В математике, дифференциальные уравнения с запаздыванием (DDE ) представляют собой тип дифференциального уравнения, в котором производная неизвестной функции в определенное время задается в терминах значений функции в предыдущие моменты времени. DDE также называются системами с временной задержкой, системами с последействием или мертвыми me, наследственные системы, уравнения с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностные уравнения. Они принадлежат к классу систем с функциональным состоянием, т.е. уравнениями в частных производных (PDE), которые являются бесконечномерными, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ODEs), имеющий конечномерный вектор состояния. Четыре момента могут дать возможное объяснение популярности DDE:
- Последействие - это прикладная проблема: хорошо известно, что вместе с растущими ожиданиями динамических характеристик инженерам нужно, чтобы их модели вели себя больше как реальный процесс. Многие процессы включают в свою внутреннюю динамику явления последействия. Кроме того, исполнительные механизмы, датчики и сети связи, которые теперь участвуют в контурах управления с обратной связью, вносят такие задержки. Наконец, помимо фактических задержек, для упрощения моделей очень высокого порядка часто используются временные запаздывания. Затем интерес к DDE продолжает расти во всех областях науки и, особенно, в области управления.
- Системы задержки по-прежнему устойчивы ко многим классическим контроллерам: можно было подумать, что простейший подход состоял бы в их замене на некоторые конечномерные приближения. К сожалению, игнорирование эффектов, которые адекватно представлены DDE, не является общей альтернативой: в лучшем случае (постоянные и известные задержки) это приводит к такой же степени сложности в конструкции управления. В худших случаях (например, с изменяющимися во времени задержками) это может иметь катастрофические последствия с точки зрения стабильности и колебаний.
- Добровольное введение задержек может принести пользу системе управления.
- , несмотря на их сложность, DDE часто появляются как простые бесконечномерные модели в очень сложной области дифференциальных уравнений в частных производных (PDE).
Общая форма дифференциального уравнения с запаздыванием для равно
где представляет траекторию решения в прошлое. В этом уравнении является функциональным оператором из до
Содержание
- 1 Примеры
- 2 Решение DDE
- 3 Приведение к ODE
- 4 Характеристическое уравнение
- 5 Приложения
- 6 См. Также
- 7 Ссылки
- 8 Дополнительная литература
- 9 Внешние ссылки
Примеры
- для .
- Линейный с дискретными задержками
- где .
- где a, b и λ - константы и 0 < λ < 1. This equation and some more general forms are named after the пантографы в поездах.
Решение DDE
DDE в основном решаются пошаговым способом с принципом, называемым методом шагов. Например, рассмотрим DDE с одной задержкой
с заданным начальным условием . Тогда решение на интервале дается как , которая является решением неоднородной задачи начального значения
- ,
с . Это может быть продолжено для последовательных интервалов, используя решение для предыдущего интервала как неоднородный член. На практике проблема начального значения часто решается численно.
Пример
Предположим, и . Тогда задача начального значения может быть решена интегрированием,
т.е., , где начальное условие задается как . Аналогичным образом, для интервала мы интегрируем и подбираем начальное условие,
т.е.
Приведение к ODE
В некоторых случаях дифференциальные уравнения могут быть представлены в формате, который выглядит как запаздывание дифференциальные уравнения.
- Пример 1 Рассмотрим уравнение
- Введем , чтобы получить систему ОДУ
- эквивалентно
- где
Характеристическое уравнение
Подобно ODE, многие свойства линейных DDE могут быть охарактеризованы и проанализированы с использованием характеристического уравнения. Характеристическое уравнение, связанное с линейным DDE с дискретными задержками
равно
- .
Корни λ характеристического уравнения называются характеристическими корнями или собственными значениями, а множество решений часто называют спектром. Из-за экспоненты в характеристическом уравнении DDE имеет, в отличие от случая ODE, бесконечное количество собственных значений, что делает спектральный анализ более сложным. Однако у спектра есть некоторые свойства, которые можно использовать при анализе. Например, даже несмотря на бесконечное количество собственных значений, имеется только конечное количество собственных значений справа от любой вертикальной линии в комплексной плоскости.
Это характеристическое уравнение является нелинейной проблемой собственных значений и есть много методов для численного вычисления спектра. В некоторых особых случаях можно явно решить характеристическое уравнение. Рассмотрим, например, следующий DDE:
Характеристическое уравнение:
Существует бесконечное количество решений этого уравнения для комплексного λ. Они задаются формулой
- ,
, где W k - k-я ветвь Функция Ламберта W.
Приложения
См. Также
Ссылки
Дополнительная литература
- Беллен, Альфредо; Дзеннаро, Марино (2003). Численные методы для дифференциальных уравнений с запаздыванием. Вычислительная математика и научные вычисления. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198506546.
- Беллман, Ричард; Кук, Кеннет Л. (1963). Дифференциально-разностные уравнения (PDF). Математика в науке и технике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0120848508.
- Бриат, Корентин (2015). Линейные системы с изменяющимися параметрами и с временной задержкой: анализ, наблюдение, фильтрация и управление. Достижения в задержках и динамике. Гейдельберг, Германия: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
- Драйвер, Родни Д. (1977). Обыкновенные уравнения и дифференциальные уравнения с задержкой. Прикладные математические науки. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387902319.
- Эрнё, Томас (2009). Прикладные дифференциальные уравнения задержки. Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. ISBN 978-0387743714.
Внешние ссылки