Условие Куранта – Фридрихса – Леви

редактировать

В математике условие сходимости по Куранту – Фридрихсу – Леви является необходимым условием сходимости при численном решении некоторых дифференциальных уравнений в частных производных (обычно гиперболических уравнений в частных производных ). Он возникает в численном анализе схем явного интегрирования по времени, когда они используются для численного решения. Как следствие, временной шаг должен быть меньше определенного времени во многих явных маршевых во времени компьютерных моделированиях, в противном случае моделирование даст неверные результаты. Условие названо в честь Ричарда Куранта, Курта Фридрихса и Ганса Леви, которые описали его в своей статье 1928 года.

Содержание

  • 1 Эвристическое описание
  • 2 Утверждение
    • 2.1 Одномерный случай
    • 2.2 Двумерный и общий n-мерный случай
  • 3 Примечания
  • 4 Ссылки
  • 5 Внешние ссылки

Эвристическое описание

Принцип, лежащий в основе этого условия, заключается в том, что, например, если волна движется по дискретной пространственной сетке, и мы хотим вычислить ее амплитуду с дискретными временными шагами равной продолжительности, тогда эта продолжительность должна быть меньше времени прохождения волны до соседних точек сетки. Как следствие, когда расстояние между точками сетки уменьшается, верхний предел для временного шага также уменьшается. По сути, численная область зависимости любой точки в пространстве и времени (определяемая начальными условиями и параметрами схемы аппроксимации) должна включать аналитическую область зависимости (в которой начальные условия влияют на точное значение решение в этот момент), чтобы гарантировать, что схема может получить доступ к информации, необходимой для формирования решения.

Утверждение

Чтобы сделать достаточно формально точное утверждение условия, необходимо определить следующие величины:

Пространственные координаты и время имеют дискретные значения. независимые переменные, которые расположены на регулярных расстояниях, называемых длиной интервала и временным шагом, соответственно. Используя эти имена, условие CFL связывает длину временного шага с функцией длины интервала каждой пространственной координаты и максимальной скорости, с которой информация может перемещаться в физическом пространстве.

На практике условие CFL обычно предписывается для тех членов конечно-разностной аппроксимации общих дифференциальных уравнений в частных производных, которые моделируют адвекцию

Одномерный случай

Для одномерного случая КЛЛ имеет следующий вид:

C = u Δ t Δ x ≤ C max {\ displaystyle C = {\ frac {u \, \ Delta t} {\ Delta x}} \ leq C _ {\ max}}C = {\ frac {u \, \ Delta t} {\ Delta x}} \ leq C _ {\ max}

где безразмерное число C {\ displaystyle C}Cназывается числом Куранта,

Значение C max {\ displaystyle C _ {\ max}}C _ {\ max} изменяется вместе с метод, используемый для решения дискретного уравнения, особенно в зависимости от того, является ли метод явный или неявный. Если используется явный (маршевый по времени) решатель, то обычно C max = 1 {\ displaystyle C _ {\ max} = 1}C _ {\ max} = 1 . Неявные (матричные) решатели обычно менее чувствительны к числовой нестабильности, поэтому допускаются более высокие значения C max {\ displaystyle C _ {\ max}}C _ {\ max} .

Двумерный и общий n-мерный случай

В двумерном случае условие CFL становится

C = ux Δ t Δ x + uy Δ t Δ Y ≤ C макс {\ Displaystyle C = {\ frac {u_ {x} \, \ Delta t} {\ Delta x}} + {\ frac {u_ {y} \, \ Delta t} {\ Delta y }} \ leq C _ {\ max}}C = {\ frac {u_ {x} \, \ Delta t} {\ Delta x}} + {\ frac {u_ {y} \, \ Delta t} {\ Delta y}} \ leq C _ {\ max}

с очевидными значениями задействованных символов. По аналогии с двумерным случаем, общее условие CFL для n {\ displaystyle n}n -мерного случая имеет следующий вид:

C = Δ t (∑ i = 1 nuxi Δ xi) ≤ C макс. {\ displaystyle C = \ Delta t \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {u_ {x_ {i}}} {\ Delta x_ {i}}} \ right) \ leq C_ {\ max}.}{\ displaystyle C = \ Delta t \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {u_ {x_ {i}}} {\ Delta x_ {i}}} \ right) \ leq C _ {\ max}.}

Длина интервала не обязательно должна быть одинаковой для каждой пространственной переменной Δ xi, i = 1,…, n {\ displaystyle \ Delta x_ {i}, i = 1, \ ldots, n}\ Delta x_ {i}, i = 1, \ ldots, n . Эта «степень свободы » может использоваться для некоторой оптимизации значения временного шага для конкретной задачи путем изменения значений различных интервалов, чтобы они не были слишком малыми.

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-16 06:54:10
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте