \; \gamma \; \prime \; =\; \varphi \; cot\; \; \varphi \; 2\; =\; \beta \; \gamma .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; \text{'}\}\; \{\backslash \; gamma\text{'}\}\}\; =\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; \}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \text{'}\}\; \{\backslash \; gamma\text{'}\}\}\; =\; \backslash \; phi\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{\backslash \; гамма\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Наконец, γ = γ 'с тождеством d = sin 2c'.

Для общего случая n × n можно использовать Ref.

Случай кватерниона

Формулировка кватерниона композиции двух вращений R B и R A также непосредственно ось вращения и угол составного вращения R C=RBRA.

Пусть кватернион, связанный с пространственным вращением R, построен из его оси вращения Sи угол поворота φ этой оси. Соответствующий кватернион определяется выражением

$S\; =\; cos\; \; \varphi \; 2\; +\; sin\; \; \varphi \; 2\; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; mathbf\; \{S\}.\}$

Тогда композиция вращения R R с R A - это поворот R C=RBRAс осью вращения и углом, определяемым произведением кватернионов

$A\; =\; соз\; \; \alpha \; 2\; +\; грех\; \; \alpha \; 2\; A\; и\; В\; =\; соз\; \; \beta \; 2\; +\; грех\; \; \beta \; 2\; В,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; B\; =\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\},\}$

то есть

$C\; =\; cos\; \; \gamma \; 2\; +\; sin\; \; \gamma \; 2\; C\; =\; (cos\; \; \beta \; 2\; +\; sin\; \; \beta \; 2\; B)\; (cos\; \; \alpha \; 2\; +\; sin\; \; \alpha \; 2\; A).\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}))\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \{\backslash \; Big)\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right).\}$

Разверните это произведение, чтобы получить

$cos\; \; \gamma \; 2\; +\; sin\; \; \gamma \; 2\; C\; =\; (cos\; \; \beta \; 2\; cos\; \; \alpha \; 2\; -\; грех\; \; \beta \; 2\; sin\; \; \alpha \; 2\; B\; \cdot \; A)\; +\; (sin\; \; \beta \; 2\; cos\; \; \alpha \; 2\; B\; +\; sin\; \; \alpha \; 2\; cos\; \; \beta \; 2\; A\; +\; sin\; \; \beta \; 2\; sin\; \; \alpha \; 2\; B\; \times \; A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\backslash \; Big)\}.\}$

Разделите обе части этого уравнения на тождество, которое является законом косинусов на сфере,

$соз\; \; \gamma \; 2\; знак\; равно\; соз\; \; \beta \; 2\; соз\; \; \alpha \; 2\; -\; грех\; \; \beta \; 2\; грех\; \; \alpha \; 2\; В\; \cdot \; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; бета\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\},\}$

и вычислите

$tan\; \; \gamma \; 2\; C\; =\; tan\; \; \beta \; 2\; B\; +\; tan\; \; \alpha \; 2\; A\; +\; tan\; \; \beta \; 2\; tan\; \; \alpha \; 2\; B\; \times \; A\; 1\; -\; tan\; \; \beta \; 2\; загар\; \; \alpha \; 2\; В\; \cdot \; A.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; B\}\; +\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; +\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; \{1-\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{\; A\}\}\}.\}$

Это формула Родригеса для оси составного вращения, установленная в терминах осей двух вращений. Он вывел эту формулу в 1840 году (см. Стр. 408).

Три оси вращения A, Bи C образуют сферический треугольник, образованными двумя углами между плоскостями, образованными этим треугольником, определенным углами поворота.

Матрицы в алгебре Ли сами по себе не являются вращающимися; кососимметричные матрицы являются производными. Фактическое "дифференциальное вращение" или матрица бесконечно малого вращения имеет вид

$I\; +\; A\; d\; \theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; +\; A\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta,\}$

где dθ исчезающе мала и A ∈ 𝖘𝖔 (3).

Эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные матрицы конечного вращения при обычном рассмотрении бесконечно малых. Чтобы понять, что это означает, рассмотрим

$d\; A\; x\; =\; [1\; 0\; 0\; 0\; 1\; -\; d\; \theta \; 0\; d\; \theta \; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; -d\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; 0\; d\; \backslash \; theta\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Сначала проверьте условие ортогональности, QQ = I. Продукт равен

$d\; A\; x\; T\; d\; A\; x\; =\; [1\; 0\; 0\; 0\; 1\; +\; d\; \theta \; 2\; 0\; 0\; 0\; 1\; +\; d\; \theta \; 2],\; \{\backslash \; displaystyle\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; ^\; \{T\}\; \backslash ,\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; +\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; +\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

отличается от единичной матрицы бесконечно малымивеличинами второго порядка, здесь отбрасывается. Итак, в первом порядке бесконечно малая матрица вращения является ортогональной матрицей.

Затем исследуйте квадратные матрицы,

$d\; A\; x\; 2\; =\; [1\; 0\; 0\; 0\; 1\; -\; d\; \theta \; 2\; -\; 2\; d\; \theta \; 0\; 2\; d\; \theta \; 1\; -\; d\; \theta \; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1-d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; -\; 2d\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; 0\; 2\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; 1-d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Снова отбрасывает эффекты второго порядка, обратите внимание, что угол просто удваивается. Это намекает наиболее важное различие в поведении, которое используется с помощью второго бесконечно малого вращения,

$d\; A\; y\; =\; [1\; 0\; d\; \varphi \; 0\; 1\; 0\; -\; d\; \varphi \; 0\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; d\; \backslash \; phi\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; -\; d\; \backslash \; phi\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\; \}$

различные продукты dA xdAyс dA ydAx,

$d\; A\; xd\; A\; y\; =\; [1\; 0\; d\; \varphi \; d\; \theta \; d\; \varphi \; 1\; -\; d\; \theta \; -\; d\; \varphi \; d\; \theta \; 1]\; d\; A\; yd\; A\; x\; =\; [1\; d\; \theta \; d\; \varphi \; d\; \varphi \; 0\; 1\; -\; d\; \theta \; -\; d\; \varphi \; d\; \theta \; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \backslash ,\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; d\; \backslash \; phi\; \backslash \backslash \; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; 1\; -\; d\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; -\; d\; \backslash \; phi\; d\; \backslash \; theta\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; \backslash ,\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; d\; \backslash \; phi\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; -d\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; -\; d\; \backslash \; phi\; d\; \backslash \; theta\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\; \}.\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Город $d\; \theta \; d\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\}$имеет второй порядок, мы отбрасываем его: таким образом, до первого порядка умножение матриц бесконечно малого вращения коммутативно. Фактически,

$d\; A\; xd\; A\; y\; =\; d\; A\; yd\; A\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \backslash ,\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; =\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; \backslash ,\; dA\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\},\}$

снова к первому порядку. Другими словами, порядок, в котором применяются бесконечно малые вращения, не имеет значения. .

Этот полезный факт делает, например, вывод вращения твердого тела простым. Но всегда нужно быть осторожным, чтобы отличить (обработка первого порядка) эти бесконечно малые вращения как от матриц конечного вращения, так и от элементов алгебры Ли. Пририцание поведения матриц конечного вращения в приведенной выше формуле БЧХ с поведением матриц бесконечно малых вращений, где все члены коммутатора бесконечно малыми величинами второго порядка, можно найти истинное пространственное пространство. Технически, это исключение любых членов второго порядка составляет Сжатие группы.

Мы видели, что существует множество способов представления поворотов:

• как ортогональные матрицы с определителем 1,
• по оси и угла поворота
• в кватернионной алгебре с версорами и картой 3-сферой S → SO (3) (см. кватернионы и пространственные вращения )
• в геометрической алгебре как ротор
• как последовательность трех вращений вокруг трех фиксированных осей; см. Эйлер углы.

См. Также Представления SO (3)

Группа SO (3) трехмерных евклидовых вращений имеет бесконечное представление в гильбертовномерном пространстве

$L\; 2\; (S\; 2)\; =\; промежуток\; \; \{Y\; m\; \ell ,\; \ell \; \in \; N\; +,\; -\; \ell \; ⩽\; m\; ⩽\; \ell \},\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{2\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{span\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{Y\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; ell\},\; \backslash \; ell\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; ^\; \{+\},\; -\; \backslash \; ell\; \backslash \; leqslant\; m\; \backslash \; leqslant\; \backslash \; ell\; \backslash \; righ\; t\; \backslash \},\}$

где $Y\; m\; \ell \; \{\backslash \; displ\; aystyle\; Y\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}$- сферические гармоники. Его элементы - квадратично интегрируемые комплекснозначные функции на сфере. Внутреннее произведение на этом изображении определяется выражением

$f,\; g⟩\; =\; \int \; S\; 2\; f\; ¯\; g\; d\; \Omega \; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; \int \; 0\; \pi \; f\; ¯\; g\; sin\; \; \theta \; d\; \theta \; d\; \varphi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{f\}\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; \}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; overline\; \{f\}\}\; g\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi.\}$

(H1)

Если f произвольная функция, интегрируемая с квадратом, определенная на единичной сфере S, то ее можно выразить как

$|\; f⟩\; =\; \sum \; \ell \; =\; 1\; \infty \; \sum \; m\; =\; -\; \ell \; m\; =\; \ell \; |\; Y\; м\; \ell ⟩\; ⟨Y\; м\; \ell \; |\; е⟩,\; е\; (\theta ,\; \varphi )\; знак\; равно\; \sum \; \ell \; знак\; равно\; 1\; \infty \; \sum \; м\; =\; -\; \ell \; м\; =\; \ell \; е\; \ell \; м\; Y\; м\; \ell \; (\theta ,\; \varphi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; -\; \backslash \; ell\}\; ^\; \{m\; =\; \backslash \; ell\}\; |\; Y\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; Y\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; |\; f\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; qquad\; f\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; -\; \backslash \; ell\}\; ^\; \{m\; =\; \backslash \; ell\}\; f\; \_\; \{\backslash \; ell\; m\}\; Y\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi),\}$

(H2)

где коэффициенты разложения задаются как

$f\; \ell \; m\; =\; ⟨Y\; m\; \ell ,\; f⟩\; =\; S\; 2\; Y\; m\; ¯\; fd\; \Omega \; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; \int \; 0\; \pi \; Y\; m\; \ell \; ¯\; (\theta ,\; \varphi )\; f\; (\theta ,\; \varphi )\; sin\; \; \theta \; d\; \theta \; d\; \varphi .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; ell\; m\}\; =\; \backslash \; langle\; Y\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; ell\},\; f\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{Y\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; overline\; \{Y\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\; \}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; f\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi.\}$

(H3)

Действие группы Лоренца ограничивается SO (3) и выражается как

$(\Pi \; (R)\; f)\; (\theta \; (x),\; \varphi \; (x))\; =\; \sum \; \ell \; =\; 1\; \infty \; \sum \; m\; =\; -\; \ell \; m\; =\; \ell \; \sum \; m\; \prime \; =\; -\; m\; \prime \; =\; \ell \; D\; мм\; \prime \; (\ell )\; (R)\; е\; \ell \; m\; \prime \; Y\; м\; \ell \; (\theta \; (R\; -\; 1\; x),\; \varphi \; (R\; -\; 1\; x)),\; R\; \in \; SO\; \; (3),\; x\; \in \; S\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Pi\; (R)\; f)\; (\backslash \; theta\; (x),\; \backslash \; phi\; (x))\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; -\; \backslash \; ell\}\; ^\; \{m\; =\; \backslash \; ell\; \}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; \text{'}=\; -\; \backslash \; ell\}\; ^\; \{m\text{'}\; =\; \backslash \; ell\}\; D\_\; \{mm\; \text{'}\}\; ^\; \{(\backslash \; ell)\}\; (R)\; f\; \_\; \{\backslash \; ell\; m\text{'}\}\; Y\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; theta\; (R\; ^\; \{-\; 1\}\; x),\; \backslash \; phi\; (R\; ^\; \{-\; 1\}\; x)\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\; R\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; (3),\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{2\}.\}$

(H4)

Это действие унитарно, что означает, что

$⟨\Pi \; (R)\; f,\; \Pi \; (R)\; g⟩\; =\; ⟨f,\; g\; \forall \; f,\; g\; \in \; S\; 2,\; \forall \; R\; \in \; SO\; \; (3).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Pi\; (R)\; е,\; \backslash \; Pi\; (R)\; g\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; f,\; g\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{2\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; R\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; (3).\}$

(H5)

D можно получить из D выше, используя разложение Клебша - Гордана, но их проще прямо выражается как экспонента нечетномерного su (2) -представления (3-мерное в точности равно 𝖘𝖔 (3)). В этом случае пространство L (S ) аккуратно разлагается на бесконечную прямую сумму неприводимых нечетных конечных представлений V 2i + 1, i = 0, 1,… согласно

$L\; 2\; (S\; 2)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; V\; 2\; i\; +\; 1\; ⨁\; i\; =\; 0\; \infty \; промежуток\; \; \{Y\; m\; 2\; i\; +\; 1\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{2\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; V\_\; \{2i\; +\; 1\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; operatorname\; \{span\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{Y\_\; \{m\}\; ^\; \{2i\; +\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

(H6)

Это характерно для бесконечномерных унитарных представлений SO (3). Если Π - бесконечное унитарное представление на сепарабельном гильбертовом пространстве, то оно распадается как прямая сумма конечных унитарных представлений. Таким образом, такое представление никогда не бывает неприводимым. Все неприводимые определенные представления (Π, V) можно сделать унитарными путем соответствующего выбора скалярного произведения,

$⟨f,\; g⟩\; U\; \equiv \; \int \; SO\; \; (3)\; ⟨\Pi \; (R)\; f,\; \Pi \; (R)\; g⟩\; dg\; =\; 1\; 8\; \pi \; 2\; \int \; 0\; 2\; \pi \; \int \; 0\; \pi \; \int \; 0\; 2\; \pi \; ⟨\Pi \; (R)\; f,\; \Pi \; (R)\; g⟩\; sin\; \; \theta \; d\; \varphi \; d\; \theta \; d\; \psi ,\; f,\; g\; \in \; V,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; \_\; \{U\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{SO\}\; (3)\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; Pi\; (R)\; f,\; \backslash \; Pi\; (R)\; g\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; dg\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{1\}\; \{\; 8\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; Pi\; (R)\; f,\; \backslash \; Pi\; (R)\; g\; \backslash \; rangle\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; psi,\; \backslash \; quad\; f,\; g\; \backslash \; in\; V,\}$

где интеграл - это единственный инвариантный интеграл над SO (3), нормированный на 1, здесь выраженный с использованием параметров углов Эйлера. Внутреннее произведение внутри интеграла - это любое внутреннее произведение на V.

Группа вращения вполне естественно обобщается на n-мерное евклидово пространство, $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$со стандартной евклидовой структурой. Группа всех собственных и вращающихся в измерениях называется ортогональной группой O (n), а подгруппа собственных вращений называется специальной ортогональной группой SO (n), которая является группой Ли размерности n (n - 1) / 2.

В специальной теории относительности каждый работает в 4-мерном векторном изображении, известном как пространство Минковского, а не в 3-мерном евклидовом пространстве. В отличие от евклидова пространства, пространства Минковского имеет внутренний продукт с неопределенной подписью. Однако все еще можно определить обобщенные вращения, которые сохраняют этот внутренний продукт. Такие обобщенные преобразования известны как преобразование Лоренца, группа всех преобразований называется группой Лоренца.

Группа вращений SO (3) может быть описана как подгруппа E (3), евклидова группа прямых изометрий евклидовой $R\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}.\}$Эта большая группа представляет собой группу всех движений твердого тела : каждое из них представляет собой комбинацию вращения вокруг произвольной ось и перенос по оси, или, иначе говоря, комбинация элемента SO (3) и произвольного перемещения.

В общем, группа вращения объекта - это группа симметрии внутри группы прямых изометрий; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для хиральных объектов это то же самое, что и полная группа симметрии.

• Ортогональная группа
• Угловой момент
• Координаты вращения
• Графики на SO (3)
• Представления SO (3)
• Eul углы
• Формула вращения Родригеса
• Бесконечно малое вращение
• Группа штифтов
• Кватернионы и пространственные вращения
• Жесткое тело
• Сферические гармоники
• Плоскость вращения
• Группа Ли
• Матрица Паули
• Трюк с Оператор трехмерного вращения

• Боас, Мэри Л. (2006), Математические методы в физических науках (3-е изд.), John Wiley sons, стр. 120, 127, 129, 155ff и 535, ISBN 978-0471198260
• Curtright, TL ; Фэрли, Д. Б. ; Захос, CK (2014), «Компактная формула для вращений как полиномов спиновой матрицы», SIGMA, 10 : 084, arXiv : 1402.3541, Bibcode : 2014SIGMA..10..084C, doi : 10.3842 / SIGMA.2014.084
• Энгё, Кент (2001), «О формуле BCH в 𝖘𝖔 (3)», BIT Numerical Mathematics, 41 (3): 629–632, doi : 10.1023 / A: 1021979515229, ISSN 0006-3835 [1]
• Гельфанд, ИМ ; Минлос, Р.А. ; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения, Нью-Йорк: Pergamon Press
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978- 3319134666
• Джейкобсон, Натан (2009), Базовая алгебра, 1 (2-е изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486 -47189-1
• Джоши, AW (2007), Элементы теории групп для физиков, New Age International, стр. 111ff, ISBN 81-224-0975-X
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение в линейные группы, Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9
• van der Waerden, BL (1952), Group Theory and Quantum Mechanics, Springer Publishing, ISBN 978-3642658624 (перевод оригинального издания 1932 года, Die Gruppentheoretische Methode in Der Quantenmechanik).
• Велтман М. ; 'т Хоофт, Г. ; де Вит, Б. (2007). "Группы Ли в физике (онлайн-лекция)" (PDF). Проверено 24.10.2016. CS1 maint: ref = harv (ссылка ).