Ньютоновская жидкость

редактировать

A Ньютоновская жидкость - это жидкость, в которой вязкие напряжения, возникающие из его поток в каждой точке линейно коррелирует с локальной скоростью деформации - скоростью изменения его деформации во времени. Это эквивалентно утверждению, что эти силы пропорциональны скорости изменения вектора скорости жидкости при удалении от рассматриваемой точки в различных направлениях.

Точнее, жидкость является ньютоновской только в том случае, если тензоры, которые описывают вязкое напряжение и скорость деформации, связаны постоянным тензором вязкости, который не зависит от напряженное состояние и скорость потока. Если жидкость также изотропна (то есть ее механические свойства одинаковы в любом направлении), тензор вязкости сводится к двум действительным коэффициентам, описывающим сопротивление жидкости непрерывной деформации сдвига и непрерывное сжатие или расширение соответственно.

Ньютоновские жидкости - это простейшие математические модели жидкостей, учитывающие вязкость. Хотя никакая реальная жидкость не соответствует этому определению, многие обычные жидкости и газы, такие как вода и воздух, можно считать ньютоновскими для практических расчетов в обычных условиях. Однако неньютоновские жидкости относительно распространены и включают oobleck (который становится более жестким при сильном сдвиге) или не капающую краску (которая становится тоньше при стрижке ). Другие примеры включают множество растворов полимеров (которые проявляют эффект Вайссенберга ), расплавленные полимеры, множество твердых суспензий, кровь и наиболее вязкие жидкости.

Ньютоновские жидкости названы в честь Исаака Ньютона, который первым использовал дифференциальное уравнение, чтобы постулировать связь между скоростью деформации сдвига и напряжением сдвига для таких жидкостей.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Несжимаемый изотропный случай
- 1.2 Для анизотропных жидкостей
- 1.3 Ньютоновский закон вязкости
  - 1.3.1 Модель степенного закона
- 1.4 Модель жидкости
2 Примеры
3 См. Также
4 Ссылки

Определение

Элемент текущей жидкости или газа будет испытывать силы от окружающей жидкости, в том числе силы вязкого напряжения, которые вызывают он со временем постепенно деформируется. Эти силы могут быть математически аппроксимированы до первого порядка с помощью тензора вязких напряжений, который обычно обозначается $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ тау$ .

Деформация этой жидкости. элемент, относительно некоторого предыдущего состояния, может быть аппроксимирован до первого порядка тензором деформации , который изменяется со временем. Производная по времени этого тензора является тензором скорости деформации , который выражает, как деформация элемента изменяется со временем; а также градиент векторного поля скорости $v {\ displaystyle v}$ $v$ в этой точке, часто обозначаемый $∇ v {\ displaystyle \ nabla v}$ $\ nabla v$ .

Тензоры $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ тау$ и $∇ v {\ displaystyle \ nabla v}$ $\ nabla v$ могут быть выражены тремя × 3 матрицы относительно любой выбранной системы координат . Жидкость называется ньютоновской, если эти матрицы связаны между собой уравнением $τ = μ (∇ v) {\ displaystyle \ mathbf {\ tau} = \ mathbf {\ mu} (\ nabla v)}$ ${\ mathbf {\ tau}} = {\ mathbf {\ mu}} (\ nabla v)$ где $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - фиксированный тензор четвертого порядка 3 × 3 × 3 × 3, который не зависит от скорости или напряженного состояния. жидкости.

Несжимаемый изотропный случай

Для несжимаемой и изотропной ньютоновской жидкости вязкое напряжение связано со скоростью деформации более простым уравнением

τ = μ dudy { \ displaystyle \ tau = \ mu {\ frac {du} {dy}}}

\ tau = \ mu {\ frac {du} {dy}}

где

τ {\ displaystyle \ tau}

\ тау

- напряжение сдвига (" перетаскивание ") в жидкости,

μ {\ displaystyle \ mu}

\ mu

- скалярная константа пропорциональности, сдвиговая вязкость жидкости

dudy {\ displaystyle { \ frac {du} {dy}}}

{\ frac {du} {dy}}

- это производная компонента скорости, параллельная направлению сдвига относительно смещения в перпендикуляре

Если жидкость несжимаема и вязкость в жидкости постоянна, это уравнение можно записать в произвольной системе координат как

τ ij = μ (∂ vi ∂ xj + ∂ vj ∂ xi) {\ displaystyle \ tau _ {ij} = \ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial v_ {j) }} {\ partial x_ {i }}} \ right)}

\ tau _ {ij} = \ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial v_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)

где

xj {\ displaystyle x_ {j}}

x_ {j}

- это

j {\ displaystyle j}

j

th пространственная координата

vi {\ displaystyle v_ {i}}

v_ {i}

- скорость жидкости в направлении оси

i {\ displaystyle i}

i

τ ij {\ displaystyle \ tau _ {ij}}

\ tau _ {ij}

- это

j {\ displaystyle j}

j

th компонент напряжения, действующего на грани жидкого элемента перпендикулярно оси

i {\ displaystyle i}

i

Также определяется $σ {\ displaystyle \ mathbf {\ sigma}}$ $\ mathbf {\ sigma}$ , который сочетает в себе напряжение сдвига с обычным (термодинамическим) давлением $p {\ displaystyle p}$ $p$ . Уравнение напряжение-сдвиг тогда становится

σ ij = - p δ ij + μ (∂ vi ∂ xj + ∂ vj ∂ xi) {\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} _ {ij} = - p \ delta _ { ij} + \ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial v_ {j}} {\ partial x_ {i}}}} \ right)}

{\ mathbf {\ sigm a}} _ {{ij}} = - p \ delta _ {{ij}} + \ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial v_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)

или записано в более компактной тензорной записи

σ = - p I + μ (∇ v + ∇ v T) {\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = -p \ mathbf {I} + \ му \ влево (\ набла \ mathbf {v} + \ набла \ mathbf {v} ^ {T} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = -p \ mathbf {I} + \ mu \ left (\ nabla \ mathbf {v} + \ nabla \ mathbf {v} ^ {T} \ right)}

где $I {\ displaystyle \ mathbf {I}}$ $\ mathbf {I}$ - тождественный тензор.

Для анизотропных жидкостей

В более общем плане в неизотропной ньютоновской жидкости коэффициент $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , который связывает напряжения внутреннего трения с пространственные производные поля скорости заменены девятиэлементным тензором вязких напряжений $μ ij {\ displaystyle \ mu _ {ij}}$ $\ mu _ {ij}$ .

Есть общие формула для силы трения в жидкости: Вектор дифференциал силы трения равен тензору вязкости, увеличенному на векторное произведение разности вектора площадей прилегающих слоев жидкости и ротора скорости:

d F = μ ijd S × rotu {\ displaystyle {d} \ mathbf {F} {=} \ mu _ {ij} \, \ mathbf {dS} \ times \ mathrm {rot } \, \ mathbf {u}}

{d} {\ mathbf { F}} {=} \ mu _ {{ij}} \, {\ mathbf {dS}} \ times {\ mathrm {rot}} \, {\ mathbf {u}}

где $μ ij {\ displaystyle \ mu _ {ij}}$ $\ mu _ {{ij}}$ - тензор вязкости . Диагональные компоненты тензора вязкости - это молекулярная вязкость жидкости, а не диагональные компоненты -.

закон вязкости Ньютона

Следующее уравнение иллюстрирует связь между скоростью сдвига и напряжением сдвига:

τ = μ dudy {\ displaystyle \ tau = \ mu {du \ over dy}}

{\ displaystyle \ tau = \ mu {du \ over dy}}

где:

τ - напряжение сдвига;
μ - вязкость, а
$dudy {\ textstyle {\ frac {du} {dy}}}$ ${\ textstyle {\ frac {du} {dy}} }$ - скорость сдвига.

Если вязкость постоянна, жидкость является ньютоновской.

Модель степенного закона

В синем цвете ньютоновская жидкость по сравнению с дилатантом и псевдопластикой, угол зависит от вязкости.

Модель степенного закона используется для отображения поведения ньютоновской и неньютоновской жидкости и измеряет напряжение сдвига как функцию скорости деформации.

Связь между напряжением сдвига, скоростью деформации и градиентом скорости для модели степенного закона:

τ = - m | γ ˙ | n - 1 dvxdy {\ displaystyle \ tau = -m \ left \ vert {\ dot {\ gamma}} \ right \ vert ^ {n-1} {\ frac {dv_ {x}} {dy}}}

{\ displaystyle \ tau = -m \ left \ vert {\ dot {\ gamma}} \ right \ vert ^ {n-1} {\ frac {dv_ {x}} {dy}}}

где

$| γ ˙ | n - 1 {\ displaystyle \ left \ vert {\ dot {\ gamma}} \ right \ vert ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle \ left \ vert {\ dot {\ gamma}} \ right \ vert ^ {n-1}}$ - абсолютное значение скорости деформации относительно (n-1) power;

$dvxdy {\ textstyle {\ frac {dv_ {x}} {dy}}}$ ${\ textstyle {\ frac {dv_ {x}} {dy}}}$ - градиент скорости;

n - индекс степенного закона.

Если

n < 1 then the fluid is a pseudoplastic.
n = 1, тогда жидкость является ньютоновской.
n>1 тогда жидкость является дилатантом.

Модель жидкости

Отношение между напряжением сдвига и скоростью сдвига в Модель жидкости Кассона определяется следующим образом:

τ = τ 0 + S d V dy {\ displaystyle {\ sqrt {\ tau}} = {\ sqrt {\ tau _ {0}}} + S {\ sqrt { dV \ over dy}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ tau}} = {\ sqrt {\ tau _ {0}}} + S {\ sqrt {dV \ over dy}}}

где τ 0 - предел текучести, а

S = μ (1 - H) α {\ displaystyle S = {\ sqrt {\ frac {\ mu } {(1-H) ^ {\ alpha}}}}}

{\ displaystyle S = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {(1-H) ^ {\ alpha}}}}}

где α зависит от состава белка, а H - число гематокрита.

Примеры

Вода, воздух, спирт, глицерин и жидкое моторное масло - все это примеры ньютоновских жидкостей сверх диапазон касательных напряжений и скоростей сдвига, встречающихся в повседневной жизни. Однофазные жидкости, состоящие из небольших молекул, обычно (хотя и не исключительно) ньютоновские.