Войти
В математике, символическая динамика является практикой моделирования топологической или гладкой динамической системы с дискретным пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы, с динамикой (эволюция), данными оператором сдвига. Формально марковское разбиение используется для обеспечения конечного покрытия гладкой системы; каждый набор покрытий связан с одним символом, и последовательности символов возникают в результате того, что траектория системы перемещается от одного набора покрытий к другому.
Идея восходит к работе Жака Адамара 1898 года о геодезических на поверхностях отрицательной кривизны. Он был применен Марстоном Морсом в 1921 году для построения непериодической рекуррентной геодезической. Соответствующие работы были выполнены Эмилем Артином в 1924 году (для системы, которая теперь называется бильярдом Артина ), Пеккой Мирбергом, Полом Кобе, Якобом Нильсеном, Г.А. Хедлундом.
Первый формальный подход был разработан Морсом и Хедлундом в их статье 1938 года. Джордж Биркгоф, Норман Левинсон и пара Мэри Картрайт и Дж. Литтлвуд применили аналогичные методы к качественному анализу неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка.
Клод Шеннон использовал символические последовательности и сдвиги конечного типа в своей статье 1948 года «Математическая теория коммуникации, которая породила теорию информации».
В конце 1960 - х годов метод символической динамики была разработана для гиперболических автоморфизмов Рой Адлер и Бенджамин Вайсс и диффеоморфизмов по Я. Синая, которые использовали символическую модель для построения меры Гиббса. В начале 1970-х годов теория была расширена на потоки Аносова Мариной Ратнер и на диффеоморфизмы и потоки аксиомы А Руфусом Боуэном.
Захватывающее применение методов символической динамики Порядок Шарковский о периодических орбитах в виде непрерывного отображения отрезка в себя (1964).
Такие понятия, как гетероклинические орбиты и гомоклинические орбиты, имеют особенно простое представление в символической динамике.
Маршрут точки относительно перегородки представляет собой последовательность символов. Он описывает динамику точки.
Символическая динамика возникла как метод изучения общих динамических систем; теперь его методы и идеи нашли существенное применение в хранении и передаче данных, линейной алгебре, движении планет и многих других областях. Отличительной чертой символической динамики является то, что время измеряется дискретными интервалами. Таким образом, в каждый временной интервал система находится в определенном состоянии. Каждое состояние связано с символом, а эволюция системы описывается бесконечной последовательностью символов, представленных фактически в виде строк. Если состояния системы не являются дискретными по своей сути, тогда вектор состояния должен быть дискретизирован, чтобы получить грубое описание системы.
