Частица в ячейке

редактировать

Метод частиц в ячейках ( PIC) относится к методам, используемым для решения определенного класса дифференциальных уравнений в частных производных. В этом методе отдельные частицы (или элементы жидкости) в лагранжевой системе отсчета отслеживаются в непрерывном фазовом пространстве, тогда как моменты распределения, такие как плотности и токи, вычисляются одновременно в эйлеровых (стационарных) точках сетки.

Методы PIC использовались уже в 1955 году, еще до появления первых компиляторов Fortran. Этот метод приобрел популярность для моделирования плазмы в конце 1950-х - начале 1960-х годов Бунеманом, Доусоном, Хокни, Бердсоллом, Морсом и другими. В приложениях физики плазмы этот метод сводится к отслеживанию траекторий заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных (или электростатических) полях, вычисленных на фиксированной сетке.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Технические аспекты
2 Основы методики моделирования плазмы PIC
- 2.1 Суперчастицы
- 2.2 Движитель частиц
- 2.3 Решатель поля
- 2.4 Взвешивание частиц и поля
- 2.5 Столкновения
- 2.6 Условия точности и устойчивости
3 Приложения
4 Вычислительные приложения для электромагнитных частиц в ячейках
5 См. Также
6 Ссылки
7 Библиография
8 Внешние ссылки

Технические аспекты

Для многих типов задач классический метод PIC, изобретенный Бунеманом, Доусоном, Хокни, Бердсоллом, Морсом и другими, относительно интуитивно понятен и прост в реализации. Это, вероятно, во многом объясняет его успех, особенно при моделировании плазмы, для которого метод обычно включает следующие процедуры:

Интегрирование уравнений движения.
Интерполяция условий источника заряда и тока в сетку поля.
Вычисление полей в точках сетки.
Интерполяция полей от сетки до местоположений частиц.

Модели, которые включают взаимодействие частиц только через средние поля, называются PM (Particle-mesh). Прямые бинарные взаимодействия включают PP (частица-частица). Модели с обоими типами взаимодействий называются PP-PM или P ³ M.

С самого начала было признано, что метод PIC подвержен ошибкам из-за так называемого шума дискретных частиц. Эта ошибка носит статистический характер, и сегодня она остается менее понятной, чем для традиционных методов с фиксированной сеткой, таких как эйлеровы или полулагранжевые схемы.

Современные геометрические алгоритмы PIC основаны на совершенно иной теоретической основе. Эти алгоритмы используют инструменты дискретного многообразия, интерполирующих дифференциальных форм и канонических или неканонических симплектических интеграторов, чтобы гарантировать калибровочный инвариант и сохранение заряда, энергии-импульса и, что более важно, бесконечномерную симплектическую структуру системы частиц-полей. Эти желаемые особенности объясняются тем фактом, что геометрические алгоритмы PIC построены на более фундаментальной теоретико-полевой структуре и напрямую связаны с идеальной формой, то есть с вариационным принципом физики.

Основы методики моделирования плазмы PIC

В сообществе исследователей плазмы исследуются системы различных видов (электроны, ионы, нейтралы, молекулы, частицы пыли и т. Д.). Таким образом, набор уравнений, связанных с кодами PIC, представляет собой силу Лоренца как уравнение движения, решаемое в так называемом толкателе или двигателе частиц кода, и уравнения Максвелла, определяющие электрическое и магнитное поля, вычисляемые в (полевом) решателе..

Суперчастицы

Изучаемые реальные системы часто чрезвычайно велики по количеству содержащихся в них частиц. Для того, чтобы моделирование было эффективным или вообще возможным, используются так называемые суперчастицы. Суперчастица (или макрочастица) - это вычислительная частица, которая представляет множество реальных частиц; это могут быть миллионы электронов или ионов в случае моделирования плазмы или, например, вихревой элемент в моделировании жидкости. Разрешается изменять масштаб числа частиц, потому что ускорение от силы Лоренца зависит только от отношения заряда к массе, поэтому суперчастица будет следовать по той же траектории, что и реальная частица.

Число реальных частиц, соответствующих суперчастице, должно быть выбрано таким, чтобы можно было собрать достаточную статистику по движению частицы. Если существует значительная разница между плотностью различных частиц в системе (например, между ионами и нейтралами), для них можно использовать отдельные отношения реальных частиц к сверхчастицам.

Движитель частиц

Даже с суперчастицами количество смоделированных частиц обычно очень велико (gt; 10 ⁵), и часто перемещение частиц является наиболее трудоемкой частью PIC, поскольку это должно выполняться для каждой частицы отдельно. Таким образом, толкатель должен обладать высокой точностью и скоростью, и много усилий затрачивается на оптимизацию различных схем.

Схемы, используемые для движка частиц, можно разделить на две категории: неявные и явные решатели. В то время как неявные решатели (например, неявная схема Эйлера) вычисляют скорость частицы из уже обновленных полей, явные решатели используют только старую силу из предыдущего временного шага, и поэтому они проще и быстрее, но требуют меньшего временного шага. В моделировании PIC используется метод чехарды, явный метод второго порядка. Также используется алгоритм Бориса, который компенсирует магнитное поле в уравнении Ньютона-Лоренца.

Для плазменных приложений метод чехарды принимает следующую форму:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {x} _ {k + 1} - \ mathbf {x} _ {k}} {\ Delta t}} = \ mathbf {v} _ {k + 1/2}, }

{\ frac {{\ mathbf {x}} _ {{k + 1}} - {\ mathbf {x}} _ {{k}}} {\ Delta t}} = {\ mathbf {v}} _ { {k + 1/2}},

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {v} _ {k + 1/2} - \ mathbf {v} _ {k-1/2}} {\ Delta t}} = {\ frac {q} {m }} \ left (\ mathbf {E} _ {k} + {\ frac {\ mathbf {v} _ {k + 1/2} + \ mathbf {v} _ {k-1/2}} {2} } \ times \ mathbf {B} _ {k} \ right),}

{\ frac {{\ mathbf {v}} _ {{k + 1/2}} - {\ mathbf {v}} _ {{k-1/2}}} {\ Delta t}} = {\ frac {q} {m}} \ left ({\ mathbf {E}} _ {k} + {\ frac {{\ mathbf {v}} _ {{k + 1/2}} + {\ mathbf {v}) } _ {{k-1/2}}} {2}} \ times {\ mathbf {B}} _ {{k}} \ right),

где нижний индекс относится к «старым» количествам с предыдущего временного шага, к обновленным количествам со следующего временного шага (т. е.), а скорости вычисляются между обычными временными шагами. ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle k + 1}$ $к + 1$ ${\ displaystyle t_ {k + 1} = t_ {k} + \ Delta t}$ $t _ {{k + 1}} = t_ {k} + \ Delta t$ ${\ displaystyle t_ {k}}$ $т_ {к}$

Уравнения схемы Бориса, которые подставляются в приведенные выше уравнения:

{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k + 1} = \ mathbf {x} _ {k} + {\ Delta t} \ mathbf {v} _ {k + 1/2},}

{\ mathbf {x}} _ {{k + 1}} = {\ mathbf {x}} _ {{k}} + {\ Delta t} {\ mathbf {v}} _ {{k + 1/2 }},

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {к + 1/2} = \ mathbf {u} '+ q' \ mathbf {E} _ {k},}

{\ mathbf {v}} _ {{k + 1/2}} = {\ mathbf {u}} '+ q' {\ mathbf {E}} _ {k},

с участием

{\ displaystyle \ mathbf {u} '= \ mathbf {u} + (\ mathbf {u} + (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {h})) \ times \ mathbf {s},}

{\ mathbf {u}} '= {\ mathbf {u}} + ({\ mathbf {u}} + ({\ mathbf {u}} \ times {\ mathbf {h}})) \ times {\ mathbf {s}},

{\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v} _ {k-1/2} + q '\ mathbf {E} _ {k},}

{\ mathbf {u}} = {\ mathbf {v}} _ {{k-1/2}} + q '{\ mathbf {E}} _ {k},

{\ displaystyle \ mathbf {h} = q '\ mathbf {B} _ {k},}

{\ mathbf {h}} = q '{\ mathbf {B}} _ {k},

{\ displaystyle \ mathbf {s} = 2 \ mathbf {h} / (1 + h ^ {2})}

{\ mathbf {s}} = 2 {\ mathbf {h}} / (1 + h ^ {2})

и. ${\ displaystyle q '= \ Delta t \ times (q / 2m)}$ $q '= \ Delta t \ раз (q / 2m)$

Благодаря своей превосходной долгосрочной точности алгоритм Бориса является де-факто стандартом для продвижения заряженной частицы. Было понято, что превосходная долговременная точность нерелятивистского алгоритма Бориса связана с тем, что он сохраняет объем фазового пространства, хотя и не является симплектическим. Глобальный предел энергетической ошибки, обычно связанный с симплектическими алгоритмами, все еще сохраняется для алгоритма Бориса, что делает его эффективным алгоритмом для многомасштабной динамики плазмы. Также было показано, что можно улучшить релятивистский толчок Бориса, чтобы сохранить объем и получить решение с постоянной скоростью в скрещенных полях E и B.

Решатель поля

Наиболее часто используемые методы решения уравнений Максвелла (или, в более общем смысле, дифференциальных уравнений в частных производных (PDE)) относятся к одной из следующих трех категорий:

С помощью FDM непрерывная область заменяется дискретной сеткой точек, по которой рассчитываются электрическое и магнитное поля. Затем производные аппроксимируются с помощью разностей между значениями соседних узлов сетки и, таким образом, УЧП превращаются в алгебраические уравнения.

С помощью МКЭ непрерывная область разбивается на дискретную сетку элементов. PDE рассматриваются как проблема собственных значений, и первоначально пробное решение вычисляется с использованием базисных функций, локализованных в каждом элементе. Окончательное решение затем получается путем оптимизации до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Также спектральные методы, такие как быстрое преобразование Фурье (БПФ), преобразуют УЧП в проблему собственных значений, но на этот раз базисные функции имеют высокий порядок и определены глобально во всей области. Сама область в этом случае не дискретизируется, она остается непрерывной. Опять же, пробное решение находится путем вставки базисных функций в уравнение собственных значений, а затем оптимизируется для определения наилучших значений исходных параметров испытания.

Взвешивание частиц и поля

Название «частица в ячейке» происходит от того, как макрокомпоненты плазмы ( числовая плотность, плотность тока и т. Д.) Присваиваются имитационным частицам (т. Е. Взвешиванию частиц). Частицы могут быть расположены в любом месте непрерывной области, но макровеличины вычисляются только в точках сетки, как и поля. Чтобы получить макровеличины, предполагается, что частицы имеют заданную «форму», определяемую функцией формы.

{\ Displaystyle S (\ mathbf {x} - \ mathbf {X}),}

S ({\ mathbf {x}} - {\ mathbf {X}}),

где - координата частицы и точки наблюдения. Возможно, самый простой и наиболее часто используемый выбор для функции формы - это так называемая схема « облако в ячейке» (CIC), которая представляет собой (линейную) схему взвешивания первого порядка. Какой бы ни была схема, функция формы должна удовлетворять следующим условиям: изотропия пространства, сохранение заряда и повышение точности (сходимости) для членов более высокого порядка. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ $\ mathbf {X}$

Поля, полученные с помощью решателя поля, определяются только в точках сетки и не могут использоваться непосредственно в движке частиц для расчета силы, действующей на частицы, но должны быть интерполированы с помощью взвешивания поля:

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} \ mathbf {E} _ {i} S (\ mathbf {x} _ {i} - \ mathbf {x}), }

{\ mathbf {E}} ({\ mathbf {x}}) = \ sum _ {{i}} {\ mathbf {E}} _ {i} S ({\ mathbf {x}} _ {i} - {\ mathbf {x}}),

где нижний индекс отмечает точку сетки. Чтобы гарантировать самосогласованное получение сил, действующих на частицы, способ вычисления макровеличин из положений частиц в точках сетки и интерполяции полей из точек сетки в положения частиц также должен быть согласованным, поскольку они оба появляются в диаграммах Максвелла. уравнения. Прежде всего, схема интерполяции поля должна сохранять импульс. Этого можно достичь, выбрав одну и ту же схему взвешивания для частиц и полей и одновременно обеспечив соответствующую пространственную симметрию (т. Е. Отсутствие самодействия и выполнение закона действия-противодействия ) решателя поля. ${\ displaystyle i}$ $я$

Столкновения

Поскольку решатель поля должен быть свободен от сил самодействия, внутри ячейки поле, создаваемое частицей, должно уменьшаться с уменьшением расстояния от частицы, и, следовательно, силы между частицами внутри ячеек недооцениваются. Это можно уравновесить с помощью кулоновских столкновений заряженных частиц. Моделирование взаимодействия для каждой пары большой системы было бы слишком затратным в вычислительном отношении, поэтому вместо этого было разработано несколько методов Монте-Карло. Широко используемым методом является модель бинарных столкновений, в которой частицы группируются в соответствии с их ячейками, затем эти частицы случайным образом объединяются в пары и, наконец, пары сталкиваются.

В реальной плазме могут играть роль многие другие реакции, от упругих столкновений, таких как столкновения между заряженными и нейтральными частицами, до неупругих столкновений, таких как электронно-нейтральное ионизационное столкновение, до химических реакций; каждый из них требует отдельного лечения. Большинство моделей столкновений, обрабатывающих столкновения заряженных нейтральных частиц, используют либо прямую схему Монте-Карло, в которой все частицы несут информацию о своей вероятности столкновения, либо схему нулевых столкновений, которая не анализирует все частицы, но использует максимальную вероятность столкновения для вместо этого каждый заряженный вид.

Условия точности и устойчивости

Как и в любом методе моделирования, также в PIC, временной шаг и размер сетки должны быть правильно выбраны, чтобы интересующие явления масштаба времени и длины были должным образом разрешены в задаче. Кроме того, временной шаг и размер сетки влияют на скорость и точность кода.

Для моделирования электростатической плазмы с использованием явной схемы интегрирования по времени (например, чехарда, которая используется наиболее часто), необходимо выполнить два важных условия, касающихся размера сетки и шага по времени, чтобы гарантировать стабильность решения: ${\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ ${\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$

{\ displaystyle \ Delta x lt;3.4 \ lambda _ {D},}

\ Delta x lt;3.4 \ lambda _ {D},

{\ displaystyle \ Delta t \ leq 2 \ omega _ {pe} ^ {- 1},}

\ Delta t \ leq 2 \ omega _ {{pe}} ^ {{- 1}},

которое можно получить, рассматривая гармонические колебания одномерной безмагниченной плазмы. Последнее условие является строго обязательным, но практические соображения, связанные с сохранением энергии, предлагают использовать гораздо более жесткое ограничение, когда множитель 2 заменяется числом на порядок меньшим. Использование типично. Неудивительно, что естественный масштаб времени в плазме определяется обратной плазменной частотой, а масштаб длины - длиной Дебая. ${\ displaystyle \ Delta t \ leq 0.1 \ omega _ {pe} ^ {- 1},}$ $\ Delta t \ leq 0.1 \ omega _ {{pe}} ^ {{- 1}},$ ${\ displaystyle \ omega _ {pe} ^ {- 1}}$ $\ omega _ {{pe}} ^ {{- 1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {D}}$ $\ lambda _ {D}$

Для явного моделирования электромагнитной плазмы временной шаг также должен удовлетворять условию CFL :

{\ Displaystyle \ Delta t lt;\ Delta x / c,}

\ Delta t lt;\ Delta x / c,

где, - скорость света. ${\ displaystyle \ Delta x \ sim \ lambda _ {D}}$ $\ Delta x \ sim \ lambda _ {D}$ ${\ displaystyle c}$ $c$

Приложения

В физике плазмы, ПОС моделирование было успешно использовано для исследования лазерной плазмы взаимодействий, ускорения электронов и нагрев ион в авроральной ионосфере, магнитная гидродинамика, магнитное переподключение, а также ионный градиент температуры и другие микронеустойчивости в токамаке, кроме того, вакуумные разряды, и пыльная плазма.

Гибридные модели могут использовать метод PIC для кинетической обработки некоторых видов, в то время как другие виды (которые являются максвелловскими ) моделируются с помощью жидкостной модели.

Моделирование с помощью PIC также применялось за пределами физики плазмы для решения задач механики твердого тела и жидкости.

Вычислительные приложения с электромагнитными частицами в ячейках

Вычислительное приложение	Лицензия	Доступность	Каноническая ссылка
ОСТРЫЙ	Проприетарный		DOI : 10.3847 / 1538-4357 / aa6d13
ALaDyn	GPLv3 +	Открытое репо:	DOI : 10,5281 / zenodo.49553
ЭПОХА	GPL	Открыт для академических пользователей, но требуется регистрация:	DOI : 10,1088 / 0741-3335 / 57/11/113001
FBPIC	3-пункт-BSD-LBNL	Открытое репо:	DOI : 10.1016 / j.cpc.2016.02.007
LSP	Проприетарный	Доступно в АТК	DOI : 10.1016 / S0168-9002 (01) 00024-9
МАГИЯ	Проприетарный	Доступно в АТК	DOI : 10.1016 / 0010-4655 (95) 00010-D
ОСИРИС	Проприетарный	Закрыто (участники Меморандума о взаимопонимании)	DOI : 10.1007 / 3-540-47789-6_36
ПИККАНТА	GPLv3 +	Открытое репо:	DOI : 10,5281 / zenodo.48703
PICLas	Проприетарный	Можно получить в Институте космических систем и Институте аэродинамики и газовой динамики Штутгартского университета.	DOI : 10.1016 / j.crme.2014.07.005
PIConGPU	GPLv3 +	Открытое репо:	DOI : 10,1145 / 2503210,2504564
SMILEI	CeCILL-B	Открытое репо:	DOI : 10.1016 / j.cpc.2017.09.024
iPIC3D	Лицензия Apache 2.0	Открытое репо:	DOI : 10.1016 / j.matcom.2009.08.038
Виртуальная лаборатория лазерной плазмы (VLPL)	Проприетарный	Неизвестный	DOI : 10,1017 / S0022377899007515
VizGrain	Проприетарный	Коммерчески доступно от Esgee Technologies Inc.
VPIC	3-пункт-BSD	Открытое репо:	DOI : 10,1063 / 1,2840133
VSim (Ворпал)	Проприетарный	Доступно в Tech-X Corporation	DOI : 10.1016 / j.jcp.2003.11.004
Деформация	3-пункт-BSD-LBNL	Открытое репо:	DOI : 10,1063 / 1,860024
WarpX	3-пункт-BSD-LBNL	Открытое репо:	DOI : 10.1016 / j.nima.2018.01.035
ZPIC	AGPLv3 +	Открытое репо:
ultraPICA	Проприетарный	Коммерчески доступно от Plasma Taiwan Innovation Corporation.

Смотрите также

использованная литература

Библиография

Бердсолл, Чарльз К.; А. Брюс Лэнгдон (1985). Физика плазмы с помощью компьютерного моделирования. Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-005371-5.

Хокни, Роджер У.; Джеймс У. Иствуд (1988). Компьютерное моделирование с использованием частиц. CRC Press. ISBN 0-85274-392-0.

внешние ссылки