В физике, симметрии из физической системы является физическим или математическим свойством системы (наблюдаемой или внутренним), которая сохраняется или остается неизменными при некоторой трансформации.
Семейство конкретных преобразований может быть непрерывным (например, вращение круга) или дискретным (например, отражение двусторонне симметричной фигуры или вращение правильного многоугольника). Непрерывные и дискретные преобразования порождают соответствующие типы симметрий. Непрерывные симметрии могут быть описаны группами Ли, в то время как дискретные симметрии описываются конечными группами (см. Группа симметрии ).
Эти два понятия, Ли и конечные группы, составляют основу фундаментальных теорий современной физики. Симметрии часто поддаются математическим формулировкам, таким как представления групп, и, кроме того, могут использоваться для упрощения многих проблем.
Возможно, наиболее важным примером симметрии в физике является то, что скорость света имеет одинаковое значение во всех системах отсчета, что описывается в специальной теории относительности группой преобразований пространства-времени, известной как группа Пуанкаре. Другой важный пример - неизменность формы физических законов относительно произвольных дифференцируемых преобразований координат, что является важной идеей общей теории относительности.
Инвариантность задается математически с помощью преобразований, которые оставляют неизменными некоторые свойства (например, количество). Эта идея может применяться к основным наблюдениям в реальном мире. Например, температура может быть однородной по всей комнате. Поскольку температура не зависит от положения наблюдателя в комнате, мы говорим, что температура неизменна при изменении положения наблюдателя в комнате.
Точно так же однородная сфера, повернутая вокруг своего центра, будет выглядеть точно так же, как и до вращения. Говорят, что сфера обладает сферической симметрией. Вращение вокруг любой оси сферы сохранит ее "внешний вид".
Вышеупомянутые идеи приводят к полезной идее инвариантности при обсуждении наблюдаемой физической симметрии; это также может быть применено к симметрии сил.
Например, электрическое поле, создаваемое электрически заряженным проводом бесконечной длины, демонстрирует цилиндрическую симметрию, потому что напряженность электрического поля на заданном расстоянии r от провода будет иметь одинаковую величину в каждой точке на поверхности цилиндра ( осью которого является проволока) радиусом r. Вращение провода вокруг собственной оси не меняет его положения или плотности заряда, поэтому поле сохраняется. Напряженность поля в повернутом положении такая же. В целом это неверно для произвольной системы начислений.
В теории механики Ньютона для двух тел, каждое с массой m, начинающихся в начале координат и движущихся по оси x в противоположных направлениях, одно со скоростью v 1, а другое со скоростью v 2, полная кинетическая энергия системы ( как рассчитано наблюдателем в начале координат) 1/2m ( v 1 2 + v 2 2) и остается неизменным, если скорости поменять местами. Полная кинетическая энергия сохраняется при отражении пооси y.
Последний пример выше иллюстрирует другой способ выражения симметрии, а именно через уравнения, описывающие некоторые аспекты физической системы. Приведенный выше пример показывает, что полная кинетическая энергия будет такой же, если поменять местами v 1 и v 2.
Симметрии в широком смысле можно разделить на глобальные и локальные. Глобальная симметрия является тот, который сохраняет свойство инвариант для преобразования, который применяется одновременно во всех точках пространства - времени, в то время как локальная симметрия является тот, который сохраняет свойство инвариант, когда возможно, различные преобразование симметрии применяется в каждой точке пространства - времени ; в частности, преобразование локальной симметрии параметризуется координатами пространства-времени, а глобальная симметрия - нет. Это означает, что глобальная симметрия также является локальной симметрией. Локальные симметрии играют важную роль в физике, поскольку они составляют основу калибровочных теорий.
Два описанных выше примера вращательной симметрии - сферическая и цилиндрическая - являются экземплярами непрерывной симметрии. Они характеризуются инвариантностью после непрерывного изменения геометрии системы. Например, провод можно повернуть на любой угол вокруг своей оси, и напряженность поля будет одинаковой на данном цилиндре. Математически непрерывные симметрии описываются преобразованиями, которые непрерывно изменяются в зависимости от их параметризации. Важным подклассом непрерывных симметрий в физике являются пространственно-временные симметрии.
Группы Ли | ||||
---|---|---|---|---|
Классические группы | ||||
Простые группы Ли
| ||||
Другие группы Ли | ||||
Алгебры Ли | ||||
Полупростая алгебра Ли | ||||
Теория представлений | ||||
Группы Ли в физике | ||||
Ученые | ||||
|
Симметрии непрерывного пространства-времени - это симметрии, включающие преобразования пространства и времени. Они могут быть дополнительно классифицированы как пространственные симметрии, включающие только пространственную геометрию, связанную с физической системой; временная симметрия, включающая только изменения во времени; или пространственно-временная симметрия, включающая изменения как в пространстве, так и во времени.
Математически пространственно-временные симметрии обычно описываются гладкими векторными полями на гладком многообразии. Основные локальные диффеоморфизмы, связанные с векторными полями, более точно соответствуют физическим симметриям, но сами векторные поля чаще используются при классификации симметрий физической системы.
Некоторые из наиболее важных векторных полей - это векторные поля Киллинга, которые представляют собой те пространственно-временные симметрии, которые сохраняют базовую метрическую структуру многообразия. Грубо говоря, векторные поля Киллинга сохраняют расстояние между любыми двумя точками многообразия и часто называются изометриями.
Дискретная симметрия является симметрией, которая описывает не-непрерывные изменения в системе. Например, квадрат обладает дискретной симметрией вращения, так как только поворот на несколько прямых углов сохранит первоначальный вид квадрата. Дискретные симметрии иногда включают в себя некоторый тип «перестановки», эти перестановки обычно называют отражениями или перестановками.
Стандартная модель в физике элементарных частиц имеют три соответствующие природные вблизи симметрии. Они утверждают, что вселенная, в которой мы живем, должна быть неотличима от той, в которой вносятся определенные изменения.
Эти симметрии почти симметричны, потому что каждая из них нарушена в современной Вселенной. Однако Стандартная модель предсказывает, что комбинация трех (то есть одновременное применение всех трех преобразований) должна быть симметрией, называемой симметрией CPT. Нарушение CP-симметрии, нарушение комбинации C- и P-симметрии, необходимо для наличия значительного количества барионной материи во Вселенной. CP-нарушение - плодотворная область современных исследований в области физики элементарных частиц.
Тип симметрии, известный как суперсимметрия, был использован, чтобы попытаться добиться теоретических успехов в Стандартной модели. Суперсимметрия основана на идее, что существует другая физическая симметрия помимо уже разработанных в Стандартной модели, а именно симметрия между бозонами и фермионами. Суперсимметрия утверждает, что каждый тип бозона имеет в качестве суперсимметричного партнера фермион, называемый суперпартнером, и наоборот. Суперсимметрия еще не подтверждена экспериментально: ни одна известная частица не обладает правильными свойствами, чтобы быть суперпартнером любой другой известной частицы. В настоящее время LHC готовится к запуску теста суперсимметрии.
Преобразования, описывающие физические симметрии, обычно образуют математическую группу. Теория групп - важная область математики для физиков.
Непрерывные симметрии математически задаются непрерывными группами (называемыми группами Ли ). Многие физические симметрии являются изометриями и задаются группами симметрии. Иногда этот термин используется для более общих типов симметрий. Множество всех собственных поворотов (на любой угол) через любую ось сферы образуют группу Ли, называемую специальной ортогональной группой SO (3). («3» относится к трехмерному пространству обычной сферы.) Таким образом, группа симметрии сферы с собственными вращениями - это SO (3). Любое вращение сохраняет расстояния на поверхности мяча. Множество всех преобразований Лоренца образуют группу, называемую группой Лоренца (это может быть обобщено на группу Пуанкаре ).
Дискретные группы описывают дискретные симметрии. Например, симметрии равностороннего треугольника характеризуются симметрической группой S 3.
Тип физической теории, основанной на локальных симметриях, называется калибровочной теорией, а симметрии, естественные для такой теории, называются калибровочными симметриями. Калибровочные симметрии в Стандартной модели, используемые для описания трех фундаментальных взаимодействий, основаны на группе SU (3) × SU (2) × U (1). (Грубо говоря, симметрии группы SU (3) описывают сильную силу, группа SU (2) описывает слабое взаимодействие, а группа U (1) описывает электромагнитную силу. )
Кроме того, уменьшение в силу симметрии функционала энергии под действием группой и спонтанного нарушения симметрии преобразований симметрических групп по всей видимости, пролить свет тем в физике элементарных частиц (например, объединение по электромагнетизма и слабой силы в физической космологии ).
Свойства симметрии физической системы тесно связаны с законами сохранения, характеризующими эту систему. Теорема Нётер дает точное описание этой связи. Теорема утверждает, что каждая непрерывная симметрия физической системы означает, что некоторые физические свойства этой системы сохраняются. И наоборот, каждой сохраняющейся величине соответствует соответствующая симметрия. Например, пространственная трансляционная симметрия (то есть однородность пространства) приводит к сохранению (линейного) импульса, а временная трансляционная симметрия (то есть однородность времени) приводит к сохранению энергии.
В следующей таблице приведены некоторые фундаментальные симметрии и связанные с ними сохраняющиеся величины.
Непрерывные симметрии в физике сохраняют преобразования. Можно указать симметрию, показав, как очень небольшое преобразование влияет на различные поля частиц. Коммутатор двух из этих бесконечно малых преобразований эквивалентны третьего преобразования бесконечно малых одного и того же рода, следовательно, они образуют алгебру Ли.
Общее преобразование координат, описываемое как общее поле (также известное как диффеоморфизм ), оказывает бесконечно малое влияние на скалярное, спинорное или векторное поле, которое может быть выражено (с использованием соглашения о суммировании индексов ):
Без гравитации сохраняются только симметрии Пуанкаре, которые ограничиваются формой:
где M - антисимметричная матрица (задающая лоренцеву и вращательную симметрии), а P - общий вектор (задающий трансляционные симметрии). Другие симметрии влияют на несколько полей одновременно. Например, локальные калибровочные преобразования применяются как к векторному, так и к спинорному полю:
где - образующие определенной группы Ли. Пока что преобразования справа включали только поля одного типа. Суперсимметрии определяются в зависимости от того, как смешиваются поля разных типов.
Другая симметрия, которая является частью одних теорий физики, но не является частью других, - это масштабная инвариантность, которая включает преобразования Вейля следующего вида:
Если поля обладают такой симметрией, то можно показать, что теория поля почти наверняка также конформно инвариантна. Это означает, что в отсутствие силы тяжести h (x) будет ограничиваться формой:
с D, порождающим масштабные преобразования, и K, порождающим специальные конформные преобразования. Например, N = 4 супертеория Янга – Миллса обладает этой симметрией, а общая теория относительности - нет, хотя другие теории гравитации, такие как конформная гравитация, обладают. «Действие» теории поля инвариантно относительно всех симметрий теории. Большая часть современной теоретической физики связана с размышлениями о различных симметриях, которые может иметь Вселенная, и поиском инвариантов для построения теорий поля в качестве моделей.
В теориях струн, поскольку струна может быть разложена на бесконечное количество полей частиц, симметрии на мировом листе струны эквивалентны специальным преобразованиям, которые смешивают бесконечное количество полей.