Войти
Основы геометрии - это изучение геометрий как аксиоматических систем. Есть несколько наборов аксиом, которые приводят к евклидовой геометрии или неевклидовой геометрии. Они имеют фундаментальное значение для изучения и имеют историческое значение, но существует множество современных геометрий, не являющихся евклидовой, которые можно изучать с этой точки зрения. Термин аксиоматическая геометрия может применяться к любой геометрии, которая разработана на основе системы аксиом, но часто используется для обозначения евклидовой геометрии, изученной с этой точки зрения. Полнота и независимость общих аксиоматических систем являются важными математическими соображениями, но также возникают вопросы, связанные с преподаванием геометрии.
Основанная на древнегреческих методах, аксиоматическая система - это формальное описание способа установления математической истины, вытекающей из фиксированного набора допущений. Хотя геометрия применима к любой области математики, она является отраслью элементарной математики, в которой этот метод наиболее широко применяется.
Есть несколько компонентов аксиоматической системы.
Интерпретация аксиоматической системы - это некий особый способ придать конкретный смысл примитивам этой системы. Если эта ассоциация значений делает аксиомы системных утверждений истинными, тогда интерпретация называется моделью системы. В модели все теоремы системы автоматически являются истинными утверждениями.
При обсуждении аксиоматических систем часто уделяется внимание нескольким свойствам:
Евклидова геометрия - это математическая система, приписываемая александрийскому греческому математику Евклид, который он описал (хотя и не строго по современным стандартам) в своем учебнике по геометрии : Элементы. Метод Евклида состоит в допущении небольшого набора интуитивно привлекательных аксиом и выводе из них многих других утверждений (теорем ). Хотя многие из результатов Евклида были изложены более ранними математиками, Евклид был первым, кто показал, как эти предложения могут вписаться в всеобъемлющую дедуктивную и логическую систему. Элементы начинаются с плоской геометрии, которая до сих пор преподается в средней школе как первая аксиоматическая система и первые примеры формального доказательства. Он переходит к твердотельной геометрии из трех измерений. Большая часть Элементов констатирует результаты того, что сейчас называется алгеброй и теорией чисел, объясненных на геометрическом языке.
На протяжении более двух тысяч лет прилагательное «евклидово» не было необходимости, потому что никакой другой вид геометрии не был придуман. Аксиомы Евклида казались настолько интуитивно очевидными (за возможным исключением параллельного постулата ), что любая доказанная на их основе теорема считалась истинной в абсолютном, часто метафизическом смысле. Сегодня, однако, известно много других геометрий, не являющихся евклидовой, первые из которых были обнаружены в начале 19 века.
Элементы Евклида - это математический и геометрический трактат, состоящий из 13 книг, написанных древними Греческий математик Евклид в Александрии ок. 300 г. до н. Э. Это собрание определений, постулатов (аксиом ), утверждений (теорем и конструкций ) и математических доказательств утверждений. Тринадцать книг охватывают евклидову геометрию и древнегреческую версию элементарной теории чисел. За исключением книги Автолика «О движущейся сфере», «Элементы» - один из старейших дошедших до нас греческих математических трактатов, и это старейшая аксиоматическая дедуктивная трактовка математики. Он оказался полезным в развитии логики и современной науки.
Элементы Евклида были названы самым успешным и влиятельным учебником из когда-либо написанных. Впервые напечатанный в Венеция в 1482 году, это одна из самых ранних математических работ, напечатанных после изобретения печатного станка, и была оценена Карлом Бенджамином. Бойе будет уступать только Библии по количеству опубликованных изданий, число которых превышает тысячу. На протяжении веков, когда квадривиум был включен в учебную программу всех студентов университетов, от всех студентов требовалось знание хотя бы части Элементов Евклида. Только в 20 веке, когда его содержание повсеместно преподавалось в других школьных учебниках, он перестал считаться чем-то, что читали все образованные люди.
Элементы в основном представляют собой систематизацию более ранних знаний по геометрии. Предполагается, что его превосходство над более ранними методами лечения было признано, в результате чего было мало интереса к сохранению более ранних методов, и теперь они почти все потеряны.
В книгах I – IV и VI обсуждается геометрия плоскости. Доказано множество результатов о плоских фигурах, например, если треугольник имеет два равных угла, то стороны, образуемые этими углами, равны. Теорема Пифагора доказана.
Книги V и VII – X посвящены теории чисел, где числа рассматриваются геометрически через их представление в виде отрезков прямой разной длины. Введены такие понятия, как простые числа и рациональные и иррациональные числа. Бесконечность простых чисел доказана.
Книги XI – XIII посвящены твердотельной геометрии. Типичный результат - это соотношение 1: 3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием.
Постулат параллельности: если две прямые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две прямые неизбежно должны пересекать друг друга на этой стороне, если они простираются достаточно далеко. Ближе к началу первой книги Элементов Евклид дает пять постулатов (аксиом) для плоской геометрии, выраженных в терминах конструкций (в переводе Томаса Хита):
«Пусть постулируется следующее»:
Хотя утверждение Евклида о постулатах только явно утверждает существование конструкций, предполагается, что они также создают уникальные объекты.
Успех «Элементов» в первую очередь связан с логическим представлением большинства математических знаний, доступных Евклиду. Большая часть материала не принадлежит ему оригиналу, хотя многие доказательства предположительно принадлежат ему. Систематическое развитие Евклидом своего предмета, от небольшого набора аксиом до глубоких результатов, а также последовательность его подхода во всех Элементах, способствовали его использованию в качестве учебника в течение примерно 2000 лет. Элементы до сих пор влияют на современные книги по геометрии. Кроме того, ее логический аксиоматический подход и строгие доказательства остаются краеугольным камнем математики.
Стандарты математической строгости изменились с тех пор, как Евклид написал Элементы. Современное отношение к аксиоматической системе и точки зрения на нее могут создать впечатление, что Евклид был в некотором роде небрежным или небрежным в своем подходе к предмету, но это неисторическая иллюзия. Только после того, как основы были тщательно изучены в ответ на введение неевклидовой геометрии, начали проявляться то, что мы сейчас считаем недостатками. Математик и историк В. У. Роуз Болл рассмотрела эту критику в перспективе, отметив, что «тот факт, что в течение двух тысяч лет [Элементы] были обычным учебником по этому предмету, порождает сильное предположение, что он не является непригодным для этой цели».
Некоторые из основных проблем с презентацией Евклида:
Список аксиом Евклида в «Элементах» не совсем точен. суровый, но представлял принципы, которые казались наиболее важными. В его доказательствах часто используются аксиоматические понятия, которые изначально не были представлены в его списке аксиом. Он не сбивается с пути и не доказывает ошибочные вещи из-за этого, поскольку фактически использует неявные допущения, действительность которых, кажется, подтверждается диаграммами, сопровождающими его доказательства. Более поздние математики включили неявные аксиоматические предположения Евклида в список формальных аксиом, тем самым значительно расширив этот список.
Например, в первой конструкции Книги 1 Евклид использовал предпосылку, которая не была ни постулирована, ни доказана: два круга с центрами на расстоянии их радиуса будут пересекаться в двух точках. Позже, в четвертой конструкции, он использовал суперпозицию (перемещение треугольников друг над другом), чтобы доказать, что если две стороны и их углы равны, то они конгруэнтны; во время этих размышлений он использует некоторые свойства суперпозиции, но эти свойства не описаны в трактате явно. Если суперпозицию следует рассматривать как действенный метод геометрического доказательства, вся геометрия будет полна таких доказательств. Например, предложения I.1 - I.3 можно тривиально доказать с помощью суперпозиции.
Чтобы решить эти проблемы в работе Евклида, более поздние авторы либо попытались заполнить пробелы в презентации Евклида - наиболее заметные из них. из этих попыток из-за D. Гильберт - или организовать систему аксиом вокруг различных понятий, как Г.Д. Биркгоф сделал.
Немецкий математик Мориц Паш (1843–1930) был первым, кто выполнил задачу поставить евклидову геометрию на прочную аксиоматическую основу. В своей книге «Vorlesungen über neuere Geometrie», опубликованной в 1882 году, Паш заложил основы современного аксиоматического метода. Он положил начало концепции примитивного понятия (которое он назвал Kernbegriffe) и вместе с аксиомами (Kernsätzen) он конструирует формальную систему, свободную от любых интуитивных влияний. Согласно Пашу, единственное место, где интуиция должна играть роль, - это решение, какими должны быть примитивные понятия и аксиомы. Таким образом, для Паша точка является примитивным понятием, а линия (прямая линия) - нет, поскольку у нас есть хорошая интуиция относительно точек, но никто никогда не видел и не имел опыта с бесконечной линией. Примитивное понятие, которое использует вместо него Паш, - это отрезок прямой.
Паш заметил, что упорядочение точек на линии (или, что эквивалентно, свойства удержания отрезков прямой) не разрешается должным образом аксиомами Евклида; таким образом, теорема Паша, утверждающая, что если выполняются два отношения включения линейных сегментов, то третье также выполняется, не может быть доказана с помощью аксиом Евклида. Связанная с этим аксиома Паша касается свойств пересечения прямых и треугольников.
Работа Паша по основам установила стандарт строгости не только в геометрии, но и в более широком контексте математики. Его прорывные идеи сейчас настолько распространены, что трудно вспомнить, что у них был один автор. Работа Паша оказала непосредственное влияние на многих других математиков, в частности на Д. Гильберта и итальянского математика Джузеппе Пеано (1858–1932). Работа Пеано по геометрии 1889 года, в значительной степени перевод трактата Паша в обозначение символической логики (которое изобрел Пеано), использует примитивные понятия точки и промежуточности. Пеано нарушает эмпирическую связь в выборе примитивных понятий и аксиом, которые требовал Паш. По мнению Пеано, вся система носит чисто формальный характер и не зависит от эмпирических данных.
Итальянский математик Марио Пиери (1860–1913 гг.)) использовал другой подход и рассмотрел систему, в которой было только два примитивных понятия: точка и движение. Паш использовал четыре примитива, а Пеано сократил их до трех, но оба этих подхода опирались на некую концепцию промежуточности, которую Пиери заменил своей формулировкой движения. В 1905 году Пиери дал первую аксиоматическую трактовку сложной проективной геометрии, которая не начиналась с построения реальной проективной геометрии.
Пиери был членом группы итальянских геометров и логиков, которую Пеано собрал вокруг себя в Турине. Эта группа помощников, младших коллег и других была посвящена выполнению логико-геометрической программы Пеано по установке основ геометрии на твердую аксиоматическую основу, основанную на логическом символизме Пеано. Помимо Пиери, в эту группу входили Бурали-Форти, Падоа и Фано. В 1900 году в Париже подряд проводились две международные конференции: Международный философский конгресс и Второй Международный конгресс математиков. Эта группа итальянских математиков была очень заметна на этих конгрессах, продвигая свою аксиоматическую повестку дня. Падоа выступил с хорошей речью, а Пеано в период вопросов после знаменитого выступления Дэвида Гильберта о нерешенных проблемах заметил, что его коллеги уже решили вторую проблему Гильберта.
В Геттингенском университете во время зимнего семестра 1898–1899 гг. Выдающийся немецкий математик Давид Гильберт (1862–1943) читал курс лекций по основам геометрии. По просьбе Феликса Кляйна профессора Гильберта попросили написать конспект лекций по этому курсу к лету 1899 года церемонии открытия памятника К.Ф. Гаусс и Вильгельм Вебер будут проводиться в университете. Переработанные лекции были опубликованы в июне 1899 г. под названием Grundlagen der Geometrie (Основы геометрии). Влияние книги было немедленным. Согласно Eves (1963, pp. 384–5):
Развивая набор постулатов для евклидовой геометрии, который не слишком сильно отличается по духу от собственно Евклидовой, и используя минимум символизма, Гильберту удалось убедить математиков в гораздо большей степени, чем Паша и Пеано, в чисто гипотетико-дедуктивной природе геометрии. Но влияние работы Гильберта вышло далеко за рамки этого, поскольку, опираясь на большой математический авторитет автора, она прочно внедрила постулатурный метод не только в область геометрии, но и практически во все другие отрасли математики. Трудно переоценить стимул к развитию основ математики, который дает небольшая книга Гильберта. В отсутствие странной символики работ Паша и Пеано, работы Гильберта могут быть прочитаны в значительной степени любым интеллектуальным учеником, изучающим геометрию в средней школе.
Трудно определить аксиомы, используемые Гильбертом, без ссылки на историю публикации Grundlagen, так как Гильберт несколько раз менял и модифицировал их. За оригинальной монографией вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, санкционированный Гильбертом, был сделан E.J. Таунсенд и авторское право 1902 года. Этот перевод включает изменения, сделанные во французском переводе, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и появилось несколько изданий на немецком языке. 7-е издание было последним, появившимся при жизни Гильберта. За 7-м изданием последовали новые, но основной текст практически не редактировался. Изменения в этих редакциях вносятся в приложения и дополнения. Изменения в тексте были значительными по сравнению с оригиналом, и новый английский перевод был заказан издательством Open Court Publishers, которое опубликовало перевод Таунсенда. Итак, 2-е английское издание было переведено Лео Унгером из 10-го немецкого издания в 1971 году. Этот перевод включает в себя несколько исправлений и расширений более поздних немецких изданий Пола Бернейса. Различия между двумя английскими переводами связаны не только с Гильбертом, но и с различным выбором, сделанным двумя переводчиками. Дальнейшее будет основано на переводе Унгера.
Система аксиом Гильберта построена из шести примитивных понятий : точка, линия, плоскость, промежуточность, лежит на (сдерживании) и конгруэнтности.
Все точки, линии и плоскости в следующих аксиомах различны, если не указано иное.
Когда монография 1899 года была переведена на французский язык, Гильберт добавил:
Эта аксиома не нужна для развития евклидовой геометрии, но необходима для установления соответствие между действительными числами и точками на линии. Это было важным элементом доказательства Гильбертом непротиворечивости его системы аксиом.
В 7-м издании Grundlagen эта аксиома была заменена аксиомой полноты строки, приведенной выше, и старая аксиома V.2 стала теоремой 32.
Также можно найти в Монография 1899 г. (в переводе Таунсенда):
Однако, EH Мур и Р.Л. Мур независимо доказал, что эта аксиома избыточна, и первый опубликовал этот результат в статье, появившейся в «Трудах Американского математического общества» в 1902 году. Гильберт перенес аксиому в теорему 5 и соответствующим образом изменил нумерацию аксиом (старая аксиома II- 5 (аксиома Паша) теперь стала II-4).
Хотя эти изменения не столь драматичны, большинство оставшихся аксиом также были изменены по форме и / или функциям в течение первых семи редакций.
Выйдя за рамки установления удовлетворительного набора аксиом, Гильберт также доказал непротиворечивость своей системы по отношению к теории действительных чисел, построив модель своей системы аксиом из реальные числа. Он доказал независимость некоторых из своих аксиом, построив модели геометрий, которые удовлетворяют всем, кроме одной рассматриваемой аксиомы. Таким образом, есть примеры геометрий, удовлетворяющих всем, кроме аксиомы Архимеда V.1 (неархимедовы геометрии), всем, кроме параллельной аксиомы IV.1 (неевклидовы геометрии) и так далее. Используя ту же технику, он также показал, как некоторые важные теоремы зависят от одних аксиом и не зависят от других. Некоторые из его моделей были очень сложными, а другие математики пытались их упростить. Например, модель Гильберта для демонстрации независимости теоремы Дезарга от определенных аксиом в конечном итоге привела Рэя Моултона к открытию недезарговской плоскости Моултона. Эти исследования Гильберта фактически положили начало современному изучению абстрактной геометрии в двадцатом веке.
В 1932 году Г. Д. Биркгоф создал набор из четырех постулатов евклидовой геометрии, иногда называемых аксиомами Биркгофа. Все эти постулаты основаны на базовой геометрии, которая может быть экспериментально подтверждена с помощью шкалы и транспортира. В радикальном отходе от синтетического подхода Гильберта Биркгоф первым построил основы геометрии на системе действительных чисел. Именно это мощное предположение допускает небольшое количество аксиом в этой системе.
Биркгоф использует четыре неопределенных термина: точка, линия, расстояние и угол. Его постулаты:
Постулат I: Постулат линейной меры . Точки A, B,... любой прямой можно поставить в соответствие 1: 1 с действительными числами x, так что | x B−xA| = d (A, B) для всех точек A и B.
Постулат II: Постулат точка-линия . Есть одна и только одна прямая ℓ, которая содержит любые две заданные различные точки P и Q.
Постулат III: Постулат угловой меры . Лучи {ℓ, m, n,...}, проходящие через любую точку O, можно поставить в соответствие 1: 1 действительным числам a (mod 2π) так, что если A и B являются точками (не равными O) точки ℓ и m, соответственно, разность a m - a ℓ (mod 2π) чисел, связанных с линиями ℓ и m, равна 
Постулат IV: Постулат подобия . Если в двух треугольниках ABC и A'B'C 'и для некоторой константы k>0 d (A', B ') = kd (A, B), d (A', C ') = kd (A, C) и
Джордж Брюс Холстед Вопрос о том, разумно ли преподавать евклидову геометрию с аксиоматической точки зрения на уровне средней школы, был предметом споров. Было много попыток сделать это, и не все из них были успешными. В 1904 году Джордж Брюс Холстед опубликовал школьный учебник по геометрии, основанный на наборе аксиом Гильберта. Логическая критика этого текста привела к пересмотренному второму изданию. В ответ на запуск российского спутника Спутник прозвучал призыв пересмотреть школьную программу по математике. Благодаря этим усилиям возникла программа Новая математика 1960-х годов. Имея это в качестве фона, многие люди и группы приступили к предоставлению текстового материала для классов геометрии на основе аксиоматического подхода.
Сондерс Мак-Лейн Сондерс Мак-Лейн (1909–2005), математик, в 1959 году написал статью, в которой предложил набор аксиом для евклидовой геометрии в дух обращения Биркгофа с использованием функции расстояния для связывания действительных чисел с отрезками линии. Это была не первая попытка основать подход на школьном уровне на системе Биркгофа. Фактически, Биркгоф и Ральф Битли написали в 1940 году школьный текст, в котором на основе пяти аксиом и способности измерять отрезки прямых и углы была разработана евклидова геометрия. Однако для того, чтобы приспособить трактовку к аудитории средней школы, некоторые математические и логические аргументы были либо проигнорированы, либо невнятны.
В системе Mac Lane есть четыре примитивных понятия (неопределенные термины): точка, расстояние, линия и угол. Есть также 14 аксиом, четыре из которых задают свойства функции расстояния, четыре описывают свойства линий, четыре обсуждают углы (которые в данном трактате являются направленными углами), аксиома подобия (по существу такая же, как у Биркгофа) и аксиома непрерывности, которая может можно использовать для вывода теоремы о перекладине и ее обращения. Увеличенное количество аксиом имеет педагогическое преимущество, так как упрощает отслеживание ранних доказательств в процессе разработки, а использование знакомой метрики позволяет быстро продвигаться по базовому материалу, так что более «интересные» аспекты предмета можно получить раньше.
В 1960-х годах школьная группа по математике представила новый набор аксиом для евклидовой геометрии, пригодный для школьных курсов геометрии. (SMSG), как часть учебной программы New math. Этот набор аксиом следует модели Биркгофа, в которой действительные числа используются для быстрого проникновения в геометрические основы. Однако, в то время как Биркгоф пытался свести к минимуму количество используемых аксиом, и большинство авторов были озабочены независимостью аксиом в их трактовке, список аксиом SMSG был намеренно сделан большим и избыточным по педагогическим причинам. SMSG произвела только мимеографический текст с использованием этих аксиом, но Эдвин Э. Моис, член SMSG, написал текст для средней школы, основанный на этой системе, и текст уровня колледжа, Moise ( 1974), с удалением некоторой избыточности и внесением изменений в аксиомы для более искушенной аудитории.
Есть восемь неопределенных терминов: точка, линия, плоскость, лежать, расстояние, угловая мера, площадь и объем. 22 аксиомы этой системы даны по отдельности для удобства пользования. Среди них можно найти: постулат линейки, постулат размещения линейки, постулат разделения плоскостей, постулат сложения угла, постулат бокового угла стороны (SAS), постулат параллельности (в Playfair's форма ) и принцип Кавальери.
Хотя большая часть учебной программы Новой математики была радикально изменена или отменена, геометрическая часть осталась относительно стабильной. Современные учебники для старших классов используют системы аксиом, которые очень похожи на системы SMSG. Например, тексты, созданные Школьным математическим проектом Чикагского университета (UCSMP), используют систему, которая, помимо некоторого обновления языка, в основном отличается от системы SMSG тем, что включает в себя некоторые преобразования в «Постулате отражения».
Есть только три неопределенных термина: точка, линия и плоскость. Существует восемь «постулатов», но большинство из них состоит из нескольких частей (которые в этой системе обычно называются предположениями). Считая эти части, в этой системе 32 аксиомы. Среди постулатов можно найти постулат точка-линия-плоскость, постулат неравенства треугольника, постулаты для расстояния, измерения углов, соответствующих углов, площади и объема, а также постулат отражения. Постулат отражения используется в качестве замены постулата SAS системы SMSG.
Освальд Веблен (1880-1960) представил новую систему аксиом в 1904 году, когда он заменил концепцию «промежуточность», используемая Гильбертом и Пашем, с новым примитивным порядком. Это позволило нескольким примитивным терминам, используемым Гильбертом, стать определенными сущностями, уменьшив количество примитивных понятий до двух, точка и порядок.
Многие другие аксиоматические системы для евклидовой геометрии были предложены на протяжении многих лет. Сравнение многих из них можно найти в монографии Генри Джорджа Фордера 1927 года. Фордер также дает, комбинируя аксиомы из разных систем, свою собственную трактовку, основанную на двух примитивных понятиях точки и порядка. Он также предлагает более абстрактную трактовку одной из систем Пиери (с 1909 г.), основанную на точке зрения примитивов и конгруэнтности.
Начиная с Пеано, среди логиков возник параллельный интерес к аксиоматическим основам Евклида. геометрия. Отчасти это можно увидеть в обозначениях, используемых для описания аксиом. Пиери утверждал, что, хотя он писал на традиционном языке геометрии, он всегда думал в терминах логических обозначений, введенных Пеано, и использовал этот формализм, чтобы увидеть, как что-то доказывать. Типичный пример такого типа обозначений можно найти в работе Э. В. Хантингтон (1874 - 1952), который в 1913 году произвел аксиоматическую трактовку трехмерной евклидовой геометрии, основанную на примитивных представлениях о сфере и включении (одна сфера лежит внутри другой). Помимо обозначений, существует также интерес к логической структуре теории геометрии. Альфред Тарский доказал, что часть геометрии, которую он назвал элементарной геометрией, является логической теорией первого порядка (см. аксиомы Тарского ).
Современные текстовые трактовки аксиоматических основ евклидовой геометрии следуют образцу Х. Г. Фордера и Гилберта де Б. Робинсона, которые смешивают и сопоставляют аксиомы из разных систем, чтобы создать разные акценты. Венема (2006) - современный пример такого подхода.
Ввиду той роли, которую математика играет в науке, и значения научного знания для всех наших убеждений, революционные изменения в человеческом понимании природы математики не могли не означать революционных изменений в его понимании науки, доктрин философии, религиозных и этических убеждений и, фактически, всех интеллектуальных дисциплин.
В первой половине девятнадцатого века произошла революция в области геометрии, которая была столь же важна с научной точки зрения, как Коперниканская революция в астрономии и столь же глубокая с философской точки зрения, как дарвиновская теория эволюции, в ее влиянии на наш образ мышления. Это было следствием открытия неевклидовой геометрии. Более двух тысяч лет, начиная со времен Евклида, постулаты, лежащие в основе геометрии, считались самоочевидными истинами о физическом пространстве. Геометры думали, что они выводят из них другие, более непонятные истины, без возможности ошибки. Эта точка зрения стала несостоятельной с развитием гиперболической геометрии. Теперь существовали две несовместимые системы геометрии (и другие появились позже), которые были самосогласованными и совместимыми с наблюдаемым физическим миром. «С этого момента вся дискуссия о связи между геометрией и физическим пространством велась в совершенно иных терминах». (Моис 1974, стр. 388)
Чтобы получить не -Евклидова геометрия, параллельный постулат (или его эквивалент) должен быть заменен его отрицанием. Отрицание формы аксиомы Playfair, поскольку это составное утверждение (... существует один и только один...), можно сделать двумя способами. Либо будет существовать более одной прямой, проходящей через точку, параллельную данной прямой, либо не будет никаких прямых, проходящих через точку, параллельную данной прямой. В первом случае, заменяя постулат параллельности (или его эквивалент) утверждением «В плоскости, если даны точка P и прямая, не проходящие через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекаются с ℓ» и сохраняя все другие аксиомы дают гиперболическую геометрию. Второй случай решается не так просто. Простая замена постулата параллельности утверждением: «На плоскости, если даны точка P и прямая, не проходящая через P, все прямые, проходящие через P, пересекаются с ℓ», не дает согласованного набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии, но это утверждение говорит о том, что параллельных прямых нет. Эта проблема была известна (в другом виде) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для их отказа от так называемого «случая тупого угла». Чтобы получить непротиворечивый набор аксиом, который включает эту аксиому об отсутствии параллельных линий, необходимо изменить некоторые другие аксиомы. Необходимые корректировки зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти настройки повлияют на изменение второго постулата Евклида от утверждения о том, что отрезки линии могут быть неограниченно продолжены, до утверждения о том, что линии не ограничены. Эллиптическая геометрия Римана возникает как наиболее естественная геометрия, удовлетворяющая этой аксиоме.
Именно Гаусс ввел термин «неевклидова геометрия». Он имел в виду свою собственную неопубликованную работу, которую сегодня мы называем гиперболической геометрией. Некоторые авторы до сих пор считают «неевклидову геометрию» и «гиперболическую геометрию» синонимами. В 1871 году Феликс Клейн, адаптировав метрику, обсуждавшуюся Артуром Кэли в 1852 году, смог привнести метрические свойства в проективную обстановку и, таким образом, смог объединить трактовку гиперболического, евклидова и эллиптическая геометрия под эгидой проективной геометрии. Клейн отвечает за термины «гиперболический» и «эллиптический» (в своей системе он назвал евклидову геометрию «параболической», термин, который не выдержал проверки временем и используется сегодня только в нескольких дисциплинах). Его влияние привело к к обычному использованию термина «неевклидова геометрия» для обозначения «гиперболической» или «эллиптической» геометрии.
Есть некоторые математики, которые по-разному расширяют список геометрий, которые следует называть «неевклидовой». В других дисциплинах, особенно в математической физике, где влияние Клейна было не столь сильным, термин «неевклидова» часто используется как неевклидова.
В течение двух тысяч лет было предпринято множество попыток доказать параллельный постулат, используя первые четыре постулата Евклида. Возможная причина того, что такое доказательство так востребовано, заключалась в том, что, в отличие от первых четырех постулатов, параллельный постулат не является самоочевидным. Если порядок, в котором постулаты были перечислены в элементах, является значительным, это означает, что Евклид включил этот постулат только тогда, когда он понял, что не может доказать его или продолжить без него. Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат из четырех других, многие из них принимались в качестве доказательств в течение долгих периодов времени, пока не была обнаружена ошибка. Неизбежно ошибка заключалась в предположении некоторого «очевидного» свойства, которое оказывалось эквивалентным пятому постулату. В конце концов выяснилось, что этот постулат нельзя доказать на основании других четырех. Согласно Трюдо (1987, стр. 154), это мнение о параллельном постулате (Постулат 5) действительно появляется в печати:
Очевидно, первым это сделал Г.С. Клюгель (1739–1812), докторант Геттингенского университета при поддержке своего учителя А.Г. Кестнера в его диссертации 1763 г. Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum manifestrandi Recensio (Обзор наиболее знаменитых попыток демонстрации теории параллелей). В этой работе Клюгель рассмотрел 28 попыток доказать Постулат 5 (включая попытку Саккери), нашел их все несовершенными и высказал мнение, что Постулат 5 недоказуем и поддерживается исключительно суждением наших органов чувств.
Начало XIX века, наконец, станет свидетелем решающих шагов в создании неевклидовой геометрии. Примерно в 1813 году Карл Фридрих Гаусс и независимо около 1818 года немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт разработали зародышевые идеи неевклидовой геометрии, но ни один из них не опубликовал никаких результатов. Затем, примерно в 1830 году, венгерский математик Янош Бойяи и русский математик Николай Иванович Лобачевский отдельно опубликовали трактаты о том, что мы сегодня называем гиперболическая геометрия. Следовательно, гиперболическая геометрия была названа геометрией Бойяи-Лобачевского, поскольку оба математика, независимо друг от друга, являются основными авторами неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бояи, когда ему показали работу младшего Бояи, что он разработал такую геометрию за несколько лет до этого, но не опубликовал. В то время как Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат параллельности, Бойяи разработал геометрию, в которой возможны как евклидова, так и гиперболическая геометрия в зависимости от параметра k. Бойяи заканчивает свою работу упоминанием о том, что невозможно решить с помощью одних только математических рассуждений, является ли геометрия физической вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача физических наук. Независимость параллельного постулата от других аксиом Евклида была наконец продемонстрирована Эухенио Бельтрами в 1868 году.
Различные попытки доказательства параллельного постулата привели к длинному списку теоремы, эквивалентные постулату параллельности. Эквивалентность здесь означает, что при наличии других аксиом геометрии каждая из этих теорем может считаться истинной, и параллельный постулат может быть доказан с помощью этого измененного набора аксиом. Это не то же самое, что логическая эквивалентность. В различных наборах аксиом евклидовой геометрии любая из них может заменить постулат евклидовой параллельности. В следующем неполном списке указаны некоторые из этих теорем, представляющих исторический интерес.
Абсолютная геометрия - это геометрия, основанная на системе аксиом, состоящей из всех аксиом, дающих Евклидова геометрия, за исключением параллельного постулата или любой из его альтернатив. Этот термин был введен Яношом Бойяи в 1832 году. Иногда его называют нейтральной геометрией, поскольку он нейтрален по отношению к постулату параллельности.
В Элементах Евклида первые 28 предложений и предложение I.31 избегают использования параллельного постулата и, следовательно, являются действительными теоремами в абсолютной геометрии. Предложение I.31 доказывает существование параллельных прямых (по построению). Кроме того, можно доказать теорему Саккери – Лежандра, которая утверждает, что сумма углов в треугольнике не превышает 180 °.
Теоремы абсолютной геометрии верны в гиперболической геометрии, а также в евклидовой геометрии.
Абсолютная геометрия несовместима с эллиптической геометрией : в эллиптической геометрии здесь вообще нет параллельных линий, но в абсолютной геометрии параллельные линии существуют. Кроме того, в эллиптической геометрии сумма углов в любом треугольнике больше 180 °.
Логически аксиомы не образуют полной теории, так как можно добавить дополнительные независимые аксиомы, не сделав систему аксиом противоречивой. Можно расширить абсолютную геометрию, добавив различные аксиомы о параллелизме и получить несовместимые, но непротиворечивые системы аксиом, что приведет к евклидовой или гиперболической геометрии. Таким образом, каждая теорема абсолютной геометрии является теоремой гиперболической геометрии и евклидовой геометрии. Однако обратное неверно. Кроме того, абсолютная геометрия не является категориальной теорией, поскольку у нее есть модели, которые не изоморфны.
В аксиоматическом подходе к гиперболической геометрии (также называемая геометрией Лобачевского или геометрией Бояи – Лобачевского), к аксиомам, дающим абсолютную геометрию, добавляется одна дополнительная аксиома. Новой аксиомой является постулат параллельности Лобачевского (также известный как характерный постулат гиперболической геометрии):
С этим дополнением система аксиом завершена.
Хотя новая аксиома утверждает только существование двух линий, легко установить, что существует бесконечное количество прямых, проходящих через данную точку, которые не пересекаются с данной линией. Учитывая эту полноту, нужно быть осторожным с терминологией в этом контексте, поскольку термин параллельная линия больше не имеет того уникального значения, которое он имеет в евклидовой геометрии. В частности, пусть P будет точкой не на заданной линии 
Поскольку гиперболическая геометрия и евклидова геометрия построены на аксиомах абсолютной геометрии, они имеют много общих свойств и положений. Однако последствия замены постулата параллельности евклидовой геометрии характерным постулатом гиперболической геометрии могут быть драматичными. Чтобы упомянуть некоторые из них:
Сторонники позиции, что евклидова геометрия является единственной «истинной» геометрией, потерпели неудачу, когда в мемуарах, опубликованных в 1868 г., «Фундаментальная теория пространств постоянной кривизны» Эухенио Бельтрами представил абстрактное доказательство равносогласованности гиперболической и евклидовой геометрии для любого измерения. Он добился этого, представив несколько моделей неевклидовой геометрии, которые теперь известны как Бельтрами– Модель Клейна, модель диска Пуанкаре и th e Модель полуплоскости Пуанкаре вместе с преобразованиями, которые их связывают. В отношении модели полуплоскости Бельтрами процитировал примечание Лиувилля в трактате Монжа о дифференциальной геометрии. Бельтрами также показал, что n-мерная евклидова геометрия реализуется на ориосфере (n + 1) -мерного гиперболического пространства, поэтому логическая связь между согласованностью евклидовой и нестандартной -Евклидова геометрия симметрична.
Другой способ изменить постулат евклидовой параллельности - это предположить, что на плоскости нет параллельных прямых. В отличие от ситуации с гиперболической геометрией, где мы просто добавляем одну новую аксиому, мы не можем получить непротиворечивую систему, добавляя это утверждение в качестве новой аксиомы к аксиомам абсолютной геометрии. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии. Остальные аксиомы необходимо изменить.
Начиная с аксиом Гильберта, необходимые изменения включают удаление четырех аксиом порядка Гильберта и замену их этими семью аксиомами разделения, связанными с новым неопределенным отношением.
Есть неопределенное (примитивное ) отношение между четырьмя точками, A, B, C и D, обозначенное (A, C | B, D) и читаемое как «A и C разделяют B и D», удовлетворяющее этим аксиомам :
Поскольку гильбертовское понятие «промежуточность» стало ru удалены, термины, которые были определены с использованием этой концепции, необходимо пересмотреть. Таким образом, отрезок AB, определенный как точки A и B, и все точки между A и B в абсолютной геометрии, необходимо переформулировать. Отрезок линии в этой новой геометрии определяется тремя коллинеарными точками A, B и C и состоит из этих трех точек и всех точек, не отделенных от B точками A и C. Есть и другие последствия. Поскольку две точки не определяют однозначно отрезок прямой, три неколлинеарных точки не определяют уникальный треугольник, и определение треугольника необходимо переформулировать.
После переопределения этих понятий все остальные аксиомы абсолютной геометрии (инцидентность, конгруэнтность и непрерывность) обретают смысл и остаются в покое. Вместе с новой аксиомой об отсутствии параллельных прямых у нас есть последовательная система аксиом, дающая новую геометрию. Полученная в результате геометрия называется (плоской) эллиптической геометрией.
Несмотря на то, что эллиптическая геометрия не является расширением абсолютной геометрии (в отличие от евклидовой и гиперболической геометрии), есть определенная «симметрия» в положениях трех геометрий, которые отражает более глубокую связь, которую наблюдал Феликс Кляйн. Вот некоторые из утверждений, которые демонстрируют это свойство:
Другие результаты, такие как теорема о внешнем угле, ясно подчеркивают разницу между эллиптической и геометрией, которая является расширения абсолютной геометрии.
Абсолютная геометрия - это расширение упорядоченной геометрии, и, таким образом, все теоремы упорядоченной геометрии верны в абсолютной геометрии. Обратное неверно. Абсолютная геометрия предполагает, что первые четыре аксиомы Евклида (или их эквиваленты) противопоставляются аффинной геометрии, которая не принимает третью и четвертую аксиомы Евклида. Упорядоченная геометрия является общей основой как абсолютной, так и аффинной геометрии.
