Войти
В общей теории относительности точное решение - это Лоренцево многообразие, снабженное тензорными полями, моделирующими состояния обычной материи, например жидкости, или классическими негравитационными полями, такими как электромагнитное поле.
Эти тензорные поля должно подчиняться любым соответствующим физическим законам (например, любое электромагнитное поле должно удовлетворять уравнениям Максвелла ). Следуя стандартному рецепту, который широко используется в математической физике, эти тензорные поля также должны давать определенные вклады в тензор энергии-напряжения 
Наконец, когда все вклады в тензор энергии-напряжения складываются, результатом должно быть решение уравнений поля Эйнштейна (записанное здесь в геометрических единицах, где скорость света c = Гравитационная постоянная G = 1)
В приведенных выше уравнениях поля 
Любое лоренцево многообразие является решением уравнения поля Эйнштейна для некоторой правой части. Это иллюстрируется следующей процедурой:
, который представляет собой чисто математическую операцию
.Это показывает, что есть два дополнительных способа использования общей теории относительности:
В рамках первого подхода предполагаемое напряжение - Тензор энергии должен стандартным образом возникать из «разумного» распределения материи или негравитационного поля. На практике это понятие довольно ясно, особенно если мы ограничим допустимые негравитационные поля единственным известным в 1916 году, электромагнитным полем. Но в идеале мы хотели бы иметь некоторую математическую характеристику, которая устанавливает некоторый чисто математический тест, который мы можем применить к любому предполагаемому «тензору энергии-напряжения», который проходит все, что может возникнуть из «разумного» физического сценария, и отвергает все остальное. К сожалению, такая характеристика неизвестна. Вместо этого у нас есть грубые тесты, известные как энергетические условия, которые аналогичны наложению ограничений на собственные значения и собственные векторы линейного оператора . Но эти условия, похоже, никого удовлетворить не могут. С одной стороны, они слишком снисходительны: они допускают «решения», которые почти никто не считает физически разумными. С другой стороны, они могут быть слишком ограничительными: наиболее популярные энергетические условия, по-видимому, нарушаются эффектом Казимира.
Эйнштейн также распознал еще один элемент определения точного решения: это должно быть лоренцево многообразие (удовлетворяющее требованиям). дополнительные критерии), т.е. гладкое многообразие. Но при работе с общей теорией относительности очень полезно допускать решения, которые не везде гладкие; Примеры включают множество решений, созданных путем согласования идеального жидкого внутреннего решения с вакуумным внешним решением, а также импульсные плоские волны. И снова оказалось, что творческое противоречие между элегантностью и удобством соответственно сложно разрешить удовлетворительно.
В дополнение к таким локальным возражениям, у нас есть гораздо более сложная проблема, заключающаяся в том, что существует очень много точных решений, которые не вызывают возражений на местном уровне, но глобально демонстрируют причинно-следственные особенности такие как замкнутые времяподобные кривые или структуры с точками разделения («брючные миры»). Некоторые из наиболее известных точных решений на самом деле имеют странный характер.
Многие известные точные решения относятся к одному из нескольких типов, в зависимости от предполагаемой физической интерпретации тензора энергии-напряжения:
; они описывают области, в которых неважно присутствует материя или негравитационные поля,полностью из электромагнитного поля, которое решает безисточниковые уравнения Максвелла на данном искривленном лоренцевом многообразии; это означает, что единственным источником гравитационного поля является энергия поля (и импульс) электромагнитного поля,должен соответствовать тензору напряжения-энергии, который можно интерпретировать как результат некогерентного электромагнитного излучения, без необходимости решения уравнений поля Максвелла на данном лоренцевом многообразии,должно полностью возникать из тензора энергии-напряжения жидкости (часто принимаемой за идеальную жидкость ); единственным источником гравитационного поля является энергия, импульс и напряжение (давление и напряжение сдвига) вещества, составляющего жидкость.Помимо таких хорошо известных явлений, как жидкости или электромагнитные волны, можно рассматривать модели, в которых гравитационное поле полностью создается энергией различных экзотических гипотетических полей:
должно полностью возникать из скалярного поля (часто безмассового скалярного поля); они могут возникать в классической теории поля мезонных пучков или как квинтэссенция,полностью возникает из ненулевой космологической постоянной.. Одна возможность, которой уделялось мало внимания (возможно, потому, что математика так сложна) проблема моделирования упругого твердого тела. В настоящее время, похоже, нет точных решений для этого конкретного типа.
Ниже мы в общих чертах обрисовали классификацию по физической интерпретации. Это, вероятно, более полезно для большинства читателей, чем классификация Сегре возможных алгебраических симметрий тензора Риччи, но для полноты мы отметим следующие факты:
и группу изотропии SO (1,1) x SO (2),
и группа изотропии E (2),
и группа изотропии SO (3),
и группа изотропии SO (1,3).Остальные типы Сегре не имеют особой физической интерпретации, и большинство из них не могут соответствовать никакому известному типу вклада в тензор энергии-импульса.
Примечательные примеры вакуумных растворов, электровакуумных растворов и т. Д. Перечислены в специализированных статьях (см. Ниже). Эти решения содержат не более одного вклада в тензор энергии-импульса , обусловленного конкретным видом вещества или поля. Однако есть некоторые известные точные решения, которые содержат два или три вклада, в том числе:
Некоторые гипотетические возможности, которые не вписываются в нашу грубую классификацию:
Были высказаны некоторые сомнения в том, достаточно ли количества экзотической материи необходимы для червоточин и могут существовать пузыри Алькубьерре. Позже, однако, эти сомнения оказались по большей части беспочвенными. Третий из этих примеров, в частности, является поучительным примером упомянутой выше процедуры превращения любого лоренцевого многообразия в «решение». Именно на этом пути Хокингу удалось доказать, что машины времени определенного типа (с «компактно сгенерированным горизонтом Коши») не могут появиться без экзотической материи. Такое пространство-время также является хорошей иллюстрацией того факта, что если пространство-время не является особенно красивым («глобально гиперболическим»), уравнения Эйнштейна не определяют его эволюцию однозначно. Любое пространство-время может превратиться в машину времени, но никогда не должно этого делать.
Уравнения поля Эйнштейна - это система связанных, нелинейных частных производных. уравнения. В общем, это затрудняет их решение. Тем не менее, было установлено несколько эффективных методов получения точных решений.
Самый простой включает наложение условий симметрии на метрический тензор, таких как стационарность (симметрия относительно сдвига во времени ) или осесимметрия (симметрия относительно вращения относительно некоторой оси симметрии ). При достаточно умных допущениях такого рода часто можно свести уравнение поля Эйнштейна к гораздо более простой системе уравнений, даже к одному уравнению в частных производных (как это происходит в случае стационарной осесимметричной вакуумные решения, которые характеризуются уравнением Эрнста ) или системой обыкновенных дифференциальных уравнений (как это происходит в случае вакуума Шварцшильда ).
Этот наивный подход обычно работает лучше всего, если используется поле кадра , а не координатный базис .
Связанная идея включает наложение условий алгебраической симметрии на тензор Вейля, тензор Риччи или тензор Римана. Они часто формулируются в терминах классификации Петрова возможных симметрий тензора Вейля или классификации Сегре возможных симметрий тензора Риччи. Как будет очевидно из приведенного выше обсуждения, такие анзацы часто имеют некоторое физическое содержание, хотя это может не быть очевидным из их математической формы.
Этот второй вид симметричного подхода часто используется с формализмом Ньюмана – Пенроуза, который использует спинорные величины для более эффективного учета.
Даже после такого уменьшения симметрии сокращенную систему уравнений часто трудно решить. Например, уравнение Эрнста представляет собой нелинейное уравнение в частных производных, несколько напоминающее нелинейное уравнение Шредингера (NLS).
Но вспомните, что конформная группа в пространстве-времени Минковского является группой симметрии уравнений Максвелла. Напомним также, что решения уравнения теплопроводности можно найти, приняв масштабный анзац. Эти понятия являются просто частными случаями концепции Софуса Ли о точечной симметрии дифференциального уравнения (или системы уравнений), и, как показал Ли, это может обеспечить путь атаковать любое дифференциальное уравнение, имеющее нетривиальную группу симметрии. Действительно, и уравнение Эрнста, и NLS имеют нетривиальные группы симметрии, и некоторые решения могут быть найдены, используя их симметрии. Эти группы симметрии часто бесконечномерны, но это не всегда полезно.
Эмми Нётер показала, что небольшое, но глубокое обобщение представления Ли о симметрии может привести к еще более мощному методу атаки. Оказывается, это тесно связано с открытием того, что некоторые уравнения, которые, как говорят, полностью интегрируемы, обладают бесконечной последовательностью законов сохранения. Примечательно то, что как уравнение Эрнста (которое возникает несколькими способами при исследовании точных решений), так и NLS оказываются полностью интегрируемыми. Следовательно, их можно решить с помощью методов, подобных обратному преобразованию рассеяния, которое первоначально было разработано для решения уравнения Кортевега-де Фриза (КдВ), нелинейного уравнения в частных производных, которое возникает в теория солитонов, которая также полностью интегрируема. К сожалению, решения, полученные этими методами, зачастую не так хороши, как хотелось бы. Например, способом, аналогичным способу получения многократного солитонного решения КдФ из односолитонного решения (которое можно найти из концепции точечной симметрии Ли), можно получить решение для множественных объектов Керра, но, к сожалению, у этого есть некоторые особенности, которые делают его физически невероятным.
Существуют также различные преобразования (см. преобразование Белинского-Захарова ), которые могут преобразовать (например) вакуумное решение, найденное другими способами, в новый вакуумный раствор, или в электровакуумный раствор, или в жидкий раствор. Они аналогичны преобразованиям Бэклунда, известным из теории некоторых дифференциальных уравнений в частных производных, включая некоторые известные примеры солитонных уравнений. Это не случайно, поскольку это явление также связано с представлениями Нётер и Ли о симметрии. К сожалению, даже применительно к «хорошо понятному», глобально допустимому решению эти преобразования часто приводят к решению, которое плохо понимается, и их общая интерпретация все еще неизвестна.
Учитывая сложность построения явных малых семейств решений, не говоря уже о представлении чего-то вроде «общего» решения полевого уравнения Эйнштейна или даже «общего» решения Для уравнения вакуумного поля очень разумным подходом является попытка найти качественные свойства, которые выполняются для всех решений или, по крайней мере, для всех вакуумных решений. Один из самых основных вопросов, который можно задать: существуют ли решения, и если да, то сколько?
Для начала мы должны принять подходящее уравнение поля, которое дает две новые системы уравнений, одна дает ограничение на исходные данные, а другая дает процедуру преобразования этих исходных данных в решение. Затем можно доказать, что решения существуют, по крайней мере, локально, используя идеи, не слишком отличающиеся от тех, которые встречаются при изучении других дифференциальных уравнений.
Чтобы получить некоторое представление о том, «сколько» решений мы можем оптимистично ожидать, мы можем обратиться к методу Эйнштейна подсчета ограничений. Типичный вывод из этого стиля аргументации состоит в том, что типичное вакуумное решение уравнения поля Эйнштейна может быть определено, задав четыре произвольные функции трех переменных и шесть произвольных функций двух переменных. Эти функции определяют исходные данные, из которых может быть получено уникальное вакуумное решение. (Напротив, вакуум Эрнста, семейство всех стационарных осесимметричных вакуумных решений, задается только двумя функциями двух переменных, которые даже не являются произвольными, но должны удовлетворять системе двух связанных нелинейных уравнений в частных производных. Это может дать какое-то представление о том, насколько крошечным на самом деле является типичное "большое" семейство точных решений в общей схеме вещей.)
Однако этот грубый анализ далек от гораздо более трудного вопроса глобального существования решения. Известные пока результаты глобального существования связаны с другой идеей.
Мы можем вообразить «возмущение» гравитационного поля вне некоторого изолированного массивного объекта, «посылая некоторое излучение из бесконечности». Мы можем спросить: что происходит, когда поступающее излучение взаимодействует с окружающим полем? В подходе классической теории возмущений мы можем начать с вакуума Минковского (или другого очень простого решения, такого как лямбдавакуум де Ситтера), ввести очень малые метрические возмущения и сохранить только члены до некоторых упорядочить в подходящем разложении по возмущению - что-то вроде оценки ряда Тейлора для геометрии нашего пространства-времени. Этот подход по существу является идеей постньютоновских приближений, используемых при построении моделей гравитирующей системы, такой как двойной пульсар. Однако разложения по возмущениям обычно не являются надежными для вопросов длительного существования и устойчивости в случае нелинейных уравнений.
Уравнение полного поля очень нелинейно, поэтому мы действительно хотим доказать, что вакуум Минковского устойчив при малых возмущениях, которые обрабатываются с использованием полностью нелинейного уравнения поля. Это требует внедрения множества новых идей. Желаемый результат, иногда выражаемый лозунгом, что вакуум Минковского является нелинейно устойчивым, был окончательно доказан Деметриосом Христодулу и Серджиу Клайнерманом только в 1993 году. Аналогичные результаты известны для возмущений лямбдавака лямбдавакуума де Ситтера () и для электровакуумных возмущений вакуума Минковского ().
Еще одна проблема, о которой мы могли бы побеспокоиться, заключается в том, всегда ли чистая масса-энергия изолированной концентрации положительной плотности массы-энергии (и импульса) дает четко определенный ( и неотрицательная) масса нетто. Этот результат, известный как теорема положительной энергии, был окончательно доказан Ричардом Шеном и Шинг-Тунг Яу в 1979 году, которые сделали дополнительное техническое предположение о природе тензора энергии-импульса. Первоначальное доказательство очень сложно; Эдвард Виттен вскоре представил гораздо более короткое «физическое доказательство», которое было оправдано математиками с использованием дополнительных очень сложных аргументов. Роджер Пенроуз и другие также предложили альтернативные аргументы в пользу вариантов исходной теоремы о положительной энергии.
