Перспективность

В geometry и в его приложениях к рисованию, Perspectivity - это формирование изображения в плоскости изображения сцены, просматриваемой с фиксированной точки.

• 1 Графика
• 2 Проективная геометрия
  • 2.1 Проективность
  • 2.2 Многогранная перспектива
  • 2.3 Коллинеация перспективы
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Наука графическая перспектива использует перспективность для создания реалистичных изображений с правильными пропорциями. Согласно Кирсти Андерсен, первым автором, описавшим перспективность, был Леон Альберти в его De Pictura (1435). На английском языке Брук Тейлор представил свою линейную перспективу в 1715 году, где он объяснил: «Перспектива - это искусство рисования на плоскости внешнего вида любых фигур по правилам геометрии». Во второй книге, «Новые принципы линейной перспективы» (1719), Тейлор писал:

Когда линии, проведенные в соответствии с определенным законом из нескольких частей любой фигуры, разрезают плоскость и этим разрезанием или пересечением описывают фигуру на этой фигуре. Плоскость, описанная таким образом, называется проекцией другой фигуры. Линии, образующие эту проекцию, вместе взятые, называются Системой лучей. И когда все эти Лучи проходят через одну и ту же Точку, их называют Конусом Лучей. И когда эта Точка рассматривается как Глаз наблюдателя, эта Система Лучей называется Оптическим Конусом

Перспективность:. $ABCD\; ⩞\; A\; \prime \; B\; \prime \; C\; \prime \; D\; \prime ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; ABCD\; \backslash \; doublebarwedge\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\; \text{'},\}$

В проективной геометрии точки линии называются проективным диапазоном, а множество линий на плоскости на точке называется карандашом.

. Даны две линии $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$и $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$в плоскости и в точке P этой плоскости ни на одной из линий, биективное отображение между точками диапазона $\ell \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$, а диапазон $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, определяемый линиями карандаша на P, называется перспективностью ( или, точнее, центральная перспектива с центром P). Был использован специальный символ, чтобы показать, что точки X и Y связаны перспективностью; $Х\; ⩞\; Y.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; doublebarwedge\; Y.\}$В этих обозначениях, чтобы показать, что центром перспективы является P, напишите $X\; ⩞\; P\; Y.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; \{\backslash \; overset\; \{P\}\; \{\backslash \; doublebarwedge\}\}\; \backslash \; Y.\}$

Наличие перспективы означает, что соответствующие точки находятся в перспективе. двойная концепция, осевая перспектива, это соответствие между линиями двух карандашей, определяемое проективным диапазоном.

Проективность

Сочетание двух перспектив, как правило, не является перспективностью. Перспективность или сочетание двух или более перспектив называется проективностью (проективное преобразование, проективная коллинеация и гомография являются синонимами ).

Есть несколько результатов, касающихся проекций и перспективностей, которые справедливы в любой папповой проективной плоскости:

Теорема: Любая проективность между двумя различными проективными диапазонами может быть записана как композиция не более двух перспектив.

Теорема: любую проективность от проективного диапазона к самому себе можно записать как композицию трех перспектив.

Теорема: проекция между двумя различными проективными диапазонами, фиксирующая точку, является перспективностью.

Перспективности более высоких измерений

Биективное соответствие между точками на двух линиях на плоскости, определяемой точкой этой плоскости, не лежащей ни на одной из линий, имеет многомерные аналоги, которые также будут называться перспективностями.

Пусть S m и T m - два различных m-мерных проективных пространства, содержащихся в n-мерном проективном пространстве R n. Пусть P n − m − 1 - (n - m - 1) -мерное подпространство в R n, не имеющее общих точек ни с S m, ни с Т м. Для каждой точки X из S m пространство L, охватываемое X и P nm-1, пересекает T m в точке Y = f P (Х). Это соответствие f P также называется перспективностью. Описанная выше центральная перспектива имеет место с n = 2 и m = 1.

Коллинеации перспективы

Пусть S 2 и T 2 равны две различные проективные плоскости в проективном трехмерном пространстве R 3. С O и O *, являющимися точками R 3 ни в одной из плоскостей, используйте конструкцию последнего раздела для проецирования S 2 на T 2 с помощью перспективности с центр O с последующей проекцией T 2 обратно на S 2 с перспективой с центром O *. Эта композиция представляет собой биективную карту точек S 2 на себя, которая сохраняет коллинеарные точки и называется перспективной коллинеацией (центральная коллинеация в более современной терминологии). Пусть φ - перспективная коллинеация S 2. Каждая точка линии пересечения S 2 и T 2 будет фиксироваться посредством φ, и эта линия называется осью φ. Пусть точка P будет пересечением прямой OO * с плоскостью S 2. P также фиксируется с помощью φ, и каждая прямая из S 2, проходящая через P, стабилизируется с помощью φ (фиксированной, но не обязательно поточечно фиксированной). P называется центром φ. Ограничение φ любой линией S 2, не проходящей через P, является центральной перспективностью в S 2 с центром P между этой линией и линией, которая является ее изображением под φ.

• Перспективная проекция

Жан Дю Брёй, Diverses methods universelles et nouvelles, en tout ou en partie pour faire des перспектив, 1642

• Андерсен, Кирсти (1992), Работа Брука Тейлора о линейной перспективе, Springer, ISBN 0-387-97486-5
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение to Geometry (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
• Fishback, WT (1969), Проективная и евклидова геометрия, John Wiley Sons
• Pedoe, Dan (1988), Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812 -0
• Янг, Джон Уэсли (1930), Проективная геометрия, The Carus Mathematical Monographs (# 4), Mathematical Association of America

• Кристофер Купер Перспективы и проекции.
• Джеймс К.. Морхед младший (1911) Перспективная и проективная геометрии: сравнение из Университета Райса.
• Джон Тейлор P rojective Geometry из Брайтонского университета.