Спектральный метод

редактировать

Спектральные методы - это класс методов, используемых в прикладной математике и научных вычислениях для численного решения некоторых дифференциальных уравнений, потенциально с использованием быстрого преобразования Фурье. Идея состоит в том, чтобы записать решение дифференциального уравнения в виде суммы определенных «базисных функций » (например, в виде ряда Фурье, который представляет собой сумму синусоид ), а затем выбрать коэффициенты в сумме, чтобы как можно лучше удовлетворить дифференциальному уравнению.

Спектральные методы и методы конечных элементов тесно связаны и построены на одних и тех же идеях; Основное различие между ними состоит в том, что в спектральных методах используются базисные функции, отличные от нуля во всей области, в то время как методы конечных элементов используют базисные функции, отличные от нуля только на небольших подобластях. Другими словами, спектральные методы используют глобальный подход, тогда как методы конечных элементов используют локальный подход. Частично по этой причине спектральные методы обладают превосходными характеристиками ошибок, при этом так называемая «экспоненциальная сходимость» является наиболее быстрой из возможных, когда решение является гладким. Однако отсутствуют известные результаты трехмерного однодоменного спектрального захвата ударной волны (ударные волны не являются гладкими). В сообществе конечных элементов метод, в котором степень элементов очень высока или увеличивается по мере уменьшения параметра сетки h до нуля, иногда называется методом спектральных элементов.

Спектральные методы могут использоваться для решения обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE), уравнения в частных производных (PDE) и задачи на собственные значения, включающие дифференциальные уравнения. При применении спектральных методов к зависящим от времени УЧП решение обычно записывается как сумма базисных функций с зависящими от времени коэффициентами; замена этого в PDE дает систему ODE в коэффициентах, которая может быть решена с использованием любого численного метода для ODE. Задачи на собственные значения для ОДУ аналогичным образом преобразуются в задачи на собственные значения матрицы.

Спектральные методы были разработаны в длинной серии статей Стивена Орзага, начиная с 1969 года, включая, помимо прочего, методы рядов Фурье для задач периодической геометрии, полиномиальные спектральные методы для конечных и неограниченных задачи геометрии, псевдоспектральные методы для высоконелинейных задач и спектральные итерационные методы для быстрого решения стационарных задач. Реализация спектрального метода обычно выполняется либо с помощью collocation, либо с помощью Galerkin, либо с помощью подхода.

Спектральные методы менее затратны в вычислительном отношении, чем методы конечных элементов, но становятся менее точными для задач со сложной геометрией и разрывными коэффициентами. Это увеличение ошибки является следствием явления Гиббса.

Содержание

  • 1 Примеры спектральных методов
    • 1.1 Конкретный линейный пример
      • 1.1.1 Алгоритм
    • 1.2 Нелинейный пример
  • 2 Связь с методом спектральных элементов
  • 3 См. Также
  • 4 Ссылки

Примеры спектральных методов

Конкретный линейный пример

Здесь мы предполагаем понимание базовое многомерное исчисление и ряд Фурье. Если g (x, y) {\ displaystyle g (x, y)}g(x,y)- известная комплексная функция двух вещественных переменных, а g периодична по x и y (т. Е. г (Икс, Y) знак равно г (Икс + 2 π, Y) = г (Икс, Y + 2 π) {\ Displaystyle г (х, у) = г (х + 2 \ пи, у) = g (x, y + 2 \ pi)}{\ displaystyle g (x, y) = g (x + 2 \ pi, y) = g (x, y + 2 \ pi)} ), то нас интересует найти функцию f (x, y) так, чтобы

(∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2) е (x, y) знак равно g (x, y) для всех x, y {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ right) f (x, y) = g (x, y) \ quad {\ text {для всех}} x, y}\ left (\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} \ right) f (x, y) = g (x, y) \ quad \ text {для всех} x, y

где выражение слева обозначает вторые частные производные f по x и y соответственно. Это уравнение Пуассона, и его можно физически интерпретировать как своего рода проблему теплопроводности или проблему теории потенциала, среди других возможностей.

Если мы запишем f и g в виде ряда Фурье:

f =: ∑ aj, kei (jx + ky) {\ displaystyle f =: \ sum a_ {j, k} e ^ {i ( jx + ky)}}f =: \ sum a_ {j, k } е ^ {я (jx + ky)}
g =: ∑ bj, kei (jx + ky) {\ displaystyle g =: \ sum b_ {j, k} e ^ {i (jx + ky)}}g =: \ sum b_ {j, k} e ^ {i (jx + ky)}

и подставляем в дифференциальное уравнение, получаем следующее уравнение:

∑ - aj, k (j 2 + k 2) ei (jx + ky) = ∑ bj, kei (jx + ky) {\ displaystyle \ sum -a_ { j, k} (j ^ {2} + k ^ {2}) e ​​^ {i (jx + ky)} = \ sum b_ {j, k} e ^ {i (jx + ky)}}\ sum -a_ {j, k} (j ^ 2 + k ^ 2) e ^ {i (jx + ky)} = \ sum b_ {j, k} e ^ {i (jx + ky)}

Мы заменили частичное дифференцирование бесконечной суммой, что вполне допустимо, если мы предположим, например, что f имеет непрерывную вторую производную. По теореме единственности для разложений Фурье мы должны затем почленно приравнять коэффициенты Фурье, давая

(*) aj, k = - bj, kj 2 + k 2 {\ displaystyle a_ {j, k} = - {\ frac {b_ {j, k}} {j ^ {2} + k ^ {2}}}}a_ {j, k} = - \ frac {b_ {j, k}} {j ^ 2 + k ^ 2}

, которая является явной формулой для коэффициентов Фурье a j, k.

При периодических граничных условиях уравнение Пуассона имеет решение, только если b 0,0 = 0. Следовательно, мы можем свободно выбрать 0,0, которое будет быть равным среднему значению разрешения. Это соответствует выбору постоянной интегрирования.

Чтобы превратить это в алгоритм, решается только конечное число частот. Это приводит к ошибке, которая, как может показаться, пропорциональна hn {\ displaystyle h ^ {n}}h ^ n , где h: = 1 / n {\ displaystyle h: = 1 / n}h: = 1 / n и n {\ displaystyle n}n - самая высокая обрабатываемая частота.

Алгоритм

  1. Вычислить преобразование Фурье (b j, k) g.
  2. Вычислить преобразование Фурье (a j, k) функции f по формуле (*).
  3. Вычислить f, взяв обратное преобразование Фурье (a j, k).

Так как нас интересует только конечное окно частот ( размер n, скажем) это можно сделать с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. Таким образом, глобально алгоритм выполняется за время O (n log n).

Нелинейный пример

Мы хотим решить вынужденное, переходное, нелинейное уравнение Бюргерса, используя спектральный подход.

Учитывая u (x, 0) {\ displaystyle u (x, 0) }u (x, 0) в периодической области x ∈ [0, 2 π) {\ displaystyle x \ in \ left [0,2 \ pi \ right)}x \ in \ left [0,2 \ pi \ right) , найдите u ∈ U {\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}}}и \ ин \ mathcal {U} такой, что

∂ tu + u ∂ xu = ρ ∂ xxu + f ∀ x ∈ [0, 2 π) ∀ T>0 {\ displaystyle \ partial _ {t} u + u \ partial _ {x} u = \ rho \ partial _ {xx} u + f \ quad \ forall x \ in \ left [0,2 \ pi \ right), \ forall t>0}\partial_{t} u + u \partial_{x} u = \rho \partial_{xx} u + f \quad \forall x\in\left[0,2\pi\right), \forall t>0

где ρ - коэффициент вязкости. В слабой консервативной форме это становится

⟨∂ tu, v⟩ = ⟨∂ x (- 1 2 u 2 + ρ ∂ xu), v⟩ + ⟨f, v⟩ ∀ v ∈ V, ∀ t>0 {\ displaystyle \ left \ langle \ partial _ {t} u, v \ right \ rangle = \ left \ langle \ partial _ {x} \ left (- {\ frac {1} {2}} u ^ {2} + \ rho \ partial _ {x} u \ right), v \ right \ rangle + \ left \ langle f, v \ right \ rangle \ quad \ forall v \ in {\ mathcal {V}}, \ forall t>0}{\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle =\left\langle \partial _{x}\left(-{\frac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}

где ⟨е, г⟩: = ∫ 0 2 π f (x) g (x) ¯ dx {\ displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {0} ^ {2 \ pi } f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx}\ langle f, g \ rangle : = \ int_ {0} ^ {2 \ pi} f (x) \ overline {g (x)} \, dx после обозначения внутреннего продукта. Интегрирование по частям и использование разрешений периодичности

⟨∂ tu, v⟩ знак равно ⟨1 2 u 2 - ρ ∂ xu, ∂ xv⟩ + ⟨f, v⟩ ∀ v ∈ V, ∀ t>0. {\ Displaystyle \ langle \ partial _ {t} u, v \ rangle = \ left \ langle {\ frac {1} {2}} u ^ {2} - \ rho \ partial _ {x} u, \ partial _ {x} v \ right \ rangle + \ left \ langle f, v \ right \ rang le \ quad \ forall v \ in {\ mathcal {V}}, \ forall t>0.}{\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}

Чтобы применить метод Фурье- Галеркина, выберите оба

UN: = {u : U (Икс, T) знак равно ∑ К = - N / 2 N / 2 - 1 u ^ K (t) eikx} {\ displaystyle {\ mathcal {U}} ^ {N}: = \ left \ {u: u (x, t) = \ sum _ {k = -N / 2} ^ {N / 2-1} {\ hat {u}} _ {k} (t) e ^ {ikx} \ right \}}\ mathcal {U} ^ N: = \ left \ {u: u (x, t) = \ sum_ {k = -N / 2} ^ {N / 2-1} \ hat {u} _ {k} (t) e ^ {ikx} \ right \}

и

VN: = span ⁡ {eikx: k ∈ - N / 2,…, N / 2 - 1} {\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {N}: = \ operatorname {span } \ left \ {e ^ {ikx}: k \ in -N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}}{\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ { N}: = \ operatorname {span} \ left \ {e ^ {ikx}: k \ in -N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}}

где u ^ k (t): = 1 2 π ⟨U (Икс, T), EIKX⟩ {\ Displaystyle {\ Hat {u}} _ {k} (t): = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ langle u (x, t), е ^ {ikx} \ rangle}\ hat {u} _k (t): = \ frac { 1} {2 \ pi} \ langle u (x, t), e ^ {ikx} \ rangle . Это сводит проблему к нахождению u ∈ UN {\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}} ^ {N}}u \ in \ mathcal {U} ^ N такого, что

⟨∂ tu, eikx⟩ = ⟨1 2 u 2 - ρ ∂ xu, ∂ xeikx⟩ + ⟨f, eikx⟩ ∀ k ∈ {- N / 2,…, N / 2 - 1}, ∀ t>0. {\ displaystyle \ langle \ partial _ {t} u, e ^ {ikx} \ rangle = \ left \ langle {\ frac {1} {2}} u ^ {2} - \ rho \ partial _ {x} u, \ partial _ {x} e ^ {ikx} \ right \ rangle + \ left \ langle f, e ^ {ikx} \ right \ rangle \ quad \ forall k \ in \ left \ {- N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}, \ forall t>0.}{\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-N/2,\dots,N/2-1\right\},\forall t>0.}

Использование отношения ортогональности ⟨eilx, eikx⟩ = 2 π δ lkangle {estyle \ estyle \ display ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ rangle = 2 \ pi \ delta _ {lk}}\ langle e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ rangle = 2 \ pi \ delta_ {lk} где δ lk {\ displaystyle \ delta _ {lk}}\delta_{lk}- это дельта Кронекера, мы упрощаем указанные выше три члена для каждого k {\ displaystyle k}k , чтобы увидеть

⟨∂ tu, eikx⟩ = ⟨∂ t ∑ lu ^ leilx, eikx⟩ = ⟨∑ l ∂ tu ^ leilx, eikx⟩ = 2 π ∂ tu ^ k, ⟨f, eikx⟩ = ⟨∑ lf ^ leilx, eikx⟩ = 2 π f ^ k и ⟨1 2 u 2 - ρ ∂ xu, ∂ xeikx⟩ = ⟨1 2 (∑ pu ^ peipx) (∑ qu ^ qeiq x) - ρ ∂ x ∑ lu ^ leilx, ∂ xeikx⟩ = ⟨1 2 ∑ p ∑ qu ^ pu ^ qei (p + q) x, ikeikx⟩ - ⟨ρ i ∑ llu ^ leilx, ikeikx⟩ = - ik 2 ∑ p ∑ qu ^ pu ^ qei (p + q) x, eikx⟩ - ρ k ⟨∑ llu ^ leilx, eikx⟩ = - i π k ∑ p + q = ku ^ pu ^ q - 2 π ρ k 2 и ^ к. {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle \ partial _ {t} u, e ^ {ikx} \ right \ rangle = \ left \ langle \ partial _ {t} \ sum _ {l} {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = \ left \ langle \ sum _ {l} \ partial _ {t} {\ hat {u}} _ { l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = 2 \ pi \ partial _ {t} {\ hat {u}} _ {k}, \\\ left \ langle f, e ^ { ikx} \ right \ rangle = \ left \ langle \ sum _ {l} {\ hat {f}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = 2 \ pi {\ шляпа {f}} _ {k}, {\ text {and}} \\\ left \ langle {\ frac {1} {2}} u ^ {2} - \ rho \ partial _ {x} u, \ частичный _ {x} e ^ {ikx} \ right \ rangle = \ left \ langle {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {p} {\ hat {u}} _ {p} e ^ {ipx} \ right) \ left (\ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {iqx} \ right) - \ rho \ partial _ {x} \ sum _ {l } {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, \ partial _ {x} e ^ {ikx} \ right \ rangle \\ = \ left \ langle {\ frac {1} {2} } \ sum _ {p} \ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {i \ left (p + q \ right) x}, ike ^ {ikx} \ right \ rangle - \ left \ langle \ rho i \ sum _ {l} l {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, ike ^ {ikx} \ right \ rangle \\ = - {\ frac {ik} {2}} \ left \ langle \ sum _ {p} \ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {i \ left (p + q \ right) x}, e ^ {ikx} \ right \ rangle - \ rho k \ left \ langle \ sum _ {l} l {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle \\ = - i \ pi k \ sum _ {p + q = k} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} -2 \ pi \ rho {} k ^ {2} {\ hat {u}} _ {k}. \ End {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle \ partial _ {t} u, e ^ {ikx} \ right \ rangle = \ left \ langle \ partial _ {t} \ sum _ {l} {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = \ left \ langle \ sum _ {l} \ partial _ {t} {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = 2 \ pi \ частичный _ {t} {\ hat {u}} _ {k}, \\\ left \ langle f, e ^ {ikx} \ right \ ran gle = \ left \ langle \ sum _ {l} {\ hat {f}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = 2 \ pi {\ hat {f}} _ {k}, {\ text {and}} \\\ left \ langle {\ frac {1} {2}} u ^ {2} - \ rho \ partial _ {x} u, \ partial _ {x} e ^ {ikx} \ right \ rangle = \ left \ langle {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {p} {\ hat {u}} _ {p} e ^ {ipx} \ right) \ left (\ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {iqx} \ right) - \ rho \ partial _ {x} \ sum _ {l} {\ hat { u}} _ {l} e ^ {ilx}, \ partial _ {x} e ^ {ikx} \ right \ rangle \\ = \ left \ langle {\ frac {1} {2}} \ sum _ { p} \ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {i \ left (p + q \ right) x}, ike ^ {ikx } \ right \ rangle - \ left \ langle \ rho i \ sum _ {l} l {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, ike ^ {ikx} \ right \ rangle \\ = - {\ frac {ik} {2}} \ left \ langle \ sum _ {p} \ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {i \ left (p + q \ right) x}, e ^ {ikx} \ right \ rangle - \ rho k \ left \ langle \ sum _ {l} l {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle \\ = - i \ pi k \ sum _ {p + q = k} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u }} _ {q} -2 \ pi \ rho {} k ^ {2} {\ hat {u}} _ {k}. \ end {align}}}

Соберите три члена для каждого k {\ displaystyle k}k , чтобы получить

2 π ∂ tu ^ k = - i π k ∑ p + q = ku ^ pu ^ q - 2 π ρ k 2 u ^ k + 2 π f ^ kk ∈ {- N / 2,…, N / 2 - 1}, ∀ t>0. {\ displaystyle 2 \ pi \ partial _ {t} {\ hat {u}} _ {k} = - i \ pi k \ sum _ {p + q = k} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} -2 \ pi \ rho {} k ^ {2} {\ hat {u}} _ {k} +2 \ pi {\ hat {f}} _ {k} \ quad k \ in \ left \ {- N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}, \ forall t>0.}2 \ pi \ partial_t \ hat {u} _k = - i \ pi k \ sum_ {p + q = k} \ hat {u} _p \ hat {u} _q - 2 \ pi \ rho {} k ^ 2 \ hat {u} _k + 2 \ pi \ hat { f} _k \ quad k \ in \ left \ {-N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}, \ forall t>0.

Разделение на 2 π {\ displaystyle 2 \ pi}2 \ pi , мы наконец приходим к

∂ tu ^ k = - ik 2 ∑ p + q = ku ^ pu ^ q - ρ k 2 u ^ k + f ^ kk ∈ {- N / 2,…, N / 2 - 1}, ∀ T>0. {\ displaystyle \ partial _ {t} {\ hat {u}} _ {k} = - {\ frac {ik } {2}} \ sum _ {p + q = k} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} - \ rho {} k ^ {2} {\ hat {u}} _ {k} + {\ hat {f}} _ {k} \ quad k \ in \ left \ {- N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}, \ forall t>0.}\ partial_t \ hat {u} _k = - \ frac {ik} {2} \ sum_ {p + q = k} \ hat {u} _p \ шляпа {u} _q - \ rho {} k ^ 2 \ hat {u} _k + \ hat {f} _k \ quad k \ in \ left \ {-N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}, \ forall t>0.

С начальными условиями с преобразованием Фурье u ^ k (0) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {k} (0)}\ hat {u} _ {k} (0) и принудительным f ^ k (t) {\ displaystyle {\ hat {f}} _ {k} (t)}\ hat {f} _ {k} (t) , эту связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений можно интегрировать во времени (используя, например, a Рунге Кутта т echnique), чтобы найти решение. Нелинейный член - это свертка, и существует несколько основанных на преобразовании методов для его эффективной оценки. См. Ссылки Boyd and Canuto et al. Больше подробностей.

Связь со спектральным методом элемента

Можно показать, что если g {\ displaystyle g}g бесконечно дифференцируем, то численный алгоритм с использованием быстрого Фурье Преобразования будут сходиться быстрее, чем любой полином с размером сетки h. То есть для любого n>0 существует C n < ∞ {\displaystyle C_{n}<\infty }{\ displaystyle C_ {n} <\ infty} такое, что ошибка меньше C nhn {\ displaystyle C_ {n} h ^ {n}}{\ displaystyle C_ {n} h ^ {n}} для всех достаточно малых значений h {\ displaystyle h}h . Мы говорим, что спектральный метод имеет порядок n {\ displaystyle n}n для каждого n>0.

Поскольку метод спектральных элементов является методом конечных элементов очень высокого порядка, существует сходство в свойствах сходимости. Однако, в то время как спектральный метод основан на собственном разложении конкретной краевой задачи, метод конечных элементов не использует эту информацию и работает для произвольных эллиптических краевых задач.

См. Также

Ссылки

  • Бенгт Форнберг (1996) Практическое руководство по псевдоспектральным методам. Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания
  • Спектральные методы Чебышева и Фурье Джона П. Бойда.
  • Кануто К., Хуссайни М. Ю., Квартерони А. и Занг Т.А. (2006) Спектральные методы. Основы отдельных доменов. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
  • Хавьер де Фрутос, Джулия Ново: Метод спектральных элементов для уравнений Навье – Стокса с повышенной точностью
  • Полиномиальная аппроксимация дифференциальных уравнений, Даниэле Фунаро, Lecture Notes in Physics, Volume 8, Springer-Verlag, Heidelberg 1992
  • D. Готтлиб и С. Орзаг (1977) "Численный анализ спектральных методов: теория и приложения", SIAM, Филадельфия, Пенсильвания
  • J. Hesthaven, S. Gottlieb и D. Gottlieb (2007) "Спектральные методы для задач, зависящих от времени", Cambridge UP, Cambridge, UK
  • Стивен А. Орзаг (1969). Численные методы моделирования турбулентности, Phys. Жидкости Supp. II, 12, 250–257
  • Press, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 20.7. Спектральные методы». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
  • Цзе Шен, Тао Тан и Ли-Лянь Ван (2011) «Спектральные методы: алгоритмы, анализ и приложения» (Springer Series in Computational Mathematics, V. 41, Springer), ISBN 354071040X
  • Ллойд Н. Трефетен (2000) Спектральные методы в MATLAB. SIAM, Филадельфия, Пенсильвания
Последняя правка сделана 2021-06-09 02:12:09
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте