Операторы повышения и понижения в квантовой механике
В линейной алгебре (и ее применении квантовая механика ), оператор подъема или опускания (все вместе известные как лестничные операторы ) - это оператор, который увеличивает или уменьшает собственное значение другого оператора. В квантовой механике оператор подъема иногда называют оператором создания , а оператор опускания - оператором уничтожения. Хорошо известные приложения лестничных операторов в квантовой механике находятся в формализмах квантового гармонического осциллятора и углового момента.
Содержание
- 1 Терминология
- 2 Общая формулировка
- 3 Угловой момент
- 3.1 Приложения в атомной и молекулярной физике
- 4 Гармонический осциллятор
- 5 Водородоподобный атом
- 6 История
- 7 См. Также
- 8 Ссылки
Терминология
Существует некоторая путаница в отношении взаимосвязи между операторами подъема и опускания лестницы и операторами создания и уничтожения, обычно используемыми в квантовой теории поля. Оператор создания a i увеличивает количество частиц в состоянии i, тогда как соответствующий оператор уничтожения a i уменьшает количество частиц в состоянии i. Это явно удовлетворяет требованиям приведенного выше определения лестничного оператора: увеличение или уменьшение собственного значения другого оператора (в данном случае оператор числа частиц ).
Путаница возникает из-за того, что термин оператор лестницы обычно используется для описания оператора, который действует для увеличения или уменьшения квантового числа, описывающего состояние системы. Чтобы изменить состояние частицы с помощью операторов создания / уничтожения QFT, требуется использование как оператора уничтожения для удаления частицы из начального состояния, так и оператора создания для добавления частицы в конечное состояние.
Термин «оператор лестницы» также иногда используется в математике в контексте теории алгебр Ли и, в частности, аффинных алгебр Ли, для описания подалгебры su (2), из которых могут быть построены корневая система и модули наивысшего веса с помощью лестничных операторов. В частности, старший вес аннулируется повышающими операторами; остальная часть положительного корневого пространства получается путем многократного применения понижающих операторов (один набор лестничных операторов на подалгебру).
Общая формулировка
Предположим, что два оператора X и N имеют коммутационное отношение,
для некоторого скаляра c. Если - собственное состояние N с уравнением на собственные значения,
, то оператор X действует на таким образом, чтобы сместить собственное значение на c:
Другими словами, если - собственное состояние N с собственным значением n, тогда - собственное состояние N с собственным значением n + c, либо оно равно нулю. Оператор X является оператором повышения для N, если c вещественно и положительно, и оператором понижения для N, если c вещественно и отрицательно.
Если N является эрмитовым оператором, тогда c должно быть вещественным и эрмитово сопряженное соединение к X подчиняется коммутационному соотношению:
В частности, если X - оператор понижения для N, то X - оператор повышения для N и наоборот.
Угловой момент
Конкретное применение концепции оператора лестницы можно найти в квантовомеханическом трактовке углового момента. Для общего вектора углового момента, Jс компонентами J x, J y и J z определяется два оператора лестницы, J + и J –,
, где i - мнимая единица.
Отношение коммутации между декартовыми компонентами любого оператора углового момента задается выражением
где ε ijk - это символ Леви-Чивиты, и каждый из i, j и k может принять любое из значений x, y и z.
Из этого получаются коммутационные отношения между операторами лестничной диаграммы и J z,
(Технически это алгебра Ли ).
Свойства операторов лестничной диаграммы можно определить, наблюдая, как они изменяют действие оператора J z в данном состоянии,
Сравните этот результат с
Таким образом, можно сделать вывод что - некоторый скаляр, умноженный на ,
Это иллюстрирует определяющую особенность лестничных операторов в квантовой механике: увеличение (или уменьшение) квантового числа, таким образом отображая одно квантовое состояние на другое. Это причина того, что их часто называют операторами повышения и понижения.
Чтобы получить значения α и β, сначала возьмите норму каждого оператора, учитывая, что J + и J - являются эрмитово сопряженными пара (),
- ,
- .
Продукт лестничных операторов можно выразить через коммутирующую пару J и J z,
Таким образом, можно выразить значения | α | и | β | в терминах собственных значений J и J z,
фазы α и β не являются физически значимыми, поэтому они могут быть выбраны положительными и действительными (Соглашение о фазах Кондона-Шортли ). Тогда мы имеем:
Подтверждение того, что m ограничено значением j (), один имеет
Приведенная выше демонстрация фактически является построением Clebsch-Gordan коэффициенты.
Приложения в атомной и молекулярной физике
Многие члены в гамильтониане атомных или молекулярных систем включают скалярное произведение операторов углового момента. Примером может служить член магнитного диполя в сверхтонком гамильтониане,
где I - ядерный спин.
Алгебру углового момента часто можно упростить, преобразовав ее в сферический базис. Используя обозначение сферических тензорных операторов, компоненты «-1», «0» и «+1» элемента J≡ Jзадаются как,
Из этих определений можно показать, что указанное выше скалярное произведение может быть разложено как
Значение этого расширения в том, что оно четко указывает, какие состояния связаны этим членом в гамильтониане, то есть с квантовыми числами, отличающимися только на m i = ± 1 и m j = ∓1.
Гармонический осциллятор
Другое применение концепции лестничного оператора можно найти в квантово-механической трактовке гармонического осциллятора. Мы можем определить операторы понижения и повышения как
Они обеспечивают удобный способ извлечения собственных значений энергии без прямого решения дифференциального уравнения системы.
Водородоподобный атом
Другое применение концепции лестничного оператора можно найти в квантово-механической трактовке электронной энергии водородоподобных атомов и ионов. Мы можем определить операторы понижения и повышения (на основе классического вектора)
где - угловой момент, - импульс, - приведенная масса системы, - заряд электрона, и - атомный номер ядра. Аналогично операторам лестницы углового момента, есть и .
Для продолжения работы необходимы следующие коммутаторы:
и
- .
Следовательно,
и
so
где"? "Указывает на возникающее квантовое число, которое появляется в результате обсуждения.
Учитывая уравнения Паули Уравнение Паули IV:
и уравнение Паули III:
и начиная с уравнения
и при расширении получаем (предполагая, что является максимальным значением квантового числа углового момента, согласующимся со всеми другими условиями),
что приводит к печально известной (формуле Ридберга )
, что означает, что , где - это традиционное квантовое число.
История
Многие источники приписывают Дираку изобретение лестничных операторов. Использование Дираком лестничных операторов показывает, что квант полного углового момента число должно быть неотрицательным полуцелым числом, кратным ħ.
См. также
Ссылки