Вычислительная гидродинамика

редактировать

Раздел гидромеханики, использующий численный анализ и структуры данных для решений и анализа проблем, связанных с потоками жидкости

Моделирование аэродинамический пакет для Porsche Cayman (987.2).

Вычислительная гидродинамика (CFD ) - это ветвь механики жидкости, в которой используется численный анализ и структуры данных для анализа и решения проблем, связанных с потоками жидкости. Компьютеры используются для выполнения вычислений, необходимых для моделирования потока жидкости в набегающем потоке и взаимодействия жидкости (жидкости и газы ) с поверхностями, определяемыми границей . условия. С помощью высокоскоростных суперкомпьютеров могут быть достигнуты лучшие, которые требуются для решения самых крупных и часто сложных проблем. В ходе текущих исследований появилось программное обеспечение, повышающее точность и скорость сложных сценариев моделирования, таких как трансзвуковые или турбулентные потоки. Первоначальная проверка программного обеспечения обычно выполняется с использованием экспериментального оборудования, такого как аэродинамические трубы. Кроме того, для сравнения можно использовать выполненный аналитический или эмпирический анализ той конкретной проблемы. Окончательная валидация часто выполняется с использованием полномасштабных испытаний, таких как летные испытания.

CFD широкому кругу исследовательских и инженерных задач во многих областях исследований и областей, включая аэродинамику и аэрокосмический анализ, моделирование погоды, естественные науки и экологическая инженерия, проектирование и анализ промышленных систем, биологическая инженерия, потоки жидкости и теплопередача и анализ двигателя и сгорания.

Содержание

1 Предпосылки и история
2 Иерархия раздела потока жидкости
3 Методология
- 3.1 Методы дискретизации
  - 3.1.1 Метод конечных областей
  - 3.1.2 Метод конечных элементов
  - 3.1.3 Метод конечных разностей
  - 3.1.4 Метод спектральных элементов
  - 3.1.5 Решеточный метод Больцмана
  - 3.1.6 Метод граничных элементов
  - 3.1.7 Схемы дискретизации с высоким разрешением
- 3.2 Модели турбулентности
  - 3.2.1 Усредненное по Рейнольдсу Навье - Стокса
  - 3.2.2 Моделирование крупных вихрей
  - 3.2.3 Моделирование отдельных вихрей
  - 3.2.4 Прямое численное моделирование
  - 3.2.5 Моделирование когерентных вихрей
  - 3.2.6 Методы PDF
  - 3.2.7 Вихревой метод
  - 3.2.8 Метод ограничения завихренности
  - 3.2.9 Линейная модель вихрей
- 3.3 Двухфазный поток
- 3.4 Алгоритмы решения
- 3, 5 Нестабильная аэродинамика
- 3,6 Биомедицинская инженерия
- 3,7 ЦП против графического процессора
4 См. Также
5 Ссылки
6 Примечания
7 Внешние ссылки

Предпосылки и история

Компьютер моделирование высокоскоростного воздушного потока вокруг Space Shuttle во время возвращения в атмосферу.

Моделирование ГПВП Hyper-X при работе на Мах -7

Фундаментальной использованием почти всех проблем CFD является Уравнения Навье - Стокса, которые определяют множество однофазных (газ или жидкость, но не то и другое) потоков жидкости. Эти уравнения можно упростить, удаливые члены, описывающие вязкие действия, чтобы получить уравнения Эйлера. Дальнейшее упрощение путем удаления элементов, описывающих завихренность, дает полное уравнение. Наконец, для малых возмущений в дозвуковых и сверхзвуковых потоках (не трансзвуковых или гиперзвуковых ) эти уравнения могут быть линеаризованы, чтобы линеаризованные потенциальные уравнения.

Исторически впервые были разработаны методы решения линеаризованных вариантов. Двумерные (2D) методы, использующие конформные преобразования потока вокруг цилиндра в поток вокруг профиля, были разработаны в 1930-х годах.

Одним из самых ранних типов вычислений, напоминающих современные CFD, современные вычисления, выполненные Льюисом Фри Ричардсоном, в том смысле, что в этих вычислениях использовались конечные разности и физическое пространство разделяется на ячейки. Несмотря на то, что они резко провалились, эти расчеты вместе с книгой Ричардсона «Прогноз погоды с помощью числового процесса» заложили основу для современной CFD и численной метеорологии. Фактически, в ранних расчетах CFD в 1940-х годах с использованием ENIAC использовались методы, близкие к методам, описанным в книге Ричардсона 1922 года.

Доступные компьютерные мощности ускоряли развитие трехмерных методов.. Вероятно, первая работа с использованием компьютеров для моделирования потока жидкости, регулируемого уравнениями Навье-Стокса, была выполнена в Национальной лаборатории Лос-Аламоса в группе T3. Эту группу возглавил Фрэнсис Х. Харлоу, которого считают одним из пионеров CFD. С 1957 года до конца 1960-х годов эта группа разработала численные методы моделирования переходных двумерных потоков жидкости, как метод частиц в ячейках (Харлоу, 1957), метод (Джентри, Мартин и Дейли, 1966), метод (Джейк Фромм, 1963) и метод маркеров и ячеек (Харлоу и Велч, 1965). Метод завихренности-функции потока Фромма для двумерного переходного несжимаемого потока был первым в мире исследованием сильно искривленных потоков несжимаемой жидкости.

Первая статья трехмерной моделью была опубликована Джоном Хессом и A.M.O. Смит из Douglas Aircraft в 1967 году. Этот метод дискретизировал поверхности геометрии с помощью панелей, приведенных к появлению панелей методов класса. Сам их метод был упрощен, так как он не включал подъемные потоки и, следовательно, в основном применялся к корпусам кораблей и фюзеляжам самолетов. Первый код подъемной панели (A230) был описан в статье, написанной Полом Руббертом и Гэри Саарисом из Boeing Aircraft в 1968 году. Со временем в Boeing (PANAIR, A502) были разработаны более совершенные трехмерные коды панели.), Lockheed (Quadpan), Douglas (HESS), McDonnell Aircraft (MACAERO), NASA (PMARC) и аналитические методы ( WBAERO, USAERO и VSAERO). Некоторые (PANAIR, HESS и MACAERO) используют одиночные особенности на каждой панели поверхности, используя методы использования сингулярностей более высокого порядка, в то время как другие (Quadpan, PMARC, USAERO и VSAERO). Преимущество кодов более низкого порядка состояло в том, что они работают намного быстрее на компьютерах того времени. Сегодня VSAERO превратилась в многопользовательский код наиболее широко используемой программой этого класса. Его использовали при разработке многих подводных лодок, надводных кораблей, автомобилей, вертолетов, самолетов, и совсем недавно ветряные турбины. Его родственный код, USAERO, представляет собой метод неустойчивой панели, который также использовался для моделирования таких вещей, как высокоскоростные поезда и гоночные яхты. Код NASA PMARC из ранней версии VSAERO и производной от PMARC, названной CMARC, также коммерчески доступен.

В двумерной области был разработан ряд кодов панелей для анализа и проектирования аэродинамического профиля. Коды обычно включают анализ пограничного слоя, чтобы можно было моделировать вязкие эффекты. Профессор Ричард Эпплер из Университета Штутгарта разработал код PROFILE, частично при финансировании НАСА, который стал доступ в начале 1980-х годов. Вскоре за этим последовал код MIT профессора Марка Дрела XFOIL. И PROFILE, и XFOIL включают двухмерные коды панелей со связанными кодми пограничного слоя для работы по анализу профиля. PROFILE использует метод конформного преобразования для проектирования обратного профиля, в то время как XFOIL имеет как конформное преобразование, так и метод обратной панели для проектирования профиля.

Промежуточным этапом между кодами панели и кодами настоящего настоящего кода были коды, в которых использовались уравнения трансзвуковых малых возмущений. В частности, широкое распространение получил трехмерный код WIBCO, пример Чарли Боппе из Grumman Aircraft в начале 1980-х годов.

Разработчики обратились к кодам полного потенциала, поскольку методы панели не предполагают нелинейный поток, на трансзвуковых скоростей. Первое описание способов использования дополнительных возможностей было опубликовано Эрлом Мурманом и Джулианом Коул из Boeing в 1970 году. Фрэнсис Бауэр, Пол Гарабедян и Дэвид Корн Института Куранта в Нью-Йоркском университете (NYU) написал серию широко используемых двумерных кодов полнопотенциального аэродинамического профиля, самая важная из которых была названа Программой H. Дальнейшее развитие программы H было разработано. Боб Мельник и его группа в Grumman Aerospace в качестве Grumfoil. Энтони Джеймсон, используемый работающий в Grumman Aircraft и Курантском институте Нью-Йоркского университета, работал с Дэвидом Коуги над разработкой трехмерной модели Полный код FLO22 в 1975 году. После этого появилось много кодов полной, кульминацией которого стал код Boeing Tranair (A633), который до сих пор широко используется.

Следующим шагом были уравнения Эйлера, которые обещали дать более точные решения трансзвуковых потоков. Методология, использованная Джеймсоном в его трехмерном коде FLO57 (1981), использовалась другими для создания таких программ, как программа Lockheed TEAM и программа MGAERO IAI / Аналитические методы. MGAERO уникален тем, что представляет собой структурированный код декартовой сетки, в то время как большинство других кодов используют структурированные сетки, адаптированные к телу (за исключением очень успешного кода CART3D НАСА, кода SPLITFLOW Lockheed и Georgia Tech NASCART-GT). Энтони Джеймсон также разработал трехмерный код AIRPLANE, в котором использовались неструктурированные тетраэдрические сетки.

В двумерной сфере Марк Дрела и Майкл Джайлз, тогда аспиранты Массачусетского технологического института, разработали программу ISES Euler (фактически набор программ) для проектирования и анализа профиля крыла. Этот код впервые стал доступен в 1986 году и получил дальнейшее развитие для проектирования, анализа и оптимизации одно- или многоэлементных аэродинамических профилей в виде программы MSES. MSES находит широкое применение во всем мире. Производным от MSES для проектирования и анализа аэродинамических профилей в каскаде является MISES, используя Гарольдом «Гуппи» Янгреном, когда он был аспирантом Массачусетского технологического оборудования.

Уравнения Навье - Стокса были конечной целью разработки. Двумерные коды, такие как код ARC2D НАСА Эймса, впервые появились. Был разработан ряд трехмерных кодов (ARC3D, OVERFLOW, CFL3D - три успешных вклада НАСА), что привело к появлению множества коммерческих пакетов.

Иерархию потоков текучей среды

CFD можно рассматривать как группу вычислительных методологий (обсуждаемых ниже), используемых для решения решений, управляющих потоком текучей среды. При применении CFD необходимо использовать критическое решение, какой набор физических допущений и связанных условий необходимо использовать для данной проблемы. Чтобы проиллюстрировать этот шаг, приведены физические допущения / упрощения, выполненные в уравнениях однофазного потока (см. многофазный поток и двухфазный поток ), однофазный (т.е. (если не указано указание) сжимаемый. Тепловым излучением пренебрегают и учитывают массовые силы, обусловленные гравитацией (если указано не указано). Кроме того, для этого типа следующего подчеркивает иерархию потоков, решаемых с помощью CFD. Обратите внимание, что некоторые из следующих способов можно вывести более чем одним способом.

Законы сохранения (CL): это самые фундаментальные уравнения, рассматриваемые с CFD, в том смысле, что, например, следующие уравнения могут быть выведены из них. Для однофазного, однокомпонентного, сжимаемого потока учитываются Сохранение массы, Сохранение количества движения и Сохранение энергии.
Закон сохранения континуума (CCL): начните с CL. Предположим, что масса, импульс и энергия сохраняются локально: эти величины сохраняются и не могут «телепортироваться» из одного места в другое, перемещаться только непрерывным потоком (см. уравнение неразрывности ). Другая интерпретация заключается в том, что каждый начинает с CL и предполагает сплошную среду (см. механика сплошной среды ). Результирующая система является незамкнутой, поскольку для ее решения требуются дополнительные соотношения / уравнения: (a) определяющие соотношения для тензора вязких напряжений ; (b) определяющие соотношения для диффузионного потока теплового потока ; (c) уравнение состояния (EOS), такое как закон идеального газа ; и (d) калорическое уравнение состояния, связывающее температуру с такими величинами, как энтальпия или внутренняя энергия.

Сжимаемая уравнения Навье-Стокса (C-NS): Начало с CCL. Предположим, что тензор вязких напряжений Ньютона (см. Ньютоновская жидкость ) и Тепловой поток Фурье (см. тепловой поток ). C-NS необходимо дополнить EOS и калорийным EOS, чтобы получить замкнутую систему уравнений.

Несжимаемые уравнения Навье-Стокса (I-NS): начните с C-NS. Предположим, что плотность всегда и везде постоянна. Другой способ получить I-NS - это предположить, что число Маха очень мало и что разница температур в жидкости также очень мала. В результате сбалансировать первые два уравнения энергии, поэтому нужно решить только первые два уравнения.

Сжимаемые уравнения Эйлера (EE): Начнем с C-NS. Предположим, что поток без трения и диффузного теплового потока.
Слабо сжимаемые уравнения Навье-Стокса (WC-NS): начните с C-NS. Предположим, что изменение плотности зависит только от температуры, а не от давления. Например, для идеального газа використов $ρ = p 0 / (RT) {\ displaystyle \ rho = p_ {0} / (RT)}$ ${\ displaystyle \ rho = p_ {0} / (RT)}$ , где $p 0 {\ displaystyle p_ {0}}$ $p_ {0}$ - это удобно определенное эталонное давление, всегда и везде постоянно, $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - плотность, $R {\ displaystyle R}$ $R$ - удельная газовая постоянная, а $T {\ displaystyle T}$ $T$ - температура. В результате WK-NS не улавливает акустические волны. В WK-NS часто используются электрические трубки, работающие под давлением. WK-NS также называют C-NS с приближением низкого числа Маха.

Уравнения Буссинеска: Начните с C-NS. Предположим, что вариациями плотности всегда и везде можно пренебречь, за исключением гравитационного показателя сохранения плотности (где умножается на ускорение свободного падения). Также предположим, что различные свойства жидкости, такие как вязкость, теплопроводность и теплоемкость, всегда и везде постоянны. Уравнения Буссинеска широко используются в микромасштабной метеорологии.

Сжимаемые уравнения Навье - Стокса, усредненные по Рейнольдсу, и сжимаемые уравнения Навье-Стокса, усредненные по Фавру (C-RANS и C-FANS): Начните с C-NS. Предположим, что любую переменную поток $f {\ displaystyle f}$ $f$ , такую как плотность, скорость и давление, можно представить как $f = F + f ″ {\ displaystyle f = F + f ''}$ $f=F+f''$ , где $F {\ displaystyle F}$ $F$ - среднее по ансамблю любого потока, а $f ″ {\ displaystyle f ''}$ $f''$ - отклонение от этого среднего значения. $f ″ {\ displaystyle f ''}$ $f''$ не обязательно мало. Если $F {\ displaystyle F}$ $F$ является классическим усредненным по ансамблю (см. разложение Рейнольдса ), можно получить усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье - Стокса. И если $F {\ displaystyle F}$ $F$ собой среднее по ансамблю, взвешенное по плотности, представляет собой усредненные по Фавру уравнения Навье-Стокса. В результате в зависимости от числа Рейнольдса диапазон масштабов движения увеличивается, что приводит к более быстрым решениям по сравнению с решением C-NS. Однако информация теряется, и результирующая система требует соединений незамкнутых соединений, уравнения, уравнения напряжения Рейнольдса.

идеального потока или потенциального потока : Начните с EE. Предположим нулевое вращение жидких частиц (нулевая завихренность) и нулевое расширение потока (нулевая дивергенция). Результирующее поле течения полностью определяется геометрическими границами. Идеальные потоки могут быть полезны в современных CFD для инициализации моделирования.

Линеаризованные сжимаемые уравнения Эйлера (LEE): начните с EE. Предположим, что любая переменная поток $f {\ displaystyle f}$ $f$ , такая как плотность, скорость и давление, может быть представлено как $f = f 0 + f ′ {\ displaystyle f = f_ {0} + f '}$ $f=f_{0}+f'$ , где $f 0 {\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ - значение потока в некотором эталонном или базовом состоянии, а $f ′ {\ displaystyle f '}$ $f'$ - возмущение или отклонение от этого состояния. Кроме того, предположим, что это возмущение $f '{\ displaystyle f'}$ $f'$ очень мало по сравнению с некоторым опорным значением. Наконец, предположим, что $f 0 {\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ удовлетворяет «собственному» уравнению, например EE. LEE и его множество разновидностей широко используются в вычислительной аэроакустике.

Звуковая волна или уравнение акустической волны : начните с LEE. Пренебрегая всеми градиентами $f 0 {\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ и $f ′ {\ displaystyle f '}$ $f'$ , предположим, что число Маха на эталонное или базовое состояние очень мало. Полученные в результате уравнения для плотности, количества движения и энергии можно преобразовать в уравнение давления, что дает хорошо известное уравнение звуковой волны.

Уравнения мелкой воды (SW): рассмотрим поток у стены, где стена параллельна Интересующий масштаб длины намного больше, чем интересующий масштаб длины по нормали к стене. Начнем с EE. Предположим, что плотность всегда и везде постоянна, пренебрегаем составляющей скорости, перпендикулярной стенке, и считаем скорость, параллельную стене, пространственно постоянной.

Граничный слой Уравнения (BL): Начните с C- NS (I-NS) для сжимаемых (несжимаемых) пограничных слоев. Предположим, что есть тонкие области рядом со стенами, где пространственные градиенты, перпендикулярные стене, намного больше, чем градиенты, параллельные стене.

Уравнение Бернулли: начните с EE. Предположим, что изменение плотности зависит только от изменения давления. См. Принцип Бернулли..

Устойчивое уравнение Бернулли: начните с уравнения Бернулли и предположите установившийся поток. Или начните с EE и предположите, что поток является устойчивым, и проинтегрируйте полученное уравнение вдоль линии тока.

Стокса или уравнения ползучего потока: начните с C-NS или I-NS. Пренебрегайте инерцией потока. Такое предположение может быть оправдано, когда число Рейнольдса очень мало. В результате результирующая система уравнений является линейной, что значительно упрощает их решение.

Двумерное уравнение потока в канале: рассмотрим поток между двумя бесконечными параллельными пластинами. Начнем с C-NS. Предположим, что течение стационарное, двумерное и полностью развитое (т.е. профиль скорости не изменяется в продольном направлении). Обратите внимание, что это широко используемоеполностью разработанное предположение может быть неадекватным в некоторых случаях, например, в некоторых сжимаемых микроканальных потоках, и в этом случае его можно заменить полностью разработанным на местном уровне предположением.

Одномерные уравнения Эйлера или одномерные газодинамические уравнения (1D-EE): Начнем с EE. Предположим, что все параметры зависят только от одного пространственного измерения.

Уравнение потока Фанно : Рассмотрим поток внутри воздуховода с постоянной площадью и адиабатическими стенками. Начнем с 1D-EE. Предположите установившийся поток, отсутствие гравита эффектов, и введите в уравнение временных показателей эмпирический член для восстановления эффекта трения о стенку (которым пренебрегают в EE). Чтобы замкнуть уравнение потока Фанно, необходима модель для этого члена трения. Такое замыкание предполагает допущения, зависящие от задачи.

Уравнение потока Рэлея. Рассмотрим поток внутри воздуховода с постоянной площадью и либо неадиабатическими стенками без объемных источников тепла, либо адиабатическими стенками с объемными источниками тепла. Начнем с 1D-EE. Предположим установившийся поток, отсутствие гравитационного воздействия, введите в уравнение сохранения энергии эмпирический член для восстановления эффекта теплопередачи стенок или влияния источников тепла (не учитываемых в EE).

Методология

Во всех этих подходах соблюдается одна и та же основная процедура.

Во время предварительной обработки
- Геометрия и физические границы проблемы могут быть использованы с помощью автоматизированного проектирования (CAD). Оттуда данные можно соответствующим образом обработать (очистить) и извлечь объем жидкости (или область жидкости).
- Объем, занятой жидкостью, разделен на дискретные ячейки (сетка). Сетка может быть однородной или неоднородной, структурированной или неструктурированной, состоящей из комбинаций гексаэдрических, тетраэдрических, призматических, пирамидальных или многогранных элементов.
- Определено физическое моделирование - например, уравнения движения жидкости + энтальпия + излучение + сохранение видов
- Определены граничные условия. Это включает определение поведения и свойств жидкости на всех ограничивающих поверхностях области жидкости. Для переходных задач также начальные условия.
Запускается моделирование, и уравнения решаются итеративно как установившееся или переходное состояние.
Наконец, постпроцессор используется для анализа и визуализации полученного решения.

Методы дискретизации

Стабильность выбранной дискретизации обычно устанавливается численно, а не аналитически, как в случае простых линейных задач. Особое внимание следует уделить тому, чтобы при дискретизации изящно обрабатывались прерывистые решения. Уравнения Эйлера и уравнения Навье - Стокса допускают удары и контактные поверхности.

поскольку используются используемые методы дискретизации:

Метод конечных размеров

Метод конечных объемов (FVM) - распространенный подход, использование в кодах CFD, он имеет преимущество в использовании памяти и скорости решения, особенно для больших задач, числа Рейнольдса турбулентных потоков и потоков с преобладанием исходных элементов (например, горение).

В конечном объемном методе основные дифференциальные уравнения в частных производных (обычно уравнения Навье-Стокса, сохранение массы и энергии и уравнения турбулентности) преобразовываются в консервативную форму, а решаются для дискретных контрольных выбросов. Эта дискретизация гарантирует сохранение через конкретный контрольный объем. Уравнение конечного объема приводит к основным уравнениям в виде,

∂ ∂ t ∭ Q d V + ∬ F d A = 0, {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ iiint Q \, dV + \ iint F \, d \ mathbf {A} = 0,}

{\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ iiint Q \, dV + \ iint F \, d \ mathbf {A} = 0,

где $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ - вектор сохраняемых чисел, $F {\ displaystyle F}$ $F$ - векторный поток (см. уравнения Эйлера или уравнения Навье - Стокса ), $V {\ displaystyle V}$ $V$ - объем элемента контр размера, а $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ - площадь поверхности элемента контрольного объема.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (FEM) используется в структурном анализе Твердого тел, но также применим к жидкостям. Однако консервативное решение МКЭ требует особой осторожности, чтобы предотвратить консервативное решение. Формулировка МКЭ адаптирована для использования с управляющими уравнениями гидродинамики. Хотя МКЭ должен быть сформулирован, чтобы быть консервативным, он намного более устойчивым чем подход конечных размеров. Однако FEM может потребовать больше памяти и иметь более медленное время решения, чем FVM.

В этом методе формируется взвешенное остаточное уравнение:

R i = ∭ W i Q d V e {\ displaystyle R_ {i} = \ iiint W_ {i} Q \, dV ^ {e}}

R_ {i} = \ iiint W_ {i} Q \, dV ^ {e}

где $R i {\ displaystyle R_ {i}}$ $R_ {i}$ - невязка уравнений в вершине элемента $i {\ displaystyle i}$ $i$ , $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ - уравнение сохранения, выраженное на элементной основе, $W i {\ displaystyle W_ {i}}$ $W_{i}$ - весовой коэффициент, а $V e {\ displaystyle V ^ {e}}$ $V^{e}$ - объем элемента.

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей (FDM) имеет историческое значение и прост в программировании. Использование сложных методов геометрии с высокой эффективностью за счет встроенных границ или перекрывающихся сеток (с интерполяцией решений по каждой сетке).

∂ Q ∂ t + ∂ F ∂ x + ∂ G ∂ Y + ∂ H ∂ Z знак равно 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial F } {\ partial x}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial H} {\ partial z}} = 0}

{\ frac {\ partial Q} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial H} {\ partial z}} = 0

где $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ - вектор сохраняемых чисел, и $F {\ displaystyle F}$ $F$ , $G {\ displaystyle G}$ $G$ , и $H {\ displaystyle H}$ $H$ - потоки в $x {\ displaystyle x}$ $x$ , $y {\ displaystyle y}$ $y$ и $z {\ displaystyle z}$ $z$ направления соответственно.

Метод спектральных элементов

Метод спектральных элементов - это метод конечных элементов. Это требует, чтобы математическая формула (уравнение в частных производных) была сформулирована в слабой формулировке. Обычно это делается путем умножения дифференциального уравнения на произвольную тестовую функцию и интегрирования по всей области. Чисто математически тестовые функции совершенно произвольны - они бесконечномерному функциональному пространству. Ясно, что бесконечномерное функциональное пространство не может быть представлено на дискретной сетке спектральных элементов; здесь начинается дискретизация спектрального элемента. Самое главное - это выбор функций интерполяции и тестирования. Вном МКЭ низкого порядка в 2D для четырехугольных элементов наиболее типичным выбором является билинейная проверка или интерполирующая функция вида $v (x, y) = ax + by + cxy + d {\ displaystyle v (x, y) = ax + by + cxy + d}$ $v (x, y) = ax + by + cxy + d$ . Однако в методе спектральных элементов интерполяционные и тестовые функции выбираются как полиномы очень высокого порядка (обычно, например, 10-го порядка в приложениях CFD). Это гарантирует быструю сходимость метода. Кроме того, необходимо использовать очень эффективные процедуры интеграции, так как число интеграций, которые необходимо выполнить в числовых кодах, велико. Таким образом, используются квадратуры интегрирования Гаусса высокого порядка, как они вычисляют наивысшую точность при наименьшем количестве выполняемых операций. В настоящее время существует несколько академических кодов CFD, основанных на методе спектральных элементов, и еще несколько в настоящее время находятся в стадии разработки, поскольку в научном мире используются новые схемы с временным шагом.

Метод Больцмана на решетке

Метод Больцмана на решетке (LBM) с его упрощенной кинетической картиной на решетке обеспечивает эффективную с вычислительной точки зрения описание гидродинамики. В отличие от методов CFD, которые решают динамические характеристики (то есть массы, импульса и энергии) численно, LBM моделирует жидкость, состоящую из фиктивных частиц, и такие частицы происходят последовательные процессы распространения и столкновения по дискретной сетке решетки. В этом методе используется дискретная в пространстве и времени версия уравнения кинетической эволюции в форме Больцмана Бхатнагар-Гросс-Крук (БГК).

Метод граничных элементов

В методе граничных элементов граница, занятая жидкостью, разделяется на сетку поверхности.

Схемы дискретизации с высоким разрешением

Схемы с высоким разрешением используются там, где присутствуют удары или неоднородности. Для регистрации резких изменений в решении необходимо использовать численные схемы или более высокого порядка, которые не вносят паразитные колебания. Обычно это требует применения ограничителя потока, чтобы избежать уменьшения общего отклонения.

Модели турбулентности

При компьютерном моделировании турбулентных потоков одной общей целью получения модель, которая может предсказывать интересующие величины, такие как скорость жидкости, для использования в инженерных расчетах моделируемой системы. Для турбулентных течений диапазон длины и сложности явлений, связанных с турбулентностью, делают большинство подходов к моделированию непомерно дорогими; разрешение, необходимое для разрешения всех масштабов турбулентности, большое вычислительно возможное. Основным подходом в таких случаях является создание числовых моделей для аппроксимации неразрешенных явлений. В этом разделе некоторые часто используемые вычислительные модели турбулентных потоков.

Модели турбулентности можно классифицировать на вычислительных затратах, что соответствует диапазону масштабов, которые моделируются согласно с разрешенными (чем больше масштабов турбулентности разрешено, тем выше разрешение моделирования и, следовательно, тем выше вычислительная стоимость). Если большая часть или все турбулентные масштабы не моделируются, вычислительные затраты будут очень низкими, но компромисс заключается в снижении точности.

В дополнение к широкому диапазону масштабов длины и времени и связанных с ними вычислительных затрат, основные уравнения гидродинамики содержат член нелинейной конвекции и нелинейный и нелинейный член местного градиента давления. Эти нелинейные уравнения необходимо решать с помощью граничных и начальных условий.

Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье - Стокса

Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье - Стокса (RANS) - самый старый подход к моделированию турбулентности. Решается ансамблевая версия основных уравнений, которая вводит новые кажущиеся напряжения, известные как напряжения Рейнольдса. Это кэр тензор неизвестных второго порядка, для которого разные модели обеспечивают разные уровни закрытия. Распространенным заблуждением является то, что уравнения RANS неприменимы к потокам с изменяющимся во времени средним потоком, потому что эти уравнения являются «усредненными по времени». Фактически, можно рассматривать и статистически нестационарные (или нестационарные) потоки. Иногда это называют УРАН. В усреднении по Рейнольдсу нет ничего, что могло бы предотвратить это, но модели турбулентности, используемые для замыкания условий, действительны только до тех пор, пока время, в течение которого происходят эти изменения среднего значения, велико по сравнению с временными масштабами турбулентного движения, содержащего большую часть энергии.

RANS-модели можно разделить на два общих подхода:

Гипотеза Буссинеска: Этот метод включает использование алгебраических уравнений для напряжений Рейнольдса, которое включает определение турбулентной вязкости и в зависимости от уровня сложности модели, решение транспорта уравнения для определения турбулентной кинетической энергии и диссипации. Модели включают k-ε (Launder и Spalding ), модель смешанной длины (Prandtl ) и модель нулевого уравнения (Cebeci и Smith ). Модели, доступные в этом подходе, часто называют количеством уравнений переноса, связанных с методом. Например, модель длины смешения является моделью «нулевого уравнения», потому что уравнения переноса не решаются; $k - ϵ {\ displaystyle k- \ epsilon}$ $k- \ epsilon$ представляет собой модель «двух уравнений», поскольку два уравнения переноса (одно для $k {\ displaystyle k}$ $k$ и один для $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ ) решены.
(RSM): Этот подход пытается фактически решить уравнения переноса для напряжений Рейнольдса. Это означает введение нескольких уравнений переноса для всех напряжений Рейнольдса, и, следовательно, такой подход требует гораздо больших затрат ресурсов центрального процессора.

Моделирование крупных вихрей

Объемная визуализация вихревого пламени без предварительного смешения, моделируемого LES.

Моделирование крупных вихрей (LES) - это метод, при котором самые мелкие масштабы потока удаляются посредством операции фильтрации, а их влияние моделируется с использованием моделей подсеточного масштаба. Это позволяет разрешить самые большие и наиболее важные масштабы турбулентности, при этом значительно снижая вычислительные затраты, связанные с наименьшими масштабами. Этот метод требует больших вычислительных ресурсов, чем методы RANS, но намного дешевле, чем DNS.

Моделирование отдельных вихрей

Моделирование отдельных вихрей (DES) - это модификация модели RANS, в которой модель переключается на формулировку подсеточного масштаба в областях, достаточно мелких для расчетов LES. Области вблизи твердых границ, где турбулентный масштаб длины меньше максимального размера сетки, получают режим решения RANS. Поскольку турбулентный масштаб длины превышает размер сетки, области решаются с использованием режима LES. Следовательно, разрешение сетки для DES не так требовательно, как для чистого LES, что значительно снижает стоимость вычислений. Хотя DES изначально был разработан для модели Спаларта-Аллмараса (Spalart et al., 1997), ее можно реализовать другими моделями RANS (Стрелец, 2001), соответствующим образом изменяя масштаб длины, явно или неявно задействован в модели RANS. Таким образом, в то время как DES на основе модели Спаларта - Аллмараса работает как LES с моделью стены, DES, основанный на других моделях (например, модели с двумя уравнениями), ведет себя как гибридная модель RANS-LES. Генерация сети более сложного, чем для простого случая RANS или LES, из-за переключателя RANS-LES. DES - это незональный подход, обеспечивающий единое плавное поле скорости в областях RANS и LES решений.

Прямое численное моделирование

Прямое численное моделирование (DNS) разрешает весь диапазон турбулентных масштабов длины. Это минимизирует влияние моделей, но стоит очень дорого. Вычислительные затраты пропорциональны $R e 3 {\ displaystyle Re ^ {3}}$ $Re ^ {3}$ . DNS не поддается обработке для потоков со сложной геометрией или конфигурациями потоков.

Моделирование когерентного вихря

Подход моделирования когерентного вихря разделяет поле турбулентного потока на когерентную часть, состоящую из организованного вихревого движения, и некогерентную часть, которая представляет собой случайный фоновый поток. Это разложение выполняется с использованием вейвлет-фильтрация. Этот подход имеет много общего с LES, поскольку он использует декомпозицию и разрешает только отфильтрованную часть, но отличается тем, что не использует линейный фильтр нижних частот. Вместо этого используется операция на вейвлетах, и фильтр можно адаптировать по мере развития поля потока. Фардж и Шнайдер протестировали метод CVS с двумя конфигурациями потока и показали, что когерентная часть потока $- 40 39 {\ displaystyle - {\ frac {40} {39}}}$ $- {\ frac {40} {39} }$ энергетический спектр, представленный полным потоком, соответствует когерентным структурам (вихревые трубки ), в то время, как некогерентные части потока однородный фоновый шум, который не демонстрирует организованных структур. Гольдштейн и Васильев применили модель FDV для моделирования больших вихрей, но не предполагала, что вейвлет-фильтр полностью устраняет все когерентные движения из масштабов подфильтра. Используя фильтрацию LES и CVS, они показали, что в диссипации SFS преобладает когерентная часть потока SFS.

Методы PDF

Методы плотности вероятности (PDF) для турбулентности, впервые представленных Лундгреном, основаны на отслеживании одноточечной PDF скорости, $е В (v; x, t) dv {\ displaystyle f_ {V} ({\ boldsymbol {v}}; {\ boldsymbol {x}}, t) d {\ boldsymbol {v}}}$ $f_ {V} ({\ boldsymbol {v}}; {\ boldsymbol {x}}, t) d {\ boldsymbol {v}}$ , что дает вероятность того, что скорость в точке $x {\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$ ${\ boldsymbol {x}}$ находится между $v {\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}}$ ${\ boldsymbol {v}}$ и $v + dv {\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} + d {\ boldsymbol {v}}}$ ${\ boldsymbol {v}} + d {\ boldsymbol {v}}$ . Этот подход аналогичен кинетической теории газов, в которой макроскопические свойства газа описываются большим количеством частиц. Методы PDF уникальны тем, что различных стандартов в различных моделях турбулентности; основные отличия заключаются в форме уравнения переноса PDF. Например, в контексте крупных моделей вихрей PDF становится фильтрованным PDF. Методы PDF информируют, что информирует. PDF обычно отслеживается с помощью методов лагранжевых частиц; в сочетании с моделированием крупных вихрей это приводит к уравнению Ланжевена для эволюции частиц подфильтра.

Вихревой метод

Вихревой метод - это метод без сетки для моделирования турбулентных течений. Он использует в качестве вихри в вычислительных элементах, имитируя физические структуры в турбулентности. Вихревые методы были разработаны как методология без сетки, которая не будет ограничена фундаментальными эффектами сглаживания, связанными методами на основе сетки. Чтобы быть практичными, вихревые методы требуют средств для быстрых вычислений скоростей от вихревых элементов - другими словами, они требуют решения конкретных задачи N тел формы (в движении, которое связано с их взаимными особенностями). Прорыв произошел в конце 1980-х годов с разработкой метода быстрых мультиполей (FMM), алгоритма В. Рохлина (Йель) и Л. Грингарда (Институт Куранта). Этот прорыв проложил путь к практическому вычислению скоростей от вихревых элементов и элементов успешных алгоритмов.

Программное обеспечение, основанное на вихревом методе, предлагает новые средства для решения сложных задач гидродинамики с минимальным вмешательством пользователя. Все, что требуется, - это указать геометрию задачи и задать граничные и начальные условия. Среди значительных преимуществ этой современной техники;

Он практически не имеет сетки, что исключает многочисленные итерации, связанные с RANS и LES.
Все обрабатываются проблемы одинаково. Не требуется никаких вводных данных для моделирования или калибровки.
Возможны симуляторы временных рядов, которые имеют решающее значение для правильного анализа акустики.
Мелкомасштабные и крупномасштабные модели точно моделируются одновременно.

Метод удержания завихренности

Метод удержания завихренности (VC) - это метод Эйлера, используемый при моделировании турбулентных следов. Он использует подход, подобный уместной, для стабильного решения без численного распространения. ВК может захватывать мелкомасштабные объекты с точностью до 2 ячеек сетки. В рамках этих функций решающее нелинейное уравнение в отличие от конечно-разностного уравнения. VC аналогичен методам захвата ударных волн.

Модель линейных вихрей

Модель линейных вихрей - это метод, используемый для моделирования конвективного перемешивания, происходящего в турбулентном потоке. В частности, он математический способ описания взаимодействий скалярной функции в векторном поле потока. Он в основном используется в одномерном представлении турбулентного потока, так как его можно применять в широком диапазоне масштабов длины и чисел Рейнольдса. Эта модель обычно используется в строительном блоке для более сложных представлений потока, поскольку она обеспечивает прогноз с высоким разрешением, которые сохраняются в большом диапазоне условий потока.

Двухфазный поток

Моделирование орды пузырьков с использованием метода объема жидкости

Моделирование двухфазного потока все еще находится в стадии разработки. Были предложены различные методы, включая метод измерения объема жидкости, метод установки уровня и. Эти методы часто предполагают компромисс между поддержанием четкой границы раздела или сохранением массы. Это очень важно, увеличение плотности, вязкости и поверхностного натяжения на основе значениях, усредненных по границе раздела. Лагранжевые многофазные модели, которые используются для дисперсных сред, основаны на решении лагранжевого уравнения для дисперсной фазы.

Алгоритмы решения

Дискретизация в пространстве дает систему обыкновенные дифференциальные уравнения для нестационарных и алгебраических уравнений для стационарных задач. Неявные или полунеявные методы обычно используются для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, создавая систему (обычно) нелинейных алгебраических уравнений. Применение итераций Ньютона или Пикара дает систему линейных правил, несимметричную при наличии адвекции и неопределенную при наличии несжимаемости. Такие системы, особенно в 3D, часто используются итерационные методы, либо стационарные методы, такие как избыточная избыточная релаксация, либо методы подпространства Крылова. Методы Крылова, такие как GMRES, обычно используются с предварительным условием, работают, минимизируя остаток по последовательным подпространствам, генерируемым оператором предварительного согласования.

Multigrid имеет преимущество асимптотически оптимальной производительности для многих задач. Традиционные решатели и предобуславливатели эффективны для уменьшения высокочастотных компонентов остатка, но для уменьшения низкочастотных компонентов обычно требуется много итераций. Работая в нескольких масштабах, многосеточная технология уменьшает все компоненты невязки на аналогичные коэффициенты, что приводит к независимому от сетки количеству итераций.

Для неопределенных систем предварительные условия, такие как неполная факторизация LU, add Schwarz и multigrid работают плохо или полностью выходят из строя, поэтому для Предварительное предварительное кондиционирование необходимо использовать проблемную структуру. Методами, обычно используемыми в CFD, являются алгоритмы SIMPLE и Uzawa, которые демонстрируют зависящую от сетки скорость сходимости, но недавние достижения, основанные на блочной факторизации LU в сочетании с многосеточной структурой для полученных определенных систем, приводят к предварительные кондиционеры, обеспечивающие скорость сходимости, не зависящую от сетки.

Нестабильная аэродинамика

CFD совершил серьезный прорыв в конце 70-х с созданием LTRAN2, двумерного кода для моделирования колеблющихся профилей на основе трансзвуковая теория малых возмущений Баллхауса и соавторов. Он использует алгоритм переключения Мурмана-Коула для моделирования движущихся ударных волн. Позже AFWAL / Boeing расширили его до 3-D с использованием ротационной разностной схемы, что привело к LTRAN3.

Биомедицинская инженерия

Моделирование кровотока в аорте человека

CFD исследования используются для уточнения характеристик аортального кровотока в деталях, которые выходят за рамки возможностей экспериментальных измерений. Для анализа этих состояний модели сосудистой системы человека извлекаются с использованием современных методов диагностики, таких как МРТ или Компьютерная томография. На основе этих данных реконструируется трехмерная модель, и можно рассчитать поток жидкости. Необходимо учитывать такие свойства крови, как плотность и вязкость, а также реалистичные граничные условия (например, системное давление). Таким образом, становится возможным анализировать и оптимизировать поток в сердечно-сосудистой системе для различных приложений.

ЦП по сравнению с ГП

Традиционно моделирование CFD выполняется на ЦП. В последнее время моделирование также выполняется на графических процессорах. Обычно они содержат более медленные, но больше процессоров. Для алгоритмов CFD с хорошей производительностью параллелизма (то есть хорошим ускорением за счет добавления большего количества ядер) это может сократить время моделирования. Методы решетки-Больцмана - типичный пример кода, который хорошо масштабируется на графических процессорах.

См.

Ссылки

Примечания

Андерсон, Джон Д. (1995). Вычислительная гидродинамика: основы с приложениями. Наука / Инженерия / Математика. McGraw-Hill Science. ISBN 978-0-07-001685-9.
Патанкар, Сухас (1980). Числовой теплообмен и поток жидкости. Серия Hemisphere по вычислительным методам в механике и теплотехнике. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-89116-522-4.

ние ссылки

Курс: Введение в ЦФД - Дмитрий Кузьмин (Дортмундский технологический университет )
Курс: Вычислительная гидродинамика - Суман Чакраборти (Индийский технологический институт, Харагпур )
Курс: Численные методы PDE для ученых и инженеров, Лекции и коды для числовых PDE в открытом доступе, включая современный вид Compressible CFD
Joukowsky Transform Interactive WebApp