Длина Дебая

мера чистого электростатического эффекта носителя заряда в растворе

В плазме и электролитов, длина Дебая (также называемая радиусом Дебая ), названная в честь Питера Дебая, является мерой носителя заряда Суммарный электростатический эффект в растворе и насколько долго сохраняется его электростатический эффект. Сфера Дебая - это объем, радиус которого равен длине Дебая. С каждой длиной Дебая заряды все больше электрически экранируются. Каждую длину Дебая $\lambda \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\}$электрический потенциал будет уменьшаться по величине на 1 / e. Длина Дебая является важным параметром в физике плазмы, электролитах и коллоидах (теория DLVO ). Соответствующий волновой вектор экранирования Дебая $k\; D\; =\; 1\; /\; \lambda \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\; =\; 1\; /\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\}$для частиц плотность $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, заряд $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$при температуре $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$дается выражением $k\; D\; 2\; =\; 4\; \pi \; nq\; 2\; /\; (k\; BT)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; 4\; \backslash \; pi\; nq\; ^\; \{2\}\; /\; (k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; T)\}$в гауссовых единицах. Выражения в единицах МКС будут приведены ниже. Аналогичные величины при очень низких температурах ($T\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; to\; 0\}$) известны как длина Томаса – Ферми и волновой вектор Томаса – Ферми.. Они представляют интерес для описания поведения электронов в металлах при комнатной температуре.

• 1 Физическое происхождение
• 2 В плазме
  • 2.1 Типовые значения
• 3 В растворе электролита
• 4 В полупроводниках
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Длина Дебая естественным образом возникает при термодинамическом описании больших систем подвижных зарядов. В системе $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$различных видов зарядов, $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$-й вид несет заряд $qj\; \{\; \backslash \; displaystyle\; q\_\; \{j\}\}$и имеет concentration $nj\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$в позиции $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$. Согласно так называемой «примитивной модели», эти заряды распределены в сплошной среде, которая характеризуется только своей относительной статической диэлектрической проницаемостью, $\epsilon \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{r\}\}$. Такое распределение зарядов в этой среде приводит к возникновению электрического потенциала $\Phi \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$, который удовлетворяет Уравнение Пуассона :

$\epsilon \; \nabla \; 2\; \Phi \; (r)\; =\; -\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; qjnj\; (r)\; -\; \rho \; ext\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; q\_\; \{j\}\; \backslash ,\; n\_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{ext\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \}$,

где $\epsilon \; \equiv \; \epsilon \; р\; \epsilon \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{r\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}$, $\epsilon \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}$- электрическая постоянная, а $\rho \; ext\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{ext\}\}\}$- внешняя плотность заряда (логически не пространственно) к среде.

Плата за мобильную связь не только способствует установлению $\Phi \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$, но также перемещается в ответ на связанный Кулоновская сила, $-\; qj\; \nabla \; \Phi \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; -q\_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$. Если мы дополнительно предположим, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом при абсолютной температуре $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, то концентрации дискретных зарядов, $nj\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$, могут считаться термодинамическими (по ансамблю) средними, а связанный электрический потенциал как термодинамическое среднее поле. С этими предположениями, концентрация $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$-го вида заряда описывается распределением Больцмана,

$nj\; (r)\; =\; nj\; 0\; exp\; \; (-\; qj\; \Phi \; (r)\; К\; BT)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; n\_\; \{j\}\; ^\; \{0\}\; \backslash ,\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{q\_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}\; \{k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; T\}\}\; \backslash \; right)\}$,

где $k\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\}$- это постоянная Больцмана, а $nj\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{j\}\; ^\; \{0\}\}$- средняя концентрация зарядов видов $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$.

Отождествление мгновенных концентраций и потенциала в уравнении Пуассона с их аналогами для среднего поля в распределении Больцмана дает уравнение Пуассона – Больцмана :

$\epsilon \; \nabla \; 2\; \Phi \; (r)\; =\; -\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; qjnj\; 0\; ехр\; \; (-\; qj\; \Phi \; (г)\; К\; BT)\; -\; \rho \; ext\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; q\_\; \{j\}\; n\_\; \{j\}\; ^\; \{0\}\; \backslash ,\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{q\_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}\; \{k\_\; \{\; \backslash \; rm\; \{B\}\}\; T\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{ext\}\; \}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$.

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Решения для более общих систем могут быть получены в пределе высокой температуры (слабой связи), $qj\; \Phi \; (r)\; \ll \; k\; BT\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; ll\; k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; T\}$, Тейлор раскрывает экспоненту:

$exp\; \; (-\; qj\; \Phi \; (r)\; k\; BT)\; \approx \; 1\; -\; qj\; \Phi \; (\; р)\; К\; BT\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ехр\; \backslash \; влево\; (-\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{q\_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}\; \{k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; T\}\}\; \backslash \; справа)\; \backslash \; приблизительно\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{q\_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}\; \{k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; T\}\}\}$.

Это приближение дает линеаризованное уравнение Пуассона-Больцмана

$\epsilon \; \nabla \; 2\; \Phi \; (г)\; знак\; равно\; (\sum \; J\; знак\; равно\; 1\; N\; N\; Nj\; 0\; QJ\; 2\; К\; BT)\; \Phi \; (г)\; -\; \sum \; J\; =\; 1\; N\; N\; NJ\; 0\; QJ\; -\; \rho \; ext\; (г)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{j\}\; ^\; \{0\}\; \backslash ,\; q\_\; \{j\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\; k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; -\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; n\_\; \{j\}\; ^\; \{0\}\; q\_\; \{\; j\}\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{ext\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$

, которое также известно как уравнение Дебая – Хюккеля : второй член в правой части исчезает для систем, которые электрически нейтральны. Термин в круглых скобках, разделенный на $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$, имеет единицы обратной длины в квадрате, и с помощью анализа размеров приводит к определению характерного масштаба длины.

$\lambda \; D\; знак\; равно\; (\epsilon \; К\; BT\; \sum \; J\; =\; 1\; N\; nj\; 0\; qj\; 2)\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash ,\; k\_\; \{\; \backslash \; rm\; \{B\}\}\; T\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; n\_\; \{j\}\; ^\; \{0\}\; \backslash ,\; q\_\; \{j\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\; \}$

, который обычно называют длиной Дебая – Хюккеля. В качестве единственной характерной шкалы длины в уравнении Дебая-Хюккеля $\lambda \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{D\}\}$задает масштаб для вариаций потенциала и концентраций заряженных частиц. Все заряженные частицы вносят вклад в длину Дебая – Хюккеля одинаково, независимо от знака их зарядов. Для электрически нейтральной системы уравнение Пуассона принимает вид

$\nabla \; 2\; \Phi \; (r)\; =\; \lambda \; D\; -\; 2\; \Phi \; (r)\; -\; \rho \; ext\; (r)\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{\; r\})\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{ext\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \}\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}$

Чтобы проиллюстрировать экранирование Дебая, потенциал, создаваемый внешним точечным зарядом $\rho \; ext\; =\; Q\; \delta \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{ext\}\}\; =\; Q\; \backslash \; дельта\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$равно

$\Phi \; (r)\; =\; Q\; 4\; \pi \; \epsilon \; re\; -\; r\; /\; \lambda \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Q\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; r\}\}\; e\; ^\; \{-\; r\; /\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\}\}$

Голый кулоновский потенциал экспоненциально экранируется средой на расстоянии дебаевского длина.

Длина Дебая – Хюккеля может быть выражена через длину Бьеррама $\lambda \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\}$as

$\lambda \; D\; =\; (4\; \pi \; \lambda \; В\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; nj\; 0\; zj\; 2)\; -\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\; =\; \backslash \; left\; (4\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; лямбда\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; n\_\; \{j\}\; ^\; \{0\}\; \backslash ,\; z\_\; \{j\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1/2\; \}\}$,

где $zj\; =\; qj\; /\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{j\}\; =\; q\_\; \{j\}\; /\; e\}$- целое число , число заряда, которое связывает заряд на $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$-й ионной части до элементарного заряда $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$.

В неизотермической плазме температуры электронов и тяжелых частиц могут отличаться, в то время как фоновая среда может рассматриваться как вакуум ($\epsilon \; r\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{r\}\; =\; 1\}$), а длина Дебая равна

$\lambda \; D\; =\; \epsilon \; 0\; k\; B\; /\; qe\; 2\; ne\; /\; T\; e\; +\; \sum \; jzj\; 2\; nj\; /\; T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; /\; q\_\; \{e\}\; ^\; \{2\}\}\; \{n\_\; \{e\}\; /\; T\_\; \{e\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; z\_\; \{\; j\}\; ^\; \{\; 2\}\; n\_\; \{j\}\; /\; T\_\; \{i\}\}\}\}\}$

где

λD- длина Дебая,

ε0- диэлектрическая проницаемость свободного пространства,,

kB- постоянная Больцмана,

qe- заряд электрона,,

Teи T i - температуры электронов и ионов соответственно,

ne- плотность электронов,

nj- плотность разновидность атомов j, с положительным ионным зарядом z jqe

Даже в квазинейтральной холодной плазме, где вклад ионов фактически кажется больше из-за более низкой температуры ионов, ионный член на самом деле часто опускается, давая

$\lambda \; D\; знак\; равно\; \epsilon \; 0\; К\; BT\; eneqe\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; T\_\; \{e\}\}\; \{\; n\_\; \{e\}\; q\_\; \{e\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

хотя это действительно только тогда, когда подвижность ионов незначительна по сравнению с временной шкалой процесса.

Типичные значения

В космической плазме с относительно низкой концентрацией электронов длина Дебая может достигать макроскопических значений, например, в магнитосфере, солнечном ветре, межзвездной среде и межгалактической среде. ium. См. Таблицу:

Плазма	Плотность. ne(м)	Температура электронов. T (K)	Магнитное поле. B (T)	Длина Дебая. λD(м)
Солнечное ядро ​​	10	10	—	10
Токамак	10	10	10	10
Газовый разряд	10	10	—	10
Ионосфера	10	10	10	10
Магнитосфера	10	10	10	10
Солнце ветер	10	10	10	10
Межзвездная среда	10	10	10	10
Межгалактическая среда	1	10	—	10

В электролите или коллоидной суспензии длина Дебая для одновалентного электролита обычно обозначается символом κ

$\kappa \; -\; 1\; =\; \epsilon \; r\; \epsilon \; 0\; k\; BT\; 2\; \times \; 10\; 3\; NA\; e\; 2\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{r\}\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; T\}\; \{2\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{3\}\; N\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{A\}\}\; e\; ^\; \{\; 2\}\; I\}\}\}\}$

где

I - ионная сила электролита в молярных единицах (М или моль / л),

ε0- диэлектрическая проницаемость свободного пространства,

εr- диэлектрическая постоянная,

kB- постоянная Больцмана,

T - абсолютная температура в кельвинах,

NA- число Авогадро.

$e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$- это элементарный заряд,

или, для симметричного одновалентного электролита,

$\kappa \; -\; 1\; =\; \epsilon \; r\; \epsilon \; 0\; RT\; 2\; \times \; 10\; 3\; F\; 2\; C\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{r\}\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; RT\}\; \{2\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{3\}\; F\; ^\; \{2\}\; C\_\; \{0\}\}\}\}\}$

где

R - газовая постоянная,

F - постоянная Фарадея,

C0- концентрация электролита в молярных единицах (M или моль / л).

В качестве альтернативы,

$\kappa \; -\; 1\; =\; 1\; 8\; \pi \; \lambda \; BNA\; \times \; 10\; 3\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 8\; \backslash \; pi\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; N\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{A\}\}\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{3\}\; I\}\}\}\}$

где

$\lambda \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\}$- это длина Бьеррума среды.

Для воды при комнатной температуре λ B ≈ 0,7 нм.

При комнатной температуре (20 ° C или 70 ° F) в воде можно рассматривать соотношение:

$\kappa \; -\; 1\; (нм)\; =\; 0,304\; I\; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathrm\; \{nm\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{0.304\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; (\backslash \; mathrm\; \{M\})\}\}\}\}$

где

κ выражается в нанометрах (нм)

I - ионная сила, выраженная в молярных (М или моль / л)

Существует метод оценки приблизительного значения Длина Дебая в жидкостях с использованием проводимости, которая описана в Стандарте ISO и в книге.

Длина Дебая становится все более значимой при моделировании твердотельных устройств по мере улучшения литографических технологии позволили использовать меньшую геометрию.

Дебаевская длина полупроводников дана:

$LD\; =\; \epsilon \; k\; BT\; q\; 2\; N\; dop\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{D\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; k\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{B\}\}\; T\}\; \{q\; ^\; \{2\}\; N\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{dop\}\}\}\}\}$

где

ε - диэлектрическая проницаемость,

kB- постоянная Больцмана,

T - абсолютная температура в градусах Кельвина,

q - элементарный заряд, а

Ndop - чистая плотность примесей (доноров или акцепторов).

Когда профили легирования превышают длину Дебая, основные носители больше не ведут себя в соответствии с распределением примесей. Вместо этого измерение профиля градиентов легирования обеспечивает «эффективный» профиль, который лучше соответствует профилю основной плотности носителей.

В контексте твердых тел длина Дебая также называется длиной экранирования Томаса – Ферми.

• Эффект Дебая – Фалькенхагена
• Плазменные колебания

1. ^Дебай, П.; Хюкель, Э. (2019) [1923]. Перевод Брауса, Майкл Дж. "Zur Theorie der Elektrolyte. I. Gefrierpunktserniedrigung und verwandte Erscheinungen" [Теория электролитов. I. Понижение точки замерзания и связанные с ним явления. Physikalische Zeitschrift. 24(9): 185–206.
2. ^Кирби, Б. Дж. (2010). Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11903-0.
3. ^Ли, Д. (2004). Электрокинетика в микрофлюидике. Академическая пресса. ISBN 0-12-088444-5.
4. ^PC Clemmow JP Dougherty (1969). Электродинамика частиц и плазмы. Редвуд-Сити, Калифорния: Эддисон-Уэсли. стр. § 7.6.7, с. 236 сл. ISBN 978-0-201-47986-7.
5. ^Р.А. Робинсон и Р. Х. Стокс (2002). Растворы электролитов. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 76. ISBN 978-0-486-42225-1.
6. ^См. Brydges, David C.; Мартин, доктор философии (1999). «Кулоновские системы при низкой плотности: обзор». Журнал статистической физики. 96 (5/6): 1163–1330. arXiv : cond-mat / 9904122. Bibcode : 1999JSP.... 96.1163B. doi : 10.1023 / A: 1004600603161. S2CID 54979869.
7. ^I. Х. Хатчинсон Принципы диагностики плазмы ISBN 0-521-38583-0
8. ^Кип Торн (2012). «Глава 20: Кинетика частиц плазмы» (PDF). ПРИЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Проверено 7 сентября 2017 г.
9. ^ Международный стандарт ISO 13099-1, 2012, «Коллоидные системы. Методы определения дзета-потенциала. Часть 1. Электроакустические и электрокинетические явления»
10. ^ Духин А. С.; Гетц, П. Дж. (2017). Определение характеристик жидкостей, нано- и микрочастиц и пористых тел с помощью ультразвука. Эльзевир. ISBN 978-0-444-63908-0.
11. ^Russel, W.B.; Сэвилл, Д. А.; Шовальтер, В. Р. (1989). Коллоидные дисперсии. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42600-6.
12. ^Израэлачвили, Дж. (1985). Межмолекулярные и поверхностные силы. Академическая пресса. ISBN 0-12-375181-0.
13. ^Стерн, Эрик; Робин Вагнер; Фред Дж. Сигворт; Рональд Брейкер; Тарек М. Фахми; Марк А. Рид (01.11.2007). «Важность длины экрана Дебая на датчиках полевых транзисторов на основе нанопроволоки». Нано-буквы. 7 (11): 3405–3409. Bibcode : 2007NanoL... 7.3405S. doi : 10.1021 / nl071792z. PMC 2713684. PMID 17914853.
14. ^Гуо, Линцзе; Эффенди Леобандунг; Стивен Ю. Чоу (199). "Кремниевая одноэлектронная память металл – оксид – полупроводник при комнатной температуре с плавающим затвором нанометрового размера и сверхузким каналом". Письма по прикладной физике. 70 (7): 850. Bibcode : 1997ApPhL..70..850G. doi : 10.1063 / 1.118236.
15. ^Тивари, Сандип; Фархан Рана; Кевин Чан; Литен Ши; Хусейн Ханафи (1996). «Эффект одиночного заряда и удержания в памяти нанокристаллов». Письма по прикладной физике. 69 (9): 1232. Bibcode : 1996ApPhL..69.1232T. doi : 10.1063 / 1.117421.

• Goldston Rutherford (1997). Введение в физику плазмы. Филадельфия: Издательский институт физики.
• Ликлема (1993). Основы интерфейсной и коллоидной науки. Нью-Йорк: Academic Press.