Войти
Теория динамических систем - это область математики, используемая для описания поведения сложные динамические системы, обычно с использованием дифференциальных уравнений или разностных уравнений. Когда используются дифференциальные уравнения, теория называется непрерывными динамическими системами. С физической точки зрения непрерывные динамические системы являются обобщением классической механики, обобщением, в котором уравнения движения постулируются напрямую и не ограничиваются Эйлером– Уравнения Лагранжа из принципа наименьшего действия. Когда используются разностные уравнения, теория называется дискретными динамическими системами. Когда временная переменная проходит по набору, который дискретен на некоторых интервалах и непрерывен на других интервалах или является любым произвольным набором времени, таким как набор Кантора, получается динамические уравнения на временных шкалах. Некоторые ситуации также могут быть смоделированы смешанными операторами, такими как дифференциально-разностные уравнения.
Эта теория имеет дело с долгосрочным качественным поведением динамических систем и изучает природу и, если возможно, решения уравнения движения систем, которые часто в основном механические или иным образом физические по своей природе, такие как планетные орбиты и поведение электронных схем, а также системы, возникающие в биологии, экономике и в других местах. Большая часть современных исследований сосредоточена на изучении хаотических систем.
Эта область исследования также называется просто динамическими системами, математической теорией динамических систем или математической теорией динамических систем.
Аттрактор Лоренца является примером нелинейной динамической системы. Изучение этой системы привело к возникновению теории хаоса.Теория динамических систем и теория хаоса имеют дело с долгосрочными качественными поведение динамических систем. Здесь основное внимание уделяется не поиску точных решений уравнений, определяющих динамическую систему (что часто безнадежно), а, скорее, ответам на такие вопросы, как «Будет ли система стабилизироваться в долгосрочной перспективе, и если да, то какие возможны установившиеся состояния? »или« Зависит ли долгосрочное поведение системы от ее начального состояния? »
Важной целью является описание неподвижных точек или устойчивых состояний данной динамической системы; это значения переменной, которые не меняются со временем. Некоторые из этих фиксированных точек привлекательны, что означает, что если система запускается в соседнем состоянии, она сходится к фиксированной точке.
Точно так же интересуют периодические точки, состояния системы, повторяющиеся через несколько временных шагов. Периодические точки также могут быть привлекательными. Теорема Шарковского представляет собой интересное утверждение о количестве периодических точек одномерной дискретной динамической системы.
Даже простые нелинейные динамические системы часто демонстрируют кажущееся случайным поведение, которое было названо хаосом. Раздел динамических систем, который занимается точным определением и исследованием хаоса, называется теорией хаоса.
Концепция теории динамических систем берет свое начало в механике Ньютона. Здесь, как и в других естественных и инженерных дисциплинах, правило эволюции динамических систем неявно задается соотношением, которое дает состояние системы только на короткое время в будущем.
До появления быстрых вычислительных машин решение динамической системы требовало сложных математических методов и могло быть выполнено только для небольшого класса динамических систем.
Некоторые отличные презентации математической теории динамических систем включают Beltrami (1990) harvtxt error: no target: CITEREFBeltrami1990 (help ), Luenberger (1979), Падуло и Арбиб (1974) и Строгац (1994).
динамическая система понятие - это математическая формализация для любого фиксированного «правила», которое описывает временную зависимость положения точки в ее окружающем пространстве. Примеры включают математические модели, которые описывают качание часового маятника, поток воды в трубе и количество рыб каждую весну в озере.
Динамическая система имеет состояние, определенное набором действительных чисел или, в более общем смысле, набором из точек в соответствующем состоянии Космос. Небольшие изменения в состоянии системы соответствуют небольшим изменениям в числах. Числа также являются координатами геометрического пространства - многообразия. Правило эволюции динамической системы - это фиксированное правило, которое описывает, какие будущие состояния следуют из текущего состояния. Правило может быть детерминированным (для данного временного интервала только одно будущее состояние следует из текущего состояния) или стохастическим (развитие состояния подвержено случайным потрясениям).
Динамизм, также называемый динамической гипотезой или динамической гипотезой в когнитивной науке или динамическом познании, является новым подходом в когнитивной науке, примером которого являются работы философа Тим ван Гелдер. В нем утверждается, что дифференциальные уравнения больше подходят для моделирования познания, чем более традиционные компьютерные модели.
В математике, нелинейная система - это система, которая не является линейной, т. Е. Системой который не удовлетворяет принципу наложения . Менее технически нелинейная система - это любая проблема, в которой переменные, которые необходимо решить, не могут быть записаны как линейная сумма независимых компонентов. Неоднородная система , которая является линейной помимо наличия функции от независимых переменных, является нелинейной согласно строгому определению, но такие системы обычно изучаются наряду с линейными системами, поскольку они могут быть преобразованы в линейную систему, если известно конкретное решение.
В спортивной биомеханике теория динамических систем появилась в науках о движении как жизнеспособная основа для моделирования спортивные результаты и работоспособность. С точки зрения динамических систем, двигательная система человека представляет собой очень сложную сеть взаимозависимых подсистем (например, дыхательных, кровеносных, нервных, скелетно-мышечных, перцептивных), которые состоят из большого числа взаимодействующих компонентов (например, клеток крови, кислорода молекулы, мышечная ткань, метаболические ферменты, соединительная ткань и кости). В теории динамических систем модели движения возникают в результате общих процессов самоорганизации, присущих физическим и биологическим системам. Нет никаких исследований, подтверждающих какие-либо утверждения, связанные с концептуальным применением этой структуры.
Теория динамических систем применялась в области нейробиологии и когнитивного развития, особенно в нео- Пиажеские теории когнитивного развития. Это убеждение, что когнитивное развитие лучше всего представлено физическими теориями, а не теориями, основанными на синтаксисе и ИИ. Также считалось, что дифференциальные уравнения являются наиболее подходящим инструментом для моделирования поведения человека. Эти уравнения интерпретируются как представление когнитивной траектории агента через пространство состояний. Другими словами, динамисты утверждают, что психология должна быть (или есть) описанием (посредством дифференциальных уравнений) познания и поведения агента в условиях определенных внешних и внутренних давлений. Также часто используется язык теории хаоса.
В нем ум ученика достигает состояния дисбаланса, когда старые шаблоны ломаются. Это фазовый переход когнитивного развития. Самоорганизация (спонтанное создание связанных форм) наступает, когда уровни активности связываются друг с другом. Новообразованные макроскопические и микроскопические структуры поддерживают друг друга, ускоряя процесс. Эти связи формируют структуру нового состояния порядка в сознании посредством процесса, называемого гребешком (повторяющееся наращивание и разрушение сложной работы). Это новое, новое состояние является прогрессивным, дискретным, своеобразным и непредсказуемым.
Теория динамических систем недавно была использована для объяснения давно остающейся без ответа проблемы в развитии детей, известной как ошибка A-not-B.
Применение теории динамических систем для изучения овладение вторым языком приписывается Дайан Ларсен-Фриман, которая опубликовала статью в 1997 году, в которой утверждала, что овладение вторым языком следует рассматривать как развивающий процесс, который включает истощение языка, а также овладение языком. В своей статье она утверждала, что язык следует рассматривать как динамическую систему, которая является динамической, сложной, нелинейной, хаотической, непредсказуемой, чувствительной к начальным условиям, открытой, самоорганизующейся, чувствительной к обратной связи и адаптивной.
