Установить с одной или несколькими операциями, которые удовлетворяют заданному набору аксиом
В математике, алгебраическая структура состоит из непустого набора A (называемого базовым набором, несущим набором или доменом ), набор операций над A конечной арности (обычно двоичных операций ) и конечный набор идентификаторов, известных как аксиомы, которым должны удовлетворять эти операции.
Алгебраическая структура может быть основана на других алгебраических структурах с операциями и аксиомами, включающими несколько структур. Например, векторное пространство включает в себя вторую структуру, называемую полем , и операцию, называемую скалярным умножением между элементами поля (называемыми скалярами) и элементами векторного пространства (называемыми векторы).
В контексте универсальной алгебры множество A с этой структурой называется алгеброй, тогда как в других контекстах оно (несколько двусмысленно) называется алгебраическая структура, термин алгебра зарезервирован для конкретных алгебраических структур, которые представляют собой векторные пространства над полем или модули над коммутативным кольцом.
свойства конкретных алгебраических структур изучаются в абстрактной алгебре. Общая теория алгебраических структур формализована в универсальной алгебре. Язык теории категорий используется для выражения и изучения отношений между различными классами алгебраических и неалгебраических объектов. Это связано с тем, что иногда можно найти сильные связи между некоторыми классами объектов, иногда разных типов. Например, теория Галуа устанавливает связь между определенными полями и группами: двумя алгебраическими структурами разных видов.
Содержание
- 1 Введение
- 2 Примеры
- 2.1 Один набор с операциями
- 2.2 Два набора с операциями
- 3 Гибридные структуры
- 4 Универсальная алгебра
- 5 Теория категорий
- 6 Различные значения слова «структура»
- 7 См. Также
- 8 Примечания
- 9 Ссылки
- 10 Внешние ссылки
Введение
Сложение и умножение действительных чисел являются типичными примерами. операций, которые объединяют два элемента набора для создания третьего элемента набора. Эти операции подчиняются нескольким алгебраическим законам. Например, a + (b + c) = (a + b) + c и a (bc) = (ab) c как ассоциативные законы. Также a + b = b + a и ab = ba в качестве законов коммутативности. Многие системы, изучаемые математиками, имеют операции, которые подчиняются некоторым, но не обязательно всем законам обычной арифметики. Например, повороты объекта в трехмерном пространстве можно комбинировать, например, выполнив первое вращение объекта и затем применив к нему второе вращение в его новой ориентации, сделанное предыдущим вращением. Вращение как операция подчиняется ассоциативному закону, но может не удовлетворять коммутативному закону.
Математики дают имена множествам с одной или несколькими операциями, которые подчиняются определенному набору законов, и изучают их абстрактно как алгебраические структуры. Когда можно показать, что новая проблема подчиняется законам одной из этих алгебраических структур, вся работа, проделанная с этой категорией в прошлом, может быть применена к новой проблеме.
В общем, алгебраические структуры могут включать произвольный набор операций, включая операции, которые объединяют более двух элементов (операции с более высокой арностью ) и операции, которые принимают только один аргумент (унарные операции ). Примеры, используемые здесь, ни в коем случае не являются полным списком, но они предназначены для того, чтобы быть репрезентативным списком и включать наиболее распространенные структуры. Более длинные списки алгебраических структур можно найти во внешних ссылках и в Категория: Алгебраические структуры. Структуры перечислены в приблизительном порядке возрастания сложности.
Примеры
Один набор с операциями
Простые структуры : noдвоичная операция :
- Набор : вырожденная алгебраическая структура S, не имеющая операций.
- Заостренное множество : S имеет один или несколько выделенных элементов, часто 0, 1 или оба.
- Унарная система: S и одна унарная операция над S.
- Указывается унарная система: унарная система с указанным множеством S.
Групповые структуры : одна бинарная операция. Двоичная операция может быть обозначена любым символом или без символа (сопоставление), как это делается для обычного умножения действительных чисел.
- Магма или группоид : S и одна бинарная операция над S.
- Полугруппа : ассоциативная магма.
- Моноид : полугруппа с тождественный элемент.
- Группа : моноид с унарной операцией (инверсией), порождающий обратные элементы.
- абелева группа : группа, бинарная операция которой коммутативна.
- Полурешетка : полугруппа, операция которой идемпотентна и коммутативна. Бинарная операция может быть вызвана либо meet, либо join.
- Quasigroup : магма, подчиняющаяся свойству латинского квадрата. Квазигруппа также может быть представлена с использованием трех бинарных операций.
- Цикл : квазигруппа с идентичностью.
кольцевыми структурами или Ringoids : два бинарные операции, часто называемые сложением и умножением, с умножением делением поверх сложения.
- Полукольцо : кольцо, такое что S является моноидом при каждой операции. Обычно предполагается, что сложение является коммутативным и ассоциативным, и предполагается, что моноидный продукт распределяется по добавлению с обеих сторон, а аддитивная единица 0 является поглощающим элементом в том смысле, что 0 x = 0 для всех x.
- Почти-кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является (не обязательно абелевой) группой.
- Кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является абелевой группой.
- Кольцо Ли : рингоид, аддитивный моноид которого является абелевой группой, но чья мультипликативная операция удовлетворяет тождеству Якоби, а не ассоциативности.
- Коммутативное кольцо : кольцо, в котором операция умножения коммутативна.
- Логическое кольцо : коммутативное кольцо с операцией идемпотентного умножения.
- Поле : коммутативное кольцо, которое содержит мультипликативный обратный для каждого ненулевого элемента.
- алгебры Клини : полукольцо с идемпотентное сложение и унарная операция, звезда Клини, удовлетворяющая дополнительным свойствам.
- * - алгебра : кольцо с дополнительной унарной операцией (*), удовлетворяющее дополнительным свойствам.
Структуры решетки : две или более двоичных операций, включая операции с именем , встречаются и соединение, связанное законом поглощения .
- Полная решетка : решетка, в которой существуют произвольные и соединяет.
- Ограниченная решетка : решетка с наибольшим элементом и наименьшим элементом.
- Решетка с дополнениями : ограниченная решетка с унарной операцией дополнения, обозначается постфиксом . Соединение элемента с его дополнением является наибольшим элементом, а точка пересечения двух элементов - наименьшим элементом.
- Модульная решетка : решетка, элементы которой удовлетворяют дополнительному модульному тождеству.
- Распределительная решетка : решетка, в которой каждое из встреч и объединений распределяет по другим. Дистрибутивные решетки являются модульными, но обратное неверно.
- Булева алгебра : дистрибутивная решетка с дополнениями. Либо встреча, либо присоединение могут быть определены с точки зрения другого и дополнения. Можно показать, что это эквивалентно кольцевой структуре с тем же названием, приведенной выше.
- алгебра Гейтинга : ограниченная распределительная решетка с добавленной бинарной операцией, относительным псевдодополнением, обозначенным на infix → и регулируется аксиомами x → x = 1, x (x → y) = xy, y (x → y) = y, x → (yz) = (x → y) (x → z).
Арифметика : двебинарные операции, сложение и умножение. S - это бесконечное множество. Арифметика - это точечные унарные системы, у которых унарная операция является инъективной преемницей и с выделенным элементом 0.
- Арифметика Робинсона. Сложение и умножение рекурсивно определяются посредством преемника. 0 - это единичный элемент для сложения и аннулирует умножение. Арифметика Робинсона указана здесь, хотя она и является разнообразной из-за ее близости к арифметике Пеано.
- Арифметика Пеано. Арифметика Робинсона со схемой аксиом из индукции. Большинство аксиом кольца и поля, имеющих отношение к свойствам сложения и умножения, являются теоремами арифметики Пеано или ее надлежащих расширений.
Два множества с операциями
Структуры, подобные модулю : составные системы, включающие два множества и используя по крайней мере две бинарные операции.
- Группа с операторами : группа G с множеством Ω и бинарной операцией Ω × G → G, удовлетворяющей некоторым аксиомам.
- Модуль : абелева группа M и кольцо R, действующие как операторы на M. Члены R иногда называют скалярами, а бинарная операция скалярного умножения - это функция R × M → M, которая удовлетворяет нескольким аксиомам. С учетом операций с кольцом, эти системы имеют по крайней мере три операции.
- Векторное пространство : модуль, в котором кольцо R является делительным кольцом или полем.
- Градуированное векторное пространство : векторное пространство с разложением прямой суммы, разбивающее пространство на «оценки».
- Квадратичное пространство : векторное пространство V над полем F с квадратичной формой на V, принимающей значения в F.
Алгебра -подобные структуры : составная система, определенная на двух наборах, кольце R и R-модуле M, снабженном операцией, называемой умножением. Это можно рассматривать как систему с пятью бинарными операциями: две операции над R, две над M и одна с участием R и M.
- Алгебра над кольцом (также R-алгебра): модуль над коммутативное кольцо R, которое также выполняет операцию умножения, совместимую со структурой модуля. Это включает дистрибутивность по сложению и линейность по отношению к умножению на элементы R. Теория алгебры над полем особенно хорошо разработана.
- Ассоциативная алгебра : алгебра над кольцом такая, что умножение ассоциативно.
- Неассоциативная алгебра : модуль над коммутативным кольцом, снабженный операцией кольцевого умножения, которая не обязательно ассоциативна. Часто ассоциативность заменяется другим тождеством, таким как чередование, тождество Якоби или тождество Джордана.
- Коалгебра : векторное пространство с символом " коумножение "определяется двойственно по отношению к ассоциативным алгебрам.
- алгебра Ли : специальный тип неассоциативной алгебры, произведение которой удовлетворяет тождеству Якоби.
- коалгебра Ли : векторное пространство с" коумножением " "определяется двойственно по отношению к алгебрам Ли.
- Градуированная алгебра : градуированное векторное пространство со структурой алгебры, совместимой с градуировкой. Идея состоит в том, что если оценки двух элементов a и b известны, то известна степень ab, и поэтому в разложении определяется местоположение продукта ab.
- Внутреннее пространство продукта : an F. векторное пространство V с определенной билинейной формой V × V → F.
Четыре или более двоичных операций:
- Биалгебра : ассоциативная алгебра с совместимой структурой коалгебры.
- Биалгебра Ли : алгебра Ли с совместимой структурой биалгебры.
- Алгебра Хопфа : биалгебра с аксиомой связности (антипод).
- Алгебра Клиффорда : градуированная ассоциативная алгебра, снабженная с внешним продуктом, из которого может быть получено несколько возможных внутренних продуктов. Внешние алгебры и геометрические алгебры являются частными случаями этой конструкции.
Гибридные структуры
Алгебраические структуры также могут сосуществовать с дополнительной структурой неалгебраической природы, например как частичный порядок или топология. Добавленная структура должна быть в некотором смысле совместима с алгебраической структурой.
- Топологическая группа : группа с топологией, совместимой с групповой операцией.
- Группа Ли : топологическая группа с совместимой гладкой структурой многообразия.
- Упорядоченные группы, упорядоченные кольца и упорядоченные поля : каждый тип структуры с совместимым частичным порядком.
- Архимедова группа : линейно упорядоченная группа, для которой Соблюдается свойство архимеда.
- Топологическое векторное пространство : векторное пространство, у которого M имеет совместимую топологию.
- Нормированное векторное пространство : векторное пространство с совместимой нормой . Если такое пространство полное (как метрическое пространство), то оно называется банаховым пространством.
- гильбертовым пространством : внутренним пространством произведения над действительными или комплексными числами, внутреннее произведение которого порождает структуру банахова пространства.
- Вершинная операторная алгебра
- Алгебра фон Неймана : * -алгебра операторов в гильбертовом пространстве, снабженная слабой операторной топологией.
Универсальной алгеброй
Алгебраические структуры определяются с помощью различных конфигураций аксиом. Универсальная алгебра абстрактно изучает такие объекты. Одна из основных дихотомий - между структурами, которые аксиоматизируются полностью идентичностями, и структурами, которые таковыми не являются. Если все аксиомы, определяющие класс алгебр, являются тождествами, то этот класс является многообразием (не путать с алгебраическими разновидностями алгебраической геометрии ).
Идентичности - это уравнения, сформулированные с использованием только операций, допускаемых структурой, и переменных, которые неявно универсально количественно определены в соответствующем юниверсе. Идентичности не содержат связок, экзистенциально количественно определяемых переменных или отношений любого вида, кроме разрешенных операций. Изучение многообразий - важная часть универсальной алгебры. Алгебраическая структура в разнообразии может пониматься как фактор-алгебра терминологической алгебры (также называемая «абсолютно свободная алгебра »), разделенная на отношения эквивалентности, порожденные набором тождеств. Итак, набор функций с заданными сигнатурами порождает свободную алгебру, алгебру терминов T. Учитывая набор эквациональных тождеств (аксиом), можно рассматривать их симметричное транзитивное замыкание E. Тогда фактор-алгебра T / E является алгебраической структурой или многообразием. Так, например, группы имеют сигнатуру, содержащую два оператора: оператор умножения m, принимающий два аргумента, и обратный оператор i, принимающий один аргумент, и единичный элемент e, константу, которую можно рассматривать как оператор, принимающий ноль. аргументы. Для заданного (счетного) набора переменных x, y, z и т. Д. Термин «алгебра» представляет собой набор всех возможных терминов, включающих m, i, e и переменные; так, например, m (i (x), m (x, m (y, e))) будет элементом термина алгебра. Одной из аксиом, определяющих группу, является тождество m (x, i (x)) = e; другой - m (x, e) = x. Аксиомы можно представить в виде деревьев. Эти уравнения индуцируют классы эквивалентности на свободной алгебре; тогда фактор-алгебра имеет алгебраическую структуру группы.
Некоторые структуры не образуют разновидностей, потому что либо:
- необходимо, чтобы 0 ≠ 1, 0 было аддитивным элементом идентичности и 1 было мультипликативным элементом идентичности, но это неединичность;
- Структуры, такие как поля, имеют некоторые аксиомы, которые справедливы только для ненулевых членов S. Чтобы алгебраическая структура была разнообразной, ее операции должны быть определены для всех членов S; не может быть частичных операций.
Структуры, аксиомы которых неизбежно включают неидентичности, являются одними из самых важных в математике, например, поля и делительные кольца. Структуры с неидентичными типами проблем не представляют. Например, прямой продукт из двух полей не является полем, потому что , но поля не имеют делителей нуля.
Теория категорий
Теория категорий еще один инструмент для изучения алгебраических структур (см., например, Mac Lane 1998). Категория - это набор объектов со связанными морфизмами. Каждая алгебраическая структура имеет собственное понятие гомоморфизма, а именно любую функцию, совместимую с операцией (операциями), определяющей структуру. Таким образом, каждая алгебраическая структура порождает категорию . Например, категория групп имеет все группы как объекты и все групповые гомоморфизмы как морфизмы. Эту конкретную категорию можно рассматривать как категорию множеств с добавленной теоретико-категориальной структурой. Точно так же категория топологических групп (морфизмы которых являются гомоморфизмами непрерывных групп) является категорией топологических пространств с дополнительной структурой. Функтор забывания между категориями алгебраических структур "забывает" часть структуры.
В теории категорий существуют различные концепции, которые пытаются уловить алгебраический характер контекста, например
Различные значения слова «структура»
При незначительном злоупотреблении нотацией слово «структура» может также относиться только к операциям со структурой, а не к лежащей в основе установил сам. Например, предложение «Мы определили кольцевую структуру на множестве » означает, что мы определили операции ring на множестве . В другом примере группу можно рассматривать как набор , снабженный алгебраической структурой, а именно операцией .
См. Также
- Портал математики
Примечания
Ссылки
- Mac Lane, Saunders ; Биркгоф, Гаррет (1999), Алгебра (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
- Мишель, Энтони Н. ; Хергет, Чарльз Дж. (1993), Прикладная алгебра и функциональный анализ, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67598-5
- Burris, Стэнли Н.; Санкаппанавар, HP (1981), Курс универсальной алгебры, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540- 90578-3
- Теория категорий
- Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
- Тейлор, Пол (1999), Практические основы математики, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63107-5
Внешние ссылки