Войти
Дэвид Гильберт (; Немецкий: ; 23 января 1862 г. - 14 февраля 1943 г.) был немецким математиком и одним из самых влиятельных и универсальных математиков XIX и начала XX веков. Гильберт открыл и развил широкий спектр фундаментальных идей во многих областях, включая теорию инвариантов, вариационное исчисление, коммутативную алгебру, теорию алгебраических чисел, основы геометрии, спектральная теория операторов и ее приложения к интегральным уравнениям, математической физике и основам математики (особенно теории доказательств).
Гильберт принял и горячо отстаивал теорию множеств Георга Кантора и трансфинитные числа. Знаменитым примером его лидерства в математике является его презентация в 1900 году сборника задач, которые задали курс для большей части математических исследований 20-го века.
Гильберт и его ученики внесли значительный вклад в установление строгости и разработали важные инструменты, используемые в современной математической физике. Гильберт известен как один из основоположников теории доказательств и математической логики.
Гильберт, первый из двух детей и единственный сын Отто и Марии Терезы (Эрдтманн) Гильберта, родился в провинции Пруссии, Прусском королевстве, либо в Кенигсберг (согласно собственному утверждению Гильберта) или в Велау (известном с 1946 г. как Знаменск ) недалеко от Кенигсберга, где работал его отец на момент его рождения.
В конце 1872 года Гильберт поступил во Фридрихсколлег гимназию (Collegium fridericianum, ту же школу, что и Иммануил Кант посещал занятия 140 лет назад); но после тяжелого периода он перешел в (конец 1879 г.) и окончил (начало 1880 г.) более ориентированную на науку гимназию Вильгельма. По окончании учебы осенью 1880 года Гильберт поступил в Кенигсбергский университет, «Альбертину». В начале 1882 года Герман Минковский (на два года моложе Гильберта, а также уроженец Кенигсберга, но уехал в Берлин на три семестра) вернулся в Кенигсберг и поступил в университет. Гильберт на протяжении всей жизни дружил с застенчивым, одаренным Минковски.
В 1884 году Адольф Гурвиц прибыл из Геттингена как экстраординарный (т.е., доцент). Между ними начался интенсивный и плодотворный научный обмен, и в особенности Минковский и Гильберт в разное время в своей научной карьере оказывали взаимное влияние друг на друга. Гильберт получил докторскую степень в 1885 году, когда защитил диссертацию, написанную под именем Фердинанда фон Линдеманна, под названием Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen («Об инвариантных свойствах особых двоичных форм, в частности сферические гармонические функции »).
Гильберт оставался в Кенигсбергском университете в качестве приват-доцента (старшего преподавателя) с 1886 по 1895 год. В 1895 году в результате вмешательства от его имени Феликса Клейна, он получил должность профессора математики в Геттингенском университете. В годы правления Клейна и Гильберта Геттинген стал выдающимся учреждением в математическом мире. Он оставался там до конца своей жизни.
Математический институт в Геттингене. Его новое здание, построенное на средства из Фонда Рокфеллера, было открыто Гильбертом и Курантом в 1930 году. Среди учеников Гильберта были Герман Вейль, чемпион по шахматам Эмануэль Ласкер, Эрнст Цермело и Карл Густав Хемпель. Джон фон Нейман был его помощником. В Геттингенском университете Гильберт был окружен кругом некоторых из самых важных математиков 20-го века, таких как Эмми Нётер и Алонзо Черч.
Среди его 69 докторов наук.. В Геттингене было много студентов, впоследствии ставших известными математиками, в том числе (с датой защиты диссертации): Отто Блюменталь (1898), Феликс Бернштейн (1901), Герман Вейль (1908), Ричард Курант (1910), Эрих Гекке (1910), Хьюго Штайнхаус (1911) и Вильгельм Аккерманн (1925). Между 1902 и 1939 годами Гильберт был редактором Mathematische Annalen, ведущего математического журнала того времени.
«Хорошо, у него не хватило воображения, чтобы стать математиком».
— Ответ Гильберта, узнав, что один из его учеников бросил учебу, чтобы изучать поэзию.Примерно в 1925 году, У Гильберта развилась злокачественная анемия - неизлечимый витаминный дефицит, основным симптомом которого является истощение; его помощник Юджин Вигнер описал его как подверженного «огромной усталости» и того, что он «казался довольно старым», и что даже после того, как в конечном итоге ему поставили диагноз и вылечили, он «вряд ли был ученым после 1925 года, и уж точно не Гильберт ».
Гильберт дожил до чистки нацистов многих видных преподавателей в Геттингенском университете в 1933 году. Среди вытесненных были Герман Вейл (занявший кресло Гильберта, когда он вышел на пенсию в 1930 году), Эмми Нётер и Эдмунд Ландау. Человек, который должен был покинуть Германию, Пол Бернейс, сотрудничал с Гильбертом в математической логике и в соавторстве с ним написал важную книгу Grundlagen der Mathematik (которая в итоге вышла в двух томах, в 1934 и 1939 гг.). Это было продолжением книги Гильберта - Аккермана Принципы математической логики 1928 года. Преемником Германа Вейля стал Гельмут Хассе.
Примерно через год Гильберт посетил банкет и сидел рядом с новым министром образования, Бернхардом Рустом. Руст спросил, действительно ли «Математический институт так сильно пострадал из-за отъезда евреев». Гильберт ответил: «Страдал? Его больше не существует, не так ли!»
Могила Гильберта:. Wir müssen wissen. Wir werden wissen К тому времени, как Hilbert умер в 1943 году, нацисты почти полностью переоборудовали университет, так как многие из бывших преподавателей были либо евреями, либо женаты на евреях. На похоронах Гильберта присутствовало менее дюжины человек, из которых только двое были академиками, среди них Арнольд Зоммерфельд, физик-теоретик, также уроженец Кенигсберга. Известие о его смерти стало известно всему миру только через шесть месяцев после его смерти.
Эпитафия на его надгробии в Геттингене состоит из знаменитых строк, которые он произнес в заключение своего пенсионного обращения к Обществу немецких ученых. и врачи 8 сентября 1930 г. Эти слова были даны в ответ на латинское изречение: «Ignoramus et ignorabimus » или «Мы не знаем, мы не узнаем»:
По-английски:
Накануне Гильберт произнес эти фразы на ежегодном собрании Общества 1930 года. немецких ученых и врачей Курт Гёдель - в дискуссии за круглым столом во время конференции по эпистемологии, проводимой совместно с собраниями Общества, - предварительно объявил первое выражение своей теоремы о неполноте Теоремы Гёделя о неполноте показывают, что даже элементарные аксиоматические системы, такие как арифметика Пеано, либо сами по себе торгуют или содержат логические предложения, которые невозможно доказать или опровергнуть.
Кете Гильберт с Константином Каратеодори, до 1932 года В 1892 году Гильберт женился на Кете Йерош (1864–1945) из немецкой еврейской семьи, «дочери одного Кенигсбергский купец, откровенная барышня с независимостью ума, не уступающей его собственному ». В Кенигсберге у них родился единственный ребенок, Франц Гильберт (1893–1969).
Сын Гильберта Франц всю жизнь страдал от невыявленного психического заболевания. Его низкий интеллект был ужасным разочарованием для его отца, и это несчастье стало проблемой для математиков и студентов в Геттингене.
Гильберт считал математика Германа Минковского своим «лучшим и лучшим человеком». самый верный друг ".
Гильберт крестился и воспитывал кальвиниста в прусской евангелической церкви. Позже он оставил Церковь и стал агностиком. Он также утверждал, что математическая истина не зависит от существования Бога или других априорных предположений. Когда Галилео Галилей подвергся критике за то, что он не отстаивал свои убеждения по гелиоцентрической теории, Гильберт возразил: «Но [Галилей] не был идиотом. Только идиот мог поверить в то, что научная наука истина нуждается в мученичестве; это может быть необходимо в религии, но научные результаты проявят себя в должное время ».
Первая работа Гильберта по инвариантным функциям привела его к демонстрации в 1888 году. его знаменитой теоремы конечности. Двадцатью годами ранее Пол Гордан продемонстрировал теорему о конечности генераторов для двоичных форм, используя сложный вычислительный подход. Попытки обобщить его метод на функции с более чем двумя переменными потерпели неудачу из-за огромной сложности вычислений. Чтобы решить то, что в некоторых кругах стало известно как проблема Гордана, Гильберт понял, что необходимо пойти совершенно другим путем. В результате он продемонстрировал базисную теорему Гильберта, показав существование конечного набора генераторов для инвариантов квантов в любом количестве переменных, но в абстрактной форме. То есть, демонстрируя существование такого набора, он не был конструктивным доказательством - он не отображал «объект» - а скорее был доказательством существования и полагался об использовании закона исключенного среднего в бесконечном расширении.
Гильберт отправил свои результаты в Mathematische Annalen. Гордан, эксперт по теории инвариантов в «Mathematische Annalen», не смог оценить революционный характер теоремы Гильберта и отклонил статью, критикуя изложение, поскольку оно было недостаточно полным. Его комментарий был:
Кляйн, с другой стороны, признал важность работы и гарантировал, что она будет опубликована без каких-либо изменений. Вдохновленный Кляйном, Гильберт расширил свой метод во второй статье, предоставив оценки максимальной степени минимального набора генераторов, и снова отправил его в Annalen. Прочитав рукопись, Кляйн написал ему:
Позже, после того, как полезность метода Гильберта была общепризнана, Гордан Сам сказал бы:
Несмотря на все его успехи, характер его доказательства создал больше проблем, чем Гильберт мог представить. Хотя Кронекер признал это, Гильберт позже ответил бы на аналогичную критику других о том, что «многие различные конструкции объединены в одну фундаментальную идею» - другими словами (цитируя Рейда): «Посредством доказательства существования Гильберт удалось получить постройку »; «доказательство» (т.е. символы на странице) было «объектом». Не все были убеждены. В то время как Кронекер вскоре умрет, его конструктивистская философия продолжится в молодом Брауэре и его развивающейся интуиционистской «школе». Мучение Гильберта в последние годы его жизни. Действительно, Гильберт потерял своего «одаренного ученика» Вейля из-за интуиционизма - «Гильберта беспокоило увлечение его бывшего ученика идеями Брауэра, которое пробудило в Гильберте память о Кронекере». Брауэр, интуиционист, особенно возражал против использования закона исключенного среднего над бесконечными множествами (как его использовал Гильберт). Гильберт ответил:
Текст Grundlagen der Geometrie (тр.: Основы геометрии), опубликованный Гильбертом в 1899 году, предлагает формальный набор, называемый аксиомами Гильберта, заменяющий традиционные аксиомы Евклида. Они избегают слабых мест, выявленных в работах Евклида, чьи работы в то время все еще использовались как учебники. Трудно определить аксиомы, используемые Гильбертом, без ссылки на историю публикации Grundlagen, поскольку Гильберт несколько раз менял и модифицировал их. За оригинальной монографией вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, санкционированный Гильбертом, был сделан E.J. Таунсенд и авторское право 1902 года. Этот перевод включает изменения, сделанные во французском переводе, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и появилось несколько изданий на немецком языке. 7-е издание было последним, появившимся при жизни Гильберта. За 7-м изданием последовали новые, но основной текст практически не редактировался.
Подход Гильберта ознаменовал переход к современному аксиоматическому методу. В этом отношении Гильберта предвосхитили работы Морица Паша 1882 года. Аксиомы не воспринимаются как самоочевидные истины. Геометрия может относиться к вещам, о которых у нас есть мощная интуиция, но нет необходимости приписывать какое-либо явное значение неопределенным концепциям. Элементы, такие как точка, линия, плоскость и другие, могут быть заменены, как, как сообщается, Гильберт сказал Schoenflies и Kötter, столами, стульями, стаканами пива и другими подобными предметами. Обсуждаются их определенные отношения.
Гильберт сначала перечисляет неопределенные понятия: точка, линия, плоскость, лежание (отношение между точками и линиями, точки и плоскости, а также прямые и плоскости), промежуточность, соответствие пар точек (отрезки ) и совпадение углов углов. Аксиомы объединяют как плоскую геометрию, так и твердую геометрию Евклида в единую систему.
Гильберт выдвинул наиболее влиятельный список из 23 нерешенных проблем на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. обычно считается наиболее успешным и глубоко продуманным сборником открытых задач, когда-либо созданным отдельным математиком.
Переработав основы классической геометрии, Гильберт мог бы экстраполировать на остальную математику. Однако его подход отличался от более позднего «фундаменталистского» Рассела-Уайтхеда или «энциклопедиста» Николя Бурбаки и от его современника Джузеппе Пеано. Математическое сообщество в целом могло участвовать в решении проблем, которые он определил как важнейшие аспекты областей математики, которые он считал ключевыми.
Задача была запущена как доклад «Проблемы математики», представленный в ходе Второго Международного конгресса математиков в Париже. Введение в речь, которую произнес Гильберт, гласило:
Он представил на Конгрессе менее половины проблем, которые были опубликованы в актах Конгресса. В последующей публикации он расширил панораму и пришел к формулировке ныне канонических 23 проблем Гильберта. См. Также Двадцать четвертая проблема Гильберта. Полный текст важен, поскольку толкование вопросов все еще может стать предметом неизбежных дебатов, когда бы ни спросили, сколько из них было решено.
Некоторые из них были решены в короткие сроки. Другие обсуждались на протяжении всего 20 века, а некоторые из них теперь считаются неприемлемо открытыми, чтобы прийти к закрытию. Некоторые из них даже по сей день остаются проблемой для математиков.
В отчете, ставшем стандартом к середине века, набор задач Гильберта также был своего рода манифестом, открывшим путь для развития формалиста школа, одна из трех основных школ математики 20 века. Согласно формалисту, математика - это манипулирование символами в соответствии с согласованными формальными правилами. Следовательно, это автономная деятельность мысли. Однако есть основания сомневаться в том, что собственные взгляды Гильберта были упрощенно-формалистическими в этом смысле.
В 1920 году он открыто предложил исследовательский проект (в метаматематике, как его тогда называли), который стал известен как программа Гильберта. Он хотел, чтобы математика строилась на прочном и полном логическом основании. Он считал, что в принципе это можно сделать, показав, что:
У него, похоже, были как технические, так и философские причины для формулирования этого предложения. Он подтвердил его неприязнь к тому, что стало известно как ignorabimus, все еще актуальным в его время в немецкой мысли, и в этой формулировке восходит к Эмилю дю Буа-Реймону.
Эта программа до сих пор узнаваем в самой популярной философии математики, где ее обычно называют формализмом. Например, группа Бурбаки приняла его разбавленную и выборочную версию как соответствующую требованиям их двойных проектов: (а) написания энциклопедических основополагающих работ и (б) поддержки аксиоматики . метод как инструмент исследования. Этот подход оказался успешным и оказал влияние на работы Гильберта в области алгебры и функционального анализа, но не смог так же затронуть его интересы в области физики и логики.
Гильберт писал в 1919 году:
Гильберт опубликовал свои взгляды на основы математики в двухтомном труде Grundlagen der Mathematik.
Гильберт и математики, которые работали с ним на его предприятии, были привержены проекту. Его попытка поддержать аксиоматизированную математику определенными принципами, которые могли бы устранить теоретические неопределенности, закончилась неудачей.
Гёдель продемонстрировал, что любая непротиворечивая формальная система, которая была достаточно всеобъемлющей, чтобы включать по крайней мере арифметику, не может продемонстрировать свою полноту с помощью собственных аксиом. В 1931 году его теорема о неполноте показала, что великий план Гильберта был невозможен, как было сказано. Второй пункт нельзя каким-либо разумным образом сочетать с первым пунктом, пока система аксиом действительно финитна.
Тем не менее, последующие достижения теории доказательств по крайней мере прояснили последовательность поскольку это относится к теориям, имеющим центральное значение для математиков. Работа Гильберта положила начало логике этого курса разъяснения; потребность понять работу Гёделя затем привела к развитию теории рекурсии, а затем математической логики как автономной дисциплины в 1930-х годах. Основа для более поздней теоретической информатики, в работах Алонзо Черча и Алана Тьюринга, также выросла непосредственно из этих «дебатов».
Примерно в 1909 году Гильберт посвятил себя изучению дифференциальных и интегральных уравнений ; его работа имела прямые последствия для важных частей современного функционального анализа. Для проведения этих исследований Гильберт ввел понятие бесконечномерного евклидова пространства, позже названного гильбертовым пространством. Его работа в этой части анализа послужила основой для важных вкладов в математику физики в следующие два десятилетия, хотя и в неожиданном направлении. Позже Стефан Банах расширил эту концепцию, определив банаховы пространства. Гильбертовы пространства - важный класс объектов в области функционального анализа, особенно спектральной теории самосопряженных линейных операторов, которая выросла вокруг него в течение 20 века.
До 1912 года Гильберт был почти исключительно «чистым» математиком. Планируя поездку из Бонна, где он был погружен в изучение физики, его коллега-математик и друг Герман Минковский пошутил, что ему пришлось провести 10 дней в карантине, прежде чем он сможет посетить Гильберта. Фактически, Минковский, кажется, ответственен за большинство исследований Гильберта по физике до 1912 года, включая их совместный семинар по этому предмету в 1905 году.
В 1912 году, через три года после смерти своего друга, Гильберт почти полностью сосредоточился на этой теме. исключительно. Он устроил себе «репетитора по физике». Он начал изучать кинетическую теорию газа и перешел к элементарной теории излучения и молекулярной теории вещества. Даже после начала войны в 1914 году он продолжал семинары и занятия, где внимательно следили за работами Альберта Эйнштейна и других.
К 1907 году Эйнштейн сформулировал основы теории гравитации, но затем в течение почти 8 лет боролся с запутанной проблемой - привести теорию в окончательную форму. К началу лета 1915 года интерес Гильберта к физике сосредоточился на общей теории относительности, и он пригласил Эйнштейна в Геттинген, чтобы прочесть неделю лекций по этой теме. Эйнштейна встретили в Геттингене с энтузиазмом. Летом Эйнштейн узнал, что Гильберт также работал над уравнениями поля, и удвоил свои усилия. В ноябре 1915 года Эйнштейн опубликовал несколько статей, кульминацией которых стали «Полевые уравнения гравитации» (см. уравнения поля Эйнштейна ). Почти одновременно Дэвид Гильберт опубликовал «Основы физики», аксиоматический вывод уравнений поля (см. действие Эйнштейна – Гильберта ). Гильберт полностью доверял Эйнштейну как создателю теории, и ни один публичный спор о приоритете уравнений поля никогда не возникал между этими двумя людьми в течение их жизни. См. Больше в приоритете.
Кроме того, работа Гильберта предвосхитила и помогла нескольким достижениям в математической формулировке квантовой механики. Его работа была ключевым аспектом работы Германа Вейля и Джона фон Неймана над математической эквивалентностью матричной механики Вернера Гейзенберга и волновое уравнение Эрвина Шредингера и его тезка гильбертово пространство играет важную роль в квантовой теории. В 1926 году фон Нейман показал, что, если бы квантовые состояния понимались как векторы в гильбертовом пространстве, они соответствовали бы теории волновых функций Шредингера и матрицам Гейзенберга.
На протяжении всего этого погружения в физику Гильберт работал над тем, чтобы придать строгость математика физики. Хотя физики сильно зависят от высшей математики, они, как правило, «небрежны» с ней. Для «чистого» математика вроде Гильберта это было «уродливо» и трудно понять. Когда он начал понимать физику и то, как физики использовали математику, он разработал последовательную математическую теорию того, что он обнаружил, в первую очередь в области интегральных уравнений. Когда его коллега Ричард Курант написал ставший уже классическим Methoden der Mathematischen Physik (Методы математической физики), включающий некоторые идеи Гильберта, он добавил имя Гильберта как автора, хотя Гильберт напрямую не участвовал к письму. Гильберт сказал: «Физика слишком сложна для физиков», имея в виду, что необходимая математика обычно им недоступна; книга Куранта-Гильберта облегчила им задачу.
Гильберт объединил область теории алгебраических чисел со своим трактатом 1897 года Zahlbericht (буквально «отчет о числах»). Он также решил важную проблему теории чисел , сформулированную Варингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой о конечности, он использовал доказательство существования, которое показывает, что для проблемы должны быть решения, а не предоставляет механизм для получения ответов. Тогда у него было немного больше, чтобы опубликовать по этой теме; но появление модульных форм Гильберта в диссертации студента означает, что его имя в дальнейшем связано с основной областью.
Он высказал ряд гипотез по теории поля классов. Эти концепции оказали большое влияние, и его собственный вклад продолжает жить в именах поля классов Гильберта и символа Гильберта в теории поля локальных классов. Результаты были в основном подтверждены к 1930 году, после работы Тейджи Такаги.
Гильберт не работал в основных областях аналитической теории чисел, но его имя стало известно благодаря Гильберту– Гипотеза Полиа по анекдотическим причинам.
Его собрание сочинений (Gesammelte Abhandlungen) издавалось несколько раз. Первоначальные версии его статей содержали «множество технических ошибок разной степени»; когда сборник был впервые опубликован, ошибки были исправлены, и было обнаружено, что это можно сделать без значительных изменений в формулировках теорем, за одним исключением - заявленным доказательством гипотезы континуума. Тем не менее, ошибки были настолько многочисленными и значительными, что Ольге Таусски-Тодд потребовалось три года, чтобы внести исправления.
Портал биографии 
Философский портал translated from the 10th German edition
An accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.
 | Wikisource has original works written by or about:. David Hilbert |
 | Wikimedia Commons has media related to David Hilbert. |
 | Wikiquote has quotations related to: David Hilbert |
Дэвид Гильберт (1912)