Теорема Картана – Дьедонне

редактировать

В математике используется теорема Картана – Дьедонне, названный в честь Эли Картана и Жана Дьедонне, устанавливает, что каждый ортогональный t преобразование в n-мерном симметричном билинейном пространстве можно описать как состав не более n отражений.

Понятие симметричного билинейного пространства - это обобщение евклидова пространства, структура которого определяется симметричной билинейной формой (которая не обязательно должна быть положительно определенной, поэтому не обязательно является внутренним продуктом - например, псевдоевклидово пространство также является симметричным билинейным пространством). Ортогональные преобразования в пространстве - это те автоморфизмы, которые сохраняют значение билинейной формы между каждой парой векторов; в евклидовом пространстве это соответствует сохранению расстояний и углов. Эти ортогональные преобразования образуют группу по композиции, ортогональную группу .

. Например, в двумерной евклидовой плоскости каждое ортогональное преобразование является либо отражением поперек линии, проходящей через начало координат, либо вращение вокруг начала координат (что можно записать как композицию двух отражений). Любую произвольную композицию таких поворотов и отражений можно переписать как композицию не более чем из 2-х отражений. Точно так же в трехмерном евклидовом пространстве каждое ортогональное преобразование можно описать как одиночное отражение, поворот (2 отражения) или неправильное вращение (3 отражения). В четырехмерном пространстве добавлены двойные вращения, которые представляют 4 отражения.

Формальное утверждение

Пусть (V, b) будет n-мерным, невырожденным симметричным билинейным пространством над полем с характеристика не равна 2. Тогда каждый элемент ортогональной группы O (V, b) является композицией не более чем n отражений.

См. Также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-14 10:32:50
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте