Войти
Платоновы тела, показанные здесь на иллюстрации из Иоганна Кеплера Mysterium Cosmographicum (1596) - ранний пример исключительных объектов. Симметрии трехмерного пространства можно разделить на два бесконечных семейства - циклическую и диэдральную симметрии n-сторонних многоугольников - и пять исключительных типов симметрии, а именно группы симметрии Платоновы тела. Многие разделы математики изучают объекты данного типа и доказывают классификационную теорему. Общей темой является то, что в результате классификации получается ряд серий объектов и конечное число исключений - часто с желаемыми свойствами, - которые не вписываются ни в одну серию. Они известны как исключительные объекты . Во многих случаях эти исключительные объекты играют дополнительную и важную роль в субъекте. Кроме того, исключительные объекты в одной области математики часто соотносятся с исключительными объектами в других.
Связанное явление - исключительный изоморфизм, когда две серии в целом различны, но совпадают в некоторых небольшие значения. Например, спиновые группы в малых размерностях изоморфны другим классическим группам Ли.
Прототипные примеры исключительных объектов возникают при классификации правильных многогранников : в двух измерениях, существует серия правильных n-угольников для n ≥ 3. В каждом измерении выше 2 можно найти аналоги куба, тетраэдра и октаэдра. В трех измерениях можно найти еще два правильных многогранника - додекаэдр (12-гранник) и икосаэдр (20-гранник), составляющих пять Платоновых тел. В четырех измерениях существует всего шесть правильных многогранников, включая 120-элементный, 600-элементный и 24-элементный <171.>. Других правильных многогранников нет, так как единственные правильные многогранники в более высоких измерениях относятся к серии гиперкуба, симплекс, ортоплекс. Таким образом, во всех измерениях, вместе взятых, есть три серии и пять исключительных многогранников.
Более того, картина аналогична, если включены невыпуклые многогранники: в двух измерениях существует правильный звездообразный многоугольник для каждого рационального числа 
Их можно обобщить на мозаику других пространств, особенно однородные мозаики, в частности мозаики евклидова пространства (соты ), в которых есть исключительные объекты, и мозаики гиперболического пространства. Существуют различные исключительные объекты в размерности ниже 6, но в размерности 6 и ab Итак, единственными правильными многогранниками / мозаиками / гиперболическими мозаиками являются решетка симплекс, гиперкуб, кросс-многогранник и гиперкуб.
 . (3 3 2) |  . (4 3 2) |  . (5 3 2) |
 . (3 3 3) |  . (4 4 2) |  . (6 3 2) |
Связанные с мозаиками и правильными многогранниками существуют исключительные треугольники Шварца (треугольники, которые покрывают сферу, или, в более общем смысле, евклидова плоскость или гиперболическая плоскость через их группу треугольников отражений в их краях), в частности, треугольники Мёбиуса. В сфере есть 3 треугольника Мёбиуса (и 1 однопараметрическое семейство), соответствующие 3 исключительным платоновым твердым группам, в то время как на евклидовой плоскости есть 3 треугольника Мёбиуса, соответствующие 3 особым треугольникам: 60-60- 60 (равносторонний ), 45-45-90 (равнобедренный вправо) и 30-60-90. Есть дополнительные исключительные треугольники Шварца на сфере и евклидовой плоскости. Напротив, на гиперболической плоскости существует 3-параметрическое семейство треугольников Мёбиуса, и ни одного исключительного.
Отношения между спорадическими группами, большинство из которых связаны с монстром. Конечные простые группы были классифицированы на ряд серий, а также 26 спорадических групп. Из них 20 являются подгруппами или подгруппами группы монстров, именуемой «Счастливая семья», а 6 - нет и называются «париями ».
Некоторые из спорадических групп связаны с решеткой Пиявки, в первую очередь группа Конвея Co 1, которая является группой автоморфизмов решетки Пиявки, выделенной частями по его центру.
Есть только три конечномерные ассоциативные алгебры с делением над вещественными числами: действительные числа, комплексные числа и кватернионы. Единственная неассоциативная алгебра с делением - это алгебра октонионов. Октонионы связаны с множеством исключительных объектов. Например, исключительная формально вещественная йорданова алгебра - это алгебра Альберта из 3 на 3 самосопряженных матриц над октонионами.
простые группы Ли образуют ряд серий (классических групп Ли ), помеченных A, B, C и D. Кроме того, существуют исключительные группы G2 (группа автоморфизмов октонионов), F4, E6, E7, E8. Эти последние четыре группы можно рассматривать как группы симметрии проективных плоскостей над O, C⊗O, H⊗Oи O⊗O, соответственно, где O - октонионы, а тензорные произведения - над вещественными числами.
Классификация групп Ли соответствует классификации корневых систем, и, таким образом, исключительные группы Ли соответствуют исключительным системам корней и исключительным диаграммам Дынкина.
Есть несколько исключительных объектов с суперсимметрией. Классификация супералгебр по Кацу и Тьерри-Мигу показывает, что супералгебры Ли G (3) в 31 измерении и F (4) в 40 измерениях и йордановы супералгебры K3и K10являются примерами исключительных объектов.
Вплоть до изометрии существует только одна четная унимодулярная решетка в 15 или менее измерениях - E8решетка. До измерения 24 существует только одна четная унимодулярная решетка без корней, решетка Пиявки. Три из спорадических простых групп были обнаружены Конвеем при исследовании группы автоморфизмов решетки Пиявки. Например, Co1 - это сама группа автоморфизмов по модулю ± 1. Группы Co2 и Co3, а также ряд других спорадических групп возникают как стабилизаторы различных подмножеств решетки Пиявки.
Некоторые коды также выделяются как исключительные объекты, в частности совершенный двоичный код Голея, который тесно связан с решеткой Пиявки. Группа Матье 
Исключительный блок design - это система Штейнера S (5,8,24), группа автоморфизмов которой является спорадической простой группой Матье
Кодовые слова расширенного двоичного кода Голея имеют длину 24 бита и веса 0, 8, 12, 16 или 24. Этот код может исправить до трех ошибок. Таким образом, каждое 24-битовое слово с весом 5 может быть исправлено до кодового слова с весом 8. Биты 24-битного слова можно рассматривать как определяющие возможные подмножества набора из 24 элементов. Таким образом, расширенный двоичный код Голея дает уникальное подмножество из 8 элементов для каждого подмножества из 5 элементов. Фактически, он определяет S (5,8,24).
Определенные семейства групп часто имеют определенную группу внешних автоморфизмов, но в отдельных случаях у них есть другие исключительные внешние автоморфизмы.
Среди семейств конечных простых групп единственный пример - автоморфизмы симметричной и знакопеременной групп : для 
Если вместо этого рассматривать 
Граф Тутта – Кокстера : симметрии этого графа являются автоморфизмами S 6. Исключительный автоморфизм соответствует замене цветов синей и красной вершин.
Симметрии диаграммы Дынкина D 4 соответствуют внешним автоморфизмам Spin (8) в тройственности.
Среди групп Ли, спин-группа 
Исключительная симметрия диаграммы
Инвариант Кервера - это инвариант (4k + 2) -мерного многообразия, который измеряет, можно ли хирургическим путем преобразовать это многообразие в сферу. Этот инвариант принимает значение 0, если многообразие можно преобразовать в сферу, и 1 в противном случае. Более конкретно, инвариант Кервера применяется к оснащенному многообразию, то есть к многообразию, снабженному вложением в евклидово пространство и тривиализацией нормальный комплект. Проблема инварианта Кервера - это проблема определения, в каких размерностях инвариант Кервера может быть отличным от нуля. Для дифференцируемых многообразий это может происходить в размерностях 2, 6, 14, 30, 62 и, возможно, 126, и ни в каких других измерениях. Последний случай размерности 126 остается открытым. Эти пять или шесть оснащенных классов кобордизмов многообразий, имеющих инвариант Кервера 1, являются исключительными объектами, связанными с экзотическими сферами. Первые три случая связаны с комплексными числами, кватернионами и октонионами соответственно: многообразие с инвариантом Кервера 1 может быть построено как произведение двух сфер, причем его экзотическое оснащение определяется нормированной алгеброй с делением.
Что касается подобия размерностей, предполагается, что остальные случаи (размерности 30, 62 и 126) связаны с проективными плоскостями Розенфельда, которые определены над алгебрами, построенными из октонионов. В частности, было высказано предположение, что существует конструкция, которая берет эти проективные плоскости и дает многообразие с ненулевым инвариантом Кервера в двух измерениях ниже, но это остается неподтвержденным.
В квантовая теория информации, существуют структуры, известные как SIC-POVM или SIC, которые соответствуют максимальным наборам сложных равноугольных линий. Некоторые из известных SIC - в векторных пространствах 2 и 3 измерений, а также определенные решения в 8 измерениях - считаются исключительными объектами и называются «спорадическими SIC». Они отличаются от других известных SIC способами, которые связаны с их группами симметрии, теорией Галуа числовых значений их векторных компонентов и т. Д. Спорадические SIC в размерности 8 связаны с интегральными октонионами.
Между некоторыми, хотя и не всеми, из этих исключительных объектов наблюдались многочисленные связи. Чаще всего встречаются объекты, относящиеся к измерениям 8 и 24, при этом 24 = 8 · 3. Напротив, группы изгоев стоят особняком, как следует из названия..
К исключительным объектам, относящимся к числу 8, относятся следующие.
Аналогично, исключительные объекты, связанные с числом 24, включают следующее.
Эти объекты связаны с различными другими явлениями в математике, которые могут считаться неожиданными, но сами по себе не «исключительными». Например, в алгебраической топологии 8-кратная действительная периодичность Ботта может рассматриваться как исходящая от октонионов. В теории модульных форм 24-мерный характер решетки Пиявки лежит в основе наличия 24 в формулах для эта-функции Дедекинда и модульного дискриминанта, связь которой углубляется Monstrous Moonshine, разработкой, которая связала модульные функции с группой Monster.
В теории струн и В теории суперструн мы часто обнаруживаем, что отдельные измерения выделяются в результате исключительных алгебраических явлений. Например, теория бозонных струн требует пространства-времени размерности 26, что напрямую связано с наличием 24 в функции эта-функции Дедекинда. Точно так же возможные измерения супергравитации связаны с размерами алгебр с делением.
Многие из исключительных объектов в математике и физике оказались связаны друг с другом. Такие разработки, как гипотезы о чудовищном самогоне, показывают, как, например, группа монстров связана с теорией струн. Теория модульных форм показывает, как алгебра E 8 связана с группой Monster. (На самом деле, задолго до доказательства гипотезы о чудовищном самогоне была обнаружена эллиптическая j-функция для кодирования представлений E 8.) Другие интересные связи включают то, как Решетка пиявки через код Голея связана с матрицей смежности додекаэдра (еще один исключительный объект). Ниже представлена карта разума, показывающая, как связаны некоторые из исключительных объектов математики и математической физики.
Эти связи можно частично объяснить, если рассматривать алгебры как башню из решетчатых алгебр вершинных операторов. Так получилось, что вершинные алгебры внизу настолько просты, что изоморфны знакомым невершинным алгебрам. Таким образом, связи можно рассматривать просто как следствие того, что одни решетки являются подрешетками других.
Иордановы супералгебры - это параллельный набор исключительных объектов с суперсимметрией. Это супералгебры Ли, связанные с лоренцевыми решетками. Этот предмет менее изучен, и связи между объектами менее четко установлены. Существуют новые гипотезы, параллельные гипотезам о чудовищном самогоне для этих суперобъектов, включая различные спорадические группы.
«Исключительный» объект - это зарезервировано для объектов, которые являются необычными, то есть редкими, исключением, а не для неожиданных или нестандартных объектов. Эти неожиданные, но типичные (или общие) явления обычно называются патологическими, например нигде не дифференцируемыми функциями, или «экзотическими», как в экзотических сферах - существуют экзотические сферы сколь угодно высокой размерности (не только конечный набор исключений), а во многих измерениях большинство (дифференциальные структуры на) сфер являются экзотическими.
Исключительные объекты следует отличать от экстремальных объектов: те, которые входят в семейство и являются наиболее экстремальным примером по некоторым параметрам, представляют интерес, но не являются необычными в смысле исключительных объектов находятся. Например, золотое сечение φ имеет простейшее приближение непрерывной дроби, и, соответственно, его наиболее трудно аппроксимировать рациональными числами ; однако это лишь одно из бесконечного множества таких квадратичных чисел (цепных дробей).
Аналогично, (2,3,7) треугольник Шварца является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца, а соответствующая группа треугольников (2,3,7) является представляет особый интерес, будучи универсальной группой Гурвица, и, таким образом, ассоциирован с кривыми Гурвица, максимально симметричными алгебраическими кривыми. Однако он попадает в семейство таких треугольников ((2,4,7), (2,3,8), (3,3,7) и т. Д.), И хотя он самый маленький, он не является исключительным или непохожим на другие.
