Норма (математика)

Длина в векторном пространстве

В математике, норма - это функция из вещественного или комплексного векторного пространства к неотрицательным действительным числам, которая ведет себя определенным образом, как расстояние от исходной точки : it коммутирует с масштабированием, подчиняется форме неравенства треугольника и равен нулю только в начале координат. В частности, евклидово расстояние вектора от начала координат является нормой, называемой евклидовой нормой или 2-нормой, которую также можно определить как квадратный корень внутреннего произведения вектора с самим собой.

A псевдонорма или полунорма удовлетворяет первым двум свойствам нормы, но может быть нулем для других векторов, кроме исходных. Векторное пространство с указанной нормой называется нормированным векторным пространством. Аналогичным образом векторное пространство с полунормой называется полунормированным векторным пространством.

• 1 Определение
  • 1.1 Эквивалентные нормы
• 2 Обозначение
• 3 Примеры
  • 3.1 Абсолютная норма
  • 3.2 Евклидова норма
    • 3.2.1 Евклидова норма комплексных чисел
    • 3.2.2 Кватернионы и октонионы
  • 3.3 Норма такси или норма Манхэттена
  • 3.4 p-норма
  • 3.5 Максимальная норма (особый случай: бесконечная норма, единообразная норма или норма супремума)
  • 3.6 Нулевая норма
    • 3.6.1 Расстояние Хэмминга вектора от нуля
  • 3.7 Бесконечные измерения
  • 3.8 Составные нормы
  • 3.9 В абстрактной алгебре
    • 3.9.1 Композиционные алгебры
• 4 Свойства
  • 4.1 Эквивалентность
• 5 Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Библиография

Учитывая векторное пространство V над полем 𝔽 действительных чисел ℝ или комплексных чисел ℂ, норма на V является неотрицательной функцией p: V → ℝ с следующие свойства:

для всех a ∈ 𝔽 и всех u, v∈ V,

1. p(u+ v) ≤ p (u ) + p (v ) (является субаддитивом или удовлетворяет неравенству треугольника ).
2. p (a v ) = | a | p (v ) (будучи абсолютно однородным или абсолютно масштабируемым).
3. Если p (v ) = 0, то v= 0является нулевой вектор (положительно определенный или разделяющий точки).

A полунорма на V - это функция p: V → ℝ со свойствами 1 и 2 выше.

Эквивалентные нормы

Предположим, что p и q - две нормы (или полунормы) в векторном пространстве V. Тогда p и q называются эквивалентными, если существуют две действительные константы c и C с c>0 такой, что для любого вектора v ∈ V,

cq (v ) ≤ p (v ) ≤ C q (v).

нормы p и q эквивалентны тогда и только тогда, когда они индуцируют одну и ту же топологию на V. Любые две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны, но это не распространяется на бесконечномерные пространства.

Если на векторном пространстве X задана норма p: X → ℝ, то норму вектора v ∈ X обычно обозначают заключением его в двойные вертикальные линии: ‖v‖ = p (v). Такое обозначение также иногда используется если p - только полунорма. Для длины вектора в евклидовом пространстве (который является примером нормы, как объясняется ниже), обозначение | v | с одиночными вертикальными линиями также широко распространено.

В Unicode кодовая точка символа «двойная вертикальная линия» ‖ - U + 2016. Двойную вертикальную линию не следует путать с символом «параллельно», Unicode U + 2225 (∥), который используется для обозначения параллельных линий в геометрии и оператор параллельного сложения в теории сетей, различных областях техники и прикладной электронике. Двойную вертикальную линию также не следует путать с Unicode U + 01C1 (ǁ), символом, используемым для обозначения боковых щелчков в лингвистике.

Одиночная вертикальная линия | называется «вертикальной линией» в Юникоде, а его кодовая точка - U + 007C.

В LaTeX и родственных языках разметки макрос \ |часто используется для обозначения нормы.

Каждое (действительное или комплексное) векторное пространство допускает норму: Если x • = (x i)i ∈ I равно Базис Гамеля для векторного пространства X, затем вещественное отображение, которое отправляет x = ∑ i ∈ I sixi∈ X (где все, кроме конечного числа скаляров s i равны 0) до ∑ i ∈ I |si| является нормой на X. Существует также большое количество норм, которые демонстрируют дополнительные свойства, которые делают их полезными для конкретных задач.

Абсолютное значение norm

абсолютное значение

$\Vert \; x\; \Vert \; =\; |\; x\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; =\; \backslash \; left\; |\; x\; \backslash \; right\; |\}$

является нормой на одномерных векторных пространствах, образованных вещественными или комплексными числами.

. Любая норма p в одномерном векторном пространстве X эквивалентна (с точностью до масштабирования) к норме абсолютного значения, что означает, что существует сохраняющий норму изоморфизм векторных пространств f: 𝔽 → X, где 𝔽 либо ℝ, либо ℂ, а сохранение нормы означает, что $|\; x\; |\; знак\; равно\; п\; (е\; (х))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; |\; х\; \backslash \; вправо\; |\; =\; р\; (е\; (х))\}$. Этот изоморфизм задается отправкой 1 ∈ 𝔽 вектору нормы 1, который существует, поскольку такой вектор получается путем умножения любого ненулевого вектора на обратный к его норме.

Евклидова норма

В n-мерном евклидовом пространстве ℝ интуитивное понятие длины вектора x = (x 1, x 2,..., x n) захватывается формулой

$\Vert \; x\; \Vert \; 2:\; =\; x\; 1\; 2\; +\; \cdots \; +\; xn\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}:\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Это евклидова норма, которая дает обычное расстояние от начала координат до точки X - следствие теоремы Пифагора. Эта операция также может называться «SRSS», что является аббревиатурой от s quare r oot s um of s quares.

Евклидова норма на сегодняшний день является наиболее часто используемой нормой на, но есть и другие нормы в этом векторном пространстве, как будет показано ниже. Однако все эти нормы эквивалентны в том смысле, что все они определяют одну и ту же топологию.

Внутреннее произведение двух векторов евклидова векторного пространства является скалярным произведением их координатных векторов над ортонормированный базис. Следовательно, евклидова норма может быть записана безкоординатным образом как

$\Vert \; x\; \Vert :\; =\; x\; \cdot \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |:\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\}\}.\}$

Евклидова норма также называется нормой L, ℓ нормой, 2-нормой или квадратной нормой ; см. L пробел. Он определяет функцию расстояния , называемую евклидовой длиной, L расстоянием или ℓ расстоянием .

. Набор векторов в ℝ, евклидова норма которых равна заданная положительная константа образует n-сферу.

евклидова норма комплексных чисел

Евклидова норма комплексного числа - это абсолютное значение ( также называется модулем ) его, если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью ℝ. Такая идентификация комплексного числа x + iy как вектора на евклидовой плоскости дает величину $x\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\}$(как впервые было предложено Эйлером) евклидова норма, связанная с комплексным числом.

Кватернионы и октонионы

Есть ровно четыре евклидовых алгебры Гурвица над действительными числами. Это действительные числа ℝ, комплексные числа ℂ, кватернионы ℍ и, наконец, октонионы 𝕆, где размеры этих пространств над действительными числами равны 1, 2, 4., и 8 соответственно. Канонические нормы для ℝ и ℂ являются их функциями абсолютного значения, как обсуждалось ранее.

Каноническая норма на ℍ для кватернионов определяется как

$\Vert \; q\; \Vert \; =\; qq\; \ast \; =\; q\; \ast \; q\; =\; a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2\; +\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lVert\; q\; \backslash \; rVert\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash ,\; qq\; ^\; \{*\}\; ~\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash ,\; q\; ^\; \{*\}\; q\; ~\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash ,\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; +\; d\; ^\; \{2\}\; ~\}\}\}$

для каждого кватерниона $q\; =\; a\; +\; bi\; +\; cj\; +\; dk\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; a\; +\; b\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; c\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; d\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$в ℍ. Это то же самое, что и евклидова норма на, рассматриваемом как векторное пространство. Точно так же каноническая норма на октонионах является точной евклидовой нормой на ℝ.

Конечномерные комплексные нормированные пространства

В n-мерном комплексном пространстве ℂ наиболее распространенной нормой является

$\Vert \; z\; \Vert :\; =\; |\; z\; 1\; |\; 2\; +\; \cdots \; +\; |\; z\; n\; |\; 2\; =\; z\; 1\; z\; ¯\; 1\; +\; \cdots \; +\; z\; n\; z\; ¯\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{z\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |:\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; |\; z\_\; \{1\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; left\; |\; z\_\; \{n\}\; \backslash \; справа\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\_\; \{1\}\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; z\_\; \{n\}\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \_\; \{n\}\}\}.\; \}$

В этом случае норма может быть выражена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя:

$\Vert \; x\; \Vert :\; =\; x\; H\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |:\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; ^\; \{H\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\}\},\}$

где $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\}$представлен как вектор-столбец ([x 1 ; x 2 ;...; x n ]), а $x\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; ^\; \{H\}\}$обозначает его сопряженное транспонирование.

Эта формула действительна для любого внутреннего пространства продукта, включая евклидовы и комплексные пространства. Для сложных пробелов внутренний продукт эквивалентен сложному скалярному произведению. Следовательно, формулу в этом случае также можно записать, используя следующие обозначения:

$\Vert \; x\; \Vert :\; =\; x\; \cdot \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |:\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\}\}.\}$

Норма такси или Норма Манхэттена

$x\; \Vert \; 1:\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; |\; х\; я\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}:\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; |\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; |.\}$

Название относится к расстоянию, которое такси должно проехать в прямоугольной сетке улиц, чтобы добраться от исходной точки до точки x.

Набор векторов, 1-норма которых является заданной константой, образует поверхность кросс-многогранника размерности, эквивалентной размерности нормы минус 1. Норма такси также называется $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$1norm . Расстояние, полученное из этой нормы, называется Манхэттенским расстоянием или $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$1расстоянием .

1-норма - это просто сумма абсолютных значений. колонн.

Напротив,

$\sum \; i\; =\; 1\; nxi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{i\}\}$

не является нормой, поскольку может привести к отрицательным результатам..

p-norm

Пусть p ≥ 1 действительное число. P-норма (также называемая $\ell \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \_\; \{p\}\}$-norm) вектора $x\; =\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$равно

$\Vert \; x\; \Vert \; p:\; =\; (\sum \; i\; =\; 1\; n\; |\; xi\; |\; p)\; 1\; /\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}:\; =\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; |\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{p\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; ^\; \{1\; /\; p\}.\}$

Для p = 1 мы получаем норму такси, для p = 2 получаем евклидову норму, и когда p приближается к ∞, p-норма приближается к бесконечной норме или максимальной норме :

$\Vert \; x\; \Vert \; \infty :\; =\; max\; i\; |\; х\; я\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}:\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; |\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; |.\}$

p-норма связана до обобщенного среднего или степенного среднего.

Это определение все еще представляет интерес для 0 < p < 1, but the resulting function does not define a norm, because it violates the неравенства треугольника. Что верно для этого случая 0 < p < 1, even in the measurable analog, is that the corresponding L class is a vector space, and it is also true that the function

$\int \; X\; |\; f\; (x)\; -\; g\; (x)\; |\; pd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; \backslash \; left\; |\; f\; (x)\; -g\; (x)\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{p\}\; ~\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mu\}$

(без корня pth) определяет расстояние что превращает L (X) в полное метрическое топологическое векторное пространство. Эти пространства представляют большой интерес в функциональном анализе, теории вероятностей и гармоническом анализе. Однако, за исключением тривиальных случаев, это топологическое векторное пространство не является локально выпуклым и не имеет непрерывных ненулевых линейных форм. Таким образом, топологическое двойственное пространство содержит только нулевой функционал.

Частная производная p-нормы задается как

$\partial \; \partial \; x\; k\; \Vert \; x\; \Vert \; p\; =\; x\; k\; |\; х\; к\; |\; п\; -\; 2\; \Vert \; х\; \Vert \; п\; п\; -\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{k\}\; \backslash \; left\; |\; x\_\; \{\; k\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{p-2\}\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; ^\; \{p-1\}\}\}.\}$

Производная по x, следовательно, is

$\partial \; \Vert \; x\; \Vert \; p\; \partial \; x\; =\; x\; \circ \; |\; х\; |\; п\; -\; 2\; \Vert \; х\; \Vert \; п\; п\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; circ\; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; |\; ^\; \{p-2\}\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; ^\; \{p-1\}\}\}.\}$

где ∘ означает произведение Адамара и $|\; \cdot \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; cdot\; |\}$используется для абсолютного значения каждого компонента вектора.

Для особого случая p = 2 это становится

$\partial \; \partial \; xk\; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; =\; xk\; \Vert \; x\; \Vert \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\; \}\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\}\},\}$

или

$\partial \; \partial \; x\; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; =\; x\; \Vert \; x\; \Vert \; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\}\}.\}$

Максимальная норма (частный случай: бесконечная норма, равномерная норма или норма супремума)

$\Vert \; x\; \Vert \; \infty \; =\; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; 1\}$

Если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$- некоторый вектор такой, что $x\; =\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$, затем :

$\Vert \; x\; \Vert \; \infty :\; =\; max\; (|\; x\; 1\; |,\dots ,\; |\; xn\; |).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}:\; =\; \backslash \; max\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; right\; |,\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; left\; |\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right).\}$

Набор векторов, бесконечная норма которых является заданной константой c, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра 2c.

Нулевая норма

В вероятностном и функциональном анализе нулевая норма индуцирует полную метрическую топологию для пространства измеримых функций и для F-пространства последовательностей с F –Norm $(xn)\; \mapsto \; \sum \; n\; 2\; -\; nxn\; /\; (1\; +\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \{2\; ^\; \{-\; n\}\; x\_\; \{n\}\; /\; (\; 1\; +\; x\_\; \{n\})\}\}$. Здесь мы подразумеваем под F-нормой некоторую вещественнозначную функцию $\Vert \; \cdot \; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lVert\; \backslash \; \backslash \; cdot\; \backslash \; \backslash \; rVert\}$в F-пространстве с расстоянием d, такую ​​что $\Vert \; Икс\; \Vert \; знак\; равно\; d\; (x,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lVert\; x\; \backslash \; rVert\; =\; d\; (x,\; 0)\}$. Описанная выше F-норма не является нормой в обычном понимании, потому что ей не хватает требуемого свойства однородности.

Расстояние Хэмминга вектора от нуля

В метрической геометрии дискретная метрика принимает значение один для различных точек и ноль в противном случае. При применении координатно к элементам векторного пространства дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга, что важно в кодировании и теории информации. В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля неоднородно в ненулевой точке; действительно, расстояние от нуля остается единичным, поскольку его ненулевой аргумент приближается к нулю. Однако дискретное расстояние числа от нуля действительно удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определенности. При покомпонентном применении к векторам дискретное расстояние от нуля ведет себя как неоднородная «норма», которая считает количество ненулевых компонентов в своем векторном аргументе; опять же, эта неоднородная «норма» разрывна.

В обработке сигналов и статистика, Дэвид Донохо ссылался на нулевую «норму » в кавычках. Следуя обозначениям Донохо, нулевая «норма» x - это просто количество ненулевых координат x или расстояние Хэмминга вектора от нуля. Когда эта "норма" локализована в ограниченном множестве, это предел p-норм, когда p приближается к 0. Конечно, нулевая "норма" не действительно норма, потому что это не положительный однородный. В самом деле, это даже не F-норма в описанном выше смысле, поскольку она разрывна, совместно и по отдельности, относительно скалярного аргумента в умножении скаляр-вектор и относительно его векторного аргумента. Злоупотребляя терминологией, некоторые инженеры опускают кавычки Донохо и неправильно называют функцию числа ненулевых норм L нормой, повторяя обозначение для пространства Лебега из измеримых функций.

Бесконечные измерения

Обобщение вышеуказанных норм на бесконечное число компонентов приводит к ℓ и L пространствам с нормами

$\Vert \; x\; \Vert \; p\; =\; (\sum \; i\; \in \; N\; |\; xi\; |\; p)\; 1\; /\; p\; и\; \Vert \; е\; \Vert \; p,\; X\; =\; (\int \; X\; |\; f\; (x)\; |\; pdx)\; 1\; /\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; bigg\; (\; \}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; \backslash \; left\; |\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{p\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; ^\; \{1\; /\; p\}\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; \backslash \; left\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p,\; X\}\; =\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; \backslash \; left\; |\; f\; (x)\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{p\}\; ~\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \{\backslash \; bigg)\}\; ^\; \{1\; /\; p\}\}$

для комплекснозначных последовательностей и функций на X ⊆ ℝ соответственно, которые могут быть дополнительно обобщены (см. мера Хаара ).

Любое внутреннее произведение естественным образом индуцирует норму $\Vert \; x\; \Vert :\; =\; ⟨x,\; x⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |:\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\}\}.\}$

Другие примеры бесконечномерных нормированных векторных пространств можно найти в Banach пробел артикул.

Составные нормы

Другие нормы на ℝ могут быть построены путем объединения вышеуказанного; например

$\Vert \; x\; \Vert :\; =\; 2\; |\; х\; 1\; |\; +\; 3\; |\; х\; 2\; |\; 2\; +\; макс\; (|\; x\; 3\; |,\; 2\; |\; x\; 4\; |)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |:\; =\; 2\; \backslash \; left\; |\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; right\; |\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\; \backslash \; left\; |\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; max\; (\backslash \; left\; |\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; right\; |,\; 2\; \backslash \; left\; |\; x\_\; \{4\}\; \backslash \; right\; |)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

- это норма на.

Для любой нормы и любого инъективного линейного преобразования A мы можем определить новую норму x, равную

$\Vert \; A\; x\; \Vert .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; Ax\; \backslash \; right\; \backslash \; |.\}$

В 2D, с поворотом A на 45 ° и подходящим масштабированием, это изменяет норму такси на максимальную норму. Каждый A, применяемый к норме такси, вплоть до инверсии и смены осей, дает другой единичный шар: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации.

В 3D это аналогично, но отличается для 1-нормы (октаэдры ) и максимальной нормы (призмы с основанием параллелограмма).

Есть примеры норм, которые не определяются «пошаговыми» формулами. Например, функционал Минковского центрально-симметричного выпуклого тела в (с центром в нуле) определяет норму на (см. § Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества ниже).

Все приведенные выше формулы также дают нормы на ℂ без изменений.

Существуют также нормы на пространствах матриц (с действительными или комплексными элементами), так называемые матричные нормы.

В абстрактной алгебре

Пусть E будет конечное расширение поля k неотделимой степени p, и пусть k имеет алгебраическое замыкание K. Если различные вложения поля E равны {σ j}j, то Теоретико-Галуа норма элемента α∈E - это значение $(\prod \; j\; \sigma \; k\; (\alpha ))\; p\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; prod\; \_\; \{j\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{k\; \}\; (\backslash \; alpha)\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{p\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\}$. Поскольку эта функция однородна степени [E: k], норма теории Галуа не является нормой в смысле этой статьи. Однако корень [E: k] нормы (при условии, что эта концепция имеет смысл) является нормой.

Композиционные алгебры

Концепция нормы $N\; (z)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; N\; (z)\}$в композиционных алгебрах не разделяет обычные свойства нормы, поскольку она может быть отрицательной или нулевой для z ≠ 0. Композиционная алгебра (A, *, N) состоит из алгебры над полем A, инволюции * и квадратичной формы $N\; (z)\; =\; zz\; \ast ,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; N\; (z)\; =\; zz\; ^\; \{*\},\}$что называется «нормой».

Характерной чертой композиционных алгебр является свойство гомоморфизма элемента N: для произведения wz двух элементов w и z композиционной алгебры его норма удовлетворяет $N\; (wz)\; =\; N\; (w)\; N\; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (wz)\; =\; N\; (w)\; N\; (z).\}$Для ℝ, ℂ, ℍ и O норма композиционной алгебры - это квадрат обсуждаемой нормы над. В этих случаях нормой является определенная квадратичная форма. В других композиционных алгебрах норма - это изотропная квадратичная форма.

Для любой нормы p в векторном пространстве V выполняется неравенство обратного треугольника : для всех u и v ∈ V,

p(u± v) ≥ | p (u ) - p (v)|

Если u: X → Y - непрерывное линейное отображение между нормированное пространство, то норма u и норма транспонирования u равны.

Для норм L мы имеем неравенство Гёльдера

$|\; ⟨Икс,\; Y⟩\; |\; \le \; \Vert \; Икс\; \Vert \; п\; \Vert \; Y\; \Vert \; Q\; 1\; п\; +\; 1\; Q\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{q\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{q\}\}\; =\; 1.\}$

Особый случай из этого неравенство Коши – Шварца :

$|\; ⟨x,\; y⟩\; |\; \le \; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; \Vert \; y\; \Vert \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}.\}$

Иллюстрации единичных окружностей в разных нормах.

Эквивалентность

Понятие единичной окружности (множество всех векторов нормы 1) есть различаются по разным нормам: для 1-нормы единичный круг представляет собой квадрат, для 2-нормы (евклидова норма) это хорошо известный единичный круг, а для нормы бесконечности это другой квадрат. Для любой p-нормы это суперэллипс с конгруэнтными осями (см. Сопроводительную иллюстрацию). В соответствии с определением нормы единичная окружность должна быть выпуклой и центрально-симметричной (поэтому, например, единичный шар может быть прямоугольником, но не может быть треугольником, и $p\; \ge \; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; geq\; 1\}$для p-нормы).

В терминах векторного пространства полунорма определяет топологию на пространстве, и это топология Хаусдорфа именно тогда, когда полунорма может различать разные векторы, что снова эквивалентно тому, что полунорма является нормой. Определенная таким образом топология (либо нормой, либо полунормой) может быть понята в терминах последовательностей или открытых множеств. Считается, что последовательность векторов $\{vn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{v\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$сходится по норме к $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$, если $\Vert \; vn\; -\; v\; \Vert \; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; v\_\; \{n\}\; -v\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$как $n\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$. Эквивалентно топология состоит из всех наборов, которые могут быть представлены как объединение открытых шаров. Если (X, || ⋅ ||) - нормированное пространство, то || x - y || = || x - z || + || z - y || для всех x, y, z ∈ X.

Две нормы ‖ • ‖ α и ‖ • ‖ β на векторном пространстве V называются эквивалентными, если они индуцируют одну и ту же топологию, что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа C и D такие, что для всех x в V

$C\; \Vert \; x\; \Vert \; \alpha \; \le \; \Vert \; x\; \Vert \; \beta \; \le \; D\; \Vert \; x\; \Vert \; \alpha .\; \{\backslash \; Displaystyle\; С\; \backslash \; влево\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; вправо\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; альфа\}\; \backslash \; Leq\; \backslash \; влево\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; вправо\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; бета\}\; \backslash \; Leq\; D\; \backslash \; влево\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; вправо\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; альфа\; \}.\}$

Например, если p>r>0 на $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}$, то

$\Vert \; x\; \Vert \; p\; \le \; \Vert \; X\; \Vert \; r\; \le \; n\; (1\; /\; r\; -\; 1\; /\; p)\; \Vert \; x\; \Vert \; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{r\}\; \backslash \; leq\; n\; ^\; \{(1\; /\; r-1\; /\; p)\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}.\}$

В частности,

$\Vert \; x\; \Vert \; 2\; \le \; \Vert \; x\; \Vert \; 1\; \le \; n\; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\; \}\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\}$

$\Vert \; x\; \Vert \; \infty \; \le \; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; \le \; N\; \Vert \; Икс\; \Vert \; \infty \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; вправо\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; Leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; вправо\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; \backslash \; Leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; влево\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$

$\Vert \; х\; \Vert \; \infty \; \le \; \Vert \; x\; \Vert \; 1\; \le \; n\; \Vert \; x\; \Vert \; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; n\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\},\}$

То есть

$\Vert \; x\; \Vert \; \infty \; \le \; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; \le \; \Vert \; x\; \Vert \; 1\; \le \; n\; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; \le \; n\; \Vert \; x\; \Vert \; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; n\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}.\}$

Если векторное пространство является конечномерным реальный или сложный, все нормы равнозначны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны.

Эквивалентные нормы определяют одни и те же понятия непрерывности и конвергенции, и для многих целей нет необходимости различать. Точнее, равномерная структура, определяемая эквивалентными нормами в векторном пространстве, равномерно изоморфна.

Все полунормы в векторном пространстве V можно классифицировать в терминах абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств A из V. Каждому такому подмножеству соответствует полунорма p A, называемая калибром элемента A, определяемого как

pA(x): = inf {α: α>0, x ∈ αA}

со свойством, что

{x: p A (x) < 1} ⊆ A ⊆ {x : pA(x) ≤ 1}.

И наоборот:

Любое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет локальный базис, состоящий из абсолютно выпуклых множеств. Распространенным методом построения такого базиса является использование семейства (p) полунорм p, которое разделяет точки : совокупность всех конечных пересечений множеств {p <1 / n} превращает пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство, так что каждый p непрерывен.

Такой метод используется для разработки слабых и слабых * топологий.

нормальный случай:

Предположим теперь, что ( p) содержит единственный p: поскольку (p) - это , разделяющее, p является нормой, и A = {p < 1} is its open единичный шар. Тогда A - абсолютно выпуклая ограниченная окрестность 0 и p = p A непрерывна.

Обратное утверждение принадлежит Андрею Колмогорову : любая локально выпуклое и локально ограниченное топологическое векторное пространство нормируемо. Точно:

Если V является абсолютно выпуклой ограниченной окрестностью 0, калибровка g V (так что V = {g V< 1}) is a norm.

• Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы
• F-полунорма
• норма Гауэрса
• расстояние Махаланобиса
• Величина (математика)
• Матричная норма - Норма на векторном пространстве матриц
• Минковский функциональная
• Норма оператора
• Паранорма
• Связь норм и показателей
• Семинорма
• Сублинейная функция

• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 [Sur specific espaces vectoriels topologiques]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Эгглстон, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Khaleelulla, SM (1982). Написано в Берлине, Гейдельберг. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспекты лекций по математике cs. 936 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
• ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.