Акустическая теория

редактировать

Акустическая теория- это научная область, которая связана с описанием звуковых волн. Это происходит из гидродинамики. См. акустика для инженерного подхода.

Для звуковых волн любой величины возмущения скорости, давления и плотности имеем

∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + ∇ ⋅ (ρ ′ v) = 0 (Сохранение массы) (ρ 0 + ρ ′) ∂ v ∂ t + (ρ 0 + ρ ′) (v ⋅ ∇) v + ∇ p ′ = 0 (уравнение движения) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho '} {\ partial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} + \ nabla \ cdot (\ rho' \ mathbf {v}) & = 0 \ qquad {\ text {(Сохранение массы)}} \\ (\ rho _ {0} + \ rho ') {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ rho _ {0 } + \ rho ') (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + \ nabla p' & = 0 \ qquad {\ text {(Уравнение движения)}} \ end {выровнено}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot (\rho '\mathbf {v} )&=0\qquad {\text{(Conservation of Mass)}}\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\qquad {\text{(Equation of Motion)}}\end{aligned}}

В случае, если колебания скорости, плотности и давления малы, мы можем аппроксимировать их как

∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v = 0 ∂ v ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p '= 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho'} {\ partial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} & = 0 \\ { \ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ nabla p '& = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}

куда $v (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t)}$ $\ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t)$ - возмущенная скорость жидкости, $p 0 {\ displaystyle p_ {0}}$ $p_ {0}$ - давление жидкости в состоянии покоя, $p ′ (x, t) {\ displaystyle p '(\ mathbf {x}, t)}$ $p'(\mathbf {x} ,t)$ - возмущенное давление в системе как функция пространства и времени, $ρ 0 {\ displaystyle \ rho _ {0}}$ $\ rho _ {0}$ - плотность покоящейся жидкости, и $ρ ′ (X, t) {\ displaystyle \ rho '(\ mathbf {x}, t)}$ $\rho '(\mathbf {x} ,t)$ - это дисперсия плотности жидкости в пространстве и времени.

В случае, если скорость безвихревой ( $∇ × v = 0 {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {v} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {v} = 0}$ ), тогда мы имеем уравнение акустической волны, описывающее систему:

1 c 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 - ∇ 2 ϕ = 0 {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} { \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ phi = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}} } - \ nabla ^ {2} \ phi = 0}

Где

v = - ∇ ϕ c 2 Знак равно (∂ п ∂ ρ) sp ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t ρ ′ = ρ 0 c 2 ∂ ϕ ∂ t {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} & = - \ nabla \ phi \\ c ^ {2} & = ({\ frac {\ partial p} {\ partial \ rho}}) _ {s} \\ p '& = \ rho _ {0} {\ frac {\ partial \ phi} { \ partial t}} \\\ rho '& = {\ frac {\ rho _ {0}} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ end {выровнено }}}

{\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\c^{2}&=({\frac {\partial p}{\partial \rho }})_{s}\\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}

Содержание

1 Вывод для покоящейся среды
- 1.1 Движущаяся среда
2 Линеаризованные волны
- 2.1 Для безвихревых жидкостей
- 2.2 Для движущейся среды
  - 2.2. 1 Для безвихревой жидкости в движущейся среде
3 Ссылки
4 См. Также

Вывод для среды в состоянии покоя

Начиная с уравнения непрерывности the и уравнение Эйлера:

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ρ v = 0 ρ ∂ v ∂ t + ρ (v ⋅ ∇) v + ∇ p = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ rho \ mathbf {v} & = 0 \\\ rho {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + \ rho (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + \ nabla p & = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ rho \ mathbf {v} & = 0 \\\ rho {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + \ rho (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf { v} + \ nabla p & = 0 \ конец {выровнено}}

Если мы возьмем небольшие возмущения постоянного давления и плотности:

ρ знак равно ρ 0 + ρ ′ p = p 0 + p ′ {\ displaystyle {\ begin {align} \ rho & = \ rho _ {0} + \ rho '\\ p & = p_ {0} + p' \ end { выровнены}}}

{\begin{aligned}\rho &=\rho _{0}+\rho '\\p&=p_{0}+p'\end{aligned}}

Тогда уравнения системы:

∂ ∂ t (ρ 0 + ρ ′) + ∇ ⋅ (ρ 0 + ρ ′) v = 0 (ρ 0 + ρ ′) ∂ v ∂ T + (ρ 0 + ρ ') (v ⋅ ∇) v + ∇ (p 0 + p') = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho _ {0} + \ rho ') + \ nabla \ cdot (\ rho _ {0} + \ rho') \ mathbf {v} & = 0 \\ (\ rho _ {0} + \ rho ') { \ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ rho _ {0} + \ rho ') (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + \ nabla ( p_ {0} + p ') & = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho ')+\nabla \cdot (\rho _{0}+\rho ')\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla (p_{0}+p')&=0\end{aligned}}

Отметив, что равновесные давления и плотности постоянны, это упрощается до

∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + ∇ ⋅ ρ ′ v = 0 (ρ 0 + ρ ′) ∂ v ∂ t + (ρ 0 + ρ ′) (v ⋅ ∇) v + ∇ p 'знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho'} {\ partial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v } + \ nabla \ cdot \ rho '\ mathbf {v} & = 0 \\ (\ rho _ {0} + \ rho') {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ rho _ {0} + \ rho ') (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + \ nabla p' & = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}

Движущаяся среда

Начиная с

∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ w + ∇ ⋅ ρ ′ w = 0 (ρ 0 + ρ ′) ∂ w ∂ t + (ρ 0 + ρ ′) (w ⋅ ∇) вес + ∇ п 'знак равно 0 {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho'} {\ partial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {w } + \ nabla \ cdot \ rho '\ mathbf {w} & = 0 \\ (\ rho _ {0} + \ rho') {\ frac {\ partial \ mathbf {w}} {\ partial t}} + (\ rho _ {0} + \ rho ') (\ mathbf {w} \ cdot \ nabla) \ mathbf {w} + \ nabla p' & = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {w} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {w} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {w} \cdot \nabla )\mathbf {w} +\nabla p'&=0\end{aligned}}

Мы можем получить эти уравнения работают для движущейся среды, задав $w = u + v {\ displaystyle \ mathbf {w} = \ mathbf {u} + \ ma thbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} = \ mathbf {u} + \ mathbf {v}}$ , где $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ - постоянная скорость, с которой движется вся жидкость до возмущения (эквивалент движущийся наблюдатель), а $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ - скорость жидкости.

В этом случае уравнения выглядят очень похоже:

∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + u ⋅ ∇ ρ ′ + ∇ ⋅ ρ ′ v = 0 (ρ 0 + ρ ′) ∂ v ∂ T + (ρ 0 + ρ ′) (u ⋅ ∇) v + (ρ 0 + ρ ′) (v ⋅ ∇) v + ∇ p ′ = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho '} {\ partial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho' + \ nabla \ cdot \ rho ' \ mathbf {v} & = 0 \\ (\ rho _ {0} + \ rho ') {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ rho _ {0} + \ rho ') (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + (\ rho _ {0} + \ rho') (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + \ nabla p '& = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}

Обратите внимание, что установка $u = 0 {\ displaystyle \ mathbf {u} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = 0}$ возвращает уравнения в состоянии покоя.

Линеаризованные волны

Начиная с приведенных выше уравнений движения для покоящейся среды:

∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + ∇ ⋅ ρ ′ v = 0 (ρ 0 + ρ ′) ∂ v ∂ T + (ρ 0 + ρ ′) (v ⋅ ∇) v + ∇ p ′ = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho '} {\ partial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} + \ nabla \ cdot \ rho '\ mathbf {v} & = 0 \\ (\ rho _ {0} + \ rho ') {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ rho _ {0} + \ rho') (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + \ nabla p '& = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}

Теперь возьмем $v, ρ ′, p ′ {\ displaystyle \ mathbf {v}, \ rho', p '}$ $\mathbf {v} ,\rho ',p'$ все должны быть небольшими количествами.

В случае, если мы сохраняем члены в первом порядке, для уравнения неразрывности у нас есть член $ρ ′ v {\ displaystyle \ rho '\ mathbf {v}}$ $\rho '\mathbf {v}$ переходя к 0. Это аналогично относится к возмущению плотности, умноженному на производную скорости по времени. Более того, пространственные компоненты материальной производной стремятся к 0. Таким образом, после перестановки равновесной плотности имеем:

∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v = 0 ∂ v ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ Знак равно 0 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} {\ frac {\ partial \ rho '} {\ partial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} & = 0 \\ {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ nabla p '& = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}

Далее , учитывая, что наша звуковая волна возникает в идеальной жидкости, движение является адиабатическим, и тогда мы можем связать небольшое изменение давления с небольшим изменением плотности следующим образом:

p ′ = (∂ p ∂ ρ 0) s ρ ′ {\ displaystyle p '= ({\ frac {\ partial p} {\ partial \ rho _ {0}}}) _ {s} \ rho'}

p'=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '

При этом условии мы видим, что теперь у нас есть

∂ p ′ ∂ t + ρ 0 (∂ p ∂ ρ 0) s ∇ ⋅ v = 0 ∂ v ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac { \ partial p '} {\ partial t}} + \ rho _ {0} ({\ frac {\ partial p} {\ partial \ rho _ {0}}}) _ {s} \ nabla \ cdot \ mathbf { v} & = 0 \\ {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + {\ frac {1} {\ r ho _ {0}}} \ nabla p '& = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}

Определение скорости звука в системе:

c ≡ (∂ p ∂ ρ 0) s {\ displaystyle c \ Equiv {\ sqrt {({\ frac {\ partial p} {\ partial \ rho _ {0}}}) _ {s}}}}

{\ Displaystyle C \ Equiv {\ sqrt {({\ frac {\ partial p} {\ partial \ rho _ {0}}}) _ {s}}}}

Все становится

∂ p ′ ∂ t + ρ 0 с 2 ∇ ⋅ v знак равно 0 ∂ v ∂ T + 1 ρ 0 ∇ p '= 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial p'} {\ partial t}} + \ rho _ {0 } c ^ {2} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} & = 0 \\ {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + {\ frac {1} {\ rho _ { 0}}} \ nabla p '& = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}

Для безвихревой жидкости

В случае безвихревой жидкости, то есть $∇ × v = 0 { \ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {v} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {v} = 0}$ , тогда мы можем написать $v = - ∇ ϕ {\ displaystyle \ mathbf {v} = - \ nabla \ phi}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = - \ nabla \ phi}$ и, таким образом, запишем наши уравнения движения как

∂ p ′ ∂ t - ρ 0 c 2 ∇ 2 ϕ = 0 - ∇ ∂ ϕ ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial p '} {\ partial t}} - \ rho _ {0} c ^ {2} \ nabla ^ {2} \ phi & = 0 \\ - \ nabla {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ na bla p '& = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi &=0\\-\nabla {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}

Второе уравнение говорит нам, что

p ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t {\ displaystyle p' = \ rho _ {0} {\ frac { \ partial \ phi} {\ partial t}}}

p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

И использование этого уравнения в уравнении неразрывности говорит нам, что

ρ 0 ∂ 2 ϕ ∂ t - ρ 0 c 2 ∇ 2 ϕ = 0 {\ displaystyle \ rho _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t}} - \ rho _ {0} c ^ {2} \ nabla ^ {2} \ phi = 0}

{\ displaystyle \ rho _ {0} {\ frac {\ partial ^ { 2} \ phi} {\ partial t}} - \ rho _ {0} c ^ {2} \ nabla ^ {2} \ phi = 0}

Это упрощается до

1 c 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 - ∇ 2 ϕ = 0 {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ phi = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}} } - \ nabla ^ {2} \ phi = 0}

Таким образом, потенциал скорости $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ подчиняется волновое уравнение в пределе малых возмущений. Граничные условия, необходимые для определения потенциала, исходят из того факта, что скорость жидкости должна быть 0 нормальна к неподвижным поверхностям системы.

Взяв производную по времени от этого волнового уравнения и умножив все стороны на невозмущенную плотность, а затем используя тот факт, что $p ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t {\ displaystyle p '= \ rho _ {0} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}}}$ $p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}$ сообщает нам, что

1 c 2 ∂ 2 p ′ ∂ t 2 - ∇ 2 p ′ = 0 {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} p '} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} p' = 0}

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p'}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p'=0

Точно так же мы видели, что $p ′ = (∂ p ∂ ρ 0) s ρ ′ = c 2 ρ ′ {\ displaystyle p '= ({\ frac {\ partial p} {\ partial \ rho _ {0}}}) _ {s} \ rho '= c ^ {2} \ rho'}$ $p'=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '=c^{2}\rho '$ . Таким образом, мы можем умножить указанное выше уравнение соответствующим образом и увидеть, что

1 c 2 ∂ 2 ρ ′ ∂ t 2 - ∇ 2 ρ ′ = 0 {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho '} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ rho' = 0}

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\rho '=0

Таким образом, потенциал скорости, давление и плотность подчиняются волновое уравнение. Более того, нам нужно решить только одно такое уравнение, чтобы определить все остальные три. В частности, у нас есть

v = - ∇ ϕ p ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t ρ ′ = ρ 0 c 2 ∂ ϕ ∂ t {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} & = - \ nabla \ phi \\ p '& = \ rho _ {0} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \\\ rho' & = {\ frac {\ rho _ {0}} { c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}

Для движущейся среды

Опять же, мы можем получить предел возмущения звуковых волн в движущейся среде. И снова, начиная с

∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + u ⋅ ∇ ρ ′ + ∇ ⋅ ρ ′ v = 0 (ρ 0 + ρ ′) ∂ v ∂ t + (ρ 0 + ρ ′ ) (U ⋅ ∇) v + (ρ 0 + ρ ′) (v ⋅ ∇) v + ∇ p ′ = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho '} {\ partial t }} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho '+ \ nabla \ cdot \ rho' \ mathbf {v} & = 0 \\ ( \ rho _ {0} + \ rho ') {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ rho _ {0} + \ rho') (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + (\ rho _ {0} + \ rho ') (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + \ nabla p' & = 0 \ end {выровнено} }}

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}

Их можно линеаризовать в

∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + u ⋅ ∇ ρ ′ = 0 ∂ v ∂ t + (u ⋅ ∇) v + 1 ρ 0 ∇ p ′ Знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho '} {\ partial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho '& = 0 \\ {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ nabla p '& = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}

Для безвихревых жидкостей в движущейся среде

Учитывая, что t мы видели, что

∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + u ⋅ ∇ ρ ′ = 0 ∂ v ∂ t + (u ⋅ ∇) v + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\ displaystyle { \ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho '} {\ partial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho' & = 0 \\ {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ nabla p '& = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}

Если мы сделаем предыдущие предположения об идеальности жидкости и безвихревой скорости, то мы имеем

p ′ = ( ∂ п ∂ ρ 0) s ρ ′ знак равно c 2 ρ ′ v = - ∇ ϕ {\ displaystyle {\ begin {align} p '& = ({\ frac {\ partial p} {\ partial \ rho _ {0}) }}) _ {s} \ rho '= c ^ {2} \ rho' \\\ mathbf {v} & = - \ nabla \ phi \ end {align}}}

{\begin{aligned}p'&=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '=c^{2}\rho '\\\mathbf {v} &=-\nabla \phi \end{aligned}}

При этих предположениях наш линеаризованный звук уравнения становятся

1 c 2 ∂ p ′ ∂ t - ρ 0 ∇ 2 ϕ + 1 c 2 u ⋅ ∇ p ′ = 0 - ∂ ∂ t (∇ ϕ) - (u ⋅ ∇) [∇ ϕ] + 1 ρ 0 ∇ п 'знак равно 0 {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial p'} {\ partial t}} - \ rho _ { 0} \ nabla ^ {2} \ phi + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {u} \ c точка \ nabla p '& = 0 \\ - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ nabla \ phi) - (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) [\ nabla \ phi] + { \ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ nabla p '& = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'&=0\\-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \phi )-(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}

Важно отметить, поскольку $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ - константа, мы имеем $(u ⋅ ∇) [∇ ϕ] = ∇ [(u ⋅ ∇) ϕ] {\ displaystyle (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) [\ nabla \ phi ] = \ nabla [(\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ phi]}$ ${\ displaystyle ( \ mathbf {u} \ cdot \ nabla) [\ nabla \ phi] = \ nabla [(\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ phi]}$ , а затем второе уравнение говорит нам, что

1 ρ 0 ∇ p ′ = ∇ [∂ ϕ ∂ T + (U ⋅ ∇) ϕ] {\ Displaystyle {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ nabla p '= \ nabla [{\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ phi]}

{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'=\nabla [{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]

Или просто

p ′ = ρ 0 [∂ ϕ ∂ t + (u ⋅ ∇) ϕ] {\ displaystyle p '= \ rho _ {0} [{\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ phi]}

p'=\rho _{0}[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]

Теперь, когда мы используем это соотношение с фактом что $1 c 2 ∂ p ′ ∂ T - ρ 0 ∇ 2 ϕ + 1 c 2 u ⋅ ∇ p ′ = 0 {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac { \ partial p '} {\ partial t}} - \ rho _ {0} \ nabla ^ {2} \ phi + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ ma thbf {u} \ cdot \ nabla p '= 0}$ ${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'=0$ , наряду с сокращением и перестановкой членов, мы приходим к

1 c 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 - ∇ 2 ϕ + 1 c 2 ∂ ∂ T [(u ⋅ ∇) ϕ] + 1 c 2 ∂ ∂ T (u ⋅ ∇ ϕ) + 1 c 2 u ⋅ ∇ [(u ⋅ ∇) ϕ] = 0 {\ displaystyle {\ frac {1} { c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ phi + {\ frac {1} {c ^ { 2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} [(\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ phi] + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ phi) + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {u} \ cdot \ nabla [(\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ phi] = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ phi + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} [(\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ phi] + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ phi) + { \ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {u} \ cdot \ nabla [(\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ phi] = 0}

Мы можем записать это в знакомой форме как

[1 c 2 (∂ ∂ t + u ⋅ ∇) 2 - ∇ 2] ϕ = 0 {\ Displaystyle [{\ гидроразрыва {1} {с ^ {2}}} ({\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla) ^ {2} - \ nabla ^ {2}] \ phi = 0}

{\ displaystyle [{\ frac {1} {c ^ {2}}} ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla) ^ {2} - \ nabla ^ {2}] \ phi = 0}

Это дифференциальное уравнение необходимо решать с соответствующими граничными условиями. Обратите внимание, что установка $u = 0 {\ displaystyle \ mathbf {u} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = 0}$ возвращает нам волновое уравнение. Тем не менее, после решения этого уравнения для движущейся среды мы получаем

v = - ∇ ϕ p ′ = ρ 0 (∂ ∂ t + u ⋅) ϕ ρ ′ = ρ 0 c 2 (∂ ∂ t + u ⋅ ∇) ϕ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} & = - \ nabla \ phi \\ p '& = \ rho _ {0} ({\ frac {\ partial} {\ partial t} } + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ phi \\\ rho '& = {\ frac {\ rho _ {0}} {c ^ {2}}} ({\ frac {\ partial} {\ частичный t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ phi \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \end{aligned}}

Ссылки

Ландау, LD; Лифшиц, Э.М. (1984). Гидромеханика (2-е изд.). ISBN 0-7506-2767-0.
Феттер, Александр; Валецка, Джон (2003). Гидромеханика (1-е изд.). ISBN 0-486-43261-0.