Войти
В фундаментальном противоречии в математике двадцатого века, L. Э. Дж. Брауэр, сторонник конструктивистской школы интуиционизма, выступал против Дэвида Гильберта, сторонника формализма. Дебаты касались фундаментальных вопросов о непротиворечивости аксиом и роли семантики и синтаксиса в математике. Большая часть разногласий произошла, когда оба были связаны с престижным журналом Mathematische Annalen, где Гильберт был главным редактором, а Брауэр - членом его редакционной коллегии.
Предпосылки для Противоречие возникло в связи с аксиоматизацией геометрии Дэвидом Гильбертом в конце 1890-х годов. В своей биографии Курт Гёдель, Джон В. Доусон-младший резюмирует результат следующим образом: «В порой ожесточенных спорах предметом обсуждения было отношение математики к логике, а также фундаментальные вопросы методологии, такие как то, как должны быть истолкованы кванторы, в какой степени, если вообще, были оправданы неконструктивные методы, и существуют ли важные связи между синтаксическими и семантическими понятиями ".
Доусон отмечает, что в дебатах приняли участие «сторонники трех основных философских позиций» - логики (Готтлоб Фреге и Бертран Рассел ), формалисты (Дэвид Гильберт и его «школа» сотрудников) и конструктивистов (Анри Пуанкаре и Герман Вейль ); внутри этой конструктивистской школы был радикальный самоназванный «интуиционист» Л.Э.Дж. Брауэр.
Брауэр фактически основал математическую философию интуиционизма как вызов господствовавшему в то время формализму Дэвида Гильберта и его сотрудники Пол Бернейс, Вильгельм Акерманн, Джон фон Нейман и другие. Как разновидность конструктивной математики, интуиционизм по сути является философией основ математики. Иногда его довольно упрощенно характеризуют, говоря, что его приверженцы отказываются использовать закон исключенного третьего в математических рассуждениях.
В 1908 году: «... Брауэр в статье, озаглавленной« Ненадежность принципов логики », оспаривал веру в то, что правила классической логики, дошедшие до нас по существу от Аристотеля ( 384–322 гг. До н.э.) имеют абсолютную значимость, независимо от предмета, к которому они применяются ».
« После завершения своей диссертации (1907: см. Ван Дален) Брауэр принял сознательное решение временно сохранить свою скрытые спорные идеи и сосредоточиться на демонстрации своего математического мастерства »(Дэвис (2000), стр. 95); к 1910 г. он опубликовал ряд важных статей, в частности, теорему о неподвижной точке. Гильберт - формалист, с которым интуиционист Брауэр в конечном итоге провел годы в конфликте, - восхищался молодым человеком и помог ему получить регулярное академическое назначение (1912 г.) в Амстердамском университете. Именно тогда «Брауэр почувствовал себя вправе вернуться к своему революционному проекту, который он теперь называл интуиционизмом».
В конце 1920-х годов Брауэр стал участником публичного и унизительного спора с Гильбертом по поводу редакционной политики на Mathematische Annalen, в то время ведущий научный журнал. Он стал относительно изолированным; Разработкой интуиционизма в его истоках занялся его ученик Аренд Гейтинг.
Природа доказательства Гильберта теоремы о базисе (датируется 1888 годом)) оказался более противоречивым, чем Гильберт мог представить в то время. Хотя Кронекер и признал, Гильберт позже ответил бы на аналогичную критику других, что «многие различные конструкции объединены в одну фундаментальную идею» - другими словами (цитируя Рейда): «Посредством доказательства существования Гильберт смог получить строительство"; «доказательство» (т.е. символы на странице) было «объектом».
Не все были убеждены. В то время как Кронекер вскоре умрет, его конструктивистское знамя будет нести острая критика со стороны Пуанкаре, а затем с криком молодого Брауэра и его развивающегося интуиционистская «школа» - Вейль, в частности, сильно мучил Гильберта в его последние годы (Reid 1996, стр. 148–149). Действительно, Гильберт потерял своего «одаренного ученика» Вейля из-за интуиционизма: «Гильберт был обеспокоен увлечением своего бывшего ученика идеями Брауэра, которые пробудили в Гильберте память о Кронекере».
Брауэр, интуиционист, особенно возражал. к использованию закона исключенного среднего над бесконечными множествами (как это действительно использовал Гильберт). Гильберт ответил бы: «« Взять принцип исключенного среднего от математика... то же самое, что... запретить боксеру использовать свои кулаки ». «Возможная потеря, похоже, не беспокоила Вейля».
В той же статье - тексте обращения 1927 года - Гильберт ясно выражает себя. Сначала он пытается защитить свою аксиоматическую систему как имеющую «важное общефилософское значение». Для него утверждение «определенных правил» выражает «технику нашего мышления». Ничего не скрыто, никаких неявных предположений признаются: «в конце концов, это часть задачи науки - освободить нас от произвола, сантиментов и привычек и защитить нас от субъективизма, который... находит свою кульминацию в интуиционизме».
Но затем Гильберт подходит к сути - к запрету закона исключенного среднего (LoEM): «Самый резкий и страстный вызов интуиционизму - это вызов, который он бросает против законности принципа исключенного третьего.... »
Сомневаться в LoEM - когда он расширен на завершенную бесконечность - означал сомневаться в аксиоматике Гильберта. система, в частности его «логическая ε-аксиома». Убрать LoEM означало уничтожить «науку математику». Наконец, Гильберт выделяет одного человека - косвенно, а не по имени - в качестве причины его нынешнего бедствия: «... Меня удивляет, что математик усомнился в том, что принцип исключенного третьего строго действителен как способ вывода. Меня еще больше удивляет то, что, похоже, целое сообщество математиков, которые делают то же самое, сформировало себя таким образом. Меня больше всего удивляет тот факт, что даже в математических кругах сила внушения одного человека, каким бы сильным он ни была, и изобретательность, способны иметь самые невероятные и эксцентричные эффекты ».
Брауэр отвечает раздраженно с досадой:«... формализм не получил ничего, кроме благодеяний от интуиционизма, и может ожидать дальнейших благ. Поэтому формалистическая школа должна признают интуиционизм, вместо того, чтобы полемизировать с ним в насмешливом тоне, даже не соблюдая должного упоминания авторства ».
Однако «истина» в конечном итоге определяется, для некоторых математиков формализм Гильберта, казалось, избегал этого понятия. И, по крайней мере, в отношении его выбора аксиом можно утверждать, что он действительно избегает этого понятия. Фундаментальный вопрос: как выбрать «аксиомы»? Пока Гильберт не предложил свой формализм, аксиомы выбирались на «интуитивной» (экспериментальной) основе. Аристотелевская логика является хорошим примером: исходя из жизненного опыта, кажется «логичным», что объект дискурса либо имеет заявленное свойство (например, «Этот грузовик желтый»), либо не имеет этого свойства («Этот грузовик не желтый "), но не оба одновременно (Аристотелевский закон непротиворечия). Примитивная форма аксиомы индукции - другая: если предикат P (n) истинен для n = 0, и если для всех натуральных чисел n, если истинность P (n) означает, что P (n + 1) истинно, то P (n) верно для всех натуральных чисел n.
Аксиоматическая система Гильберта - его формализм - другая. Вначале он декларирует свои аксиомы. Но он не требует, чтобы выбор этих аксиом был основан на «здравом смысле», априорном знании (интуитивно полученном понимании или осознании, врожденном знании, рассматриваемом как «истина, не требующем каких-либо доказательств из опыта».) или наблюдательный опыт (эмпирические данные). Скорее, математик так же, как физик-теоретик, волен принимать любой (произвольный, абстрактный) набор аксиом, который они так выбирают. В самом деле, Вейль утверждает, что Гильберт «формализовал [редактировал] ее [классическую математику], тем самым превратив ее в принципе из системы интуитивных результатов в игру с формулами, которая происходит по фиксированным правилам». Итак, спрашивает Вейль, чем можно руководствоваться при выборе этих правил? «Что побуждает нас взять за основу именно ту систему аксиом, которую разработал Гильберт?». Вейль предлагает «последовательность - действительно необходимое, но недостаточное условие», но он не может ответить более полно, за исключением того, что отмечает, что «конструкция» Гильберта «произвольна и смелая». Наконец, он отмечает курсивом, что философский результат «конструкции» Гильберта будет следующим: «Если точка зрения Гильберта преобладает над интуиционизмом, что, как представляется, имеет место, то я вижу в этом решительное поражение философской позиции чистой феноменологии, которая, таким образом, оказывается недостаточной для понимания творческой науки даже в области познания, которая является наиболее первичной и наиболее открытой для доказательств - математикой ».
Другими словами: роль врожденных чувств и тенденции (интуиция) и наблюдательный опыт (эмпиризм) в выборе аксиом будут удалены, за исключением глобального смысла - «конструкция» лучше сработает, если подвергнуть испытанию: «только теоретическая система в целом... может быть столкнувшись с опытом ».
Кантор (1897) расширил интуитивное понятие« бесконечного »- одна ступня ставится за другой в никогда - конец марша к горизонту - к не Ион «завершенной бесконечности» - прибытие «до конца, оттуда» одним махом, и он символизировал это понятие одним знаком ℵ 0 (алеф-ноль). Брауэр считал, что принятие Гильбертом понятия «оптовая торговля» было «бездумным». Брауэр в своей работе (1927a) «Интуиционистские размышления о формализме» утверждает: «ВТОРОЕ ЗНАНИЕ Отказ от бездумного использования логического принципа исключенного третьего, а также признание, во-первых, того факта, что исследование вопроса« почему? упомянутый принцип оправдан и насколько он действителен, составляет существенный объект исследования в области основ математики, и, во-вторых, из того факта, что в интуитивной (содержательной) математике этот принцип действителен только для конечных систем. Отождествление принципа исключенного третьего с принципом разрешимости каждой математической проблемы ».
Это третье понимание относится к второй проблеме Гильберта и продолжающейся попытке Гильберта аксиоматизировать всю арифметику, и с помощью этой системы, чтобы открыть «доказательство непротиворечивости» для всей математики - подробнее см. ниже. Итак, в эту схватку (начатую Пуанкаре) Брауэр с головой погрузился с Вейлем в качестве подстраховки.
Их первая жалоба (Второе понимание Брауэра, см. Выше) возникла из-за расширения Гильбертом «Закона исключенного среднего» (и «двойного отрицания») Аристотеля - до сих пор ограниченного конечными областями аристотелевского дискурса - до бесконечных областей дискурса. В конце 1890-х годов Гильберт успешно аксиоматизировал геометрию. Затем он продолжил успешно (по крайней мере, так думал Гильберт) использовать вдохновленное Канторианством понятие завершенной бесконечности для получения элегантных, радикально сокращенных доказательств в анализе (1896 г.) По его собственным словам защиты Гильберт считал себя вполне оправданным в том, что он сделал (в дальнейшем он называет этот тип доказательства доказательством существования ): «... Я сформулировал общую теорему (1896) об алгебраических формах, которое является чистым утверждением существования и по самой своей природе не может быть преобразовано в утверждение, предполагающее конструктивность. Чисто с помощью этой теоремы существования я избежал длинных и неясных аргументов Вейерштрасса и очень сложных вычислений Дедекинда, и, кроме того, я считаю, что только мое доказательство раскрывает внутреннюю причину справедливости утверждений, сформулированных Гауссом и сформулированных Вейерштрасс и Дедекинд ».« Ценность чистых доказательств существования состоит именно в том, что они устраняют индивидуальную конструкцию и что многие различные конструкции объединены в одну фундаментальную идею, так что только то, что существенно для доказательства, выделяется ясно; краткость и экономия мысли являются смыслом существования доказательств ».
От чего Гильберту пришлось отказаться, так это от« конструктивности »- его доказательства не производили бы« объекты »(за исключением самих доказательств - т.е. символа строки), но скорее они вызовут противоречия в предпосылках и должны будут действовать посредством reductio ad absurdum, распространенного на бесконечность.
Брауэр считал эту потерю конструктивности плохой, но хуже применительно к обобщенному «доказательству непротиворечивости» для всей математики. В своем обращении 1900 года Гильберт указал, что это вторая из его 23 задач для двадцатого века. века, поиски обобщенного доказательства (процедуры определения) непротиворечивости аксиом арифметики. Гильберт, в отличие от Брауэра, считал, что формализованное понятие математической индукции может быть применено в поисках обобщенного доказательства непротиворечивости.
Заключение Эффект этого чудесного доказательства / процедуры P будет следующим: для любой произвольной математической теоремы T (формула, процедура, доказательство), помещенной в P (таким образом, P (T)), включая сам P (таким образом, P (P)), P определит окончательно, была ли теорема T (и P) доказуемой, то есть выводимой из ее посылок, аксиом арифметики. Таким образом, для всех T, T будет доказуемо с помощью P или не доказуемо с помощью P и при всех условиях (т.е.для любого присвоения числовых значений переменным T). Это прекрасная иллюстрация использования закона исключенного среднего, распространенного на бесконечность, фактически расширенного дважды - во-первых, для всех теорем (формул, процедур, доказательств), а во-вторых, для данной теоремы, для всех присвоений ее переменных. На этот момент, упущенный Гильбертом, сначала указал ему Пуанкаре, а затем Вейль в своих комментариях 1927 года к лекции Гильберта: «В конце концов, Гильберт тоже не просто озабочен, скажем, 0 'или 0', но с любым 0 '', с произвольно конкретно заданным числом. Здесь можно подчеркнуть «конкретно данное»; с другой стороны, столь же важно, чтобы содержательные аргументы в теории доказательств проводились в гипотетической общности при любом доказательстве, на любое числительное... Мне кажется, что теория доказательства Гильберта показывает, что Пуанкаре был полностью прав в этом вопросе ".
В своем обсуждении, предшествовавшем комментариям Вейля 1927 года, ван Хейенорт объясняет, что Гильберт настаивал на том, что он имел обратился к вопросу о том, «приводит ли формула, взятая в качестве аксиомы, к противоречию, вопрос в том, можно ли мне представить доказательство, ведущее к противоречию».
В случае успеха поиск приведет к замечательному результату: при таком обобщенном доказательстве вся математика может быть заменена автоматом, состоящим из двух частей: (i) генератор формул для создания формул одну за другой, за которым следует (ii) обобщенное доказательство непротиворечивости, которое дало бы «Да - действительно (т.е. доказуемо)» или «Нет - недействительно (не доказуемо)» для каждой формулы, представленной в это (и всевозможное присвоение чисел его переменным). Другими словами: математика прекратит свое творчество и превратится в машину.
В комментарии ван Хейеноорта, предшествовавшем работе Вейля (1927) «Комментарии к второй лекции Гильберта об основах математики», Пуанкаре указывает Гильберту (1905), что существует два типа «индукции» (1) интуитивная животная логика. -следующая версия, которая дает нам ощущение, что всегда есть другой f ootstep после последнего шага, и (2) формальная версия - например, Версия Пеано: цепочка символов. Группа из трех человек - Пуанкаре, Вейль и Брауэр - утверждала, что Гильберт молчаливо и необоснованно принял в качестве одной из своих предпосылок формальную индукцию (строку Kleensymbol). Пуанкаре (1905) утверждал, что, поступив так, рассуждения Гильберта стали круговыми. Согласие Вейля (1927) и полемика Брауэра в конечном итоге вынудили Гильберта и его учеников Гербрана, Бернейса и Аккермана пересмотреть свое понятие «индукции» - отказаться от предположения о «совокупности всех объектов x бесконечного набора» и (интуитивно) Предположим, что общие аргументы повторяются один за другим, до бесконечности (van Heijenoort, p. 481, сноска a). Фактически это так называемая «схема индукции», используемая в понятии «рекурсия», которое все еще находилось в разработке в то время (ср. Van Heijenoort, стр. 493) - эта схема была приемлема для интуиционистов, потому что она была выведена от «интуиции».
Чтобы продолжить это различие, Клини 1952/1977 различает три типа математической индукции - (1) формальное правило индукции ( Аксиома Пеано, пример см. В следующем разделе), (2) индуктивное определение (примеры: подсчет, «Доказательство по индукции») и (3) определение по индукции (рекурсивное определение «теоретико-числовых функций или предикатов). Что касается (3), Клини рассматривает примитивно-рекурсивные функции :
» как интуитивную теорию определенного класса теоретико-числовых функций и предикатов... В теории, как и в метаматематике, мы будем использовать только финитарные методы.
Ряд натуральных чисел 0, 0 ', 0' ', 0' '',... или 0, 1, 2, 3,... мы описали как класс объектов генерируется из одного примитивного объекта 0 с помощью одной примитивной операции 'или +1. Это составляет индуктивное определение класса натуральных чисел.
Доказательство по индукции... непосредственно соответствует этому способу генерации чисел. Определение по индукции (не путать с «индуктивным определением»...) - это аналогичный метод определения теоретико-числовой функции φ (y) или предиката P (y). [Теоретико-числовая функция или предикат принимает в качестве переменных только выборку из натуральных чисел и в свою очередь производит только одно натуральное число]. Сначала задается φ (0) или P (0) (значение функции или предиката для 0 в качестве аргумента). Тогда для любого натурального числа y φ (y ') или P (y') (следующее значение после y) выражается через y и φ (y) или P (y) (значение y).... Две части определения позволяют нам, поскольку мы генерируем любое натуральное число y, одновременно определять значение φ (y) или P (y) ". (Стр. 217)
Настойчивость Брауэра на «конструктивности» в поисках «доказательства непротиворечивости арифметики» привела к чувствительности к проблеме, что отражено в работах Финслера и Гёделя. В конечном итоге Гёдель " пронумеровать "свои формулы; затем Гедель использовал примитивную рекурсию (и ее воплощение в интуитивной конструктивной форме индукции - то есть подсчет и пошаговое вычисление), а не строку символов, которые представляют формальную индукцию. Гедель был так чувствителен к этому Дело в том, что в 1931 году он приложил большие усилия, чтобы указать, что его теорема VI (так называемая «Первая теорема о неполноте») «конструктивна; то есть следующее было доказано интуиционистски неоспоримым образом...». Затем он демонстрирует то, что, по его мнению, является конструктивным характером своего «обобщения». n формула "17 Gen r. Сноска 45a подкрепляет его точку зрения.
Гедель 1931 года действительно включает формалистскую символьную версию аксиомы индукции Пеано; это выглядит так, где "." - логическое И, f - знак-преемник, x 2 - функция, x 1 - переменная, x 1 Π обозначает "для всех значений переменной x 1 ":
Но он, похоже, не использует это в формалистическом смысле.
Обратите внимание, что по этому поводу есть разногласия. Гёдель указывает это символьная строка в его I.3., т.е. формализованная аксиома индукции выглядит так, как показано выше, но даже эту строку можно «пронумеровать» с помощью метода Гёделя. С другой стороны, он, похоже, не использует эту аксиому. Скорее, его рекурсия проходит через целые числа, присвоенные переменной k (см. его (2) на стр. 602). Его скелетное доказательство теоремы V, однако, «использует (я) индукцию по степени φ» и использует «предположение индукции». Без полного доказательства этого нам остается предположить, что его использование «гипотезы индукции» является интуитивной версией, а не символической аксиомой. Его рекурсия просто увеличивает степень функций, учебный акт, до бесконечности. Но Нагель и Ньюман отмечают, что доказательства Гёделя бесконечны по своей природе, а не конечны, как требовал Гильберт (см. вторую проблему Гильберта ), в то время как Гёдель настаивал на том, что они интуитивно удовлетворительны. Это не несовместимые истины, если только LoEM над бесконечностью нигде не упоминается в доказательствах.
Несмотря на продолжающуюся абстракцию математики в последней половине двадцатого века, проблема не исчезла полностью. Вот два примера. Во-первых, посылки аргумента - даже те, которые считаются бесспорными - всегда справедливы. Внимательный взгляд на предпосылки работ Тьюринга 1936–1937 годов привел Робина Ганди (1980) к предложению своих «принципов для механизмов», которые ограничивают скорость света. Во-вторых, Брегер (2000) в своем «Неявном знании и математическом прогрессе» глубоко разбирается в вопросе «семантика против синтаксиса» - в своей статье должным образом появляются Гильберт, Пуанкаре, Фреге и Вейль. Он исследует основную проблему: в аксиоматических доказательствах молчаливое допущение опытного, мыслящего ума: чтобы добиться успеха, он должен прийти к аргументу, снабженному предварительным знанием символов и их использования (семантика, лежащая в основе бессмысленного синтаксиса): «Математика как чисто формальная система символов без человека, обладающего ноу-хау для работы с символами, невозможна [согласно химику Поланьи (1969, 195), идеал формы знания, который является строго явным, противоречив, потому что без молчаливого знание всех формул, слов и иллюстраций стало бы бессмысленным] »(скобки в оригинале, Breger 2000: 229).
Серьезное исследование этого фундаментального противоречия можно найти во введении Стивена Клини в метаматематику, особенно в главе III: Критика математических рассуждений. Он обсуждает §11. Парадоксы, §12. Первые выводы из парадоксов [непредикативные определения, логицизм и т. Д.], §13. Интуиционизм, §14. Формализм, §15. Формализация теории. Клини серьезно относится к дебатам и на протяжении всей своей книги фактически строит две «формальные системы», например на странице 119 он показывает те логические законы, такие как двойное отрицание, которые запрещены в интуиционистской системе.
