Рэлеевский поток

редактировать

Рэлеевский поток относится к не адиабатическому потоку без трения, через канал с постоянной площадью, где влияние учитывается добавление или отвод тепла. Эффекты сжимаемости часто принимают во внимание, хотя модель потока Рэлея, безусловно, применима и к несжимаемому потоку. Для этой модели площадь воздуховода остается постоянной, и масса внутри воздуховода не добавляется. Следовательно, в отличие от расход Фанно, температура торможения является переменной. Добавление тепла вызывает уменьшение давления торможения, что известно как эффект Рэлея и имеет решающее значение при проектировании систем сгорания. Добавление тепла приведет к тому, что как сверхзвуковые, так и дозвуковые числа Маха приблизятся к 1 Маха, что приведет к заторможенному потоку. И наоборот, отвод тепла уменьшает дозвуковое число Маха и увеличивает сверхзвуковое число Маха вдоль канала. Можно показать, что для калорически совершенных потоков максимум энтропии достигается при M = 1. Рэлеевский поток назван в честь Джона Стратта, 3-го барона Рэлея.

Содержание

1 Теория
2 Дополнительные отношения потока Рэлея
3 Приложения
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Теория

Рисунок 1 Линия Рэлея построена на безразмерной оси H-ΔS.

Модель течения Рэлея начинается с дифференциального уравнения, которое связывает изменение числа Маха с изменением температуры торможения, T 0. Дифференциальное уравнение показано ниже.

d M 2 M 2 знак равно 1 + γ M 2 1 - M 2 (1 + γ - 1 2 M 2) d T 0 T 0 {\ displaystyle \ {\ frac {dM ^ {2}} {M ^ {2}}} = {\ frac {1+ \ gamma M ^ {2}} {1-M ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2} \ right) {\ frac {dT_ {0}} {T_ {0}}}}

{\ displaystyle \ {\ frac {dM ^ {2}} {M ^ {2}}} = {\ frac {1+ \ gamma M ^ {2}} {1-M ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2} \ right) {\ frac {dT_ {0}} {T_ {0}}}}

Решение дифференциального уравнения приводит к соотношению, показанному ниже, где T 0 * - застой температура в горловине воздуховода, необходимая для термического перекрытия потока.

T 0 T 0 * знак равно 2 (γ + 1) M 2 (1 + γ M 2) 2 (1 + γ - 1 2 M 2) {\ displaystyle \ {\ frac {T_ {0}} {T_ {0} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ left (\ gamma +1 \ right) M ^ {2}} {\ left (1+ \ gamma M ^ {2} \ right) ^ {2 }}} \ left (1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle \ {\ frac {T_ {0}} {T_ {0} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ left (\ gamma +1 \ right) M ^ {2}} {\ left ( 1+ \ gamma M ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2} \ right)}

Эти значения важны при проектировании систем сгорания. Например, если камера сгорания турбореактивного двигателя имеет максимальную температуру T 0 * = 2000 K, необходимо выбрать T 0 и M на входе в камеру сгорания, чтобы тепловое дросселирование не произойдет, что ограничит массовый расход воздуха в двигатель и уменьшит тягу.

Для модели потока Рэлея безразмерное изменение энтропийной зависимости показано ниже.

Δ S = Δ scp = пер ⁡ [M 2 (γ + 1 1 + γ M 2) γ + 1 γ] {\ displaystyle \ \ Delta S = {\ frac {\ Delta s} {c_ {p} }} = \ ln \ left [M ^ {2} \ left ({\ frac {\ gamma +1} {1+ \ gamma M ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma}} \ right]}

{\ displaystyle \ \ Delta S = {\ frac {\ Delta s} { c_ {p}}} = \ ln \ left [M ^ {2} \ left ({\ frac {\ gamma +1} {1+ \ gamma M ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {\ гамма +1} {\ gamma}} \ right]}

Приведенное выше уравнение можно использовать для построения линии Рэлея на графике зависимости числа Маха от ΔS, но чаще используется диаграмма безразмерной энтальпии H по сравнению с ΔS. Уравнение безразмерной энтальпии показано ниже с уравнением, связывающим статическую температуру с ее значением в месте расположения штуцера для калорийно совершенного газа, где теплоемкость при постоянном давлении, c p, остается постоянным.

H = hh ∗ = cp T cp T ∗ = TT ∗ TT ∗ = [(γ + 1) M 1 + γ M 2] 2 {\ displaystyle {\ begin {align} H = {\ frac {h} {h ^ {*}}} = {\ frac {c_ {p} T} {c_ {p} T ^ {*}}} = {\ frac {T} {T ^ {*}}} \\ {\ frac {T} {T ^ {*}}} = \ left [{\ frac {\ left (\ gamma +1 \ right) M} {1+ \ gamma M ^ {2}}} \ right] ^ { 2} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} H = {\ frac {h} {h ^ {*}}} = {\ frac {c_ {p} T} {c_ {p} T ^ {*}}} = {\ frac {T} {T ^ {*}}} \\ {\ frac {T} {T ^ {*}}} = \ left [{\ frac {\ left (\ gamma +1 \ right) M } {1+ \ gamma M ^ {2}}} \ right] ^ {2} \ end {align}}}

Вышеупомянутое уравнение можно использовать для нахождения M как функции H. Однако из-за формы уравнения T / T * формируется сложное многокорневое соотношение. для M = M (T / T *). Вместо этого M можно выбрать в качестве независимой переменной, где ΔS и H могут быть сопоставлены на диаграмме, как показано на рисунке 1. На рисунке 1 показано, что нагрев будет увеличивать дозвуковое число Маха выше по потоку до M = 1.0. и поток дросселирует. И наоборот, добавление тепла к воздуховоду с восходящим сверхзвуковым числом Маха приведет к уменьшению числа Маха до тех пор, пока поток не закроется. В каждом из этих двух случаев охлаждение дает противоположный результат. Модель потока Рэлея достигает максимальной энтропии при M = 1.0. Для дозвукового потока максимальное значение H имеет место при M = 0.845. Это указывает на то, что охлаждение вместо нагрева вызывает изменение числа Маха с 0,845 до 1,0. Это не обязательно правильно, поскольку температура торможения всегда увеличивается, чтобы сдвинуть поток от дозвукового числа Маха к M = 1, но от M = 0,845 к M = 1.0 поток ускоряется быстрее, чем к нему добавляется тепло. Следовательно, это ситуация, когда тепло добавляется, но T / T * уменьшается в этой области.

Дополнительные зависимости потока Рэлея

Площадь и массовый расход поддерживаются постоянными для потока Рэлея. В отличие от потока Фанно, коэффициент трения Фаннинга, f, остается постоянным. Эти отношения показаны ниже с символом *, обозначающим место в горле, где может произойти удушение.

A = A * = константа m ˙ = m ˙ * = константа {\ displaystyle {\ begin {align} A = A ^ {*} = {\ t_dv {constant}} \\ {\ dot {m}} = {\ dot {m}} ^ {*} = {\ t_dv {constant}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A = A ^ {*} = {\ t_dv {constant}} \\ {\ dot {m}} = {\ dot {m}} ^ {* } = {\ t_dv {константа}} \\\ конец {выровнено}}}

Дифференциальные уравнения также могут быть разработаны и решены для описания соотношений свойств потока Рэлея по отношению к значения в месте удушения. Соотношения давления, плотности, статической температуры, скорости и давления торможения показаны ниже соответственно. Они представлены графически вместе с уравнением отношения температур торможения из предыдущего раздела. Свойство застоя содержит нижний индекс «0».

pp ∗ = γ + 1 1 + γ M 2 ρ ρ ∗ = 1 + γ M 2 (γ + 1) M 2 TT ∗ = (γ + 1) 2 M 2 (1 + γ M 2) 2 vv ∗ = (γ + 1) M 2 1 + γ M 2 p 0 p 0 ∗ = γ + 1 1 + γ M 2 [(2 γ + 1) (1 + γ - 1 2 M 2)] γ γ - 1 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {p} {p ^ {*}}} = {\ frac {\ gamma +1} {1+ \ gamma M ^ {2}}} \\ {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {*}}} = {\ frac {1+ \ gamma M ^ {2}} {\ left (\ gamma +1 \ right) M ^ {2}}} \\ {\ frac {T} {T ^ {*}}} = {\ frac {\ left (\ gamma +1 \ right) ^ {2} M ^ {2}} {\ left (1+ \ gamma M ^ {2} \ right) ^ {2}}} \\ {\ frac {v} {v ^ {*}}} = {\ frac {\ left (\ gamma +1 \ right) M ^ {2}} {1+ \ gamma M ^ {2}}} \\ {\ frac {p_ {0}} {p_ {0} ^ {*}}} = {\ frac {\ gamma +1} {1+ \ gamma M ^ {2}}} \ left [\ left ({\ frac {2} {\ gamma +1}} \ right) \ left (1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ { 2} \ right) \ right] ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {p} {p ^ {*}}} = {\ frac {\ gamma +1} {1 + \ gamma M ^ {2}}} \\ {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {*}}} = {\ frac {1+ \ gamma M ^ {2}} {\ left (\ gamma +1 \ right) M ^ {2}}} \\ {\ frac {T} {T ^ {*}}} = {\ frac {\ left (\ gamma +1 \ right) ^ {2} M ^ {2}} {\ left (1+ \ gamma M ^ {2} \ right) ^ {2}}} \\ {\ frac {v} {v ^ {*}}} = {\ frac {\ left (\ gamma +1 \ right) M ^ {2}} {1+ \ gamma M ^ {2}}} \\ {\ frac {p_ {0}} {p_ {0} ^ {*}}} = {\ frac {\ gamma +1} {1+ \ gamma M ^ {2}}} \ left [\ left ({\ frac {2} {\ gamma +1}} \ right) \ left (1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2} \ right) \ right] ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \ end {align}}}

Приложения

Рисунок 3 Диаграмма пересечения линий Фанно и Рэлея.

Модель потока Рэлея имеет множество аналитических применений, особенно в отношении авиационных двигателей. Например, камеры сгорания внутри турбореактивных двигателей обычно имеют постоянную площадь, а добавление массы топлива незначительно. Эти свойства делают модель потока Рэлея применимой для добавления тепла к потоку при сгорании, предполагая, что добавление тепла не приводит к диссоциации воздушно-топливной смеси. Создание ударной волны внутри камеры сгорания двигателя из-за теплового дросселирования очень нежелательно из-за уменьшения массового расхода и тяги. Следовательно, модель потока Рэлея имеет решающее значение для первоначального расчета геометрии воздуховода и температуры сгорания двигателя.

Модель потока Рэлея также широко используется с моделью Fanno flow. Эти две модели пересекаются в точках на диаграммах энтальпия-энтропия и число Маха-энтропия, что имеет значение для многих приложений. Однако значения энтропии для каждой модели не равны в звуковом состоянии. Изменение энтропии равно 0 при M = 1 для каждой модели, но предыдущее утверждение означает, что изменение энтропии от одной и той же произвольной точки к звуковой точке отличается для моделей потока Фанно и Рэлея. Если начальные значения s i и M i определены, новое уравнение для безразмерной энтропии в зависимости от числа Маха может быть определено для каждой модели. Эти уравнения показаны ниже для потоков Фанно и Рэлея соответственно.

Δ SF = s - sicp = ln [(MM i) γ - 1 γ (1 + γ - 1 2 M i 2 1 + γ - 1 2 M 2) γ + 1 2 γ] Δ SR = s - sicp знак равно пер [(MM я) 2 (1 + γ M я 2 1 + γ M 2) γ + 1 γ] {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta S_ {F} = {\ frac {s- s_ {i}} {c_ {p}}} = ln \ left [\ left ({\ frac {M} {M_ {i}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma} } \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {i} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma +1} {2 \ gamma}} \ right] \\\ Delta S_ {R} = {\ frac {s-s_ {i}} {c_ {p}}} = ln \ left [\ left ({\ frac {M} {M_ {i}}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {1+ \ gamma M_ {i} ^ { 2}} {1+ \ gamma M ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma}} \ right] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align } \ Delta S_ {F} = {\ frac {s-s_ {i}} {c_ {p}}} = ln \ left [\ left ({\ frac {M} {M_ {i}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {i} ^ {2}} {1+ {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma +1} {2 \ gamma}} \ right] \\\ Delta S_ {R} = {\ frac {s-s_ {i}} {c_ {p}}} = ln \ left [\ left ({\ frac {M} {M_ {i}}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {1+ \ gamma M_ {i} ^ {2}} {1+ \ gamma M ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma}} \ right ] \ end {align}}}

На рисунке 3 показан Линии Рэлея и Фанно, пересекающиеся друг с другом для начальных условий s i = 0 и M i = 3,0. Точки пересечения вычисляются путем приравнивания новых безразмерных уравнений энтропии друг к другу, в результате чего в отношении ниже.

(1 + γ - 1 2 M i 2) [M i 2 (1 + γ M i 2) 2] = (1 + γ - 1 2 M 2) [M 2 (1 + γ M 2) 2 ] {\ displaystyle \ \ left (1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {i} ^ {2} \ right) \ left [{\ frac {M_ {i} ^ {2}} {\ left (1+ \ gamma M_ {i} ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ right] = \ left (1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ { 2} \ right) \ left [{\ frac {M ^ {2}} {\ left (1+ \ gamma M ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ right]}

\ left (1 + \ frac {\ gamma - 1} {2} M_i ^ 2 \ right) \ left [\ frac {M_i ^ 2} {\ left (1 + \ gamma M_i ^ 2 \ right) ^ 2} \ right] = \ left (1 + \ frac {\ gamma - 1} {2} M ^ 2 \ right) \ left [\ frac {M ^ 2} {\ left (1 + \ гамма M ^ 2 \ right) ^ 2} \ right]

Точки пересечения возникают при данном начальном числе Маха и его значении после нормального удара после . Для рисунка 3 эти значения составляют M = 3,0 и 0,4752, которые можно найти в таблицах нормального скачка давления, приведенных в большинстве учебников по сжимаемому потоку. Данный поток с постоянной площадью воздуховода может переключаться между моделями Рэлея и Фанно в этих точках.

См. Также

Ссылки

Стратт, Джон Уильям (лорд Рэлей) (1910). «Воздушные плоские волны конечных амплитуд». Proc. R. Soc. Лондон. А. 84 (570): 247–284. doi : 10.1098 / rspa.1910.0075., также в:
- Dover, ed. (1964). Научные труды лорда Рэлея (Джон Уильям Стратт). 5. стр. 573–610.
Zucker, Robert D.; Библарц О. (2002). «Глава 10. Течение Рэлея». Основы газовой динамики. Джон Уайли и сыновья. С. 277–313. ISBN 0-471-05967-6.
Шапиро, Ашер Х. (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости, Том 1.. ISBN 978-0-471-06691-0.
Hodge, B.K.; Кениг К. (1995). Динамика сжимаемой жидкости с помощью приложений для персональных компьютеров. Прентис Холл. ISBN 0-13-308552-X.
Эмануэль, Г. (1986). «Глава 8.2 Рэлеевское течение». Газодинамика: теория и приложения. AIAA. С. 121–133. ISBN 0-930403-12-6.

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с потоком Рэлея.