В математике изучаются многие типы алгебраических структур. Абстрактная алгебра - это в первую очередь изучение конкретных алгебраических структур и их свойств. Алгебраические структуры можно рассматривать по-разному, однако общей отправной точкой текстов по алгебре является то, что алгебраический объект включает в себя один или несколько наборов с одной или несколькими бинарными операциями или унарными операциями, удовлетворяющими набору аксиом.
Другой раздел математики, известный как универсальная алгебра, изучает алгебраические структуры в целом. С точки зрения универсальной алгебры, большинство структур можно разделить на разновидности и квазимногообразия в зависимости от используемых аксиом. Некоторые аксиоматические формальные системы, которые не являются ни многообразиями, ни квазимногообразиями, называемые немногообразиями, иногда по традиции включаются в число алгебраических структур.
Конкретные примеры каждой структуры можно найти в перечисленных статьях.
Сегодня алгебраических структур так много, что эта статья неизбежно будет неполной. В дополнение к этому, иногда существует несколько имен для одной и той же структуры, а иногда одно имя будет определяться несовпадающими аксиомами разных авторов. Большинство структур, представленных на этой странице, будут обычными, с чем согласны большинство авторов. Другие веб-списки алгебраических структур, организованные более или менее в алфавитном порядке, включают Jipsen и PlanetMath. Эти списки упоминают многие структуры, не включенные ниже, и могут содержать больше информации о некоторых структурах, чем представлено здесь.
Содержание
- 1 Изучение алгебраических структур
- 2 Типы алгебраических структур
- 2.1 Одна бинарная операция на одном наборе
- 2.2 Две бинарные операции на одном наборе
- 2.3 Две бинарные операции и два набора
- 2.4 Три бинарных операции и два набора
- 3 Алгебраические структуры с дополнительной неалгебраической структурой
- 4 Алгебраические структуры в разных дисциплинах
- 5 См. Также
- 6 Примечания
- 7 ссылки
- 8 Внешние ссылки
Изучение алгебраических структур
Алгебраические структуры появляются в большинстве разделов математики, и можно встретить их по-разному.
- Начало обучения: в американских университетах группы, векторные пространства и поля обычно являются первыми структурами, встречающимися в таких предметах, как линейная алгебра. Обычно они вводятся как наборы с определенными аксиомами.
- Углубленное изучение:
- Абстрактная алгебра изучает свойства конкретных алгебраических структур.
- Универсальная алгебра изучает алгебраические структуры абстрактно, а не конкретные типы структур.
- Теория категорий изучает взаимосвязь между различными структурами, алгебраическими и неалгебраическими. Для изучения неалгебраического объекта часто бывает полезно использовать теорию категорий, чтобы связать объект с алгебраической структурой.
- Пример: фундаментальная группа из топологического пространства дает информацию о топологическом пространстве.
Типы алгебраических структур
Вообще говоря, алгебраическая структура может использовать любое количество множеств и любое количество аксиом в своем определении. Однако наиболее часто изучаемые структуры обычно включают только один или два набора и одну или две бинарные операции. Приведенные ниже структуры организованы по тому, сколько наборов задействовано и сколько бинарных операций используется. Увеличенный отступ предназначен для обозначения более экзотической структуры, а уровни с наименьшим отступом являются самыми основными.
Одна бинарная операция на одном наборе
Групповые структуры |
| Тотальность | Ассоциативность | Идентичность | Обратимость | Коммутативность |
Полугрупоидный | Ненужный | необходимые | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Малая категория | Ненужный | необходимые | необходимые | Ненужный | Ненужный |
Группоид | Ненужный | необходимые | необходимые | необходимые | Ненужный |
Магма | необходимые | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Квазигруппа | необходимые | Ненужный | Ненужный | необходимые | Ненужный |
Единичная магма | необходимые | Ненужный | необходимые | Ненужный | Ненужный |
Петля | необходимые | Ненужный | необходимые | необходимые | Ненужный |
Полугруппа | необходимые | необходимые | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Обратная полугруппа | необходимые | необходимые | Ненужный | необходимые | Ненужный |
Моноид | необходимые | необходимые | необходимые | Ненужный | Ненужный |
Коммутативный моноид | необходимые | необходимые | необходимые | Ненужный | необходимые |
Группа | необходимые | необходимые | необходимые | необходимые | Ненужный |
Абелева группа | необходимые | необходимые | необходимые | необходимые | необходимые |
^ α Замыкание, которое используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной тотальности, хотя и определяется по-другому. |
Следующие структуры состоят из набора с бинарной операцией. Наиболее распространенная структура - это группа. Другие структуры включают ослабление или усиление аксиом для групп и могут дополнительно использовать унарные операции.
- Группы - это ключевые структуры. Абелевы группы - важный особый тип групп.
- полугруппы и моноиды : они похожи на группы, за исключением того, что операция не требует обратных элементов.
- квазигруппы и циклы : они похожи на группы, за исключением того, что операция не обязательно должна быть ассоциативной.
- Магмы : они похожи на группы, за исключением того, что операция не обязательно должна быть ассоциативной или иметь обратные элементы.
- Полурешетка : это в основном «половина» решетчатой структуры (см. Ниже).
Две бинарные операции на одном наборе
Основными типами структур с одним набором, имеющим две бинарные операции, являются кольца и решетки. Аксиомы, определяющие многие другие структуры, являются модификациями аксиом для колец и решеток. Одно из основных различий между кольцами и решетками заключается в том, что их две операции по-разному связаны друг с другом. В кольцевых структурах две операции связаны законом распределения ; в решетчатых структурах операции связаны законом поглощения.
- Кольца : эти две операции обычно называют сложением и умножением. Коммутативные кольца - особенно важный тип колец, в котором операция умножения коммутативна. Целочисленные области и поля - особенно важные типы коммутативных колец.
- Неассоциативные кольца : они похожи на кольца, но операция умножения не обязательно должна быть ассоциативной.
- Кольца Ли и жордановы кольца являются частными примерами неассоциативных колец.
- полукольца : они похожи на кольца, но операция сложения не требует обратных.
- nearrings : они похожи на кольца, но операция сложения не обязательно должна быть коммутативной.
- * -кольца : это кольца с дополнительной унарной операцией, известной как инволюция.
- Решетки : две операции обычно называют встречей и соединением.
- Latticoid : встречаются и присоединиться к коммутируют, но не нужно ассоциировать.
- Скошенная решетка : встретиться и присоединиться к партнеру, но не обязательно коммутировать.
Две бинарные операции и два набора
Следующие структуры имеют общую особенность, имеющие два множества, A и B, так что существует бинарная операция из A × A в A, и другая операция из A × B в A.
- Векторные пространства : множество A - абелева группа, а множество B - поле.
- Градуированные векторные пространства : векторные пространства, оснащенные разложением прямой суммы на подпространства.
- Модули : множество A - абелева группа, но B - только общее кольцо и не обязательно поле.
- Специальные типы модулей, включая свободные модули, проективные модули, инъективные модули и плоские модули, изучаются в абстрактной алгебре.
- Группа с операторами : в этом случае набор A - это группа, а набор B - это просто набор.
Три бинарных операции и два набора
Многие структуры здесь фактически являются гибридными структурами ранее упомянутых.
- Алгебра над полем : это кольцо, которое также является векторным пространством над полем. Существуют аксиомы, регулирующие взаимодействие двух структур. Умножение обычно считается ассоциативным.
- Алгебра над кольцом : они определяются так же, как алгебры над полями, за исключением того, что теперь поле может быть любым коммутативным кольцом.
- Градуированная алгебра : эти алгебры снабжены разбиением на градации.
- Неассоциативные алгебры : это алгебры, для которых ассоциативность умножения колец ослаблена.
- Алгебры Ли и йордановы алгебры являются частными примерами неассоциативных алгебр.
- Коалгебра : эта структура имеет аксиомы, которые делают ее умножение двойным по отношению к таковым в ассоциативной алгебре.
- Биалгебра : эти структуры одновременно являются алгебрами и коалгебрами, операции которых совместимы. Фактически для этой структуры есть четыре операции.
Алгебраические структуры с дополнительной неалгебраической структурой
Существует множество примеров математических структур, в которых алгебраическая структура существует наряду с неалгебраической структурой.
- Топологические векторные пространства - это векторные пространства с совместимой топологией.
- Группы Ли : это топологические многообразия, которые также несут совместимую групповую структуру.
- Упорядоченные группы, упорядоченные кольца и упорядоченные поля имеют алгебраическую структуру, совместимую с порядком на множестве.
- Алгебры фон Неймана : это * -алгебры в гильбертовом пространстве, наделенные слабой операторной топологией.
Алгебраические структуры в разных дисциплинах
Некоторые алгебраические структуры находят применение в дисциплинах за пределами абстрактной алгебры. Следующее предназначено для демонстрации некоторых конкретных приложений в других областях.
По физике :
По математической логике :
- Булевы алгебры являются одновременно кольцами и решетками согласно своим двум операциям.
- Алгебры Гейтинга - частный пример булевых алгебр.
- Арифметика Пеано
- Граничная алгебра
- MV-алгебра
В информатике :
Смотрите также
Ноты
Ссылки
внешние ссылки
- Джипсен:
- Алфавитный список структур алгебры; включает многие, не упомянутые здесь.
- Интернет-книги и конспекты лекций.
- Карта содержит около 50 построек, некоторые из которых не показаны выше. Точно так же большинство вышеперечисленных структур отсутствуют на этой карте.
- Указатель тем PlanetMath.
- Hazewinkel, Michiel (2001) Энциклопедия математики. Springer-Verlag.
- Страница Mathworld по абстрактной алгебре.
- Стэнфорд энциклопедия философии : Алгебра по Vaughan Pratt.