Смешанный radix

Смешанная система счисления система счисления - это нестандартная позиционная система счисления, в которой числовые база меняется от позиции к позиции. Такое числовое представление применяется, когда величина выражается с помощью последовательности единиц, каждая из которых кратна следующей меньшей, но не в одном и том же множителе. Такие единицы распространены, например, при измерении времени; время в 32 недели, 5 дней, 7 часов, 45 минут, 15 секунд и 500 миллисекунд может быть выражено как количество минут в нотации со смешанным основанием:

... 32, 5, 7, 45; 15, 500... ∞, 7, 24, 60; 60, 1000

или как

32∞577244560. 15 60 500 1000

В табличном формате цифры пишутся над их основанием и точкой с запятой указывает точку счисления. В числовом формате каждая цифра имеет связанное с ней основание в виде нижнего индекса, а точка счисления помечается точкой или точкой. База для каждой цифры - это количество соответствующих единиц, составляющих следующую большую единицу. Как следствие, отсутствует база (записанная как ∞) для первой (наиболее значащей) цифры, поскольку здесь не существует «следующей большей единицы» (и обратите внимание, что нельзя добавить большую единицу «месяц» или «год». «к последовательности единиц, поскольку они не являются целыми числами, кратными« неделе »).

• 1 Примеры
• 2 Манипуляции
• 3 Факторная система счисления
• 4 Первоначальная система счисления
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Наиболее знакомый пример смешанных систем счисления - хронометраж и календари. Западные системы корней времени включают десятичные столетия, десятилетия и годы, а также двенадцатеричные месяцы, тридесятичные (и нетригесимальные и (для февраля) восьмеричные и эннеавигационные) дни с перекрытием с двумя десятичными неделями и семеричными днями. В одном варианте используются трехзначные месяцы, четвертичные недели и семеричные дни. Далее время делится на четырехзначное число часов, шестидесятеричное число минут и секунд, а затем их десятичные дроби.

Для смешанной системы счисления с основанием системы счисления часто может быть полезна сводная таблица. Система для описания 604800 секунд недели, начиная с полуночи в воскресенье, работает следующим образом:

В этой системе счисления используется смешанное основание системы счисления 3 7172451605760секунд будет интерпретироваться как 17:51:57 в среду, а 0 702402602460будет 00:02:24 в воскресенье. Специальные обозначения для смешанных систем счисления счисления являются обычным явлением.

Календарь майя состоит из нескольких перекрывающихся циклов с разными основами. Короткий счет цолкин перекрывает десятичное число именованных дней с трехмеричным пронумерованными днями. haab ' состоит из десятичных дней, восьмеричных, месяцев и базовых 52 лет, образующих круг. Кроме того, длинный счет десятичных дней, восьмеричных винных, затем шестнадцатеричных тун, к'атун, бак'тун и т. Д. Отслеживает исторические даты.

Второй пример смешанной системы счисления системы счисления в настоящее время используется при разработке и использовании валюты, где ограниченный набор номиналов печатается или чеканится с цель представления любой денежной суммы; сумма денег тогда представлена ​​количеством монет или банкнот каждого достоинства. При принятии решения, какие достоинства создавать (и, следовательно, какие корни смешивать), необходимо найти компромисс между минимальным количеством различных номиналов и минимальным количеством отдельных монет, необходимых для представления типичных количеств. Так, например, в Великобритании банкноты печатаются по цене 50, 20, 10 и 5 фунтов стерлингов, а монеты чеканятся по цене 2 фунта стерлингов, 1 фунт стерлингов, 50 пенсов, 20 пенсов, 10 пенсов, 5 пенсов, 2 пенни и 1 пенни. серия 1-2-5 предпочтительных значений.

До десятичной системы денежные суммы в Великобритании описывались в фунтах, шиллингах и пенах, из которых 12 пенсов за шиллинг и 20 пенсов за шиллинг. шиллингов за фунт, так что "17 шиллингов 6 пенсов", например, соответствовало цифре 1 со смешанным основанием ∞720612.

Обычные единицы США, как правило, являются системами с смешанным основанием, с множителями, варьирующимися от единицы размера до next таким же образом, как и единицы времени.

Представление со смешанным основанием также актуально для версий со смешанным основанием алгоритма БПФ Кули-Тьюки, в котором индексы входных значений раскрываются в представлении со смешанным основанием, т.е. индексы выходных значений раскрываются в соответствующем представлении со смешанным основанием системы счисления с обратным порядком оснований и цифр, и каждое частичное преобразование можно рассматривать как преобразование Фурье в одну цифру для всех значений остальных цифр.

Числами со смешанным основанием с одним и тем же основанием можно манипулировать, используя обобщение ручных арифметических алгоритмов. Преобразование значений из одной смешанной базы в другую легко выполнить, сначала преобразуя значения разряда одной системы в другую, а затем применяя цифры из одной системы к ним.

APL и J включают операторы для преобразования в системы со смешанным основанием и обратно.

Другое предложение - так называемая факториальная система счисления:

Например, наибольшее число, которое может быть представлено шестью цифрами будет 543210, что равно 719 в десятичном формате : 5 × 5! + 4 × 4! + 3 × 3! + 2 × 2! + 1 × 1! На первый взгляд это может быть неясно, но факториальная система нумерации однозначна и полна. Каждое число может быть представлено одним и только одним способом, потому что сумма соответствующих факториалов, умноженная на индекс, всегда является следующим факториалом минус один:

$\sum \; i\; =\; 0\; n\; (([i\; +\; 1]\; +\; 1)\; -\; 1)\; \cdot \; ([i]\; +\; 1)!\; =\; ([n\; +\; 1]\; +\; 1)!\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 0\}\; ^\; \{п\}\; (([я\; +\; 1]\; +1)\; -1)\; \backslash \; CDOT\; ([я]\; +1)!\; =\; ([П\; +\; 1]\; +1)\; !\; -1\}$

Между целыми числами 0,..., n существует естественное соответствие! - 1 и перестановки n элементов в лексикографическом порядке, при котором используется факториальное представление целого числа с последующей интерпретацией как код Лемера.

Приведенное выше уравнение является частным случаем следующего общее правило для любого базового представления системы счисления (стандартного или смешанного), которое выражает тот факт, что любое базовое представление системы счисления (стандартное или смешанное) является однозначным и полным. Каждое число может быть представлено одним и только одним способом, потому что сумма соответствующих весов, умноженная на индекс, всегда равна следующему весу минус один:

$\sum \; i\; =\; 0\; n\; (mi\; +\; 1\; -\; 1)\; \cdot \; M\; i\; =\; M\; n\; +\; 1-1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; (m\_\; \{i\; +\; 1\}\; -1)\; \backslash \; cdot\; M\_\; \{i\}\; =\; M\_\; \{n\; +\; 1\}\; -1\}$, где $M\; i\; =\; \prod \; j\; =\; 1\; imj,\; mj>1,\; M\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{i\}\; m\_\; \{j\},\; m\_\; \{\; j\}>1,\; M\_\; \{0\}\; =\; 1\}$,

что легко проверить с помощью математической индукции.

Еще одно предложение - система счисления с последовательными простыми числами в качестве системы счисления, разряды которых являются приморными числами:

$\sum \; i\; =\; 0\; N\; (пи\; +\; 1-1)\; \cdot \; пи\; \#\; =\; pn\; +\; 1\; \#\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; (p\_\; \{i\; +\; 1\}\; -1)\; \backslash \; cdot\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; \#\; =\; p\_\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; \#\; -\; 1\}$где $pi\; \#\; =\; \prod \; j\; =\; 1\; ipj\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; \#\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{i\}\; p\_\; \{j\}\}$и p j = j простое число, p 0 # = p 0 = 1.

• Дональд Кнут. Искусство программирования, Том 2: Получисленные алгоритмы, третье издание. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Страницы 65–66, 208–209 и 290.
• Георг Кантор. Über einfache Zahlensysteme, Zeitschrift für Math. und Physik 14 (1869), 121–128.

• Mixed Radix Calculator - Mixed Radix Calculator in C #