MV-алгебра

редактировать

В абстрактной алгебре, ветви чистой математики, MV-алгебра - это алгебраическая структура с бинарной операцией, унарной операцией и константой, удовлетворяющая определенным аксиомам. MV-алгебры являются алгебраической семантикой из Лукасевича логики ; буквы MV относятся к многозначной логике в Лукасевиче. MV-алгебры совпадают с классом ограниченных коммутативных BCK-алгебр. ${\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$ ${\ displaystyle \ neg}$ $\ neg$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определения
2 Примеры MV-алгебр
3 Связь с логикой Лукасевича
- 3.1 n -алгебры MV
4 Связь с функциональным анализом
5 В программном обеспечении
6 Ссылки
7 Дальнейшее чтение
8 Внешние ссылки

Определения

MV-алгебра представляет собой алгебраическую структуру, состоящую из ${\ displaystyle \ langle A, \ oplus, \ lnot, 0 \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ langle A, \ oplus, \ lnot, 0 \ rangle,}$

непустое множество ${\ displaystyle A,}$ $А,$
бинарная операция на ${\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$ ${\ displaystyle A,}$ $А,$
унарная операция на и ${\ Displaystyle \ lnot}$ $\ lnot$ ${\ displaystyle A,}$ $А,$
константа, обозначающая фиксированный элемент из ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle A,}$ $А,$

которое удовлетворяет следующим тождествам :

${\ Displaystyle (х \ oplus y) \ oplus z = x \ oplus (y \ oplus z),}$ ${\ Displaystyle (х \ oplus y) \ oplus z = x \ oplus (y \ oplus z),}$
${\ Displaystyle х \ oplus 0 = х,}$ ${\ Displaystyle х \ oplus 0 = х,}$
${\ displaystyle x \ oplus y = y \ oplus x,}$ ${\ displaystyle x \ oplus y = y \ oplus x,}$
${\ Displaystyle \ lnot \ lnot х = х,}$ ${\ Displaystyle \ lnot \ lnot х = х,}$
${\ Displaystyle х \ oplus \ lnot 0 = \ lnot 0,}$ ${\ Displaystyle х \ oplus \ lnot 0 = \ lnot 0,}$ а также
${\ Displaystyle \ lnot (\ lnot x \ oplus y) \ oplus y = \ lnot (\ lnot y \ oplus x) \ oplus x.}$ ${\ Displaystyle \ lnot (\ lnot x \ oplus y) \ oplus y = \ lnot (\ lnot y \ oplus x) \ oplus x.}$

В силу первых трех аксиом, является коммутативным моноидом. Определяясь тождествами, MV-алгебры образуют множество алгебр. Многообразие MV-алгебр является подмногообразием многообразия BL -алгебр и содержит все булевы алгебры. ${\ displaystyle \ langle A, \ oplus, 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle A, \ oplus, 0 \ rangle}$

MV-алгебру эквивалентно можно определить ( Hájek, 1998) как предлинейную коммутативную ограниченную целочисленную решетку с делениями, удовлетворяющую дополнительному тождеству ${\ Displaystyle \ langle L, \ клин, \ vee, \ otimes, \ rightarrow, 0,1 \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle L, \ клин, \ vee, \ otimes, \ rightarrow, 0,1 \ rangle}$ ${\ displaystyle x \ vee y = (x \ rightarrow y) \ rightarrow y.}$ ${\ displaystyle x \ vee y = (x \ rightarrow y) \ rightarrow y.}$

Примеры MV-алгебр

Простой числовой пример связан с операциями и. В математической нечеткой логике эта MV-алгебра называется стандартной MV-алгеброй, поскольку она формирует стандартную вещественную семантику логики Лукасевича. ${\ Displaystyle А = [0,1],}$ ${\ Displaystyle А = [0,1],}$ ${\ Displaystyle х \ oplus у = \ мин (х + у, 1)}$ ${\ Displaystyle х \ oplus у = \ мин (х + у, 1)}$ ${\ Displaystyle \ lnot х = 1-х.}$ ${\ Displaystyle \ lnot х = 1-х.}$

Тривиальный MV-алгебра имеет единственный элемент 0 и все операции, описанные в возможно только способе, и ${\ displaystyle 0 \ oplus 0 = 0}$ ${\ displaystyle 0 \ oplus 0 = 0}$ ${\ displaystyle \ lnot 0 = 0.}$ ${\ displaystyle \ lnot 0 = 0.}$

Двухэлементная MV-алгебра фактически двухэлементная Булева алгебра с совпадающим с булевой дизъюнкцией и с булевым отрицанием. Фактически добавление аксиомы к аксиомам, определяющим MV-алгебру, приводит к аксиоматизации булевых алгебр. ${\ displaystyle \ {0,1 \},}$ ${\ displaystyle \ {0,1 \},}$ ${\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$ ${\ Displaystyle \ lnot}$ $\ lnot$ ${\ displaystyle x \ oplus x = x}$ ${\ displaystyle x \ oplus x = x}$

Если вместо этого добавлена аксиома, то эти аксиомы определяют алгебру MV 3, соответствующую трехзначной логике Лукасевича Ł 3. Другие конечные линейно упорядоченные MV-алгебры получаются путем ограничения вселенной и операций стандартного MV-алгебра к множеству равноудаленных действительных чисел между 0 и 1 (включительно), то есть набором, который замкнут относительно операций и из стандартная MV-алгебра; эти алгебры обычно обозначают MV n. ${\ displaystyle x \ oplus x \ oplus x = x \ oplus x}$ ${\ displaystyle x \ oplus x \ oplus x = x \ oplus x}$ ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ Displaystyle \ {0,1 / (п-1), 2 / (п-1), \ точки, 1 \},}$ ${\ Displaystyle \ {0,1 / (п-1), 2 / (п-1), \ точки, 1 \},}$ ${\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$ ${\ Displaystyle \ lnot}$ $\ lnot$

Другой важный пример - MV-алгебра Чанга, состоящая только из бесконечно малых (с порядковым типом ω) и их ко-бесконечно малых.

Чанг также построил MV-алгебру из произвольной вполне упорядоченной абелевой группы G, зафиксировав положительный элемент u и определив отрезок [0, u ] как { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, которая становится MV-алгеброй с x ⊕ y = min ( u, x + y) и ¬ x = u - x. Более того, Чанг показал, что любая линейно упорядоченная MV-алгебра изоморфна MV-алгебре, построенной таким образом из группы.

Д. Мундичи распространил приведенную выше конструкцию на абелевы решеточно-упорядоченные группы. Если G - такая группа с сильной (порядковой) единицей u, то «единичный интервал» { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } можно снабдить ¬ x = u - x, x ⊕ y = u ∧ G (x + y) и x ⊗ y = 0 ∨ G ( x + y - u). Эта конструкция устанавливает категорную эквивалентность решеточно упорядоченных абелевых групп с сильной единицей и MV-алгебр.

Эффект алгебра, что решетка упорядоченная и имеет свойство разложения Рисса является MV-алгеброй. Наоборот, любая MV-алгебра является решеточно упорядоченной алгеброй эффектов со свойством разложения Рисса.

Отношение к логике Лукасевича

CC Чанг разработал MV-алгебру для изучения многозначных логик, введенных Яны Лукасевичем в 1920 г. В частности, MV-алгебры образуют алгебраические семантику из Лукасевича логики, как описано ниже.

Учитывая MV-алгебра, - оценка является гомоморфизмом из алгебры пропозициональных формул (на языке, состоящий из и 0) в А. Формулы, отображенные на 1 (то есть, 0) для всех А -valuations называется - тавтологии. Если используется стандартная MV-алгебра над [0,1], множество всех [0,1] -таутологий определяет так называемую бесконечнозначную логику Лукасевича. ${\ Displaystyle \ oplus, \ lnot,}$ ${\ Displaystyle \ oplus, \ lnot,}$ ${\ Displaystyle \ lnot}$ $\ lnot$

Теорема Чанга (1958, 1959) о полноте утверждает, что любое уравнение MV-алгебры, выполняемое в стандартной MV-алгебре на интервале [0,1], будет выполняться в любой MV-алгебре. Алгебраически это означает, что стандартная MV-алгебра порождает многообразие всех MV-алгебр. Эквивалентно теорема Чанга о полноте говорит, что MV-алгебры характеризуют бесконечнозначную логику Лукасевича, определяемую как набор [0,1] -таутологий.

То, как [0,1] MV-алгебра характеризует все возможные MV-алгебры, соответствует хорошо известному факту, что тождества, выполняемые в двухэлементной булевой алгебре, выполняются во всех возможных булевых алгебрах. Более того, MV-алгебры характеризуют бесконечнозначную логику Лукасевича аналогично тому, как булевы алгебры характеризуют классическую бивалентную логику (см. Алгебру Линденбаума – Тарского ).

В 1984 году Фонт, Родригес и Торренс ввели алгебру Вайсберга как альтернативную модель для бесконечнозначной логики Лукасевича. Алгебры Вайсберга и MV-алгебры термоэквивалентны.

MV n -алгебры

В 1940-х годах Григоре Мойсил представил свои алгебры Лукасевича – Мойсила (LM n -алгебры) в надежде дать алгебраическую семантику (конечно) n- значной логике Лукасевича. Однако в 1956 году Алан Роуз обнаружил, что при n ≥ 5 алгебра Лукасевича – Мойсила не моделирует n -значную логику Лукасевича. Хотя CC Chang опубликовал свою MV-алгебру в 1958 году, она является точной моделью только для ℵ 0 -значной (бесконечно многозначной) логики Лукасевича – Тарского. Для аксиоматически более сложных (конечно) n -значных логик Лукасевича подходящие алгебры были опубликованы в 1977 г. Ревазом Григолией и названы n -алгебрами MV. N -алгебры MV являются подклассом n -алгебр LM ; включение строгое при n ≥ 5.

MV п -алгебры являются MV-алгеброй, которые удовлетворяют некоторые дополнительные аксиомы, так же, как п - значные логики Лукасевича имеют дополнительные аксиомы, добавленные в ℵ 0 значной логику.

В 1982 году Роберто Чиньоли опубликовал некоторые дополнительные ограничения, добавленные к n -алгебрам LM, которые дают правильные модели для n -значной логики Лукасевича; Чиньоли назвал свое открытие собственными n-значными алгебрами Лукасевича. LM n -алгебры, которые также являются MV n -алгебрами, в точности являются собственными n -значными алгебрами Лукасевича Чиньоли.

Отношение к функциональному анализу

Даниэле Мундичи связал MV-алгебры с приблизительно конечномерными C * -алгебрами путем установления биективного соответствия между всеми классами изоморфизма приблизительно конечномерных C * -алгебр с решеточно упорядоченной группой размерностей и всеми классами изоморфизма счетных алгебр MV. Некоторые примеры этой корреспонденции включают:

Счетная алгебра М.В.	приближенно конечномерная C * -алгебра
{0, 1}	ℂ
{0, 1 / n,..., 1}	M n (ℂ), т.е. комплексные матрицы n × n
конечный	конечномерный
логический	коммутативный

В программном обеспечении

Дополнительная информация: Многосопряженное логическое программирование

Существует несколько структур, реализующих нечеткую логику (тип II), и большинство из них реализуют так называемую многосопряженную логику. Это не более чем реализация MV-алгебры.

дальнейшее чтение

Даниэле Мундичи, MV-АЛГЕБРЫ. Краткое руководство
Д. Мундичи (2011). Продвинутое исчисление Лукасевича и MV-алгебры. Springer. ISBN 978-94-007-0839-6.
Мундичи, Д. C * -алгебры трехзначной логики. Логический коллоквиум '88, Труды коллоквиума, проведенного в Падуе 61–77 (1989). DOI : 10.1016 / s0049-237x (08) 70262-3
Кабрер, Л. М. и Мундичи, Д. Теорема Стоуна-Вейерштрасса для MV-алгебр и унитальных ℓ-групп. Журнал логики и вычислений (2014). DOI : 10,1093 / logcom / exu023
Оливия Карамелло, Анна Карла Руссо (2014) Морита-эквивалентность между MV-алгебрами и абелевыми ℓ-группами с сильной единицей

Внешние ссылки

Стэнфордская энциклопедия философии : « Многозначная логика » - Зигфрид Готвальд.