Угловой момент

Физическая величина

Угловой момент
Этот гироскоп остается в вертикальном положении во время вращения из-за сохранения его угловой момент.
Общие символы	L
В основных единицах СИ	кг мс
Сохранено ?	да
Производные от. других величин	L= I ω= r× p
Размерность	MLT

В физике, угловой момент (редко момент количества движения или момент вращения ) является вращательным эквивалентом импульс. Это важная величина в физике, потому что это сохраняющаяся величина - полный момент количества движения замкнутой системы остается постоянным.

В трех измерениях угловой момент для точечной частицы представляет собой псевдовектор r× p, перекрестное произведение вектор положения частицы r(относительно некоторого начала координат) и ее вектор импульса ; последний равен p = m v в механике Ньютона. Это определение может применяться к каждой точке в континууме, например, к твердым телам или жидкостям, или к физическим полям. В отличие от импульса, угловой момент зависит от того, где выбрана точка отсчета, поскольку положение частицы отсчитывается от нее.

Как и для угловой скорости, существует два специальных типа углового момента: спиновый угловой момент и орбитальный угловой момент. Спиновый угловой момент объекта определяется как угловой момент относительно его координаты центра масс. Орбитальный угловой момент объекта относительно выбранного начала координат определяется как момент количества движения центра масс относительно начала координат. Полный угловой момент объекта - это сумма спинового и орбитального угловых моментов. Вектор орбитального углового момента точечной частицы всегда параллелен и прямо пропорционален орбитальной угловой скорости вектору ω частицы, где константа пропорциональности зависит как от массы частицы. частица и ее расстояние от источника. Вектор спинового углового момента твердого тела пропорционален, но не всегда параллелен вектору спиновой угловой скорости Ω, что делает константу пропорциональности тензором второго ранга, а не скаляром.

Угловой момент - огромная величина; т.е. полный угловой момент любой составной системы - это сумма угловых моментов ее составных частей. Для сплошного твердого тела полный угловой момент представляет собой объемный интеграл плотности углового момента (то есть угловой момент на единицу объема в пределе, когда объем сжимается до нуля) по всему телу.

Крутящий момент можно определить как скорость изменения углового момента, аналогично силе. Чистый внешний крутящий момент в любой системе всегда равен общему крутящему моменту в системе; другими словами, сумма всех внутренних моментов любой системы всегда равна 0 (это вращательный аналог Третьего закона Ньютона ). Следовательно, для закрытой системы (где нет чистого внешнего крутящего момента) общий крутящий момент в системе должен быть 0, что означает, что общий угловой момент системы постоянен. Сохранение углового момента помогает объяснить многие наблюдаемые явления, например увеличение скорости вращения вращающегося фигуриста при сжатии рук фигуриста, высокие скорости вращения нейтронных звезд, эффект Кориолиса и прецессия гироскопов . В общем, сохранение ограничивает возможное движение системы, но не определяет однозначно, каково точное движение.

В квантовой механике угловой момент (как и другие величины) выражается как оператор, а его одномерные проекции имеют квантованные собственные значения. На угловой момент действует принцип неопределенности Гейзенберга, подразумевающий, что в любой момент только один выступ (также называемый «компонент») может быть измерен с определенной точностью; остальные два остаются неуверенными. Из-за этого понятия квантовой частицы, буквально «вращающейся» вокруг оси, не существует. Квантовые частицы действительно обладают неорбитальным угловым моментом, называемым «спином», но этот угловой момент не соответствует реальному физическому вращательному движению.

• 1 Определение в классической механике
  • 1.1 Орбитальный угловой момент в два измерения
  • 1.2 Скаляр - угловой момент из лагранжевой механики
  • 1.3 Орбитальный угловой момент в трех измерениях
• 2 Аналогия с линейным моментом
  • 2.1 Угловой момент и крутящий момент
• 3 Сохранение углового момента
  • 3.1 Общие соображения
  • 3.2 Связь со вторым законом движения Ньютона
  • 3.3 В лагранжевом формализме
  • 3.4 В гамильтоновом формализме
• 4 Угловой момент в орбитальной механике
• 5 Твердые тела
  • 5.1 Сбор частиц
    • 5.1.1 Случай отдельной частицы
    • 5.1.2 Случай фиксированного центра масс
• 6 Угловой момент в общей теории относительности
• 7 Угловой момент в квантовой механике
  • 7.1 Спин, орбиталь и полный угловой момент
  • 7.2 Квантование
  • 7.3 Неопределенность
  • 7.4 Общий угол импульс как генератор вращения
• 8 Угловой момент в электродинамике
• 9 Угловой момент в оптике
• 10 История
  • 10.1 Закон площадей
    • 10.1.1 Вывод Ньютона
    • 10.1.2 Сохранение углового момента в Законе площадей
  • 10.2 По Ньютону
• 11 См. также
• 12 Сноски
• 13 Ссылки
• 14 Внешние ссылки

Орбитальный угловой момент в двух измерениях

Скорость частицы m относительно начала координат O может быть разделена на компоненты, параллельные (v ∥) и перпендикулярные (v ⊥) радиус-вектор r. угловой момент в м пропорционален перпендикулярной составляющей скорости v⊥или, что эквивалентно, перпендикулярному расстоянию r ⊥ от начала координат.

импульс - это векторная величина (точнее, псевдовектор ), которая представляет собой произведение инерции вращения тела и скорости вращения (в радиан / сек) вокруг определенной оси. Однако, если траектория частицы лежит в одной плоскости , достаточно отбросить векторную природу углового момента и рассматривать его как скаляр (точнее, псевдоскалярный ). Угловой момент можно рассматривать как вращательный аналог количества движения. Таким образом, где импульс $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$пропорционален mass $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и линейная скорость $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$,

$p\; =\; mv,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; mv,\}$

угловой момент $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$пропорционально моменту инерции $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$и угловой скорости $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$измеряется в радианах в секунду.

$L\; =\; I\; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; I\; \backslash \; omega.\}$

В отличие от массы, которая зависит только от количества материи, момент инерции также зависит от положения оси вращения и формы материи. В отличие от линейной скорости, которая не зависит от выбора начала координат, орбитальная угловая скорость всегда измеряется относительно фиксированного начала координат. Следовательно, строго говоря, $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$следует называть угловым моментом относительно этого центра.

Потому что $I\; =\; r\; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; r\; ^\; \{2\}\; m\}$для отдельной частицы и $\omega \; =\; vr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{r\}\}\}$для кругового движения угловой момент может быть расширен, $L\; =\; r\; 2\; m\; \cdot \; vr,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; r\; ^\; \{2\}\; m\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{r\}\},\}$и сокращается до,

$L\; =\; rmv,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; rmv,\}$

произведение радиуса поворота $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$и импульс частицы $p\; =\; mv\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; mv\}$, где $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$в данном случае эквивалентна линейной (тангенциальной) скорости на радиусе ($=\; r\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; =\; r\; \backslash \; omega\}$).

Этот простой анализ может также применяться к некруглому движению, если учитывается только составляющая движения, которая перпендикулярна к радиус-вектору. В этом случае

$L\; =\; rmv\; \perp ,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; rmv\; \_\; \{\backslash \; perp\},\}$

где $v\; \perp \; =\; v\; sin\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; =\; v\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}$- перпендикулярная составляющая движения. Расширение, $L\; =\; rmv\; sin\; \; (\theta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; rmv\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta),\}$перестановка, $L\; =\; r\; sin\; \; (\theta )\; mv,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; L\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; mv,\}$и уменьшение углового момента также может быть выражено,

$L\; =\; r\; \perp \; mv,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; r\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; mv,\}$

где $r\; \perp \; =\; r\; sin\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}$- длина момента arm, линия падала перпендикулярно от начала координат на траекторию частицы. Это определение (длина плеча момента) × (линейный момент), к которому относится термин момент количества движения.

Скаляр - угловой момент из лагранжевой механики

Другой подход заключается в определении углового импульс как сопряженный импульс (также называемый каноническим импульсом ) угловой координаты $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, выраженный в лагранжиане механической система. Рассмотрим механическую систему с массой $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, вынужденную двигаться по кругу радиусом $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$при отсутствии каких-либо внешнее силовое поле. Кинетическая энергия системы

$T\; =\; 1\; 2\; m\; a\; 2\; \omega \; 2\; =\; 1\; 2\; m\; a\; 2\; \varphi \; \dot{}\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; ma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; ma\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; ^\; \{2\}.\}$

И потенциальная энергия равна

$U\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; 0.\}$

Тогдалагранжиан

$L\; (\varphi ,\; \varphi \; \dot{})\; =\; T\; -\; U\; =\; 1\; 2\; ма\; 2\; \varphi \; \dot{}\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; phi,\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; \backslash \; right)\; =\; TU\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; ma\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; ^\; \{2\}.\}$

Обобщенный импульс, "канонически сопряженный" с координатой $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, определяется как

$p\; \varphi \; =\; \partial \; L\; \partial \; \varphi \; \dot{}\; =\; ma\; 2\; \varphi \; \dot{}\; =\; I\; \omega \; =\; L.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\}\}\; =\; ma\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; =\; I\; \backslash \; omega\; =\; L.\}$

Орбитальный угловой момент в трех измерениях

Связь между силой (F), крутящим моментом (τ), моментом (p) и векторы углового момента (L ) во вращающейся системе. r - вектор положения .

Чтобы полностью определить орбитальный угловой момент в трех измерениях, необходимо знать скорость, с которой вектор положения перемещается под углом, направление, перпендикулярное мгновенной плоскости углового смещения, и задействованная масса , а также то, как эта масса распределяется в пространстве. За счет сохранения этой векторной природы углового момента, общая природа уравнений также сохраняется и может описывать любой вид трехмерного движения вокруг центра вращения - круговой, линейный или иначе. В векторной записи орбитальный угловой момент точечной частицы, движущейся вокруг начала координат, может быть выражен как:

$L\; =\; I\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; I\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\},\}$

где

$I\; =\; r\; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; r\; ^\; \{2\}\; m\}$- момент инерции для точечной массы,

$\omega \; =\; r\; \times \; vr\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\}$- орбитальная угловая скорость в радианах / сек (единицы 1 / сек) частицы относительно начала координат,

$r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$- это вектор положения частицы относительно начала координат, $r\; =\; |\; г\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\}$,

$v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$- линейная скорость частицы относительно начала координат, а

$m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- это масса частицы.

Ее можно расширять, уменьшать и по правилам векторная алгебра в перегруппировке:

$L\; =\; (r\; 2\; m)\; (r\; \times \; vr\; 2)\; =\; m\; (r\; \times \; v)\; =\; r\; \times \; mv\; =\; r\; \times \; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; выровнено\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; m\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; справа)\; \backslash \backslash \; =\; m\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; m\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\; \}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

который является перекрестным произведением вектора положения $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$и импульс $p\; =\; mv\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; m\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$частицы. По определению векторного произведения вектор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\}$находится перпендикулярно обоим $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\; \}\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$. Он направлен перпендикулярно плоскости углового смещения, на что указывает правило правой руки - так что угловая скорость рассматривается как против часовой стрелки от головы вектора. И наоборот, вектор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\}$определяет плоскость , в которой $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$лгут.

Определив единичный вектор $u\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\}$, перпендикулярный плоскости углового смещения, скалярная угловая скорость $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$результаты, где

$\omega \; u\; ^\; =\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\; \}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\},\}$и

$\omega \; =\; v\; \perp \; r,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; frac\; \{v\; \_\; \{\backslash \; perp\}\}\; \{r\}\},\}$где $v\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; perp\}\}$- перпендикулярная составляющая движения, как указано выше.

Двумерные скалярные уравнения предыдущего Таким образом, можно задать направление секции:

$L\; =\; I\; \omega \; =\; I\; \omega \; u\; ^\; =\; (r\; 2\; m)\; \omega \; u\; ^\; =\; rmv\; \perp \; u\; ^\; =\; r\; \perp \; mvu\; ^,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; I\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \backslash \; =\; I\; \backslash \; omega\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; m\; \backslash \; right)\; \backslash \; omega\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; \backslash \backslash \; =\; rmv\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; \backslash \backslash \; =\; r\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; mv\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\},\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\; \}\}$

и $L\; =\; rmvu\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; rmv\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{u\; \}\}\}$для кругового движения, где все движение перпендикулярно радиусу $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$.

В сферической системе координат вектор углового момента выражается как

$L\; =\; mr\; \times \; v\; =\; mr\; 2\; (\theta \; \dot{}\; \phi \; ^\; -\; \phi \; \dot{}\; sin\; \; \theta \; \theta \; ^).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; m\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; mr\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left(\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varphi)\; \}\}\}\; -\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varphi\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Угловой момент можно описать как вращательный аналог количества движения. Как и в линейный импульс, он включает элементы массы и смещения. В отличие от линейного импульса, он также включает элементы position и shape.

Многие проблемы в физике связаны с движением материи относительно некоторой определенной точки в пространстве, будь то фактическое вращение вокруг нее или просто движение мимо. там, где желательно знать, какое влияние движущееся вещество оказывает на точку - может ли оно воздействовать на нее энергией или выполнять с ней работу? Энергия, способность выполнять работу, может храниться в материи, приводя ее в движение - комбинацию ее инерции и ее смещения. Инерция измеряется его массой, а смещение - его скоростью. Их произведение,

$(количество\; инерции)\; \times \; (количество\; смещения)\; =\; количество\; (инерция\; смещение)\; массы\; \times \; скорость\; =\; импульс\; m\; \times \; v\; =\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (\{\backslash \; text\; \{amount\; инерции\}\})\; \backslash \; times\; (\{\backslash \; text\; \{количество\; смещения\}\})\; =\; \{\backslash \; text\; \{количество\; (инерция\cdot \; смещение)\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{масса\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; text\; \{скорость\}\; \}\; =\; \{\backslash \; text\; \{импульс\}\}\; \backslash \backslash \; m\; \backslash \; times\; v\; =\; p\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

- импульс материи. Отнесение этого импульса к центральной точке вызывает затруднение: импульс не применяется к точке напрямую. Например, частица материи на внешнем крае колеса, по сути, находится на конце рычага той же длины, что и радиус колеса, и ее импульс вращает рычаг вокруг центральной точки. Этот воображаемый рычаг известен как плечо момента. Он имеет эффект умножения усилия импульса пропорционально ее длине, эффект, известный как момент. Следовательно, импульс частицы относится к определенной точке,

$(плечо\; момента)\; \times \; (величина\; инерция)\; \times \; (величина\; смещения)\; =\; момент\; (инерция\; смещение)\; длины\; \times \; масса\; \times \; скорость\; =\; момент\; количества\; движения\; r\; \times \; m\; \times \; v\; =\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (\{\backslash \; text\; \{moment\; arm\}\})\; \backslash \; times\; (\{\backslash \; text\; \{количество\; инерции\}\})\; \backslash \; times\; (\{\backslash \; text\; \{количество\; смещения\}\})\; =\; \{\backslash \; text\; \{момент\; (инерции\cdot движение)\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{length\}\; \}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; text\; \{mass\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; text\; \{скорость\}\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{момент\; импульса\}\}\; \backslash \backslash \; r\; \backslash \; times\; m\; \backslash \; times\; v\; =\; L\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

- угловой момент, иногда называемый, как здесь, моментом количества движения частицы относительно этой конкретной центральной точки. Уравнение $L\; =\; rmv\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; rmv\}$объединяет момент (масса $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$плечо крутящего момента $r\; \{\; \backslash \; displaystyle\; r\}$) с линейной (эквивалент прямой) скоростью $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$. Линейная скорость относительно центральной точки - это просто произведение расстояния $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$и угловой скорости $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$по сравнению с точка: $v\; =\; r\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; r\; \backslash \; omega,\}$другой момент. Следовательно, угловой момент содержит двойной момент: $L\; =\; r\; m\; r\; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; rmr\; \backslash \; omega.\}$Слегка упрощая, $L\; =\; r\; 2\; m\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; r\; ^\; \{2\}\; m\; \backslash \; omega,\}$величина $r\; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\; m\}$- это момент инерции частицы, иногда называемый вторым моментом массы. Это мера инерции вращения.

Момент инерции (показан здесь) и, следовательно, угловой момент, различаются для каждой возможной конфигурации массы и оси вращения.

Поскольку момент инерции является важной частью спинового углового момента, последний обязательно включает в себя все сложности первого, который вычисляется путем умножения элементарных битов массы на квадраты из их расстояний от центра вращения. Следовательно, общий момент инерции и угловой момент является сложной функцией конфигурации вещества относительно центра вращения и ориентации вращения для различных битов.

Для твердого тела, например колеса или астероида, ориентация вращения - это просто положение оси вращения по отношению к материи тела. Он может проходить или не проходить через центр масс, или он может находиться полностью вне тела. Для одного и того же тела угловой момент может принимать разные значения для каждой возможной оси, вокруг которой может происходить вращение. Он достигает минимума, когда ось проходит через центр масс.

Для совокупности объектов, вращающихся вокруг центра, например, всех тел Солнечной системы, ориентации могут быть в некоторой степени организованным, как Солнечная система, с осями большинства тел, лежащих близко к оси системы. Их ориентация также может быть совершенно случайной.

Короче говоря, чем больше масса и чем дальше она от центра вращения (чем длиннеепотенциале например, движение планет в солнечной системе. Таким образом, орбита планеты в солнечной системе определяется ее энергией, угловым моментом и углами большой оси орбиты относительно системы координат.

В астродинамике и небесной механике безмассовый (или на единицу массы) угловой момент определяется

$h\; =\; r\; \times \; v,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{h\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\},\}$

называется удельным угловым моментом. Обратите внимание, что $L\; =\; m\; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; m\; \backslash \; mathbf\; \{h\}.\}$Масса часто не важна в расчетах орбитальной механики, потому что движение определяется гравитацией. Первичное тело системы часто настолько больше, чем любые движущиеся вокруг него тела, что меньшие тела оказывают на него незначительное гравитационное воздействие; это, по сути, стационарное. Все тела, очевидно, одинаково притягиваются его гравитацией, независимо от массы, и поэтому все движутся примерно одинаково в одинаковых условиях.

Угловой момент также является чрезвычайно полезным понятием для описания вращающихся твердых тел, таких как гироскоп или каменистая планета. Для непрерывного распределения массы с функцией ρ плотности (r ), дифференциальный элемент объема dV с вектором положения rвнутри массы имеет элемент массы dm = ρ (r ) dV. Следовательно, бесконечно малый угловой момент этого элемента равен:

$d\; L\; =\; r\; \times \; dmv\; =\; r\; \times \; \rho \; (r)\; d\; V\; v\; =\; d\; V\; r\; \times \; \rho \; (r)\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; dm\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; dV\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; dV\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; раз\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$

и интегрируя этот дифференциал по объему всей массы, получаем его полный угловой момент:

$L\; знак\; равно\; \int \; В\; d\; В\; р\; \times \; \rho \; (р)\; v\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; dV\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; mathbf\; \{v\; \}\}$

В следующем выводе интегралы, подобные этому, могут заменять суммы для случая непрерывной массы.

Сбор частиц

Угловой момент частиц i является суммой перекрестных произведений R × M V + Σ ri× m ivi.

Для совокупности частиц, движущихся относительно произвольного начала координат, полезно разработать уравнение углового момента, разделив их движение на компоненты относительно их собственного центра масс и относительно начала координат. Учитывая, что

$mi\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{i\}\}$- масса частицы $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$,

$R\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\; \}\}$- вектор положения частицы $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$относительно начала координат,

$V\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; \_\; \{i\}\; \}$- скорость частицы $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$относительно начала координат,

$R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$- вектор положения центра масс относительно начала координат,

$V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\}$- скорость центра масс относительно начала координат,

$ri\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\}$- вектор положения частицы $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$относительно центра масс,

$vi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\}$- это скорость частицы $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$относительно центра масс,

Общая масса частицы - это просто их сумма,

$M\; =\; \sum \; imi.\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}.\}$

Вектор положения центра масс определяется как:

$M\; R\; =\; \sum \; i\; m\; i\; R\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\}.\}$

По проверке,

$R\; i\; =\; R\; +\; ri\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\}$и $V\; i\; =\; V\; +\; vi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}.\}$

Полный угловой момент совокупности частиц - это сумма углового момента каждая частица,

$L\; =\; \sum \; я\; (R\; i\; \times \; mi\; V\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\}$(1)

Расширение $R\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\}\}$,

$L\; =\; \sum \; я\; [(R\; +\; ri)\; \times \; mi\; V\; i]\; =\; \sum \; я\; [R\; \times \; mi\; V\; i\; +\; ri\; \times \; mi\; V\; i]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; \_\; \{i\; \}\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Расширение $V\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; \_\; \{i\}\}$,

$L\; =\; \sum \; i\; [R\; \times \; mi\; (V\; +\; vi)\; +\; ri\; \times \; mi\; (V\; +\; vi)]\; =\; \sum \; i\; [R\; \times \; mi\; V\; +\; R\; \times \; mivi\; +\; ri\; \times \; mi\; V\; +\; ri\; \times \; mivi]\; =\; \sum \; i\; R\; \times \; mi\; V\; +\; \sum \; i\; R\; \times \; mivi\; +\; \sum \; iri\; \times \; mi\; V\; +\; \sum \; iri\; \times \; mivi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{ali\; gned\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{V\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{V\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\})\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{\; i\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Можно показать, что (см. Врезку),

Докажите, что $\sum \; imiri\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\}$ $ri\; =\; R\; i\; -\; R\; miri\; =\; mi\; (R\; i\; -\; R)\; \sum \; imiri\; =\; \sum \; imi\; (R\; i\; -\; R)\; =\; \sum \; i\; (mi\; R\; i\; -\; mi\; R)\; Знак\; равно\; \sum \; imi\; R\; я\; -\; \sum \; imi\; R\; =\; \sum \; imi\; R\; i\; -\; (\sum \; imi)\; R\; =\; \sum \; imi\; R\; i\; -\; MR\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\; R\}\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \backslash \; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; =\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; (m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\}\; -m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\})\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \_\; \{i\}\; -M\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ который, по определению центра масс, равно $0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{0\},\}$и аналогично для $\sum \; imivi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}.\}$

$\sum \; imiri\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{я\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\}$и $\sum \; imivi\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\},\}$

поэтому второй и третий члены исчезают,

$L\; =\; \sum \; i\; R\; \times \; mi\; V\; +\; \sum \; iri\; \times \; mivi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}.\}$

Первый член можно переставить,

$\sum \; i\; R\; \times \; mi\; V\; =\; R\; \times \; \sum \; imi\; V\; =\; R\; \times \; MV,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; M\; \backslash \; mathbf\; \{V\},\}$

, а полный угловой момент для набора частиц, наконец,

$L\; =\; R\; \times \; MV\; +\; \sum \; iri\; \times \; mivi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; M\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\}$(2)

Первый член - это угловой момент центра масс относительно начала координат. Подобно Отдельная частица, ниже, это угловой момент одной частицы массы M в центре масс, движущейся со скоростью V . Второй член - это угловой момент частиц, движущихся относительно центра масс, аналогично Фиксированный центр масс ниже. Результат является общим: движение частиц не ограничивается вращением или вращением вокруг начала координат или центра масс. Частицы не обязательно должны иметь индивидуальную массу, но могут быть элементами непрерывного распределения, такими как твердое тело.

Преобразование уравнения (2) с помощью векторных тождеств, умножение обоих членов на «один» и соответствующая группировка,

$L\; =\; M\; (R\; \times \; V)\; +\; \sum \; i\; [mi\; (ri\; \times \; vi)\; ],\; =\; R\; 2\; R\; 2\; M\; (R\; \times \; V)\; +\; \sum \; i\; [ri\; 2\; ri\; 2\; mi\; (ri\; \times \; vi)],\; =\; R\; 2\; M\; (R\; \times \; VR\; 2)\; +\; \sum \; i\; [ri\; 2\; mi\; (ri\; \times \; viri\; 2)],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; M\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{V\})\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; [m\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right],\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\}\; \}\; M\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}\; \{r\_\; \{i\}\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right],\; \backslash \backslash \; =\; R\; ^\; \{2\}\; M\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; [r\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; m\_\; \{i\; \}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\}\; \{r\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right],\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

дает полный угловой момент системы частиц в единицах момента инерции $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$и угловой v elocity $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\}$,

$L\; =\; I\; R\; \omega \; R\; +\; \sum \; I\; I\; i\; \omega \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; I\_\; \{R\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \_\; \{R\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; I\_\; \{i\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \_\; \{i\}.\}$(3)

Случай одиночной частицы

В случае одиночной частицы, движущейся вокруг произвольной точки начала координат,

$ri\; =\; vi\; =\; 0,\; r\; =\; R,\; v\; =\; V,\; m\; =\; M,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\},\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\},\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{V\},\; \backslash \backslash \; m\; =\; M,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$\sum \; iri\; \times \; mivi\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\},\}$

$\sum \; i\; I\; i\; \omega \; i\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; I\_\; \{i\}\; \{\backslash \; boldsymbol\{\backslash \; omega\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\},\}$и уравнения (2) и (3) для полный угловой момент уменьшается до,

$L\; =\; R\; \times \; m\; V\; =\; IR\; \omega \; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; m\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; =\; I\_\; \{R\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \_\; \{R\}.\}$

Случай фиксированного центра масса

Для случая центра масс, фиксированного в пространстве относительно начала координат,

$V\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\},\}$

$R\; \times \; MV\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; times\; M\; \backslash \; mathbf\; \{V\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\},\}$

$IR\; \omega \; R\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{R\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; \backslash \; omega\}\}\; \_\; \{R\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\},\}$и уравнения (2) и (3) для полного углового момента уменьшаются до,

$L\; =\; \sum \; iri\; \times \; mivi\; =\; \sum \; i\; I\; i\; \omega \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; I\_\; \{i\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \_\; \{i\}.\}$

Трехмерный угловой момент как бивектор (плоский элемент) и аксиальный вектор, частицы массы m с мгновенным 3-положением x и 3-импульсом p.

В современной теоретической физике (20-й век) угловой момент (без учета собственного углового момента - см. ниже) описывается с использованием другого формализма вместо классического псевдовектора. В этом формализме угловой момент - это 2-форма заряд Нётер, связанный с инвариантностью вращения. В результате угловой момент не сохраняется для обычных искривленных пространств-времени, если только он не асимптотически инвариантен относительно вращения.

В классической механике угловой момент частицы можно интерпретировать как элемент плоскости:

$L\; =\; r\; \wedge \; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash ,,\}$

, в котором внешний продукт ∧ заменяет перекрестное произведение × (эти продукты имеют аналогичные характеристики, но не эквивалентны). Это имеет преимущество более четкой геометрической интерпретации как плоского элемента, определенного из векторов x и p, и выражение истинно в любом количестве измерений (два или больше). В декартовых координатах:

$L\; =\; (xpy\; -\; ypx)\; ex\; \wedge \; ey\; +\; (ypz\; -\; zpy)\; ey\; \wedge \; ez\; +\; (zpx\; -\; xpz)\; ez\; \wedge \; ex\; =\; L\; xyex\; \wedge \; ey\; +\; L\; yzey\; \wedge \; ez\; +\; L\; zxez\; \wedge \; ex,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; left\; (xp\_\; \{y\}\; -yp\_\; \{x\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{x\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\; y\}\; +\; \backslash \; left\; (yp\_\; \{z\}\; -zp\_\; \{y\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{y\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{z\}\; +\; \backslash \; left\; (zp\_\; \{x\}\; -xp\_\; \{z\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{z\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; =\; L\_\; \{xy\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{x\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\; y\}\; +\; L\_\; \{yz\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{y\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{z\}\; +\; L\_\; \{zx\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{z\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\; x\}\; \backslash ,,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

или более компактно в индексной записи:

$L\; ij\; =\; xipj\; -\; xjpi.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{ij\}\; =\; x\_\; \{i\}\; p\_\; \{j\}\; -x\_\; \{j\}\; p\_\; \{i\}\; \backslash ,.\}$

Угловая скорость также может быть определена как антисимметричный тензор второго порядка с компонентами ω ij. Связь между двумя антисимметричными тензорами задается моментом инерции, который теперь должен быть тензором четвертого порядка:

$L\; i\; j\; =\; I\; i\; j\; k\; \ell \; \omega \; k\; \ell .\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{ij\}\; =\; I\_\; \{ijk\; \backslash \; ell\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{k\; \backslash \; ell\}\; \backslash ,.\}$

Опять же, это уравнение в L и ω как тензоры верны в любом количестве измерений. Это уравнение также появляется в формализме геометрической алгебры, в котором L и ω являются бивекторами, а момент инерции является отображением между ними.

В релятивистской механике релятивистский угловой момент частицы выражается как антисимметричный тензор второго порядка:

$M\; \alpha \; \beta \; знак\; равно\; Икс\; \alpha \; п\; \beta \; -\; Икс\; \beta \; п\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; X\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; P\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; -X\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; P\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$

на языке из четырех векторов, а именно четырех положений X и четырех импульсов P, и поглощает вышеуказанный L вместе с движением центр масс частицы.

В каждом из вышеупомянутых случаев для системы частиц полный угловой момент является просто суммой угловых моментов отдельных частиц, а центр масс относится к системе.

Угловой момент в квантовой механике во многих отношениях отличается от момента количества движения в классической механике. В релятивистской квантовой механике она отличается еще больше, в которой приведенное выше релятивистское определение становится тензорным оператором.

Спиновый, орбитальный и полный угловой момент

Угловой момент классического объекта.

• Слева: «спиновой» угловой момент S на самом деле орбитальный угловой момент объект в каждой точке.
• Справа: внешний орбитальный угловой момент L вокруг оси.
• Вверху: тензор момента инерции Iи угловая скорость ω(Lне всегда параллельна ω).
• Внизу: импульс p и его радиальное положение r от оси. Полный угловой момент (спин плюс орбиталь) составляет Дж . Для квантовой частицы интерпретации разные; спин частицы не имеет вышеуказанной интерпретации.

Классическое определение углового момента как $L\; =\; r\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$можно перенести в квантовую механику, переосмыслив r как квантовый оператор положения и p как квантовый оператор импульса. Lтогда является оператором, конкретно называемым оператором орбитального углового момента. Компоненты оператора углового момента удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли so (3). В самом деле, эти операторы являются в точности бесконечно малым действием группы вращений на квантовом гильбертовом пространстве. (См. Также обсуждение ниже операторов углового момента как генераторов вращения.)

Однако в квантовой физике существует другой тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом, представленный оператором вращения S . Почти все элементарные частицы имеют ненулевой спин. Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это вводящая в заблуждение и неточная картина: спин - это внутреннее свойство частицы, не связанное ни с каким движением в пространстве и фундаментально отличное от орбитального углового момента. Все элементарные частицы имеют характеристический спин (возможно, нулевой), например, электроны имеют «спин 1/2» (на самом деле это означает «спин ħ / 2»), фотоны имеют «спин 1» (на самом деле это означает «спин ħ»), а пи-мезоны имеют спин 0.

Наконец, полный угловой момент J, который объединяет спин и орбитальный угловой момент всех частиц и полей. (Для одной частицы, J= L+ S.) Сохранение углового момента применяется к J, но не к L или S ; например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться назад и вперед между L и S, при этом общая оставшаяся величина остается постоянной. Электроны и фотоны не обязательно должны иметь целочисленные значения для полного углового момента, но также могут иметь дробные значения.

В молекулах полный угловой момент F является суммой ровибронных (орбитальных) угловой момент N, спиновый угловой момент электрона S и ядерный спиновый угловой момент I . Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается J, а не N . Как объяснил Ван Флек, компоненты молекулярного ровибронного углового момента, относящиеся к осям, закрепленным за молекулами, имеют разные коммутационные соотношения, чем компоненты относительно осей, закрепленных в пространстве.

Квантование

В квантовой механике угловой момент квантуется, то есть он не может изменяться непрерывно, а только в «кванте. перескакивает "между определенными допустимыми значениями. Для любой системы применяются следующие ограничения на результаты измерений, где $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$- уменьшенная постоянная Планка и $n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; hat\; \{n\}\}\}$- любой евклидов вектор, например x, y или z:

Если вы измеряете...	Результатом может быть...
$L\; n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$	$\dots ,\; -\; 2\; \hslash ,\; -\; \hslash ,\; 0,\; \hslash ,\; 2\; \hslash ,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots,\; -2\; \backslash \; HBAR,\; -\; \backslash \; HBAR,\; 0,\; \backslash \; HBAR,\; 2\; \backslash \; HBAR,\; \backslash \; ldots\}$
$S\; n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$или $J\; n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$	$\dots ,\; -\; 3\; 2\; \hslash ,\; -\; \hslash ,\; -\; 1\; 2\; \hslash ,\; 0,\; 1\; 2\; \hslash ,\; \hslash ,\; 3\; 2\; \hslash ,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots,\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; hbar,\; -\; \backslash \; hbar,\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; hbar,\; 0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; hbar,\; \backslash \; hbar,\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; hbar,\; \backslash \; ldots\}$
$L\; 2\; =\; L\; x\; 2\; +\; L\; y\; 2\; +\; L\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \backslash \; =\; \{\}\; L\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; L\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; +\; L\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	$[\hslash \; 2\; n\; (n\; +\; 1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; n\; (n\; +\; 1)\; \backslash \; right]\}$, где $n\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\}$
$S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2\}\}$или $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$	$[\; \hslash \; 2\; n\; (n\; +\; 1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; n\; (n\; +\; 1)\; \backslash \; right]\}$, где $n\; =\; 0,\; 1\; 2,\; 1,\; 3\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; 1,\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\},\; \backslash \; ldots\}$

В этой стоячей волне на круговой струне круг разбит ровно на 8 длин волн. Такая стоячая волна может иметь 0,1,2 или любое целое число длин волн по окружности, но не может иметь нецелое число длин волн, например 8,3. В квантовой механике угловой момент квантуется по той же причине.

(Существуют также дополнительные ограничения, подробнее см. оператор угловогомомента.)

редуцированный планк. константа $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$крошечная по обычным стандартам, около 10 Дж / с, и поэтому это квантование не оказывает заметного влияния на угловой момент макроскопических объекты. Однако в микроскопическом мире это очень важно. Например, на структуру электронных оболочек и подоболочек в химии существенно влияет квантование углового момента.

Квантование углового момента было впервые постулировано Нильсом Бором в его модели Бора атома и позже предсказано Эрвином Шредингером в его Уравнение Шредингера.

Неопределенность

В определении $L\; =\; r\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$задействованы шесть операторов: операторы положения $rx\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{x\}\}$, $ry\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{y\}\}$, $rz\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{z\}\}$и операторы импульса $px\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{x\}\}$, $py\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{y\}\}$, $pz\; \{\backslash \; Displaystyle\; p\_\; \{z\}\}$. Однако принцип неопределенности Гейзенберга говорит нам, что невозможно узнать все шесть этих величин одновременно с произвольной точностью. Следовательно, существуют пределы того, что можно узнать или измерить об угловом моменте частицы. Оказывается, лучшее, что можно сделать, - это одновременно измерить как величину величины вектора углового момента, так и его составляющую вдоль одной оси.

Неопределенность тесно связана с тем фактом, что различные компоненты оператора углового момента не коммутируют, например $L\; x\; L\; y\; \ne \; L\; y\; L\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{x\}\; L\_\; \{y\}\; \backslash \; neq\; L\_\; \{y\}\; L\_\; \{x\}\}$. (Для точных коммутационных соотношений см. оператор углового момента.)

Полный угловой момент как генератор вращений

Как упоминалось выше, орбитальный угловой момент импульс L определяется как в классической механике: $L\; =\; r\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$, но полный угловой момент J определяется другим, более простым способом: J определяется как «генератор вращений». Более конкретно, J определяется так, что оператор

$R\; (n\; ^,\; \varphi )\; \equiv \; exp\; \; (-\; i\; \hslash \; \varphi \; J\; \cdot \; n\; ^)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\; \},\; \backslash \; phi)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

- это оператор поворота, который берет любую систему и поворачивает ее на угол $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$вокруг оси $n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\}\}\}$. («Exp» в формуле относится к экспоненциальному оператору ) Иными словами, каким бы ни было наше квантовое гильбертово пространство, мы ожидаем, что группа вращения SO (3) будет действовать в соответствии с этим. Тогда существует ассоциированное действие алгебры Ли so (3) группы SO (3); операторы, описывающие действие so (3) в нашем гильбертовом пространстве, являются операторами (полного) углового момента.

Связь между оператором углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами Ли и группами Ли в математике. Тесная связь между угловым моментом и вращениями отражена в теореме Нётер, которая доказывает, что угловой момент сохраняется, когда законы физики инвариантны относительно вращения.

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле, канонический импульс P(полученный из лагранжиана для этой системы) не является калибровочным инвариантом. Как следствие, канонический угловой момент L= r× Pтакже не является калибровочно-инвариантным. Вместо этого физический импульс, так называемый кинетический импульс (используемый в этой статье), равен (в единицах СИ )

$p\; =\; mv\; =\; P\; -\; e\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; m\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; -e\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$

где e - электрический заряд частицы, а A магнитный векторный потенциал электромагнитного поля. калибровочно-инвариантный угловой момент, то есть кинетический угловой момент, задается как

$K\; =\; r\; \times \; (P\; -\; e\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; (\backslash \; mathbf\; \{P\}\; -e\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\}$

Взаимодействие с квантовой механикой обсуждается далее в статье о канонических коммутационных соотношениях.

В классической электродинамике Максвелла вектор Пойнтинга представляет собой линейную плотность импульса электромагнитного поля.

$S\; (r,\; t)\; =\; ϵ\; 0\; c\; 2\; E\; (r,\; т)\; \times \; В\; (г,\; т).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; =\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t).\}$

Вектор плотности углового момента