В математике, топологическая динамика - раздел теории динамических систем, в котором качественные, асимптотические свойства динамических систем изучаются с точки зрения общей топологии.
Центральным объектом изучения топологической динамики является топологическая динамическая система, т.е. топологическое пространство вместе с непрерывным преобразованием, непрерывный поток или, в более общем смысле, полугруппа непрерывных преобразований этого пространства. Истоки топологической динамики лежат в изучении асимптотических свойств траекторий систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности, поведения предела устанавливает и различные проявления «повторяемости» движения, такие как периодические траектории, повторяемость и минимальность, устойчивость, неблуждающие точки. Джордж Биркгоф считается основоположником этой области. Структурная теорема для минимальных дистальных потоков, доказанная Хиллелем Фюрстенбергом в начале 1960-х годов, вдохновила многих на работу по классификации минимальных потоков. В 1970-х и 1980-х годах много исследований было посвящено топологической динамике одномерных отображений, в частности, кусочно-линейных собственных отображений отрезка и окружности.
В отличие от теории гладких динамических систем, где основным объектом исследования является гладкое многообразие с диффеоморфизмом или гладкий поток, фазовые пространства в топологической динамике рассматриваются общие метрические пространства (обычно компактные ). Это требует разработки совершенно других методов, но обеспечивает дополнительную степень гибкости даже в гладкой настройке, потому что инвариантные подмножества многообразия часто очень сложны топологически (см. limit cycle, странный аттрактор ); кроме того, пространства сдвигов, возникающие через символические представления, можно рассматривать наравне с более геометрическими действиями. Топологическая динамика тесно связана с эргодической теорией динамических систем, и многие фундаментальные концепции последней имеют топологические аналоги (ср энтропия Колмогорова – Синая и топологическая энтропия ).