Прямое численное моделирование

редактировать

A прямое численное моделирование (DNS) - это моделирование в вычислительной гидродинамике, в котором уравнения Навье – Стокса решаются численно без какой-либо модели турбулентности. Это означает, что необходимо разрешить весь диапазон пространственных и временных масштабов турбулентности. Все пространственные масштабы турбулентности должны быть разрешены в расчетной сетке, от мельчайших диссипативных масштабов (микромасштаб Колмогорова ) до интегрального масштаба $L {\ displaystyle L }$ $L$ , связанный с движениями, содержащими большую часть кинетической энергии. Шкала Колмогорова, $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ , задается как

η = (ν 3 / ε) 1/4 {\ displaystyle \ eta = (\ nu ^ {3 } / \ varepsilon) ^ {1/4}}

\ eta = (\ nu ^ {{3}} / \ varepsilon) ^ {{1/4}}

где $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ - кинематическая вязкость и $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ - это скорость рассеяния кинетической энергии. С другой стороны, интегральный масштаб обычно зависит от пространственного масштаба граничных условий.

Для удовлетворения этих требований к разрешению количество точек $N {\ displaystyle N}$ $N$ вдоль заданного направления сетки с приращениями $h {\ displaystyle h}$ $h$ , должно быть

N h>L, {\ displaystyle Nh>L, \,}

Nh>L, \,

, чтобы интегральная шкала находилась в пределах вычислительной области, а также

h ≤ η, { \ displaystyle h \ leq \ eta, \,}

h \ leq \ eta, \,

, чтобы можно было разрешить шкалу Колмогорова.

Поскольку

ε ≈ u ′ 3 / L, {\ displaystyle \ varepsilon \ приблизительно {u '} ^ {3} / L,}

\varepsilon \approx {u'}^{3}/L,

где $u ′ {\ displaystyle u'}$ $u'$ - это среднеквадратичное значение (RMS) для скорость, предыдущие соотношения подразумевают, что трехмерная DNS требует количества точек сетки $N 3 {\ displaystyle N ^ {3}}$ $N ^ {{3}}$ , удовлетворяющих

N 3 ≥ R e 9/4 = р е 2.25 {\ displaystyle N ^ {3} \ geq \ mathrm {Re} ^ {9/4} = \ mathrm {Re} ^ {2.25}}

N ^ {{3}} \ geq {\ mathrm {Re}} ^ {{9/4}} = {\ mathrm {Re} } ^ {{2.25}}

где $R e {\ displaystyle \ mathrm {Re}}$ ${\ mathrm {Re}}$ - турбулентное число Рейнольдса :

R e = u ′ L ν. {\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {u'L} {\ nu}}.}

{\mathrm {Re}}={\frac {u'L}{\nu }}.

Следовательно, требования к хранилищу памяти в DNS очень быстро растут с увеличением числа Рейнольдса. Кроме того, учитывая очень большой необходимый объем памяти, интегрирование решения во времени должно выполняться явным методом. Это означает, что для обеспечения точности интегрирование для большинства методов дискретизации должно выполняться с шагом по времени $Δ t {\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ , достаточно маленьким, чтобы жидкость частица перемещает только часть шага сетки $h {\ displaystyle h}$ $h$ на каждом шаге. То есть

C = u 'Δ t h < 1 {\displaystyle C={\frac {u'\Delta t}{h}}<1}

C={\frac {u'\Delta t}{h}}<1

( $C {\ displaystyle C}$ $C$ здесь число Куранта ). Общий смоделированный временной интервал обычно пропорционален временной шкале турбулентности $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , заданной как

τ = L u '. {\ displaystyle \ tau = {\ frac {L} {u '}}.}

\tau ={\frac {L}{u'}}.

Объединение этих отношений и тот факт, что $h {\ displaystyle h}$ $h$ должен иметь порядок из $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ , количество шагов интегрирования по времени должно быть пропорционально $L / (C η) {\ displaystyle L / (C \ eta)}$ $L / (C \ eta)$ . С другой стороны, из определений для $R e {\ displaystyle \ mathrm {Re}}$ ${\ mathrm {Re}}$ , $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ и $L {\ displaystyle L}$ $L$ , приведенное выше, следует, что

L η ∼ R e 3/4, {\ displaystyle {\ frac {L} {\ eta}} \ sim \ mathrm {Re} ^ {3/4}, }

{\ frac {L} {\ eta}} \ sim {\ mathrm {Re}} ^ {{3/4}},

и, следовательно, количество шагов по времени растет также по степенному закону числа Рейнольдса.

Можно оценить, что количество операций с плавающей запятой, необходимых для завершения моделирования, пропорционально количеству точек сетки и количеству временных шагов, и, в заключение, количество операций растет как $R e 3 {\ displaystyle \ mathrm {Re} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} ^ {3}}$ .

Следовательно, вычислительные затраты DNS очень высоки даже при малых числах Рейнольдса. Для чисел Рейнольдса, встречающихся в большинстве промышленных приложений, вычислительные ресурсы, требуемые DNS, будут превышать возможности самых мощных компьютеров, доступных в настоящее время. Однако прямое численное моделирование является полезным инструментом фундаментальных исследований турбулентности. Используя DNS, можно проводить «численные эксперименты» и извлекать из них информацию, которую трудно или невозможно получить в лаборатории, что позволяет лучше понять физику турбулентности. Кроме того, прямое численное моделирование полезно при разработке моделей турбулентности для практических приложений, таких как модели подсеточного масштаба для моделирования крупных вихрей (LES) и модели для методов, которые решают усредненные по Рейнольдсу Уравнения Навье – Стокса (RANS). Это делается с помощью «априорных» тестов, в которых входные данные для модели берутся из моделирования DNS, или «апостериорных» тестов, в которых результаты, полученные с помощью модели, сравниваются с результатами, полученными DNS..

См. Также

Внешние ссылки

DNS-страница на CFD-Wiki

Ссылки

^Здесь происхождение термина прямое численное моделирование (см. egp 385 в Orszag, Steven A. (1970). «Аналитические теории турбулентности». Journal of Fluid Mechanics. 41(1970): 363–386. Bibcode : 1970JFM.... 41..363O. doi : 10.1017 / S0022112070000642.) связано с тем, что в то время считалось, что есть только два основных способа получения теоретических результатов, касающихся турбулентности, а именно с помощью теорий турбулентности (например, приближение прямого взаимодействия) и непосредственно из решения уравнений Навье – Стокса.