Позиционное обозначение

Метод представления или кодирования чисел Глоссарий терминов, используемых в позиционных системах счисления.

Позиционное обозначение (или обозначение места, или позиционная система счисления ) обычно обозначает расширение основания в индуистско-арабской системе счисления (или десятичная система ). В более общем смысле, позиционная система - это система счисления, в которой используются цифры в качестве значения числа произведением значения на коэффициент, определяемый положением цифр. В ранних системах счисления, таких как римские цифры, цифра имеет только одно значение: I означает единицу, X означает десять и C - сто (однако, значение может быть отменено, если перед другой цифрой). В позиционных современных системах, таких как десятичная система, положение цифр означает, что ее значение должно быть умножено на некоторое значение: в 555 три идентичных символа представляют пять сотен, пять десятков и пять единиц. соответственно, из-за их различного положения в строке цифр.

Вавилонская система счисления, основание 60, была разработана первая позиционная система, и ее влияние сегодня проявляется в том, как время и углы подсчитываются в счетах, связанных с 60, например 60 минутами. через час 360 градусов по кругу. Сегодня индуистско-арабская система счисления (основание десять ) является наиболее часто используемой системой во всем мире. Однако двоичная система счисления (с основанием два) используется почти во всех компьютерах и электронных устройств, потому что ее проще эффективно реализовать в электронных схемах..

Были представлены системы с отрицательным основанием, сложным основанием или отрицательными цифрами (см. Раздел Нестандартные позиционные системы счисления). Интересно, что большинство из не требует минус для обозначения отрицательных чисел.

Использование точки счисления (десятичная точка в десятичной системе счисления) распространяется на дроби и позволяет представлять действительное число до произвольной точности. С позиционным обозначением арифметические вычисления намного проще, чем с любой старой системой счисления, и это объясняет распространение обозначения, когда оно было введено в Европе.

• 1 История
  • 1.1 История позиционных дробей
• 2 Проблемы
• 3 Математика
  • 3.1 Основание системы счисления
  • 3.2 Обозначение
  • 3.3 Возведение в степень
  • 3.4 Цифры и и
  • 3.5 Точка основания
  • 3.6 Знак
  • 3.7 Преобразование базы
  • 3.8 Завершающие дроби
  • 3.9 Бесконечные представления
    • 3.9.1 Рациональные числа
    • 3.9.2 Иррациональные числа
• 4 Приложения
  • 4.1 Десятичная система
  • 4.2 Шестидесятеричная система
  • 4.3 Вычисления
  • 4.4 Другие основы человеческого языка
• 5 Нестандартные позиции системы счисления
• 6 Непозиционные позиции
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Suanpan (число, представленное на картинке, 6,302,715,408)

Сегодня, base-10 (десятичная ), предположительно мотивировано счетом десятью пальцами, распространена повсеместно. Другие базы использовались в прошлом, а некоторые романсы сегодня. Например, вавилонская система счисления, считающаяся первой позиционной системой счисления, была основанием-60. Однако нем в отсутствовал реальный 0. Первоначально выводимый только из контекста, позже, примерно к 700 г. до н.э., ноль стал обозначаться «пробелом» или «символом пунктуации» (например, двумя наклонными клиньями) между цифрами. Это был заполнитель, а не истинный ноль, потому что он не использовался отдельно. Он также не использовался в конце числа. Такие, как 2 и 120 (2 × 60), выглядели одинаково, потому что у большего числа не было последнего заполнителя. Только контекст мог их различить.

Эрудит Архимед (ок. 287–212 гг. До н.э.) изобрел десятичную позиционную систему в своей Sand Reckoner, основанном на 10, и позже возглавил немецкого математика Карлу Фридриху Гауссу, чтобы оплакивать, каких высот наука достигла бы уже в его дни, если бы Архимед полностью осознал потенциал своего гениального открытия.

До того, как система позиционирования обозначений стала стандартной, простые аддитивные системы (знаковое обозначение ), такие как римские цифры, а бухгалтеры в Древнем Риме и в средние века использовали счеты или каменные счетчики для арифметических операций.

Самая ранняя в мире позиционная десятичная система. Вертикальная форма верхнего ряда. Горизонтальная форма нижнего ряда

Счетные стержни и большинство счетчиков использовались для представления чисел в позиционной системе счисления. Со счетными стержнями или счетами для выполнения арифметических записей начальных, промежуточных и конечных значений можно легко выполнить с помощью простой аддитивной системы в каждой позиции или столбце. Такой подход не требовал запоминания таблиц (как и позиционная запись) и мог быстро дать практические результаты. В течение четырех столетий (с 13 по 16) существовали серьезные разногласия между теми, кто верил в использование позиционной системы при написании чисел, и теми, кто хотел остаться с аддитивной системой плюс счет. Хотя электронные калькуляторы в степени заменили счеты, научные переводы в Японии и других странах Азии.

После Французской революции (1789–1799) новое французское правительство продвигало расширение десятичной системы. Некоторые из этих попыток про-десятичной системы, такие как десятичное время и десятичный календарь, не увенчались успехом. Другие французские усилия по защите десятичных дробей - денежная десятичная и метрика мер и весов - широко распространились из Франции почти во всем мире.

История позиционных дробей

Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что позиционные десятичные дроби были использованы автоматически арабским математиком Абу'л-Хасаном аль-Уклидиси еще в 10 веке. Еврейский математик Иммануил Бонфилс разработал десятичные дроби около 1350 года, но не использовал никаких обозначений для их представления. Персидский математик Джамшид аль-Каши сделал такое же открытие десятичных дробей в 15 веке. Аль Хорезми ввел дроби в исламские страны в начале 9 века; его представление дробей было похоже на традиционные китайские математические дроби из Сунцзи Суаньцзин. Эта форма дроби с числителем вверху и знаменателем без горизонтальной черты также использовалась в 10 веке Абу'л-Хасан ал-Уклидиси и 15 веке работа Джамшид аль-Каши «Арифметический ключ ».

Принятие десятичного представления чисел меньше единицы, дроби, часто приписывается Саймону Стивину через его учебник De Thiende ; но и Стевин, и Э. Дж. Дейкстерхус указывает на то, что Regiomontanus способ распространения в Европе общих десятичных знаков :

европейского математиков, переняв у индусов через арабов идею позиций значения для целых чисел., забыли распространить эту идею на дроби. В течение нескольких столетий они ограничивались обыкновенными и шестидесятериальными дробей... Эту половинчатость так и не удалось полностью преодолеть, и шестидесятичные дроби до сих пор составляют основу нашей тригонометрии, астрономии и времени. ¶... Математики стремились избежать дробей, размером R равным количеству единиц в форме 10, а затем величиной за n такое целое значение, чтобы все значения могли быть выражены с достаточной точностью целыми числами. ¶ Первым, кто применил этот метод, был немецкий астроном Региомонтан. В той мере, в какой он выразил гониометрические отрезки в единице R / 10, Региомонтана можно назвать предвестником доктрины десятичных позиционных дробей.

По оценке Дейкстерхейса, "после публикации De Thiende требовалось лишь небольшое продвижение, чтобы установить полную систему десятичных позиций дробей, и этот шаг был незамедлительно предпринятый рядом авторов... после Стевина наиболее эффективной фигурой в этом развитии Дейкстерхейс отмечает, что [Стевин] «полностью доверяет Региомонтану за его предыдущий вклад, говоря, что тригонометрические таблицы немецкого астронома фактически содержат всю теорию« чисел десятого прогресса »».

Ключевым аргументом против позиционной системы ее восприимчивость к легкому мошенничеству, просто помещая число в начале или в конце количества, тем самым изменяя (например) 100 на 5100 или 100 на 1000. Современные чеки требуют написания на естественном языке, а также самого десятичного числа, чтобы предотвратить такое мошенничество. записывается как 壹佰, что никогда не может быть преобразовано в 壹仟 (1000) или 伍仟 壹佰 (5100).

Многие заявленные преимущества для метрической системы могут быть реализованы с помощью любых согласованных позиционных обозначений. Сторонники «дюжины» говорят, что двенадцатеричная система имеет несколько преимуществ перед десятичной, хотя цена переключения кажется высокой.

Основание системы счисления

В математических систем счисления основанием или основанием обычно является количество уникальных цифр, включая ноль, которая позиционная система счисления использует для представления чисел. Например, для десятичной системы счисления основание системы счисления равно 10, поскольку в ней используются 10 цифр от 0 до 9. Когда число "попадает" в 9, следующим числом будет другой символ, а "1", за которой следует "0". В двоичной системе основание системы счисления равно 2, поскольку после достижения «1» вместо «2» или другого записанного символа она переходит прямо к «10», за которым следуют «11» и «100».

Самый высокий символ позиционной системы счисления обычно имеет значение на единицу меньше основания значения этой системы счисления. Стандартные позиционные системы счисления отличаются друг от друга только основанием, которое они используют.

Основание - это целое число, которое больше 1 (или меньше отрицательной 1), так как система счисления нуля не будет иметь никаких цифр, а система счисления 1 будет иметь только нулевую цифру. Отрицательные основания используются редко. В системе с отрицательной системой счисления числа иметь множество различных представлений.

(В некоторых нестандартных позиционных системах счисления, включая двуъективную нумерацию, определение основания или разрешенных цифр отличается от приведенного выше.)

В позиционной системе счисления с основанием 10 (десятичной) имеется 10 десятичных цифр и число

$2506\; =\; (2\; \times \; 10\; 3)\; +\; (5\; \times \; 10\; 2)\; +\; (0\; \times \; 10\; 1)\; +\; (6\; \times \; 10\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2506\; =\; (2\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{3\})\; +\; (5\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{2\})\; +\; (0\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{1\})\; +\; (6\; \backslash \; умножить\; на\; 10\; ^\; \{0\})\; \}$.

В базе 16 (шестнадцатеричный ) есть 16 шестнадцатеричных цифр (0–9 и A - F) и число

$171\; B\; =\; (1\; \times \; 16\; 3)\; +\; (7\; \times \; 16\; 2)\; +\; (1\; \times \; 16\; 1)\; +\; (B\; \times \; 16\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; 171\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; =\; (1\; \backslash \; times\; 16\; ^\; \{3\})\; +\; (7\; \backslash \; times\; 16\; ^\; \{2\})\; +\; (1\; \backslash \; times\; 16\; ^\; \{1\})\; +\; (\backslash \; mathrm\; \{B\}\; \backslash \; times\; 16\; ^\; \{0\})\}$(где B представляет число одиннадцать как один символ)

Как правило, в base-b есть b цифр, а число

$a\; 3\; a\; 2\; a\; 1\; a\; 0\; =\; (a\; 3\; \times \; b\; 3)\; +\; (a\; 2\; \times \; b\; 2)\; +\; (a\; 1\; \times \; b\; 1)\; +\; (a\; 0\; \times \; b\; 0)\; \{\backslash \; displaystylea\_\; \{3\}\; a\_\; \{2\}\; a\_\; \{1\}\; a\_\; \{0\}\; =\; (a\_\; \{3\}\; \backslash \; times\; b\; ^\; \{3\})\; +\; (a\_\; \{2\}\; \backslash \; times\; b\; ^\; \{2\})\; +\; (a\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; b\; ^\; \{1\})\; +\; (a\_\; \{0\}\; \backslash \; times\; b\; ^\; \{0\})\}$(Обратите внимание, что $a\; 3\; a\; 2\; a\; 1\; a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{\; 3\}\; a\_\; \{2\}\; a\_\; \{1\}\; a\_\; \{0\}\}$представляет собой последовательность цифр, а не умножение )

Нотация

При описании основания в математической нотации буква b обычно используется в качестве символа для этого понятия, поэтому для двоичная система, b равно 2. Другой распространенный способ выражения основания - это запись его в виде десятичного индекса после числа, которое используется (эта запись в статье). 111101190>2 подразумевает, что число 1111011 является числом с основанием 2, равным 123 10 (десятичное представление ), 173 8(восьмеричное ) и 7B 16(шестнадцатеричный ). В книгах и статьях, при использовании печатных сокращений на основе счисления, основание не печатается: Принципом, двоичный код 1111011 совпадает с 1111011 2.

, также может обозначаться фразой «base-b». Итак, двоичные числа - это «основание». -2 »; восьмеричные числа -« основание-8 »; десятичные числа -« основание-10 »; и так далее.

Для данного основания b набор цифр {0, 1,..., b - 2, b - 1} называется стандартным набором цифр. Таким образом, двоичные числа имеют цифры {0, 1}; десятичные числа имеют цифры {0, 1, 2,..., 8, 9}; и так далее. ошибки записи: 52 2, 2 2, 1A 9. (Во всех случаях одна или несколько цифр не входят в набор разрешенных цифр для данной базы.)

Возведение в значение степени

Позиционные системы счисления работают с использованием возведения в степень числа основание. Цифры - это цифра, умноженная на ее места. - это номер основания, возведенный в степень n, где n - других цифр между данной цифрой и точкой счисления. Если цифра находится слева от точки счисления (т.е. ее значение - целое число ), то n положительно или равно нулю; если цифра находится справа от точки счисления (т. е. ее значение дробное), то отрицательно.

В качестве примера использования число 465 в соответствующем основании b (должно быть не менее 7, старшая цифра - 6) равно:

$4\; \times \; b\; 2\; +\; 6\; \times \; b\; 1\; +\; 5\; \times \; b\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; times\; b\; ^\; \{2\}\; +6\; \backslash \; times\; b\; ^\; \{1\}\; +5\; \backslash \; times\; b\; ^\; \{0\}\}$

Если число 465 было в базе 10, то это будет равно:

$4\; \times \; 10\; 2\; +\; 6\; \times \; 10\; 1\; +\; 5\; \times \; 10\; 0\; =\; 4\; \times \; 100\; +\; 6\; \times \; 10\; +\; 5\; \times \; 1\; =\; 465\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{2\}\; +6\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{1\}\; +5\; \backslash \; раз\; 10\; ^\; \{0\}\; =\; 4\; \backslash \; раз\; 100\; +\; 6\; \backslash \; раз\; 10\; +\; 5\; \backslash \; раз\; 1\; =\; 465\}$

(465 10 = 465 10)

Однако, если бы число было в основании 7, оно было бы равно:

$4\; \times \; 7\; 2\; +\; 6\; \times \; 7\; 1\; +\; 5\; \times \; 7\; 0\; =\; 4\; \times \; 49\; +\; 6\; \times \; 7\; +\; 5\; \times \; 1\; =\; 243\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; times\; 7\; ^\; \{2\}\; +6\; \backslash \; times\; 7\; ^\; \{1\}\; +5\; \backslash \; times\; 7\; ^\; \{0\}\; =\; 4\; \backslash \; times\; 49\; +\; 6\; \backslash \; times\; 7\; +\; 5\; \backslash \; times\; 1\; =\; 243\}$

(465 7 = 243 10)

10b= b для любого основания b, поскольку 10 b = 1 × b + 0 × b. Например, 10 2 = 2; 10 3 = 3; 10 16 = 16 10. Обратите внимание, ч. то «16» указаны в базе 10. База не имеет значения для однозначные числа.

Это концепцию можно использовать с помощью диаграммы. Один объект представляет одну единицу. Когда количество объектов равно или больше, чем основание b, тогда группа объектов создается с объектами b. Создается группа из этих группировок с b группами по группам b объектов; и так далее. Таким образом, одно и то же число в разных базах будет иметь разные значения:

241 в базе 5: 2 группы по 5 (25) 4 группы по 5 1 группа из 1 ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо + ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо

241 в базе 8: 2 группы по 8 (64) 4 группы по 8 1 группа из 1 ооооооо ооооооо ооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO

Обозначение может быть дополнительно расширено, разрешив начальный знак минус. Это позволяет представлять отрицательные числа. Для данного представительного представления соответствует ровно одному действительному представителю, и каждое действительное число имеет хотя бы одно представление. Представления рациональных чисел - это те представления, которые являются конечными, используются столбчатую нотацию или заканчиваются бесконечно повторяющимся циклом цифр.

Цифры и числа

Цифра - это то, что используется в качестве позиции в нотации разряда, а цифра - это одна или несколько цифр. Самые распространенные сегодня цифры - это десятичные цифры «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8», и «9». Различие между цифрой и цифрой заметно в контексте числовой базы.

Ненулевое число с более чем одной позицией цифры будет означать другое число с другой системой счисления, но в целом цифры будут означать то же самое самое. Число по основанию 8 23 8 содержит две цифры, «2» и «3», а с базовым числом (с нижним индексом) «8» означает 19 обозначенных здесь нижний индекс «<90»>8 "число 23 8 является числительным, но это не всегда так. Представьте себе цифру« 23 »как имеющую неоднозначное основание. Тогда" 23 ", вероятно, может быть любой базой, от базы-4 до базы-60. В базе 4 «23» означает 11, а в базе 60 - число 123. Тогда цифра «23» в этом случае соответствует набору чисел {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,..., 121, 123}, в то время как его цифры «2» и «3» всегда сохраняют свое собственное значение: «2» означает «два из», а « 3 »-.

В некоторых случаях, когда число с фиксированным числом позиций должно быть большее число, можно использовать более высокое основание числа с большим количеством цифр на позиции. . Но если основание числа увеличивается до 11, скажем ем, путем добавления цифры «A», то те же три позиции, максимизированные до «AAA», могут представлять число, равное 1330 . Мы могли бы снова увеличить числовую базу и присвоить «B» 11 и так далее (но также возможно шифрование между числом и цифрой в иерархии числа-цифры-цифры). Трехзначное число «ZZZ» в основании 60 может означать 215999 . Если мы будем использовать весь набор наших буквенно-цифровых символов, мы сможем использовать систему счисления с основанием 62, но мы удалим две цифры, прописную «I» и прописную «O», чтобы избежать путаницы с цифрами «1» и «0». Мы остаемся с основанием-60 или шестидесятеричной системой счисления, использующей 60 из 62 стандартных буквенно-цифровых символов. (Но см. шестидесятеричную систему ниже.) В общем, количество возможных значений, которые могут быть представлены с помощью $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$числового числа в базе $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$is $rd\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{d\}\}$.

Распространенными системами счисления в информатике являются двоичные (основание 2), восьмеричные (основание 8) и шестнадцатеричный (основание 16). В двоичном в цифрах используются только цифры «0» и «1». В восьмеричных цифрах это восемь цифр 0–7. Hex - это 0–9 A – F, где десять цифр сохраняют свое обычное значение, а алфавиты соответствуют значениям 10–15, всего шестнадцать цифр. Цифра «10» является двоичной цифрой «2», восьмеричной цифрой «8» или шестнадцатеричной цифрой «16».

Точка основания

Обозначение может быть расширено до отрицательных показателей степени основания b. Таким образом, так называемая точка счисления, чаще всего ».«, Используется как разделитель позиций с неотрицательной степенью и позиций с отрицательной степенью.

В числах, не являющихся целыми, используются места за пределами точки. Для каждой позиции за этой точкой (и, следовательно, после цифры единиц), показатель степени n степени b уменьшается на 1, а степень приближается к 0. Например, число 2,35 равно:

$2\; \times \; 10\; 0\; +\; 3\; \times \; 10\; -\; 1\; +\; 5\; \times \; 10\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{0\}\; +3\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 1\}\; +5\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 2\}\}$

Знак

Если основание и все цифры в наборе цифр неотрицательны, отрицательные числа не могут быть выражены. Чтобы избежать этого, в систему счисления добавлен знак минус, здесь »-«. В обычных обозначениях он добавляется к строке цифр, представляющейнеотрицательное число.

Базовое преобразование

Преобразование в базовое $b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\}\}$целого числа n, представленного в базе $b\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\}$может быть выполнено последовательностью евклидова деления на $b\; 2:\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\}:\}$крайняя правая цифра в $b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\}\}$- это остаток от деления n на $b\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\};\}$вторая самая правая цифра - это остаток от деления частного на $b\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\},\}$и так далее. Точнее, k-я цифра справа - это остаток от деления на $b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\}\}$(k - 1) -го частное.

Например: преобразование A10B Hex в десятичном (41227):

0xA10B / 10 = 0x101A R: 7 (разряды единиц) 0x101A / 10 = 0x19C R: 2 ( разряды десятков) 0x19C / 10 = 0x29 R: 2 (разряды сотен) 0x29 / 10 = 0x4 R: 1... 0x4 / 10 = 0x0 R: 4

При преобразовании в большее основание (например, от двоичного к десятичному), остаток представляет $b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\}\}$как одну цифру, используя цифры из $b\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\}$. Например: преобразование 0b11111001 (двоичный) в 249 (десятичный):

0b11111001 / 10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" для разряда) 0b11000 / 10 = 0b10 R: 0b100 (0b100 = "4 "для десятков) 0b10 / 10 = 0b0 R: 0b10 (0b10 =" 2 "для сотен)

Для дробной части преобразование может быть выполнено путем взятия цифр после точки счисления (числитель) и деление на подразумевает знаменатель в системе счисления. Аппроксимация может потребоваться из-за возможности незавершенных цифр, если знаменатель уменьшенной дроби имеет простой множитель, отличный от любого из основных множителей, которые нужно преобразовать. Например, 0,1 в десятичной системе счисления (1/10) равно 0b1 / 0b1010 в двоичной системе счисления, разделив ее по этой системе счисления, получится 0b0,00011 (поскольку один из простых множителей 10 5 равенств). Для более общих дробей и оснований см. Алгоритм для положительных оснований.

На практике метод Хорнера более эффективен, чем повторное деление, требое выше. Число в позиционном обозначении можно рассматривать как многочлен, где каждая цифра является коэффициентом. Коэффициенты могут быть больше одной цифры, поэтому эффективный способ преобразования на основе - это преобразовать каждую цифру, а затем оценить полином с помощью метода Хорнера в базе данных. Преобразование каждой цифры представляет собой простую таблицу поиска, устраняющую необходимость в дорогостоящих операциях деления или модуля; и умножение на х становится сдвигом вправо. Однако другие алгоритмы вычисления полиномов также будут работать, например, повторное возведение в квадрат для одиночных или разреженных цифр.

Конечные дроби

Числа, которые имеют конечное представление, образуют полукольцо

$N\; 0\; b\; N\; 0:\; =\; \{mb\; -\; \nu \; \mid \; m\; \in \; N\; 0\; \wedge \; \nu \; \in \; N\; 0\; \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{0\}\}\; \{b\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{0\}\}\}\}:\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{mb\; ^\; \{-\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; mid\; m\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; nu\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Более явно, если $p\; 1\; \nu \; 1\; \cdot \dots \; \cdot \; pn\; \nu \; п:\; =\; б\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ldots\; \backslash \; cdot\; p\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{n\}\}:\; =\; b\}$a факторизация числа $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$на простые числа $p\; 1,\dots ,\; pn\; \in \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\}$с показателями $\nu \; 1,\dots ,\; \nu \; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$, затем с непустым набором знаменателей $S:\; =\; \{p\; 1,\dots ,\; pn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S:\; =\; \backslash \; \{p\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$имеем

$ZS:\; =\; \{x\; \in \; Q\; |\; \exists \; \mu \; я\; \in \; Z:\; Икс\; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; npi\; \mu \; я\; \in \; Z\}\; знак\; равно\; b\; ZZ\; =\; ⟨S⟩\; -\; 1\; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{S\}:\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \backslash \; left\; |\; \backslash ,\; \backslash \; exists\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}:\; x\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{p\_\; \{i\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; правильно.\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; b\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; =\; \{\backslash \; langle\; S\; \backslash \; rangle\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$

где $⟨S⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; S\; \backslash \; rangle\}$- группа, созданная $p\; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; S\}$и $⟨S⟩\; -\; 1\; Z\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; langle\; S\; \backslash \; rangle\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$- это так называемая локализация из $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \}$относительно $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.

знаменатель элемента $ZS\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{S\}\}$содержит при сокращении до младших членов только простые множители из $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Это кольцо всех завершающих дробей с основанием $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$является плотным в поле рациональных чисел $Q\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$. Его завершение для обычной (архимедовой) метрики такое же, как и для $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$, а именно действительные числа $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Итак, если $S\; =\; \{p\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; \{p\; \backslash \}\}$, то $Z\; \{p\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{\backslash \; \{p\; \backslash \}\}\}$не следует путать с $Z\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{(p)\}\}$, дискретной оценкой кольца для prime $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, что равно $ZT\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{T\}\}$с $T\; =\; P\; \setminus \; \{p\}\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{p\; \backslash \}\}$.

Если $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$делит $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$, получаем $b\; ZZ\; \subseteq \; c\; ZZ.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; substeq\; c\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$

Бесконечные представления

Рациональные числа

Представление нецелых чисел может быть расширено, чтобы разрешить вводную цифру за точку. Например, 1.12112111211112... base-3 представляет собой количество бесконечного ряда :

$1\; \times \; 3\; 0\; +\; 1\; \times \; 3\; -\; 1\; +\; 2\; \times \; 3\; -\; 2\; +\; 1\; \times \; 3\; -\; 3\; +\; 1\; \times \; 3\; -\; 4\; +\; 2.\; \times \; 3\; -\; 5\; +\; 1\; \times \; 3\; -\; 6\; +\; 1\; \times \; 3\; -\; 7\; +\; 1\; \times \; 3\; -\; 8\; +\; 2\; \times \; 3\; -\; 9\; +\; 1\; \times \; 3\; -\; 10\; +\; 1\; \times \; 3\; -\; 11\; +\; 1\; \times \; 3\; -\; 12\; +\; 1\; \times \; 3\; -\; 13\; +\; 2\; \times \; 3\; -\; 14\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{l\}\; 1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{0\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\}\; +\; \{\}\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-1\; \backslash ,\; \backslash ,\}\; +\; 2\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 2\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\}\; +\; \{\}\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 3\; \backslash ,\; \backslash ,\}\; +\; 1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 4\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\}\; +\; 2\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 5\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\}\; +\; \{\}\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 6\; \backslash ,\; \backslash ,\}\; +\; 1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 7\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\}\; +\; 1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 8\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\}\; +\; 2\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 9\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\}\; +\; \{\}\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-10\}\; +1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 11\}\; +1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 12\}\; +1\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 13\}\; +2\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{-\; 14\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; end\; \{массив\}\}\}$

может быть записана явно, конечное многоточие (...) обозначает пропущенные цифры, которые могут следовать или не следовать чему-то. Один из распространенных закономерностей - бесконечное повторение конечной ввести цифр. Это обозначено рисунком винкулума поперек повторяющегося блока:

$2,42\; 314\; ¯\; 5\; =\; 2,42314314314314314\dots \; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 2.42\; \{\backslash \; overline\; \{314\}\}\; \_\; \{5\}\; =\; 2,42314314314314314\; \backslash \; dots\; \_\; \{5\}\}$

Это повторяющаяся десятичная запись (для которой существует единой общепринятой записи или фразировки). Для основания 10 это называется повторяющимся десятичным или повторяющимся десятичным числом.

иррациональное число имеет бесконечное неповторяющееся представление во всех основаниях целых чисел. Имеет ли рациональное число конечное представление или требует бесконечного повторяющегося представления, зависит от основания. Например, одна может быть представлена ​​следующим образом:

$0,1\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 0,1\_\; \{3\}\}$

$0.\; 3\; ¯\; 10\; =\; 0,3333333\dots \; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 0.\; \{\backslash \; Overline\; \{3\}\}\; \_\; \{10\}\; =\; 0,3333333\; \backslash \; dots\; \_\; \{10\}\}$

или, с предполагаемой базой:

$0.\; 3\; ¯\; =\; 0,3333333\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; 0.\; \{\backslash \; Overline\; \{3\}\}\; =\; 0,3333333\; \backslash \; dots\}$(см. Также 0,999... )

$0.\; 01\; ¯\; 2\; =\; 0,010101\dots \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 0.\; \{\backslash \; overline\; \{01\}\}\; \_\; \{2\}\; =\; 0,010101\; \backslash \; dots\; \_\; \{2\}\}$

$0,2\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; 0,2\_\; \{6\}\; \}$

Для целых чисел p и q с gcd (p, q) = 1, дробь p / q имеет конечное представление в базе b тогда и только тогда, когда каждый число множитель число q также является основным коэффициентом b.

Для заданного основания любое число, которое может быть простым числом цифр (без использования штриховой нотации), будет иметь несколько представлений, включая одно или два бесконечных представлений:

1. Можно добавить конечное или бесконечное нулей:

$3,46\; 7\; =\; 3,460\; 7\; =\; 3,460000\; 7\; =\; 3,46\; 0\; ¯\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; 3.46\_\; \{7\}\; =\; 3.460\_\; \{\; 7\}\; =\; 3.460000\_\; \{7\}\; =\; 3.46\; \{\backslash \; overline\; \{0\}\}\; \_\; \{7\}\}$

2. Последняя ненулевая цифра может быть уменьшена на единицу, и к ней добавлена ​​бесконечная строка цифр, каждая из которых на единицу меньше используется (или заменяет любые следующие нулевые цифры):

$3,46\; 7\; =\; 3,45\; 6\; ¯\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; 3.46\_\; \{7\}\; =\; 3.45\; \{\backslash \; overline\; \{6\}\}\; \_\; \{\; 7\}\}$

$1\; 10\; =\; 0.\; 9\; ¯\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\_\; \{10\}\; =\; 0.\; \{\backslash \; overline\; \{9\}\}\; \_\; \{10\}\; \backslash \; qquad\}$(см. также 0,999... )

$220\; 5\; =\; 214.\; 4\; ¯\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 220\_\; \{5\}\; =\; 214.\; \{\backslash \; overline\; \{4\}\}\; \_\; \{5\}\}$

Иррациональные числа

(действительное) иррациональное число имеет бесконечное неповторяющееся представление во всех целочисленных основаниях.

Примеры: неразрешимые корни n-й степени

$y\; =\; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{n\}]\; \{x\}\}\}$

с $yn\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{n\}\; =\; x\}$и y ∉ Q, числа, которые называются алгебраическими, или числа типа

$\pi ,\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi,\; e\}$

, которые трансцендентны. Число трансцендентальных чисел бесчисленно, единственный способ записать их конечным числом символов - дать им символ или конечную последовательность символов.

Десятичная система

В десятичной (base-10) индуистско-арабской системе счисления, каждая позиция начинается справа - более высокая степень 10. Первая позиция представляет 10 (1), вторая 10 (10), третья позиция позиция 10 (10 × 10 или 100), четвертая позиция 10 (10 × 10 × 10 или 1000) и так далее.

Дробные значения обозначаются разделителем , который может различаться в разных местах. Обычно этот разделитель представляет собой точку или точку, или запятую. Цифры справа от него умножаются на 10 в отрицательной степени или экспоненте. Первая позиция справа от разделителя указывает 10 (0,1), вторая позиция 10 (0,01) и так далее для каждой предыдущей позиции.

В качестве примера число 2674 в системе счисления с основанием 10:

(2 × 10) + (6 × 10) + (7 × 10) + (4 × 10) <554.>или

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

Шестидесятеричная система

шестидесятеричная система или основание Система -60 использовалась для целых и дробных частей вавилонских цифр и других мезопотамских систем, эллинистическими астрономами, использующими греческие цифры только для дробной части, и все еще используется для современного времени и углов, но только для минут и секунд. Однако не все из этих применений были позиционными.

Современное время разделяет каждую позицию двоеточием или символом штриха. Например, время может быть 10:25:59 (10 часов 25 минут 59 секунд). Углы используют аналогичные обозначения. Например, угол может составлять 10 ° 25′59 ″ (10 градусов 25 минут 59 секунд ). В обоих случаях шестидесятеричное представление используется только для минут и секунд - угловые градусы могут быть больше 59 (один оборот вокруг круга составляет 360 °, два поворота - 720 ° и т. Д.), А время и углы используют десятичные доли секунды.. Это контрастирует с числами, используемыми эллинистическими астрономами и астрономами эпохи Возрождения, которые использовали трети, четверти и т. Д. Для более точных приращений. Если бы мы могли написать 10 ° 25′59.392 ″, они бы написали 10 ° 25′59 ″ 23 ‴ 31 ‴ 12 ′ ′ ′ ′ ′ или 10 ° 2559233112.

Использование набора цифр с прописными и строчными буквами позволяет использовать короткую запись для шестидесятеричных чисел, например 10:25:59 становится «ARz» (опуская I и O, но не i и o), что полезно для использования в URL-адресах и т. Д., Но не очень понятно людям.

В 1930-х годах Отто Нойгебауэр ввел современную систему обозначений для вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современные десятичные обозначения от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целая и дробная части числа и использование запятой (,) для разделения позиций в каждой части. Например, средний синодический месяц, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и все еще используемый в еврейском календаре, составляет 29; 31,50,8,20 дней, а угол, используемый в в приведенном выше примере будет написано 10; 25,59,23,31,12 градусов.

Вычисления

В вычислениях, двоичный (base-2), восьмеричный (base-8) и шестнадцатеричный Основания (base-16) используются чаще всего. Компьютеры на самом базовом уровне имеют дело только с последовательностями обычных нулей и единиц, поэтому в этом смысле легче иметь дело со степенями двойки. Шестнадцатеричная система используется как «сокращение» для двоичной системы - каждые 4 двоичных разряда (бита) относятся к одной и только одной шестнадцатеричной цифре. В шестнадцатеричном формате шесть цифр после 9 обозначаются буквами A, B, C, D, E и F (а иногда и a, b, c, d, e и f).

Восьмеричная система счисления также используется как другой способ представления двоичных чисел. В этом случае основание - 8, поэтому используются только цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. При преобразовании из двоичного в восьмеричное каждые 3 бита относятся к одной и только одной восьмеричной цифре.

Шестнадцатеричная, десятичная, восьмеричная и множество других основ использовались для двоичного кодирования текста, реализации арифметики произвольной точности и другие приложения.

Для получения списка баз и их приложений см. список систем счисления.

Другие основы в человеческом языке

Системы Base-12 (двенадцатеричная или дюжина) былины, потому что умножение и деление проще, чем в десятичной системе счисления, а сложение и вычитание также просты. Двенадцать - полезная база, потому что у нее много факторов. Это наименьшее общее кратное одного, двух, трех, четырех и шести. На английском языке до сих пор существует специальное слово для обозначения «дюжины», и по аналогии с словом «10 соток» коммерция слова для обозначения 12, брутто. Стандартные 12-часовые часы и обычное использование 12 в английских единицах измерения полезность базы. Кроме того, для преобразования в десятичной формуле старой британской валюты фунт стерлингов (GBP) частично использовалось основание 12; в шиллинге (ах) было 12 пенсов (d), 20 шиллингов в фунте (£) и, следовательно, 240 пенсов в фунте. Отсюда термин ЛСД или точнее, £ sd.

цивилизация майя и другие цивилизации доколумбовой Мезоамерики использовали базу-20. (vigesimal ), как и несколько североамериканских племен (два из которых находятся в южной Калифорнии). Свидетельства систем счета с основанием 20 также можно найти на языках центральной и западной Африки.

Остатки галльской системы счисления с основанием 20 также существуют во французском языке, что сегодня можно увидеть в названиях числа от 60 до 99. Например, шестьдесят пять - это soixante-cinq (буквально «шестьдесят [и] пять»), а семьдесят - soixante-quinze (буквально «шестьдесят [и] пятнадцать»). Кроме того, для любого числа от 80 до 99 в столбце десятков выражается кратным двадцати. Например, восемьдесят два - это quatre-vingt-deux (четыре двадцать [s] [и] два), а девяносто два - это quatre-vingt-douze (буквально четыре двадцать [s] [и] двенадцать)). В старофранском языке сорок был выражен как двадцатых, шестьдесят - как три двадцатых, так что пятьдесят три выражалось как двадцатых [и] тринадцатых и так далее.

На английском языке тот же самый счет по основанию проявляется в использовании 20 «баллов ». Хотя в основном исторический, он иногда используется в разговорной речи. Стих 10 пслама 90 Библии в переводе короля Иакова начинается так: «Дней наших лет шестьдесят лет десять; и если по силе они будут восемьдесят лет, то сила их - труд и печаль ». Геттисбергское обращение начинается так: «Четыре очка и семь лет назад».

В ирландском языке в прошлом также использовалось основание-20, двадцать фичид, сорок дха фхичид, шестьдесят три фхичид и восемьдесят цейтре фхихид. Остаток этой системы можно увидеть в современном слове «40», даоичхед.

В валлийском языке по-прежнему используется base-20 система подсчета, особенно для определения возраста людей, и дат общих фраз. 15 также важно, где 16–19 означает «один на 15», «два на 15» и т. Д. 18 обычно означает «две девятки». Обычно используется десятичная система.

В инуитских языков используется система подсчета base-20. Студенты из Кактовика, Аляска изобрели новую нумерацию в 1994 году.

Датские цифры отображают аналогичную структуру base-20.

язык маори Новой Зеландии также имеет свидетельства наличия 20-й системы, как видно из терминов Те Хокоухиту а Ту, относящихся к военному отряду (буквально «семь 20-х годов Ту») и Тама-хокотахи, имея в виду великого воина («один человек равен 20»).

Двоичная система использовалась в Древнем Египте с 3000 г. до н.э. по 2050 г. до н.э. был скорописным путем округления рациональных чисел меньше 1 до 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 с отброшенным членом 1/64 (система называлась Око Гора ).

На некоторых языках австралийских аборигенов используются двоичные или бинарные системы счета. Например, в Кала Лагав Йа числа с первого по шестой - это урапон, укасар, укасар-

Коренные жители Северной и Америки использовали основание 4 (четвертичное ) для обозначения четырех сторон света, урапон, указатель-указасар-урапон, указатель-указасар-указатель., как правило, добавляли вторую систему с основанием 5 для создания модифицированной системы с основанием 20.

Система с основанием 5 (пятичленная ) использовалась во многих культурах для подсчета. Понятно, что это основано на количестве цифр на руке человека. Его также можно рассматривать как суббазу других баз, таких как основание-10, основание-20 и основание-60.

Система с основанием 8 (восьмеричная ) была ограничена племенем юки из Северной Калифорнии, которое использовалось для счета пробелы между пальцами, каждый цифрам от одного до восьми. Существуют также лингвистические данные, свидетельствующие о том, что протоиндоевропейцы бронзового века (от которых происходит большинство европейских и индийских языков) могли заменить систему с основанием 8 (или систему, которая могла считать только до 8).) с системой base-10. Доказано, что слово, обозначающее 9, newm, по мнению некоторых, происходит от слова, обозначающего «новый», newo-, предполагая, что число 9 было недавно изобретено и названо «новым числом».

Многие древние системы используют пять в качестве первичной основы, почти наверняка используют из количества пальцев на руке человека. Часто эти системы вторичной базой, иногдаю, двадцатью. В некоторых африканских языках слово для совпадает с «рукой» или «кулаком» (язык диола из Гвинеи-Бисау, язык банда из Центральная Африка ). Подсчет продолжается добавлением 1, 2, 3 или 4 к комбинациям из 5, пока не будет достигнута вторичная база. В случае двадцати это слово часто означает «полный человек». Эта система называется пятнадцатеричной. Он встречается на многих языках региона Судан.

язык Telefol, на котором говорят в Папуа-Новой Гвинее, примечателен наличием системы счисления с основанием 27.

Нестандартные позиционные системы счисления

Интересные свойства существуют, когда основание не является фиксированным или положительным и когда наборы цифровых символов обозначают отрицательные значения. Есть еще много вариантов. Эти системы имеют практическую и теоретическую ценность для компьютерных ученых.

Сбалансированная троичная система использует основание 3, но набор цифр равенства {1,0,1} вместо {0,1,2}. «1» имеет эквивалентное значение -1. Отрицание числа легко формируется включением. Эта система установила, что установила, установила нахождения минимального набора известных противовесов для неизвестного веса. Вес 1, 3, 9,... 3 присвоить себе известную должность для любого неизвестного веса до 1 + 3 +... + 3 Ном. Груз можно использовать по обе стороны от весов или вообще не использовать. Гири, используется на чашке весов с неизвестным весом, обозначаются цифрой 1, цифрой 1, если она используется на чашке, и цифрой 0, если она не используется. Если неизвестный груз W уравновешен с 3 (3) на его чаше и 1 и 27 (3 и 3) на другой, то его вес в десятичной системе счисления равенство 25 или 1011 в сбалансированной основе-3.

1011 3 = 1 × 3 + 0 × 3 - 1 × 3 + 1 × 3 = 25.

Факториальная система счисления использует переменную систему счисления, что дает факториалы как значения разряда; они связаны с китайской теоремой об остатках и нумерацией по системе счисления остатков. Эта система эффективно перечисляет перестановки. Производная от этой конфигурации головоломки Башни Ханоя в качестве системы подсчета. Конфигурацию башен можно поставить в соответствие 1 к 1 с десятичным счетом шага, на котором происходит конфигурация, и наоборот.

Десятичные эквиваленты	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Сбалансированное основание 3	10	11	1	0	1	11	10	11	111	110	111	101
База - 2	1101	10	11	0	1	110	111	100	101	11010	11011	11000
Фактоид				0	10	100	110	200	210	1000	1010	1100

Непозиционные позиции

Каждая позиция не обязательно должна быть позиционной. Вавилонские шестидесятеричные числа были позиционными, но в каждой позиции были группы двух видов клиньев, представляющих единицы и десятки (узкий вертикальный клин (|) и открытый клин, указывающий влево (<))—up to 14 symbols per position (5 tens (<<<<<) and 9 ones ( |||||||||) grouped into one or two near squares containing up to three tiers of symbols, or a place holder (\\) for the lack of a position). Hellenistic astronomers used one or two alphabetic Greek numerals for each position (one chosen from 5 letters representing 10–50 and/or one chosen from 9 letters representing 1–9, or a нулевой символ ).

См. Также

Примеры:

• Список систем счисления
• Категория: Позиционные системы счисления

Связанные темы:

• Алгоризм
• Индусско-арабская система счисления
• Смешанное основание системы счисления
• Нестандартная позиционная система счисления системы
• Система счисления
• Научная нотация

Другое:

• Значимые цифры

Примечания

Ссылки

• О'Коннор, Джон; Робертсон, Эдмунд (декабрь 2000 г.). «Вавилонские цифры». Проверено 21 августа 2010 г.
• Кадвани, Джон (декабрь 2007 г.). «Позиционная ценность и лингвистическая рекурсия». Journal of Indian Philosophy. 35 (5–6): 487–520. doi : 10.1007 / s10781-007-9025-5. S2CID 52885600.
• Кнут, Дональд (1997). ство программирования. 2 . Эддисон-Уэсли. Стр. 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
• Ифрах, Джордж (2000). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретений компьютера. Вайли. ISBN 0-471-37568-3.
• Кробер, Альфред (1976) [1925]. Справочник индейцев Калифорнии. Courier Dover Publications. п. 176. ISBN 9780486233680.

Внешние ссылки

Викискладе есть материалы, связанные с позиционными системами счисления.

• Точное преобразование базы
• Развитие индуистского арабского языка и традиционная китайская арифметика
• Реализация преобразования базы в по-узлу
• Научитесь считать другие базы на пальцах
• Онлайн-преобразователь базы произвольной точности