Двойной (теория категорий)

редактировать

В теории категорий, разделе математики, двойственность - это соответствие между свойствами категории C и двойственного свойства предметы противоположной категории C. Учитывая утверждение относительно категории C, путем замены источника и цели каждого морфизма, а также изменения порядка , составляющего два морфизмов, соответствующее двойственное утверждение получено относительно противоположной категории C. Двойственность как таковая - это утверждение, что истина инвариантна относительно этой операции над утверждениями. Другими словами, если утверждение верно в отношении C, то его двойственное утверждение верно в отношении C. Кроме того, если утверждение неверно в отношении C, то его двойственное утверждение должно быть ложным в отношении C.

Учитывая конкретная категория C, часто противоположная категория C сама по себе является абстрактной. C не обязательно должна быть категорией, возникающей из математической практики. В этом случае другая категория D также называется находящейся в двойственности с C, если D и C эквивалентны как категории.

. В случае, когда C и ее противоположность C эквивалентны, такая категория самодвойственна.

Содержание

1 Формальное определение
2 Примеры
3 См. Также
4 Ссылки

Формальное определение

Мы определяем элементарный язык теории категорий как двухсортированный язык первого порядка с объектами и морфизмами как отдельными видами, вместе с отношениями объекта, являющегося источником или целью морфизма, и символом для соединения двух морфизмов.

Пусть σ - любое утверждение на этом языке. Мы формируем двойственное σ следующим образом:

Меняем местами каждое вхождение «источника» в σ на «target».
Меняем порядок составления морфизмов. То есть замените каждое вхождение $g ∘ f {\ displaystyle g \ circ f}$ $g \ circ f$ на $f ∘ g {\ displaystyle f \ circ g}$ $f \ circ g$

Неформально эти условия устанавливают что двойственное утверждение к утверждению образуется обращением стрелок и композиций.

Двойственность - это наблюдение, что σ верно для некоторой категории C тогда и только тогда, когда σ истинно для C.

Примеры

Морфизм $f: A → B {\ displaystyle f \ двоеточие A \ to B}$ $f \ двоеточие A \ к B$ является мономорфизмом, если $f ∘ g = е ∘ час {\ displaystyle f \ circ g = f \ circ h}$ $f \ circ g = f \ circ h$ подразумевает $g = h {\ displaystyle g = h}$ $g = h$ . Выполняя двойную операцию, мы получаем утверждение, что $g ∘ f = h ∘ f {\ displaystyle g \ circ f = h \ circ f}$ $g \ circ f = h \ circ f$ подразумевает $g = h. {\ displaystyle g = h.}$ $g = h.$ Для морфизма $f: B → A {\ displaystyle f \ двоеточие B \ to A}$ $f \ двоеточие B \ к A$ это именно то, что это означает для f быть эпиморфизмом. Короче говоря, свойство быть мономорфизмом двойственно свойству быть эпиморфизмом.

Применяя двойственность, это означает, что морфизм в некоторой категории C является мономорфизмом тогда и только тогда, когда обратный морфизм в противоположной категории C является эпиморфизм.

Пример - изменение направления неравенств на противоположное в частичном порядке. Итак, если X является множеством и ≤ отношением частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤ new by

x ≤ new y тогда и только тогда, когда y ≤ x.

Этот пример с заказами является частным случаем, поскольку частичные порядки соответствуют определенному виду категории, в которой Hom (A, B) может иметь не более одного элемента. В приложениях к логике это выглядит как очень общее описание отрицания (то есть доказательства идут в противоположном направлении). Например, если мы возьмем противоположность решетки , мы обнаружим, что роли встреч и объединений поменялись местами. Это абстрактная форма законов Де Моргана или двойственности применительно к решеткам.

Пределы и копределы являются двойными понятиями.
Волокна и кофибрации являются примерами двойственных понятий в алгебраической топологии и теория гомотопии. В этом контексте двойственность часто называют двойственностью Экмана – Хилтона.

См. Также

Ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Mac Lane, Saunders (1978). Категории для рабочего математика (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. п. 33. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
Аводи, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 53–55. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073.