Оператор числа частиц

В квантовой механике для систем, в которых общее количество частиц не может быть сохранено, числовой оператор является наблюдаемой, которая считает количество частиц.

Числовой оператор действует в пространстве Фока. Позволять

${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {n} \ rangle _ {\ nu}}$

быть фоковским состоянием, составленным из одночастичных состояний, взятых из базиса лежащего в основе гильбертова пространства фоковского пространства. Учитывая соответствующие операторы создания и уничтожения, и мы определяем числовой оператор как ${\ displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle}$ ${\ Displaystyle а ^ {\ кинжал} (\ фи _ {я})}$${\ Displaystyle а (\ фи _ {я}) \,}$

${\ displaystyle {\ hat {N_ {i}}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ a ^ {\ dagger} (\ phi _ {i}) a (\ phi _ {i })}$

и у нас есть

${\ Displaystyle {\ шляпа {N_ {i}}} | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = N_ {i} | \ Psi \ rangle _ {\ nu}}$

где - количество частиц в состоянии. Приведенное выше равенство можно доказать, отметив, что ${\ displaystyle N_ {i}}$${\ displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a (\ phi _ {i}) | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {я-1}, \ phi _ {я }, \ phi _ {i + 1}, \ cdots, \ phi _ {n} \ rangle _ {\ nu} amp; = amp; {\ sqrt {N_ {i}}} | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {i-1}, \ phi _ {i + 1}, \ cdots, \ phi _ {n} \ rangle _ {\ nu} \\ a ^ {\ dagger} (\ phi _ {i}) | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {i-1}, \ phi _ {i + 1}, \ cdots, \ phi _ {n} \ rangle _ {\ nu} amp; = amp; {\ sqrt {N_ {i}}} | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {i-1}, \ phi _ {i}, \ phi _ {i + 1}, \ cdots, \ phi _ {n} \ rangle _ {\ nu} \ end {matrix}}}$

тогда

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ hat {N_ {i}}} | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = a ^ {\ dagger} (\ phi _ {i}) a (\ phi _ { i}) | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {i-1}, \ phi _ {i}, \ phi _ {i + 1}, \ cdots, \ phi _ {n} \ rangle _ {\ nu} amp; = amp; {\ sqrt {N_ {i}}} a ^ {\ dagger} (\ phi _ {i}) | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {i-1}, \ phi _ {i + 1}, \ cdots, \ phi _ {n} \ rangle _ {\ nu} \\ amp; = amp; {\ sqrt { N_ {i}}} {\ sqrt {N_ {i}}} | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {i-1}, \ phi _ {i}, \ phi _ {i + 1}, \ cdots, \ phi _ {n} \ rangle _ {\ nu} \\ amp; = amp; N_ {i} | \ Psi \ rangle _ {\ nu} \\\ end {matrix} }}$

Смотрите также

• Гармонический осциллятор
• Квантовый гармонический осциллятор
• Второе квантование
• Квантовая теория поля
• Термодинамика
• Оператор числа Фермиона
• (-1) ^Ж

Рекомендации

• Брус, Хенрик; Фленсберг, Карстен (2004). Квантовая теория многих тел в физике конденсированного состояния: Введение. Издательство Оксфордского университета. ISBN   0-19-856633-6.
• Заметки о втором квантовании Фрадкина