Войти
Общая теория относительности сложна. В теориях движения Ньютона длина объекта и скорость, с которой проходит время, остаются постоянными, в то время как объект ускоряется, что означает, что многие проблемы в механике Ньютона может быть решена только с помощью алгебры. Однако в теории относительности длина объекта и скорость, с которой проходит время, заметно меняются по мере приближения скорости объекта к скорости света, а это означает, что требуется больше переменных и более сложная математика. для расчета движения объекта. В результате относительность требует использования таких понятий, как векторы, тензоры, псевдотензоры и криволинейные координаты.
. Пример частиц, следующих по круговым орбитам вокруг большой массы, нерелятивистская и релятивистская трактовки даны соответственно в Ньютоновских мотивах общей теории относительности и Теоретическая мотивация общей теории относительности.
Иллюстрация типичного вектора. В математике, физике и инженерные, евклидов вектор (иногда называемый геометрическим или пространственным вектором, или - как здесь - просто вектором) - это геометрический объект, который имеет и величина (или длина ) и направление. Вектор - это то, что нужно, чтобы «перенести» точку А в точку В; латинское слово «вектор» означает «тот, кто несет». Величина вектора - это расстояние между двумя точками, а направление относится к направлению смещения от A к B. Многие алгебраические операции над вещественными числами, например, сложение, вычитание, умножение и отрицание имеют близкие аналоги для векторов, операций, которые подчиняются знакомым алгебраическим законам коммутативности, ассоциативность и распределительность.
Напряжение - это тензор второго порядка, который представляет реакцию материала на силу, приложенную под углом. Два направления тензора представляют собой «нормальную» (перпендикулярную к поверхности) силу и «поперечную» (параллельную поверхности) силу. Тензор расширяет понятие вектора на дополнительные направления. Скаляр , то есть простое число без направления, будет отображаться на графике как точка, нульмерный объект. Вектор, имеющий величину и направление, появится на графике в виде линии, которая является одномерным объектом. Вектор - это тензор первого порядка, поскольку он имеет одно направление. Тензор второго порядка имеет две величины и два направления и будет отображаться на графике в виде двух линий, похожих на стрелки часов. «Порядок» тензора - это количество содержащихся внутри направлений, которое не зависит от размеров отдельных направлений. Тензор второго порядка в двух измерениях может быть математически представлен матрицей 2 на 2, а в трех измерениях - матрицей 3 на 3, но в обоих случаях матрица является «квадратной» для тензора второго порядка.. Тензор третьего порядка имеет три величины и направления и будет представлен в виде куба чисел, 3 на 3 на 3 для направлений в трех измерениях и так далее.
Векторы имеют фундаментальное значение в физических науках. Они могут использоваться для представления любой величины, которая имеет как величину, так и направление, например скорость, величина которой равна скорости. Например, скорость вверх 5 метров в секунду может быть представлена вектором (0, 5) (в 2-х измерениях с положительной осью Y как «вверх»). Другая величина, представленная вектором, - это сила, поскольку она имеет величину и направление. Векторы также описывают многие другие физические величины, такие как смещение, ускорение, импульс и угловой момент. Другие физические векторы, такие как электрическое и магнитное поле, представлены как система векторов в каждой точке физического пространства; то есть, векторное поле.
Тензоры также имеют широкое применение в физике:
В общей теории относительности требуются четырехмерные векторы или четырехмерные векторы. Эти четыре измерения - длина, высота, ширина и время. «Точкой» в этом контексте будет событие, поскольку у нее есть и место, и время. Подобно векторам, тензоры в теории относительности требуют четырех измерений. Одним из примеров является тензор кривизны Римана.
Вектор v, показан с двумя координатными сетками, e x и e r. В космосе нет четкой координатной сетки. Это означает, что система координат изменяется в зависимости от местоположения и ориентации наблюдателя. Наблюдатели e x и e r на этом изображении обращены в разные стороны.
Здесь мы видим, что e x и e r видят вектор по-разному. Направление вектора такое же. Но к e x вектор перемещается влево. К e r вектор перемещается вправо.
В физике, а также в математике вектор часто идентифицируется с помощью кортежа или списка чисел, которые зависят от некоторой вспомогательной системы координат или системы отсчета. Когда координаты преобразуются, например, вращением или растяжением системы координат, то компоненты вектора также преобразуются. Сам вектор не изменился, но опорный кадр имеет, так что компоненты вектора (или измерения, сделанные по отношению к системе отсчета) должны измениться, чтобы компенсировать.
Вектор называется ковариантным или контравариантным в зависимости от того, как преобразование компонентов вектора связано с преобразованием координат.
В Эйнштейне обозначение, контравариантные векторы и компоненты тензоров показаны с надстрочными индексами, например x, а также ковариантные векторы и компоненты тензоров с индексами, например х я. Индексы «повышаются» или «опускаются» путем умножения на соответствующую матрицу, часто на единичную матрицу.
Преобразование координат важно, потому что теория относительности утверждает, что во Вселенной нет одной точки отсчета (или перспективы), более благоприятной, чем другая. На Земле мы используем такие измерения, как север, восток и высота, которые используются по всей планете. Для космоса такой системы нет. Без четкой справочной сетки становится более точным описать четыре измерения как «вперед / назад», влево / вправо, вверх / вниз и прошлое / будущее. В качестве примера события предположим, что Земля - неподвижный объект, и рассмотрим подписание Декларации независимости. Для современного наблюдателя на горе Рейнир, смотрящей на восток, событие впереди, справа, внизу и в прошлом. Однако для наблюдателя в средневековой Англии, смотрящего на север, событие позади, слева, ни вверх, ни вниз, и в будущем. Само мероприятие не изменилось, местоположение наблюдателя изменилось.
Наклонная система координат - это система, в которой оси не обязательно ортогональны друг другу; то есть они встречаются под углами, отличными от прямых углов. При использовании преобразований координат, как описано выше, новая система координат часто будет иметь наклонные оси по сравнению со старой системой.
Нетензор - это величина, подобная тензору, которая ведет себя как тензор при повышении и понижении индексов, но не преобразуется как тензор при преобразовании координат. Например, символы Кристоффеля не могут быть сами тензорами, если координаты не изменяются линейным образом.
В общей теории относительности нельзя описать энергию и импульс гравитационного поля тензором энергии-импульса. Вместо этого вводятся объекты, которые ведут себя как тензоры только в отношении ограниченных преобразований координат. Строго говоря, такие объекты вовсе не тензоры. Известным примером такого псевдотензора является псевдотензор Ландау – Лифшица.
Высокоточная проверка общей теории относительности с помощью космического зонда Кассини (впечатление художника): Радиосигналы, передаваемые между Землей и зондом (зеленая волна), задерживаются из-за искажения пространства и времени (синие линии) из-за Солнца. масса. То есть масса Солнца приводит к искажению и кривизне системы координат регулярной сетки (выделено синим цветом). Затем радиоволна следует этой кривизне и движется к Солнцу. Криволинейные координаты - это координаты, в которых углы между осями могут изменяться от точки к точке. Это означает, что вместо сетки прямых линий, сетка имеет кривизну.
Хорошим примером этого является поверхность Земли. Хотя карты часто изображают север, юг, восток и запад в виде простой квадратной сетки, на самом деле это не так. Вместо этого линии долготы, идущие на север и юг, изогнуты и пересекаются на северном полюсе. Это потому, что Земля не плоская, а круглая.
В общей теории относительности энергия и масса влияют на кривизну четырех измерений Вселенной (= пространство-время). Эта кривизна порождает силу тяжести. Распространенная аналогия - размещение тяжелого предмета на растянутом листе резины, в результате чего лист изгибается вниз. Это изгибает систему координат вокруг объекта, так же как объект во Вселенной изгибает систему координат, в которой он находится. Математика здесь концептуально более сложна, чем на Земле, поскольку она приводит к четырем измерениям искривленных координат. вместо трех, используемых для описания изогнутой 2D-поверхности.
Пример: параллельное перемещение по окружности трехмерного шара, встроенного в два измерения. Окружность радиуса r вложена в двумерное пространство, характеризуемое координатами z и z. Сама окружность характеризуется координатами y и y в двумерном пространстве. Сама окружность одномерна и может характеризоваться длиной дуги x. Координата y связана с координатой x соотношением y = r cos x / r и y = r sin x / r. Это дает ∂y / ∂x = −sin x / r и ∂y / ∂x = cos x / r. В этом случае метрика является скаляром и задается формулой g = cos x / r + sin x / r = 1. Тогда интервал равен ds = g dx = dx. Интервал просто равен длине дуги, как и ожидалось. В евклидовом пространстве расстояние между двумя точками измеряется расстоянием между двумя точками. Расстояние чисто пространственное и всегда положительное. В пространстве-времени разделение между двумя событиями измеряется инвариантным интервалом между двумя событиями, который учитывает не только пространственное разделение между событиями, но и их разделение во времени. Интервал s между двумя событиями определяется как:
(пространственно-временной интервал),где c - скорость света, а Δr и Δt обозначают разности пространственных и временных координат, соответственно, между событиями. Выбор знаков для s выше соответствует соглашению о пробелах (- +++). Обозначение типа Δr означает (Δr). Причина, по которой s называется интервалом, а не s, заключается в том, что s может быть положительным, нулевым или отрицательным.
Пространственно-временные интервалы можно разделить на три различных типа в зависимости от того, больше ли временное разделение (cΔt) или пространственное разделение (Δr) двух событий: временные, светоподобные или пространственно-подобные..
Определенные типы мировых линий называются геодезическими пространства-времени - прямыми линиями в случае плоского пространства-времени Минковского и их ближайшим эквивалентом в искривленном пространстве-времени общей теории относительности. В случае чисто временных путей геодезические - это (локально) пути наибольшего разделения (пространственно-временной интервал), измеряемые на пути между двумя событиями, тогда как в евклидовом пространстве и римановых многообразиях геодезические - это пути кратчайшего расстояния между двумя точками.. Концепция геодезических становится центральной в общей теории относительности, поскольку геодезическое движение можно рассматривать как «чистое движение» (движение по инерции ) в пространстве-времени, то есть свободное от каких-либо внешних влияний.
Ковариантная производная - это обобщение производной по направлению из векторного исчисления. Как и в случае производной по направлению, ковариантная производная - это правило, которое принимает в качестве входных данных: (1) вектор u (по которому берется производная), определенный в точке P, и (2) векторное поле, v, определенное в окрестности P. На выходе получается вектор, также в точке P. Основное отличие от обычной производной по направлению состоит в том, что ковариантная производная должна в некоторой точный смысл, быть независимым от способа, которым он выражен в системе координат.
Учитывая ковариантную производную, можно определить параллельный перенос вектора v в точке P вдоль кривой γ, начинающейся в точке P. Для каждой точки x кривой γ параллельный перенос v в точке x будет функцией x и может быть записан как v (x), где v (0) = v . Функция v определяется требованием, чтобы ковариантная производная v (x) вдоль γ была равна 0. Это аналогично тому, что постоянная функция - это функция, производная которой постоянно 0.
Уравнение для ковариантной производной может быть записано в терминах символов Кристоффеля. Символы Кристоффеля часто используются в теории Эйнштейна общей теории относительности, где пространство-время представлено изогнутым 4-мерным лоренцевым многообразием с Леви- Связь с Civita. Уравнения поля Эйнштейна, которые определяют геометрию пространства-времени в присутствии материи, содержат тензор Риччи. Поскольку тензор Риччи является производным от тензора кривизны Римана, который может быть записан в терминах символов Кристоффеля, вычисление символов Кристоффеля является важным. После определения геометрии пути частиц и световых лучей вычисляются путем решения геодезических уравнений, в которых явно присутствуют символы Кристоффеля.
В общей теории относительности, геодезические обобщают понятие «прямой линии» на искривленное пространство-время. Важно отметить, что мировая линия частицы, свободной от всех внешних негравитационных сил, является особым типом геодезических. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется по геодезической.
В общей теории относительности гравитацию можно рассматривать не как силу, а как следствие искривленной геометрии пространства-времени, где источником кривизны является тензор энергии-напряжения (представляющий, например, материю). Таким образом, например, путь планеты, вращающейся вокруг звезды, является проекцией геодезической изогнутой 4-мерной геометрии пространства-времени вокруг звезды на 3-х мерное пространство.
Кривая является геодезической, если касательный вектор кривой в любой точке равен параллельному переносу касательного вектора базовая точка.
Тензор кривизны Римана математически сообщает нам, сколько кривизны существует в любой данной области пространства. Сжатие тензора дает еще два математических объекта:
Тензор кривизны Римана может быть выражен через ковариантную производную.
Тензор Эйнштейна G - это тензор ранга 2 , определенный над псевдоримановыми многообразиями. В безиндексной записи он определяется как
, где R - это тензор Риччи,, g- это метрический тензор , а R - скалярная кривизна. Он используется в уравнениях поля Эйнштейна..
Контравариантные компоненты тензора напряжения-энергии. тензор напряжения-энергии (иногда напряжение –Тензор энергии – импульса или тензор энергии – импульса ) - это тензор величина в физике, которая описывает плотность и поток энергии энергии и импульс в пространстве-времени, обобщая тензор напряжений ньютоновской физики. Это атрибут материи, излучения и негравитационных силовых полей. Тензор энергии-импульса является источником гравитационного поля в уравнениях поля Эйнштейна из общей теории относительности, так же как плотность массы является источником такого поля. в Ньютоновская гравитация. Поскольку этот тензор имеет 2 индекса (см. Следующий раздел), тензор кривизны Римана должен быть сжат в тензор Риччи, также с двумя индексами.
уравнения поля Эйнштейна (EFE ) или уравнения Эйнштейна представляют собой набор из 10 уравнения в общей теории относительности Альберта Эйнштейна, которые описывают фундаментальное взаимодействие гравитации как результат пространства-времени быть изогнутым материей и энергией. Впервые опубликованный Эйнштейном в 1915 году в виде тензорного уравнения , EFE приравнивает локальное пространство-время кривизну (выраженную тензором Эйнштейна ) с локальной энергией и импульс в этом пространстве-времени (выраженный тензором энергии-импульса ).
Уравнения поля Эйнштейна могут быть записаны как
где G μν - тензор Эйнштейна а T μν - тензор энергии-импульса.
. Это означает, что кривизна пространства (представленная тензором Эйнштейна) напрямую связана с наличием материи и энергии (представленной напряжением - тензор энергии).
В теории относительности Эйнштейна, общей теории относительности, метрика Шварцшильда (также вакуум Шварцшильда или решение Шварцшильда ), является решением уравнений поля Эйнштейна, которое описывает грамм авиационное поле вне сферической массы, при условии, что электрический заряд массы, угловой момент массы и универсальная космологическая постоянная все равны нулю. Решение представляет собой полезное приближение для описания медленно вращающихся астрономических объектов, таких как многие звезды и планеты, включая Землю и Солнце. Решение названо в честь Карла Шварцшильда, который впервые опубликовал решение в 1916 году, незадолго до своей смерти.
Согласно теореме Биркгофа, метрика Шварцшильда является наиболее общим сферически-симметричным, вакуумным решением уравнений поля Эйнштейна. черная дыра Шварцшильда или статическая черная дыра - это черная дыра, не имеющая заряда или углового момента. Черная дыра Шварцшильда описывается метрикой Шварцшильда, и ее нельзя отличить от любой другой черной дыры Шварцшильда, кроме ее массы.
