Лестничный оператор

редактировать
Операторы повышения и понижения в квантовой механике

В линейной алгебре (и ее применении квантовая механика ), оператор подъема или опускания (все вместе известные как лестничные операторы ) - это оператор, который увеличивает или уменьшает собственное значение другого оператора. В квантовой механике оператор подъема иногда называют оператором создания , а оператор опускания - оператором уничтожения. Хорошо известные приложения лестничных операторов в квантовой механике находятся в формализмах квантового гармонического осциллятора и углового момента.

Содержание

  • 1 Терминология
  • 2 Общая формулировка
  • 3 Угловой момент
    • 3.1 Приложения в атомной и молекулярной физике
  • 4 Гармонический осциллятор
  • 5 Водородоподобный атом
  • 6 История
  • 7 См. Также
  • 8 Ссылки

Терминология

Существует некоторая путаница в отношении взаимосвязи между операторами подъема и опускания лестницы и операторами создания и уничтожения, обычно используемыми в квантовой теории поля. Оператор создания a i увеличивает количество частиц в состоянии i, тогда как соответствующий оператор уничтожения a i уменьшает количество частиц в состоянии i. Это явно удовлетворяет требованиям приведенного выше определения лестничного оператора: увеличение или уменьшение собственного значения другого оператора (в данном случае оператор числа частиц ).

Путаница возникает из-за того, что термин оператор лестницы обычно используется для описания оператора, который действует для увеличения или уменьшения квантового числа, описывающего состояние системы. Чтобы изменить состояние частицы с помощью операторов создания / уничтожения QFT, требуется использование как оператора уничтожения для удаления частицы из начального состояния, так и оператора создания для добавления частицы в конечное состояние.

Термин «оператор лестницы» также иногда используется в математике в контексте теории алгебр Ли и, в частности, аффинных алгебр Ли, для описания подалгебры su (2), из которых могут быть построены корневая система и модули наивысшего веса с помощью лестничных операторов. В частности, старший вес аннулируется повышающими операторами; остальная часть положительного корневого пространства получается путем многократного применения понижающих операторов (один набор лестничных операторов на подалгебру).

Общая формулировка

Предположим, что два оператора X и N имеют коммутационное отношение,

[N, X] = c X, {\ displaystyle [N, X] = cX, \ quad}[N, X] = cX, \ quad

для некоторого скаляра c. Если | n⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| n \ rangle}}\ scriptstyle {| n \ rangle } - собственное состояние N с уравнением на собственные значения,

N | п⟩ = п | n⟩, {\ displaystyle N | n \ rangle = n | n \ rangle, \,}N | n \ rangle = n | n \ rangle, \,

, то оператор X действует на | n⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| n \ rangle}}\ scriptstyle {| n \ rangle } таким образом, чтобы сместить собственное значение на c:

N X | n⟩ = (X N + [N, X]) | п⟩ = X N | п⟩ + [N, X] | n⟩ = X n | п⟩ + с X | n⟩ = (n + c) X | n⟩. {\ displaystyle {\ begin {align} NX | n \ rangle = (XN + [N, X]) | n \ rangle \\ = XN | n \ rangle + [N, X] | n \ rangle \\ = Xn | n \ rangle + cX | n \ rangle \\ = (n + c) X | n \ rangle. \ End {align}}}{\ begin {align} NX | n \ rangle = (XN + [N, X]) | n \ rangle \\ = XN | n \ rangle + [N, X] | n \ rangle \\ = Xn | n \ rangle + cX | n \ rangle \\ = (n + c) X | n \ rangle. \ End {align}}

Другими словами, если | n⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| n \ rangle}}\ scriptstyle {| n \ rangle } - собственное состояние N с собственным значением n, тогда X | n⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {X | n \ rangle}}\ scriptstyle {X | n \ rangle} - собственное состояние N с собственным значением n + c, либо оно равно нулю. Оператор X является оператором повышения для N, если c вещественно и положительно, и оператором понижения для N, если c вещественно и отрицательно.

Если N является эрмитовым оператором, тогда c должно быть вещественным и эрмитово сопряженное соединение к X подчиняется коммутационному соотношению:

[N, X †] = - c X †. {\ displaystyle [N, X ^ {\ dagger}] = - cX ^ {\ dagger}. \ quad}[N, X ^ {\ dagger}] = - cX ^ {\ dagger }. \ quad

В частности, если X - оператор понижения для N, то X - оператор повышения для N и наоборот.

Угловой момент

Конкретное применение концепции оператора лестницы можно найти в квантовомеханическом трактовке углового момента. Для общего вектора углового момента, Jс компонентами J x, J y и J z определяется два оператора лестницы, J + и J –,

J + = J x + i J y, {\ displaystyle J _ {+} = J_ {x} + iJ_ {y}, \ quad}J _ {+} = J_ {x} + iJ_ { y}, \ quad
J - = J x - i J y, {\ displaystyle J _ {-} = J_ {x} -iJ_ {y}, \ quad}J _ {-} = J_ {x} -iJ_ { y}, \ quad

, где i - мнимая единица.

Отношение коммутации между декартовыми компонентами любого оператора углового момента задается выражением

[J i, J j] = i ℏ ϵ ijk J k, {\ displaystyle [J_ {i}, J_ {j} ] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} J_ {k},}[J_ {i}, J_ {j}] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} J_ {k},

где ε ijk - это символ Леви-Чивиты, и каждый из i, j и k может принять любое из значений x, y и z.

Из этого получаются коммутационные отношения между операторами лестничной диаграммы и J z,

[J z, J ±] = ± ℏ J ±, {\ displaystyle \ left [ J_ {z}, J _ {\ pm} \ right] = \ pm \ hbar J _ {\ pm} \ quad,}{\ displaystyle \ left [J_ {z}, J _ {\ pm} \ right] = \ pm \ hbar J _ {\ pm} \ quad,}
[J +, J -] = 2 ℏ J z. {\ displaystyle \ left [J _ {+}, J _ {-} \ right] = 2 \ hbar J_ {z} \ quad.}{\ displaystyle \ left [J _ {+}, J _ {- } \ right] = 2 \ hbar J_ {z} \ quad.}

(Технически это алгебра Ли sl (2, R) {\ Displaystyle {{\ mathfrak {s}} l} (2, \ mathbb {R})}{\ displaystyle {{\ mathfrak {s}} l} (2, \ mathbb {R})} ).

Свойства операторов лестничной диаграммы можно определить, наблюдая, как они изменяют действие оператора J z в данном состоянии,

J z J ± | j m⟩ = (J ± J z + [J z, J ±]) | j m⟩ = (J ± J z ± ℏ J ±) | j m⟩ = ℏ (m ± 1) J ± | j m⟩. {\ displaystyle {\ begin {align} J_ {z} J _ {\ pm} | j \, m \ rangle = \ left (J _ {\ pm} J_ {z} + \ left [J_ {z}, J_ { \ pm} \ right] \ right) | j \, m \ rangle \\ = \ left (J _ {\ pm} J_ {z} \ pm \ hbar J _ {\ pm} \ right) | j \, m \ rangle \\ = \ hbar \ left (m \ pm 1 \ right) J _ {\ pm} | j \, m \ rangle. \ end {align}}}{\ begin {align} J_ {z} J _ {\ pm} | j \, m \ rangle = \ left (J _ {\ pm} J_ {z} + \ left [J_ {z}, J _ {\ pm} \ right] \ right) | j \, m \ rangle \\ = \ left (J _ {\ pm} J_ {z} \ pm \ hbar J _ {\ pm} \ справа) | j \, m \ rangle \\ = \ hbar \ left (m \ pm 1 \ right) J _ {\ pm} | j \, m \ rangle. \ end {выравнивается}}

Сравните этот результат с

J z | j (m ± 1)⟩ = ℏ (m ± 1) | j (m ± 1)⟩. {\ displaystyle J_ {z} | j \, (m \ pm 1) \ rangle = \ hbar (m \ pm 1) | j \, (m \ pm 1) \ rangle. \ quad}{\ displaystyle J_ {z} | j \, (m \ pm 1) \ rangle = \ hbar (m \ pm 1) | j \, (m \ pm 1) \ rangle. \ quad}

Таким образом, можно сделать вывод что J ± | j m⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {J _ {\ pm} | j \, m \ rangle}}\ scriptstyle {J _ {\ pm} | j \, m \ rangle} - некоторый скаляр, умноженный на | j м ± 1⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| j \, m \ pm 1 \ rangle}}\ scriptstyle {| j \, m \ pm 1 \ rangle} ,

J + | j m⟩ = α | j м + 1⟩, {\ displaystyle J _ {+} | j \, m \ rangle = \ alpha | j \, m + 1 \ rangle, \ quad}J _ {+} | j \, m \ rangle = \ alpha | j \, m + 1 \ rangle, \ quad
J - | j m⟩ = β | Дж м - 1⟩. {\ displaystyle J _ {-} | j \, m \ rangle = \ beta | j \, m-1 \ rangle. \ quad}J _ {-} | j \, m \ rangle = \ beta | j \, m-1 \ rangle. \ quad

Это иллюстрирует определяющую особенность лестничных операторов в квантовой механике: увеличение (или уменьшение) квантового числа, таким образом отображая одно квантовое состояние на другое. Это причина того, что их часто называют операторами повышения и понижения.

Чтобы получить значения α и β, сначала возьмите норму каждого оператора, учитывая, что J + и J - являются эрмитово сопряженными пара (J ± = J ∓ † {\ displaystyle \ scriptstyle {J _ {\ pm} = J _ {\ mp} ^ {\ dagger}}}\ scriptstyle {J _ {\ pm} = J _ {\ mp} ^ {\ dagger}} ),

⟨jm | J + † J + | j m⟩ = ⟨j m | J - J + | j m⟩ = ⟨j (m + 1) | α ∗ α | j (m + 1)⟩ = | α | 2 {\ displaystyle \ langle j \, m | J _ {+} ^ {\ dagger} J _ {+} | j \, m \ rangle = \ langle j \, m | J _ {-} J _ {+} | j \, m \ rangle = \ langle j \, (m + 1) | \ alpha ^ {*} \ alpha | j \, (m + 1) \ rangle = | \ alpha | ^ {2}}{\ displaystyle \ langle j \, m | J _ {+} ^ {\ dagger} J _ {+} | j \, m \ rangle = \ langle j \, m | J_ {-} J _ {+} | j \, m \ rangle = \ langle j \, (m + 1) | \ alpha ^ {*} \ alpha | j \, (m + 1) \ rangle = | \ alpha | ^ {2}} ,
⟨jm | J - † J - | j m⟩ = ⟨j m | J + J - | j m⟩ = j (m - 1) | β ∗ β | j (m - 1)⟩ = | β | 2 {\ displaystyle \ langle j \, m | J _ {-} ^ {\ dagger} J _ {-} | j \, m \ rangle = \ langle j \, m | J _ {+} J _ {-} | j \, m \ rangle = \ langle j \, (m-1) | \ beta ^ {*} \ beta | j \, (m-1) \ rangle = | \ beta | ^ {2}}{\ displaystyle \ langle j \, m | J _ {-} ^ { \ dagger} J _ {-} | j \, m \ rangle = \ langle j \, m | J _ {+} J _ {-} | j \, m \ rangle = \ langle j \, (m-1) | \ beta ^ {*} \ beta | j \, (m-1) \ rangle = | \ beta | ^ {2}} .

Продукт лестничных операторов можно выразить через коммутирующую пару J и J z,

J - J + = (J x - i J y) (J x + i J y) = J x 2 + J y 2 + i [J x, J y] = J 2 - J z 2 - ℏ J z, {\ displaystyle J _ {-} J _ {+} = (J_ {x} -iJ_ {y}) (J_ {x} + iJ_ { y}) = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} + i [J_ {x}, J_ {y}] = J ^ {2} -J_ {z} ^ {2} - \ hbar J_ {z},}J _ {-} J _ {+} = (J_ {x} -iJ_ {y}) (J_ {x} + iJ_ {y}) = J_ {x} ^ {2 } + J_ {y} ^ {2} + i [J_ {x}, J_ {y}] = J ^ {2} -J_ {z} ^ {2} - \ hbar J_ {z},
J + J - = (J x + i J y) (J x - i J y) = J x 2 + J y 2 - i [J x, J y] = J 2 - J z 2 + ℏ J z. {\ displaystyle J _ {+} J _ {-} = (J_ {x} + iJ_ {y}) (J_ {x} -iJ_ {y}) = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ { 2} -i [J_ {x}, J_ {y}] = J ^ {2} -J_ {z} ^ {2} + \ hbar J_ {z}.}J _ {+} J _ {-} = (J_ {x} + iJ_ {y}) (J_ {x} -iJ_ {y}) = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} -i [J_ {x}, J_ {y}] = J ^ {2} -J_ {z } ^ {2} + \ hbar J_ {z}.

Таким образом, можно выразить значения | α | и | β | в терминах собственных значений J и J z,

| α | 2 знак равно ℏ 2 J (J + 1) - ℏ 2 м 2 - ℏ 2 м знак равно ℏ 2 (J - м) (J + M + 1), {\ Displaystyle | \ альфа | ^ {2} = \ HBAR ^ {2} j (j + 1) - \ hbar ^ {2} m ^ {2} - \ hbar ^ {2} m = \ hbar ^ {2} (jm) (j + m + 1),}| \ alpha | ^ {2} = \ hbar ^ {2} j (j + 1) - \ hbar ^ {2} m ^ {2} - \ hbar ^ {2} m = \ hbar ^ {2} (jm) (j + m + 1),
| β | 2 знак равно ℏ 2 j (j + 1) - 2 m 2 + ℏ 2 m = ℏ 2 (j + m) (j - m + 1). {\ Displaystyle | \ бета | ^ {2} = \ hbar ^ {2} j (j + 1) - \ hbar ^ {2} m ^ {2} + \ hbar ^ {2} m = \ hbar ^ {2 } (j + m) (j-m + 1).}| \ beta | ^ {2} = \ hbar ^ {2} j (j + 1) - \ hbar ^ {2} м ^ {2} + \ hbar ^ {2} m = \ hbar ^ {2} (j + m) (j-m + 1).

фазы α и β не являются физически значимыми, поэтому они могут быть выбраны положительными и действительными (Соглашение о фазах Кондона-Шортли ). Тогда мы имеем:

J + | j m⟩ = ℏ (j - m) (j + m + 1) | j m + 1⟩ = ℏ j (j + 1) - m (m + 1) | jm + 1⟩, {\ displaystyle J _ {+} | j \, m \ rangle = \ hbar {\ sqrt {(jm) (j + m + 1)}} | j \, m + 1 \ rangle = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1) -m (m + 1)}} | j \, m + 1 \ rangle,}J _ {+} | j \, m \ rangle = \ hbar {\ sqrt {(jm) (j + m + 1)}} | j \, m + 1 \ rangle = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1) -m (m + 1)}} | j \, m + 1 \ rangle,
J - | j m⟩ = ℏ (j + m) (j - m + 1) | j m - 1⟩ = ℏ j (j + 1) - m (m - 1) | Дж м - 1⟩. {\ Displaystyle J _ {-} | J \, m \ rangle = \ hbar {\ sqrt {(j + m) (j-m + 1)}} | j \, m-1 \ rangle = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1) -m (m-1)}} | j \, m-1 \ rangle.}J _ {-} | j \, m \ rangle = \ hbar {\ sqrt {(j + m) (j-m + 1)}} | j \, m-1 \ rangle = \ hbar { \ sqrt {j (j + 1) -m (m-1)}} | j \, m-1 \ rangle.

Подтверждение того, что m ограничено значением j (- j ≤ m ≤ j {\ displaystyle \ scriptstyle {-j \ leq m \ leq j}}\ scriptstyle {-j \ leq m \ leq j} ), один имеет

J + | j j⟩ знак равно 0, {\ displaystyle J _ {+} | j \, j \ rangle = 0, \,}J _ {+} | j \, j \ rangle = 0, \,
J - | j (- j)⟩ = 0. {\ displaystyle J _ {-} | j \, (- j) \ rangle = 0. \,}{\ displaystyle J _ {-} | j \, (- j) \ rangle = 0. \,}

Приведенная выше демонстрация фактически является построением Clebsch-Gordan коэффициенты.

Приложения в атомной и молекулярной физике

Многие члены в гамильтониане атомных или молекулярных систем включают скалярное произведение операторов углового момента. Примером может служить член магнитного диполя в сверхтонком гамильтониане,

H ^ D = A ^ I ⋅ J, {\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {D}} = {\ hat { A}} \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {J}, \ quad}{\ hat {H}} _ { \ текст {D}} = {\ шляпа {A}} \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {J}, \ quad

где I - ядерный спин.

Алгебру углового момента часто можно упростить, преобразовав ее в сферический базис. Используя обозначение сферических тензорных операторов, компоненты «-1», «0» и «+1» элемента J≡ Jзадаются как,

J - 1 (1) = 1 2 ( J x - i J y) знак равно J - 2 J 0 (1) = J z J + 1 (1) = - 1 2 (J x + i J y) = - J + 2. {\ displaystyle {\ begin {align} J _ {- 1} ^ {(1)} = {\ dfrac {1} {\ sqrt {2}}} (J_ {x} -iJ_ {y}) = {\ dfrac {J _ {-}} {\ sqrt {2}}} \\ J_ {0} ^ {(1)} = J_ {z} \\ J _ {+ 1} ^ {(1)} = - { \ frac {1} {\ sqrt {2}}} (J_ {x} + iJ_ {y}) = - {\ frac {J _ {+}} {\ sqrt {2}}}. \ end {выравнивается}} }{\ begin {align} J _ {- 1} ^ {(1)} = {\ dfrac {1} {\ sqrt {2}}} ( J_ {x} -iJ_ {y}) = {\ dfrac {J _ {-}} {\ sqrt {2}}} \\ J_ {0} ^ {(1)} = J_ {z} \\ J_ { +1} ^ {(1)} = - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (J_ {x} + iJ_ {y}) = - {\ frac {J _ {+}} {\ sqrt {2}}}. \ конец {выровнено}}

Из этих определений можно показать, что указанное выше скалярное произведение может быть разложено как

I (1) ⋅ J (1) = ∑ n = - 1 + 1 (- 1) n I n (1) J - N (1) знак равно I 0 (1) J 0 (1) - I - 1 (1) J + 1 (1) - I + 1 (1) J - 1 (1), {\ Displaystyle \ mathbf {I} ^ {(1)} \ cdot \ mathbf {J} ^ {(1)} = \ sum _ {n = -1} ^ {+ 1} (- 1) ^ {n} I_ {n} ^ {(1)} J _ {- n} ^ {(1)} = I_ {0} ^ {(1)} J_ {0} ^ {(1)} - I _ {- 1} ^ {(1)} J_ {+1} ^ {(1)} - I _ {+ 1} ^ {(1)} J _ {- 1} ^ {(1)},}\ mathbf {I} ^ {( 1)} \ cdot \ mathbf {J} ^ {(1)} = \ sum _ {n = -1} ^ {+ 1} (- 1) ^ {n} I_ {n} ^ {(1)} J_ {-n} ^ {(1)} = I_ {0} ^ {(1)} J_ {0} ^ {(1)} - I _ {- 1} ^ {(1)} J _ {+ 1} ^ { (1)} - I _ {+ 1} ^ {(1)} J _ {- 1} ^ {(1)},

Значение этого расширения в том, что оно четко указывает, какие состояния связаны этим членом в гамильтониане, то есть с квантовыми числами, отличающимися только на m i = ± 1 и m j = ∓1.

Гармонический осциллятор

Другое применение концепции лестничного оператора можно найти в квантово-механической трактовке гармонического осциллятора. Мы можем определить операторы понижения и повышения как

a = m ω 2 ℏ (x ^ + im ω p ^) a † = m ω 2 ℏ (x ^ - im ω p ^) {\ displaystyle {\ begin { выровнено} a = {\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar}} \ left ({\ hat {x}} + {i \ over m \ omega} {\ hat {p}} \ right) \\ a ^ {\ dagger} = {\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar}} \ left ({\ hat {x}} - {i \ over m \ omega} {\ hat {p}} \ right) \ end {align}}}{\ begin {align} a = {\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar}} \ left ({\ hat {x}} + {i \ over m \ omega} {\ hat {p}} \ right) \\ a ^ {\ dagger} = {\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar}} \ left ({\ шляпа {х}} - {я \ над м \ омега} {\ шляпа {р}} \ справа) \ end {выровнена}}

Они обеспечивают удобный способ извлечения собственных значений энергии без прямого решения дифференциального уравнения системы.

Водородоподобный атом

Другое применение концепции лестничного оператора можно найти в квантово-механической трактовке электронной энергии водородоподобных атомов и ионов. Мы можем определить операторы понижения и повышения (на основе классического вектора)

A → = (1 Z e 2 μ) {L → × p → - i ℏ p →} + r → r {\ displaystyle {\ vec {A}} = \ left ({\ frac {1} {Ze ^ {2} \ mu}} \ right) \ left \ {{\ vec {L}} \ times {\ vec {p}} - {\ жирный символ {i}} \ hbar {\ vec {p}} \ right \} + {\ frac {\ vec {r}} {r}}}{\ displaystyle {\ vec {A}} = \ left ({\ frac {1} {Ze ^ {2} \ mu}} \ right) \ left \ {{\ vec {L}} \ times {\ vec {p}} - {\ boldsymbol {i}} \ hbar {\ vec {p}} \ right \} + {\ frac {\ vec {r}} {r}}}

где L → {\ displaystyle {\ vec { L}}}{\ vec {L}} - угловой момент, p → {\ displaystyle {\ vec {p}}}{\ vec {p}} - импульс, μ {\ displaystyle \ mu}\ mu - приведенная масса системы, e {\ displaystyle e}e - заряд электрона, и Z {\ displaystyle Z}Z - атомный номер ядра. Аналогично операторам лестницы углового момента, есть A + = A x + i A y {\ displaystyle A _ {+} = A_ {x} + iA_ {y}}{\ displaystyle A _ {+} = A_ {x} + iA_ {y}} и A - = A x - i A y {\ displaystyle A _ {-} = A_ {x} -iA_ {y}}{\ displaystyle A _ {-} = A_ {x} -iA_ {y}} .

Для продолжения работы необходимы следующие коммутаторы:

[A ±, L z] = ∓ i ℏ A ∓ {\ displaystyle [A _ {\ pm}, L_ {z}] = \ mp {\ boldsymbol {i}} \ hbar A _ {\ mp}}{\ displaystyle [A _ {\ pm}, L_ {z}] = \ mp {\ boldsymbol {i}} \ hbar A _ {\ mp}}

и

[A ±, L 2] Знак равно ∓ 2 ℏ 2 A ± - 2 ℏ A ± L z ± 2 ℏ A z L ± {\ displaystyle [A _ {\ pm}, L ^ {2}] = \ mp 2 \ hbar ^ {2} A _ {\ pm} -2 \ hbar A _ {\ pm} L_ {z} \ pm 2 \ hbar A_ {z} L _ {\ pm}}{\ displaystyle [A _ {\ pm}, L ^ {2}] = \ mp 2 \ hbar ^ {2} A _ {\ pm} -2 \ hbar A _ {\ pm} L_ {z} \ pm 2 \ hbar A_ {z} L _ {\ pm}} .

Следовательно,

A + | ?, ℓ, m ℓ>→ | ?, ℓ, м ℓ + 1>{\ displaystyle A _ {+} |?, \ ell, m _ {\ ell}>\ rightarrow |?, \ ell, m _ {\ ell} +1>}{\displaystyle A_{+}|?,\ell,m_{\ell }>\ rightarrow |?, \ ell, m _ {\ ell} +1>}

и

- L 2 (A + |?, ℓ, ℓ>) = - ℏ 2 (ℓ + 1) ((ℓ + 1) + 1) (A + |?, ℓ, ℓ>) {\ displaystyle -L ^ {2} \ left (A _ {+} |?, \ ell, \ ell>\ right) = - \ hbar ^ {2} (\ ell +1) ((\ ell +1) +1) \ left (A _ {+} |?, \ ell, \ ell>\ right)}{\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell,\ell>\ right) = - \ hbar ^ {2} (\ ell +1) ((\ ell +1) +1) \ left (A _ {+} |?, \ Ell, \ ell>\ right)}

so

A + | ?, ℓ, ℓ>→ | ?, ℓ + 1, ℓ + 1>{\ displaystyle A _ {+} |?, \ ell, \ ell>\ rightarrow |?, \ ell +1, \ ell +1>}{\displaystyle A_{+}|?,\ell,\ell>\ rightarrow | ?, \ ell +1, \ ell +1>}

где"? "Указывает на возникающее квантовое число, которое появляется в результате обсуждения.

Учитывая уравнения Паули Уравнение Паули IV:

1 - A ⋅ A = - (2 E μ Z 2 e 4) (L 2 + ℏ 2) {\ displaystyle 1-A \ cdot A = - \ left ({\ frac {2E} {\ mu Z ^ {2} e ^ {4}}} \ right) (L ^ {2} + \ hbar ^ {2})}{\ displaystyle 1-A \ cdot A = - \ left ({\ frac {2E} {\ mu Z ^ {2} e ^ {4}}} \ right) (L ^ {2 } + \ hbar ^ {2})}

и уравнение Паули III:

(A × A) j = - (2 i ℏ E μ Z 2 e 4) L j {\ displaystyle \ left (A \ times A \ right) _ {j} = - \ left ({\ frac {2 {\ boldsymbol {i}} \ hbar E} {\ mu Z ^ {2} e ^ {4}} } \ right) L_ {j}}{\ displaystyle \ left (A \ times A \ right) _ {j} = - \ left ({\ frac {2 {\ boldsymbol {i}} \ hbar E} {\ mu Z ^ {2} e ^ {4}}} \ right) L_ {j}}

и начиная с уравнения

A - A + | ℓ ∗, ℓ ∗>= 0 {\ displaystyle A _ {-} A _ {+} | \ ell ^ {* }, \ ell ^ {*}>= 0}{\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}>= 0}

и при расширении получаем (предполагая, что ℓ ∗ {\ displaystyle \ ell ^ {*}}{\ displaystyle \ ell ^ {*}} является максимальным значением квантового числа углового момента, согласующимся со всеми другими условиями),

(1 + 2 E μ Z 2 e 4 (L 2 + ℏ 2) - i 2 i ℏ E μ Z 2 e 4 L z) | ?, ℓ ∗, ℓ ∗>= 0 {\ displaystyle \ left (1 + {\ frac {2E} {\ mu Z ^ {2} e ^ {4}}} (L ^ {2} + \ hbar ^ {2 }) - i {\ frac {2i \ hbar E} {\ mu Z ^ {2} e ^ {4}}} L_ {z} \ right) |?, \ ell ^ {*}, \ ell ^ {* }>= 0}{\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}>= 0}

что приводит к печально известной (формуле Ридберга )

E n = - μ Z 2 e 4 2 ℏ 2 (ℓ ∗ + 1) 2 {\ displaystyle E_ {n} = - { \ frac {\ mu Z ^ {2} e ^ {4}} {2 \ hbar ^ {2} (\ ell ^ {*} + 1) ^ {2}}}}{\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {\ mu Z ^ {2} e ^ {4}} {2 \ hbar ^ {2} (\ ell ^ {*} +1) ^ {2}}}}

, что означает, что ℓ ∗ + 1 → n →? {\ Displaystyle \ ell ^ {*} + 1 \ rightarrow n \ rightarrow?}{\ displaystyle \ ell ^ {*} + 1 \ rightarrow n \ rightarrow?} , где n {\ displaystyle n}n - это традиционное квантовое число.

История

Многие источники приписывают Дираку изобретение лестничных операторов. Использование Дираком лестничных операторов показывает, что квант полного углового момента число j {\ displaystyle j}j должно быть неотрицательным полуцелым числом, кратным ħ.

См. также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-26 10:45:00
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте