Дифференциальное уравнение задержки

редактировать

В математике, дифференциальные уравнения с запаздыванием (DDE ) представляют собой тип дифференциального уравнения, в котором производная неизвестной функции в определенное время задается в терминах значений функции в предыдущие моменты времени. DDE также называются системами с временной задержкой, системами с последействием или мертвыми me, наследственные системы, уравнения с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностные уравнения. Они принадлежат к классу систем с функциональным состоянием, т.е. уравнениями в частных производных (PDE), которые являются бесконечномерными, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ODEs), имеющий конечномерный вектор состояния. Четыре момента могут дать возможное объяснение популярности DDE:

  1. Последействие - это прикладная проблема: хорошо известно, что вместе с растущими ожиданиями динамических характеристик инженерам нужно, чтобы их модели вели себя больше как реальный процесс. Многие процессы включают в свою внутреннюю динамику явления последействия. Кроме того, исполнительные механизмы, датчики и сети связи, которые теперь участвуют в контурах управления с обратной связью, вносят такие задержки. Наконец, помимо фактических задержек, для упрощения моделей очень высокого порядка часто используются временные запаздывания. Затем интерес к DDE продолжает расти во всех областях науки и, особенно, в области управления.
  2. Системы задержки по-прежнему устойчивы ко многим классическим контроллерам: можно было подумать, что простейший подход состоял бы в их замене на некоторые конечномерные приближения. К сожалению, игнорирование эффектов, которые адекватно представлены DDE, не является общей альтернативой: в лучшем случае (постоянные и известные задержки) это приводит к такой же степени сложности в конструкции управления. В худших случаях (например, с изменяющимися во времени задержками) это может иметь катастрофические последствия с точки зрения стабильности и колебаний.
  3. Добровольное введение задержек может принести пользу системе управления.
  4. , несмотря на их сложность, DDE часто появляются как простые бесконечномерные модели в очень сложной области дифференциальных уравнений в частных производных (PDE).

Общая форма дифференциального уравнения с запаздыванием для x (t) ∈ R N {\ Displaystyle x (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}x (t) \ in {\ mathbb {R}} ^ {n} равно

ddtx (t) = f (t, x (t), xt), { \ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x (t), x_ {t}),}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = f (t, x (t), x_ {t}),

где xt = {x (τ): τ ≤ t} {\ displaystyle x_ {t} = \ {x (\ tau): \ tau \ leq t \}}x_ {t} = \ {x (\ tau): \ tau \ leq t \} представляет траекторию решения в прошлое. В этом уравнении f {\ displaystyle f}f является функциональным оператором из R × R n × C 1 (R, R n) {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ times C ^ {1} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R} ^ {n})}{\ mathbb {R}} \ times {\ mathbb {R}} ^ {n} \ times C ^ {1} ({\ mathbb {R}}, {\ mathbb {R}} ^ { n}) до R n. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}. \,}{\ mathbb {R}} ^ {n}. \,

Содержание

  • 1 Примеры
  • 2 Решение DDE
    • 2.1 Пример
  • 3 Приведение к ODE
  • 4 Характеристическое уравнение
  • 5 Приложения
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки
  • 8 Дополнительная литература
  • 9 Внешние ссылки

Примеры

  • Непрерывная задержка
ddtx (t) = f (t, x (T), ∫ - ∞ 0 Икс (T + τ) d μ (τ)) {\ Displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = е \ left (t, x (t), \ int _ {- \ infty} ^ {0} x (t + \ tau) \, {\ rm {d}} \ mu (\ tau) \ right)}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {{ - \ infty}} ^ {0} x (t + \ tau) \, {{\ rm {d}}} \ mu (\ tau) \ right)
  • Дискретная задержка
ddtx (t) = f (t, x (t), x (t - τ 1),…, x (t - τ m)) {\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x (t), x (t- \ tau _ {1}), \ dotsc, x (t- \ tau _ {m})))}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = f (t, x (t), x ( t- \ tau _ {1}), \ dotsc, x (t- \ tau _ {m})) для τ 1>⋯>τ m ≥ 0 {\ displaystyle \ tau _ {1}>\ dotsb>\ tau _ {m} \ geq 0}\tau _{1}>\ dotsb>\ tau _ {m} \ geq 0 .
  • Линейный с дискретными задержками
ddtx (t) = A 0 x (t) + A 1 Икс (T - τ 1) + ⋯ + A mx (T - τ м) {\ Displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = A_ {0} x (t) + A_ {1} x (t- \ tau _ {1}) + \ dotsb + A_ {m} x (t- \ tau _ {m})}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = A_ {0} x (t) + A_ {1} x ( t- \ tau _ {1}) + \ dotsb + A_ {m} x (t- \ tau _ {m})
где A 0,…, A m ∈ R n × n {\ displaystyle A_ {0}, \ dotsc, A_ {m} \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}A_ { 0}, \ dotsc, A_ {m} \ in {\ mathbb {R}} ^ {{n \ times n}} .
  • Уравнение пантографа
ddtx (t) = ax (t) + bx (λ t), {\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = ax (t) + bx (\ lambda t),}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = ax (t) + bx (\ lambda t),
где a, b и λ - константы и 0 < λ < 1. This equation and some more general forms are named after the пантографы в поездах.

Решение DDE

DDE в основном решаются пошаговым способом с принципом, называемым методом шагов. Например, рассмотрим DDE с одной задержкой

ddtx (t) = f (x (t), x (t - τ)) {\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm { d}} t}} x (t) = f (x (t), x (t- \ tau))}{\ frac { {\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = f (x (t), x (t- \ tau))

с заданным начальным условием ϕ: [- τ, 0] → R n {\ displaystyle \ phi \ двоеточие [- \ tau, 0] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}\ phi \ двоеточие [- \ tau, 0] \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {n} . Тогда решение на интервале [0, τ] {\ displaystyle [0, \ tau]}[0, \ тау] дается как ψ (t) {\ displaystyle \ psi (t)}\ psi (t) , которая является решением неоднородной задачи начального значения

ddt ψ (t) = f (ψ (t), ϕ (t - τ)) {\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} \ psi (t) = f (\ psi (t), \ phi (t- \ tau))}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d }}} t}} \ psi (t) = f (\ psi (t), \ phi (t- \ tau)) ,

с ψ (0) знак равно ϕ (0) {\ Displaystyle \ psi (0) = \ phi (0)}\ psi (0) = \ phi (0) . Это может быть продолжено для последовательных интервалов, используя решение для предыдущего интервала как неоднородный член. На практике проблема начального значения часто решается численно.

Пример

Предположим, f (x (t), x (t - τ)) = ax (t - τ) {\ displaystyle f (x (t), x ( t- \ tau)) = ax (t- \ tau)}f (x (t), x (t- \ tau)) = ax (t- \ tau) и ϕ (t) = 1 {\ displaystyle \ phi (t) = 1}\ phi (t) = 1 . Тогда задача начального значения может быть решена интегрированием,

x (t) = x (0) + ∫ s = 0 tddtx (s) ds = 1 + a ∫ s = 0 t ϕ (s - τ) ds, {\ displaystyle x (t) = x (0) + \ int _ {s = 0} ^ {t} {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (s) \, {\ rm {d}} s = 1 + a \ int _ {s = 0} ^ {t} \ phi (s- \ tau) \, {\ rm {d}} s,}{\ displaystyle x (t) = x (0) + \ int _ {s = 0} ^ {t} {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (s) \, {\ rm {d}} s = 1 + a \ int _ {s = 0} ^ {t} \ phi (s- \ tau) \, {\ rm {d}} s,}

т.е., x (t) = at + 1 {\ displaystyle x (t) = at + 1}x (t) = at + 1 , где начальное условие задается как x (0) = ϕ (0) Знак равно 1 {\ Displaystyle x (0) = \ phi (0) = 1}x (0) = \ phi (0) = 1 . Аналогичным образом, для интервала t ∈ [τ, 2 τ] {\ displaystyle t \ in [\ tau, 2 \ tau]}t \ in [\ tau, 2 \ tau] мы интегрируем и подбираем начальное условие,

x ( t) = x (τ) + ∫ s = τ tddtx (s) ds = (a τ + 1) + a ∫ s = τ ta (s - τ) + 1 ds = (a τ + 1) + a ∫ s Знак равно 0 T - τ as + 1 ds, {\ displaystyle {\ begin {align} x (t) = x (\ tau) {} + \ int _ {s = \ tau} ^ {t} {\ frac { \ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (s) \, {\ rm {d}} s = (a \ tau +1) \\ {} + a \ int _ { s = \ tau} ^ {t} a (s- \ tau) +1 \, {\ rm {d}} s = (a \ tau +1) + a \ int _ {s = 0} ^ {t- \ tau} как + 1 \, {\ rm {d}} s, \ end {align}}}{\ Displaystyle {\ begin {Выровнено} х (т) = х (\ тау) {} + \ int _ {s = \ tau} ^ {t} {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (s) \, {\ rm {d}} s = (a \ tau +1) \ \ {} + a \ int _ {s = \ tau} ^ {t} a (s- \ tau) +1 \, {\ rm {d}} s = (a \ tau +1) + a \ int _ {s = 0} ^ {t- \ tau} as + 1 \, {\ rm {d}} s, \ end {align}}}

т.е. x (t) = (a τ + 1) + a (t - τ) (a (t - τ) 2 + 1). {\ displaystyle x (t) = (a \ tau +1) + a (t- \ tau) \ left ({\ frac {a (t- \ tau)} {2}} + 1 \ right).}{\ displaystyle x (t) = (a \ tau +1) + a (t- \ tau) \ left ({\ frac {a (t- \ tau)} {2}} + 1 \ right).}

Приведение к ODE

В некоторых случаях дифференциальные уравнения могут быть представлены в формате, который выглядит как запаздывание дифференциальные уравнения.

  • Пример 1 Рассмотрим уравнение
ddtx (t) = f (t, x (t), ∫ - ∞ 0 x (t + τ) e λ τ d τ). {\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {- \ infty} ^ { 0} x (t + \ tau) e ^ {\ lambda \ tau} \, {\ rm {d}} \ tau \ right).}{\ frac { {\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {{- \ infty}} ^ {0 } x (t + \ tau) e ^ {{\ lambda \ tau}} \, {{\ rm {d}}} \ tau \ right).
Введем y (t) = ∫ - ∞ 0 x ( t + τ) е λ τ d τ {\ displaystyle y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {0} x (t + \ tau) e ^ {\ lambda \ tau} \, {\ rm {d }} \ tau}y (t) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {0} x (t + \ tau) e ^ {{\ lambda \ tau}} \, {{\ rm {d}}} \ tau , чтобы получить систему ОДУ
ddtx (t) = f (t, x, y), ddty (t) = x - λ y. {\ Displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x, y), \ quad {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} y (t) = x- \ lambda y.}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = f (t, x, y), \ quad {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} у (т) = х- \ лямбда у.
  • Пример 2 Уравнение
ddtx (t) = f (t, x (t), ∫ - ∞ 0 Икс (T + τ) соз ⁡ (α τ + β) d τ) {\ Displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {- \ infty} ^ {0} x (t + \ tau) \ cos (\ alpha \ tau + \ beta) \, {\ rm {d}} \ tau \ right)}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {{- \ infty}} ^ {0} x (t + \ tau) \ cos (\ alpha \ tau + \ beta) \, {{\ rm {d}}} \ tau \ right)
эквивалентно
ddtx (t) = f (t, x, y), ddty (t) = cos ⁡ (β) x + α z, ddtz (t) = sin ⁡ (β) Икс - α Y, {\ Displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x, y), \ quad {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} y (t) = \ cos (\ beta) x + \ alpha z, \ quad {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} z (t) = \ sin (\ beta) x- \ alpha y,}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = f (t, x, y), \ quad {\ frac {{\ rm {d}}} {{{ \ rm {d}}} t}} y (t) = \ cos (\ beta) x + \ alpha z, \ quad {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} z (t) = \ sin (\ beta) x- \ alpha y,
где
y = ∫ - ∞ 0 x (t + τ) cos ⁡ (α τ + β) d τ, z = ∫ - ∞ 0 x (t + τ) sin ⁡ (α τ + β) d τ. {\ displaystyle y = \ int _ {- \ infty} ^ {0} x (t + \ tau) \ cos (\ alpha \ tau + \ beta) \, {\ rm {d}} \ tau, \ quad z = \ int _ {- \ infty} ^ {0} x (t + \ tau) \ sin (\ alpha \ tau + \ beta) \, {\ rm {d}} \ tau.}y = \ int _ {{- \ infty}} ^ {0} x (t + \ tau) \ cos (\ alpha \ tau + \ beta) \, {{\ rm {d}}} \ tau, \ quad z = \ int _ {{- \ infty}} ^ {0} х (t + \ tau) \ sin (\ alpha \ tau + \ bet а) \, {{\ rm {d}}} \ тау.

Характеристическое уравнение

Подобно ODE, многие свойства линейных DDE могут быть охарактеризованы и проанализированы с использованием характеристического уравнения. Характеристическое уравнение, связанное с линейным DDE с дискретными задержками

ddtx (t) = A 0 x (t) + A 1 x (t - τ 1) + ⋯ + A mx (t - τ m) {\ displaystyle { \ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = A_ {0} x (t) + A_ {1} x (t- \ tau _ {1}) + \ dotsb + A_ {m} x (t- \ tau _ {m})}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t}} x (t) = A_ {0} x (t) + A_ {1} x ( t- \ tau _ {1}) + \ dotsb + A_ {m} x (t- \ tau _ {m})

равно

det (- λ I + A 0 + A 1 e - τ 1 λ + ⋯ + A me - τ m λ) знак равно 0 {\ displaystyle {\ rm {det}} (- \ lambda I + A_ {0} + A_ {1} e ^ {- \ tau _ {1} \ lambda} + \ dotsb + A_ {m} e ^ {- \ tau _ {m} \ lambda}) = 0}{{\ rm {det}}} (- \ lambda I + A_ {0} + A_ {1} e ^ {{- \ tau _ {1} \ lambda}} + \ dotsb + A_ {m} e ^ {{- \ tau _ {m} \ lambda}}) = 0 .

Корни λ характеристического уравнения называются характеристическими корнями или собственными значениями, а множество решений часто называют спектром. Из-за экспоненты в характеристическом уравнении DDE имеет, в отличие от случая ODE, бесконечное количество собственных значений, что делает спектральный анализ более сложным. Однако у спектра есть некоторые свойства, которые можно использовать при анализе. Например, даже несмотря на бесконечное количество собственных значений, имеется только конечное количество собственных значений справа от любой вертикальной линии в комплексной плоскости.

Это характеристическое уравнение является нелинейной проблемой собственных значений и есть много методов для численного вычисления спектра. В некоторых особых случаях можно явно решить характеристическое уравнение. Рассмотрим, например, следующий DDE:

d d t x (t) = - x (t - 1). {\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = - x (t-1).}{\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {d}}} t} } Икс (Т) = - Икс (Т-1).

Характеристическое уравнение:

- λ - e - λ = 0. {\ displaystyle - \ lambda -e ^ {- \ lambda} = 0. \,}- \ lambda -e ^ {{- \ lambda}} = 0. \,

Существует бесконечное количество решений этого уравнения для комплексного λ. Они задаются формулой

λ = W k (- 1) {\ displaystyle \ lambda = W_ {k} (- 1)}\ lambda = W_ {k} (- 1) ,

, где W k - k-я ветвь Функция Ламберта W.

Приложения

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-17 12:01:29
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте