Уравнение акустической волны

В физике уравнение акустической волныуправляет распространением акустические волны через материальную среду. Уравнение имеет форму дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. Уравнение описывает эволюцию акустического давления $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$или скорости частицы uв зависимости от положения xи время $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Упрощенная форма уравнения описывает акустические волны только в одном пространственном измерении, тогда как более общая форма описывает волны в трех измерениях.

Для среды с потерями необходимо применять более сложные модели, чтобы учесть частотно-зависимое затухание и фазовую скорость. Такие модели включают уравнения акустических волн, которые включают члены дробной производной, см. Также статью акустическое затухание или обзорный документ.

• 1 В одном измерении
  • 1.1 Уравнение
  • 1.2 Решение
  • 1.3 Вывод
• 2 В трех измерениях
  • 2.1 Уравнение
  • 2.2 Решение
    • 2.2.1 Декартовы координаты
    • 2.2.2 Цилиндрические координаты
    • 2.2.3 Сферические координаты
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Уравнение

Волновое уравнение, описывающее звук в одном измерении (позиция $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$) равно

$\partial \; 2\; p\; \partial \; x\; 2\; -\; 1\; c\; 2\; \partial \; 2\; p\; \partial \; T\; 2\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; p\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\; -\; \{1\; \backslash \; над\; c\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; p\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\; =\; 0,\}$

где $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- это акустическое давление (местное отклонение от давления окружающей среды), и где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- скорость звука.

Решение

При условии, что скорость $c\; \{\backslash \; di\; splaystyle\; c\}$- константа, не зависящая от частоты (случай без дисперсии), тогда наиболее общее решение:

$p\; =\; f\; (ct\; -\; x)\; +\; g\; (ct\; +\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; f\; (ct-x)\; +\; g\; (ct\; +\; x)\}$

где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- любые две дважды дифференцируемые функции. Это можно представить как суперпозицию двух сигналов произвольного профиля, один ($f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$) движется вверх по оси x, а другой ($g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$) вниз по оси x со скоростью $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$. Частный случай синусоидальной волны, распространяющейся в одном направлении, получается путем выбора $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$или $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$в качестве синусоида, а другой равен нулю, что дает

$p\; =\; p\; 0\; sin\; \; (\omega \; t\; \mp \; kx)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; p\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; t\; \backslash \; mp\; kx)\}$.

где $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$- это угловая частота волны, а $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- ее волна число.

Вывод

Вывод волнового уравнения включает три этапа: вывод уравнения состояния, линеаризованное одномерное уравнение неразрывности и линеаризованное одномерное уравнение силы.

Уравнение состояния (закон идеального газа )

$PV\; =\; n\; RT\; \{\backslash \; displaystyle\; PV\; =\; nRT\}$

В адиабатическом процессе давление P как функция плотности $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$можно линеаризовать до

$P\; =\; C\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; C\; \backslash \; rho\; \backslash ,\}$

, где C - некоторая константа. давление и плотность в их среднюю и полную составляющие и отмечая, что $C\; =\; \partial \; P\; \partial \; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\}\}\}$:

$P\; -\; P\; 0\; Знак\; равно\; (\partial \; п\; \partial \; \rho )\; (\rho \; -\; \rho \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; P-P\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\}\}\; \backslash \; right)\; (\backslash \; rho\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\})\}$.

Адиабатический модуль объемной упругости для жидкости определяется как

$B\; =\; \rho \; 0\; (\partial \; P\; \partial \; \rho )\; адиабатический\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{адиабатический\}\}$

, что дает результат

$P\; -\; P\; 0\; =\; B\; \rho \; -\; \rho \; 0\; \rho \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P-P\_\; \{0\}\; =\; B\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}\}\}$.

Конденсация, s, определяется как изменение плотности для данного плотность окружающей среды.

$s\; =\; \rho \; -\; \rho \; 0\; \rho \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}\}\}$

Линеаризованное уравнение состояния принимает вид

$p\; =\; B\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; Bs\; \backslash ,\}$где p - акустическое давление ($P\; -\; P\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P-P\_\; \{0\}\}$).

непрерывность уравнение (сохранение массы) в одном измерении:

$\partial \; \rho \; \partial \; t\; +\; \partial \; \partial \; x\; (\rho \; u)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (\backslash \; rho\; u)\; =\; 0\}$.

Где u - скорость потока жидкости. И снова уравнение должно быть линеаризовано, а переменные разделены на средние и переменные компоненты.

$\partial \; \partial \; T\; (\rho \; 0\; +\; \rho \; 0\; s)\; +\; \partial \; \partial \; Икс\; (\rho \; 0\; u\; +\; \rho \; 0\; su)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; (\backslash \; rho\; \_\; \{\; 0\}\; +\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; s)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (\backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; u\; +\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; su)\; =\; 0\}$

Перестановка и запись что окружающая плотность не меняется ни во времени, ни в положении, и что конденсация, умноженная на скорость, является очень маленьким числом:

$\partial \; s\; \partial \; t\; +\; \partial \; \partial \; xu\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; s\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; u\; =\; 0\}$

Уравнение Эйлера Силы (сохранение количества движения) является последним необходимым компонентом. В одном измерении уравнение имеет вид:

$\rho \; D\; u\; D\; t\; +\; \partial \; P\; \partial \; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \{\backslash \; frac\; \{Du\}\; \{Dt\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \}\}\; =\; 0\}$,

где $D\; /\; D\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; /\; Dt\}$представляет конвективную, существенную или материальную производную, которая является производной при точка движется со средой, а не в фиксированной точке.

Линеаризация переменных:

$(\rho \; 0\; +\; \rho \; 0\; s)\; (\partial \; \partial \; t\; +\; u\; \partial \; \partial \; x)\; u\; +\; \partial \; \partial \; x\; (P\; 0\; +\; p)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; s)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; u\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; u\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (P\_\; \{0\}\; +\; p)\; =\; 0\}$.

Переставляя и пренебрегая малыми членами, результирующее уравнение становится линеаризованным одномерным уравнением Эйлера:

$\rho \; 0\; \partial \; u\; \partial \; T\; +\; \partial \; п\; \partial \; Икс\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; 0\}$.

Взяв производную по времени уравнения неразрывности и пространственную производную уравнения силы, получаем:

$\partial \; 2\; s\; \partial \; t\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; x\; \partial \; t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; s\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; partial\; t\}\}\; =\; 0\}$

$\rho \; 0\; \partial \; 2\; u\; \partial \; Икс\; \partial \; T\; +\; \partial \; 2\; п\; \partial \; Икс\; 2\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; p\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0\}$.

Умножение первого на $\rho \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}$, вычитая два и подставляя линеаризованное уравнение состояния,

$-\; \rho \; 0\; B\; \partial \; 2\; p\; \partial \; t\; 2\; +\; \partial \; 2\; p\; \partial \; x\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{0\; \}\}\; \{B\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; p\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; p\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\; \}\; =\; 0\}$.

Конечный результат:

$\partial \; 2\; p\; \partial \; x\; 2\; -\; 1\; c\; 2\; \partial \; 2\; p\; \partial \; t\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; p\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{\; 2\}\}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; c\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; p\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\; =\; 0\}$

где $c\; =\; B\; \rho \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}\}\}\}$- скорость распространения.

Уравнение

Фейнман дает вывод волнового уравнения для звука в трех измерениях как

$\nabla \; 2\; p\; -\; 1\; c\; 2\; \partial \; 2\; p\; \partial \; t\; 2\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; p-\; \{1\; \backslash \; over\; c\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; p\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\; =\; 0,\}$

где $\nabla \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\}$- это оператор Лапласа, $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- акустическое давление (местное отклонение от давления окружающей среды), и где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- скорость звука.

Аналогичный вид волновое уравнение, но для векторного поля скорость частицы задается как

$\nabla \; 2\; u\; -\; 1\; c\; 2\; \partial \; 2\; u\; \partial \; t\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash ;\; -\; \{1\; \backslash \; over\; c\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash ;\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\; =\; 0\}$.

В некоторых ситуациях удобнее решать волновое уравнение для абстрактного скалярного поля потенциал скорости, который имеет вид

$\nabla \; 2\; \Phi \; -\; 1\; с\; 2\; \partial \; 2\; \Phi \; \partial \; T\; 2\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\; -\; \{1\; \backslash \; over\; c\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\; =\; 0\}$

, а затем вычислить физические величины скорости частицы и акустического давления по уравнениям (или определению, в случае скорости частицы):

$u\; =\; \nabla \; \Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; u\}\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; \backslash ;\}$,

$p\; =\; -\; \rho \; \partial \; \partial \; t\; \Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; -\; \backslash \; rho\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; \backslash \; Phi\}$.

Решение

Следующие решения получаются путем разделения переменных в разных системах координат. Это решения векторов, то есть они имеют неявный коэффициент зависимости от времени $ei\; \omega \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; omega\; t\}\}$где $\omega \; =\; 2\; \pi \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; 2\; \backslash \; pi\; f\}$- это угловая частота. Явная зависимость от времени задается следующим образом:

$p\; (r,\; t,\; k)\; =\; Real\; \; [p\; (r,\; k)\; ei\; \omega \; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (r,\; t,\; k)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Real\}\; \backslash \; left\; [p\; (r,\; k)\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash \; right]\}$

Здесь $k\; =\; \omega \; /\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \backslash \; omega\; /\; c\; \backslash \}$равно волновое число.

декартовы координаты

$p\; (r,\; k)\; =\; A\; e\; \pm \; ikr\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (r,\; k)\; =\; Ae\; ^\; \{\backslash \; pm\; ikr\}\}$.

Цилиндрические координаты

$п\; (г,\; к)\; знак\; равно\; AH\; 0\; (1)\; (kr)\; +\; BH\; 0\; (2)\; (kr)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (r,\; k)\; =\; AH\_\; \{0\}\; ^\; \{(1)\}\; (kr)\; +\; \backslash \; BH\_\; \{0\}\; ^\; \{(2)\}\; (kr)\}$.

, где асимптотические приближения к функциям Ганкеля, когда $kr\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; kr\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$, являются

$H\; 0\; (1)\; (kr)\; \simeq \; 2\; \pi \; krei\; (kr\; -\; \pi \; /\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{0\}\; ^\; \{(1)\}\; (kr)\; \backslash \; simeq\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\; kr\}\}\}\; e\; ^\; \{i\; (kr-\; \backslash \; pi\; /\; 4)\}\}$

$H\; 0\; (2)\; (kr)\; \simeq \; 2\; \pi \; kre\; -\; i\; (kr\; -\; \pi \; /\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{0\}\; ^\; \{(2)\}\; (kr)\; \backslash \; simeq\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\; kr\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; i\; (kr-\; \backslash \; pi\; /\; 4)\}\}$.

Сферические координаты

$p\; (r,\; k)\; =\; A\; re\; \pm \; ikr\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (r\; ,\; k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{r\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; pm\; ikr\}\}$.

В зависимости от выбранного соглашения Фурье, один из них представляет бегущую волну наружу, а другой - нефизическую бегущую волну внутрь. Бегущая внутрь волна решения является нефизической только из-за особенности, которая возникает при r = 0; бегущие внутрь волны действительно существуют.

• Акустика
• Затухание звука
• Теория акустики
• Волновое уравнение
• Дифференциальные уравнения
• Термодинамика
• Динамика жидкости
• Давление
• Идеальный газ Закон